Passons à l'étude de la prochaine action avec des fractions décimales, nous allons maintenant examiner en détail multiplier des décimales. Parlons d'abord principes généraux multiplier des fractions décimales. Après cela, nous passerons à la multiplication d'une fraction décimale par une fraction décimale, nous montrerons comment multiplier des fractions décimales par une colonne et nous examinerons des solutions à des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier des fractions décimales par des nombres naturels, notamment par 10, 100, etc. Enfin, parlons de la multiplication de nombres décimaux par des fractions et des nombres fractionnaires.

Disons tout de suite que dans cet article nous ne parlerons que de la multiplication de fractions décimales positives (voir nombres positifs et négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles multiplication des nombres rationnels et multiplier des nombres réels.

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Principes généraux de multiplication de décimales

Discutons des principes généraux à suivre lors de la multiplication avec décimales.

Puisque les décimales finies et les fractions périodiques infinies sont la forme décimale des fractions communes, multiplier ces décimales revient essentiellement à multiplier des fractions communes. Autrement dit, multiplier des nombres décimaux finis, multiplier des fractions décimales finies et périodiques, et aussi multiplier des décimales périodiques revient à multiplier des fractions ordinaires après avoir converti les fractions décimales en fractions ordinaires.

Regardons des exemples d'application du principe énoncé de multiplication de fractions décimales.

Exemple.

Multipliez les décimales par 1,5 et 0,75.

Solution.

Remplaçons les fractions décimales multipliées par les fractions ordinaires correspondantes. Puisque 1,5=15/10 et 0,75=75/100, alors . Vous pouvez réduire une fraction, puis sélectionner la partie entière de la fraction impropre, ou plus commodément celle résultante. fraction communeÉcrivez 1 125/1 000 sous forme de fraction décimale 1,125.

Répondre:

1,5·0,75=1,125.

Il convient de noter qu'il est pratique de multiplier les fractions décimales finales dans une colonne ; nous parlerons de cette méthode de multiplication des fractions décimales dans.

Regardons un exemple de multiplication de fractions décimales périodiques.

Exemple.

Calculez le produit des fractions décimales périodiques 0,(3) et 2,(36) .

Solution.

Convertissons les fractions décimales périodiques en fractions ordinaires :

Alors . Vous pouvez convertir la fraction ordinaire résultante en fraction décimale :

Répondre:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Si parmi les fractions décimales multipliées, il y en a une infinie non périodique, alors toutes les fractions multipliées, y compris les fractions finies et périodiques, doivent être arrondies à un certain chiffre (voir nombres arrondis), puis multipliez les fractions décimales finales obtenues après arrondi.

Exemple.

Multipliez les décimales 5,382... et 0,2.

Solution.

Tout d'abord, arrondissons une fraction décimale non périodique infinie, l'arrondi peut être fait au centième, nous avons 5,382...≈5,38. La fraction décimale finale 0,2 n'a pas besoin d'être arrondie au centième le plus proche. Ainsi, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Il reste à calculer le produit des fractions décimales finales : 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076.

Répondre:

5,382…·0,2≈1,076.

Multiplier des fractions décimales par colonne

La multiplication de fractions décimales finies peut être effectuée dans une colonne, de la même manière que la multiplication de nombres naturels dans une colonne.

Formulons règle pour multiplier les fractions décimales par colonne. Pour multiplier des fractions décimales par colonne, vous devez :

• sans faire attention aux virgules, effectuez la multiplication selon toutes les règles de multiplication avec une colonne de nombres naturels ;
• dans le nombre obtenu, séparez par un point décimal autant de chiffres à droite qu'il y a de décimales dans les deux facteurs ensemble, et s'il n'y a pas assez de chiffres dans le produit, vous devez alors ajouter à gauche quantité requise des zéros.

Regardons des exemples de multiplication de fractions décimales par colonnes.

Exemple.

Multipliez les décimales 63,37 et 0,12.

Solution.

Multiplions les fractions décimales dans une colonne. Tout d'abord, nous multiplions les nombres, en ignorant les virgules :

Il ne reste plus qu'à ajouter une virgule au produit résultant. Elle doit séparer 4 chiffres vers la droite, puisque les facteurs ont un total de quatre décimales (deux dans la fraction 3,37 et deux dans la fraction 0,12). Il y a suffisamment de chiffres pour que vous n’ayez pas besoin d’ajouter des zéros à gauche. Terminons l'enregistrement :

En conséquence, nous avons 3,37·0,12=7,6044.

Répondre:

3,37·0,12=7,6044.

Exemple.

Calculez le produit des décimales 3,2601 et 0,0254.

Solution.

Après avoir effectué une multiplication dans une colonne sans tenir compte des virgules, nous obtenons l'image suivante :

Maintenant, dans le produit, vous devez séparer les 8 chiffres de droite par une virgule, car le nombre total de décimales des fractions multipliées est de huit. Mais il n'y a que 7 chiffres dans le produit, vous devez donc ajouter autant de zéros à gauche pour pouvoir séparer 8 chiffres par une virgule. Dans notre cas, nous devons attribuer deux zéros :

Ceci termine la multiplication des fractions décimales par colonne.

Répondre:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01, etc.

Très souvent, vous devez multiplier des fractions décimales par 0,1, 0,01, etc. Par conséquent, il est conseillé de formuler une règle pour multiplier une fraction décimale par ces nombres, qui découle des principes de multiplication des fractions décimales évoqués ci-dessus.

Donc, multiplier une décimale donnée par 0,1, 0,01, 0,001, et ainsi de suite donne une fraction obtenue à partir de l'original si dans sa notation la virgule est déplacée vers la gauche de 1, 2, 3 et ainsi de suite chiffres, respectivement, et s'il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule, alors vous devez ajoutez le nombre requis de zéros à gauche.

Par exemple, pour multiplier la fraction décimale 54,34 par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale de la fraction 54,34 vers la gauche d'un chiffre, ce qui vous donnera la fraction 5,434, c'est-à-dire 54,34·0,1=5,434. Donnons un autre exemple. Multipliez la fraction décimale 9,3 par 0,0001. Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la gauche dans la fraction décimale multipliée 9,3, mais la notation de la fraction 9,3 ne contient pas autant de chiffres. Par conséquent, nous devons attribuer autant de zéros à gauche de la fraction 9,3 afin de pouvoir facilement déplacer la virgule décimale à 4 chiffres, nous avons 9,3·0,0001=0,00093.

Notez que la règle indiquée pour multiplier une fraction décimale par 0,1, 0,01, ... est également valable pour les fractions décimales infinies. Par exemple, 0.(18)·0.01=0.00(18) ou 93.938…·0.1=9.3938… .

Multiplier un nombre décimal par un nombre naturel

À la base multiplier des nombres décimaux par des nombres naturels ce n'est pas différent de multiplier une décimale par une décimale.

Il est plus pratique de multiplier une fraction décimale finale par un nombre naturel dans une colonne ; dans ce cas, vous devez respecter les règles de multiplication des fractions décimales dans une colonne, abordées dans l'un des paragraphes précédents.

Exemple.

Calculez le produit 15·2.27.

Solution.

Multiplions un nombre naturel par une fraction décimale dans une colonne :

Répondre:

15·2,27=34,05.

Lors de la multiplication d'une fraction décimale périodique par un nombre naturel, la fraction périodique doit être remplacée par une fraction ordinaire.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0.(42) par l'entier naturel 22.

Solution.

Tout d’abord, convertissons la fraction décimale périodique en une fraction ordinaire :

Faisons maintenant la multiplication : . Ce résultat sous forme décimale est 9,(3) .

Répondre:

0,(42)·22=9,(3) .

Et lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par un nombre naturel, vous devez d'abord effectuer un arrondi.

Exemple.

Multipliez 4·2,145….

Solution.

Après avoir arrondi la fraction décimale infinie originale aux centièmes, nous arrivons à la multiplication d’un nombre naturel et d’une fraction décimale finale. Nous avons 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Répondre:

4·2,145…≈8,60.

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, ...

Assez souvent, il faut multiplier des fractions décimales par 10, 100, ... Il est donc conseillé de s'attarder sur ces cas en détail.

Exprimons-le règle pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc. Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, ... dans sa notation, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite jusqu'à 1, 2, 3, ... chiffres, respectivement, et supprimer les zéros supplémentaires à gauche ; Si la notation de la fraction multipliée ne comporte pas suffisamment de chiffres pour déplacer la virgule décimale, vous devez alors ajouter le nombre requis de zéros vers la droite.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0,0783 par 100.

Solution.

Déplaçons la fraction 0,0783 de deux chiffres vers la droite et nous obtenons 007,83. En supprimant les deux zéros à gauche, on obtient la fraction décimale 7,38. Ainsi, 0,0783·100=7,83.

Répondre:

0,0783·100=7,83.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Solution.

Pour multiplier 0,02 par 10 000, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la droite. Évidemment, dans la notation de la fraction 0,02, il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule décimale de 4 chiffres, nous allons donc ajouter quelques zéros à droite pour que la virgule décimale puisse être déplacée. Dans notre exemple, il suffit d'ajouter trois zéros, nous avons 0,02000. Après avoir déplacé la virgule, nous obtenons l'entrée 00200.0. En ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 200,0, qui est égal à l’entier naturel 200, qui est le résultat de la multiplication de la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Dans cet article, nous examinerons l’action de multiplier des nombres décimaux. Commençons par énoncer les principes généraux, puis montrons comment multiplier une fraction décimale par une autre et considérons la méthode de multiplication par colonne. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier correctement des fractions décimales par des nombres ordinaires, ainsi que des nombres mixtes et naturels (dont 100, 10, etc.)

Dans ce document, nous n'aborderons que les règles de multiplication des fractions positives. Les cas avec des nombres négatifs sont traités séparément dans les articles sur la multiplication des nombres rationnels et réels.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulons les principes généraux qui doivent être suivis lors de la résolution de problèmes impliquant la multiplication de fractions décimales.

Rappelons-nous, pour commencer, que les fractions décimales ne sont rien de plus qu'une forme particulière d'écriture des fractions ordinaires ; par conséquent, le processus de multiplication peut être réduit à un processus similaire pour les fractions ordinaires ; Cette règle fonctionne aussi bien pour les fractions finies que pour les fractions infinies : après les avoir converties en fractions ordinaires, il est facile de multiplier avec elles selon les règles que nous avons déjà apprises.

Voyons comment ces problèmes sont résolus.

Exemple 1

Calculez le produit de 1,5 et 0,75.

Solution : Tout d’abord, remplaçons les fractions décimales par des fractions ordinaires. Nous savons que 0,75 équivaut à 75/100 et 1,5 équivaut à 15/10. Nous pouvons réduire la fraction et sélectionner la partie entière. Nous écrirons le résultat résultant 125 1000 sous la forme 1, 125.

Répondre: 1 , 125 .

On peut utiliser la méthode du comptage de colonnes, tout comme pour les nombres naturels.

Exemple 2

Multipliez une fraction périodique 0, (3) par un autre 2, (36).

Tout d’abord, réduisons les fractions originales aux fractions ordinaires. Nous obtiendrons :

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Par conséquent, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

La fraction ordinaire résultante peut être réduite à forme décimale, en divisant le numérateur par le dénominateur dans une colonne :

Répondre: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Si nous avons des fractions infinies non périodiques dans l'énoncé du problème, nous devons alors effectuer un arrondi préliminaire (voir l'article sur l'arrondi des nombres si vous avez oublié comment procéder). Après cela, vous pouvez effectuer l'action de multiplication avec des fractions décimales déjà arrondies. Donnons un exemple.

Exemple 3

Calculez le produit de 5, 382... et 0, 2.

Solution

Dans notre problème nous avons une fraction infinie qu’il faut d’abord arrondir au centième. Il s'avère que 5,382... ≈ 5,38. Cela n’a aucun sens d’arrondir le deuxième facteur au centième. Vous pouvez maintenant calculer le produit requis et écrire la réponse : 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

Répondre: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

La méthode de comptage de colonnes peut être utilisée non seulement pour les nombres naturels. Si nous avons des nombres décimaux, nous pouvons les multiplier exactement de la même manière. Dérivons la règle :

Définition 1

La multiplication de fractions décimales par colonne s'effectue en 2 étapes :

1. Effectuez une multiplication de colonnes sans faire attention aux virgules.

2. Placez un point décimal dans le nombre final, en le séparant par autant de chiffres sur le côté droit que les deux facteurs contiennent ensemble des décimales. Si le résultat ne contient pas suffisamment de chiffres, ajoutez des zéros à gauche.

Regardons des exemples de tels calculs dans la pratique.

Exemple 4

Multipliez les décimales 63, 37 et 0, 12 par des colonnes.

Solution

Tout d’abord, multiplions les nombres en ignorant les points décimaux.

Maintenant, nous devons mettre la virgule au bon endroit. Cela séparera les quatre chiffres du côté droit car la somme des décimales des deux facteurs est 4. Il n'est pas nécessaire d'ajouter des zéros, car assez de signes :

Répondre: 3,37 0,12 = 7,6044.

Exemple 5

Calculez combien 3,2601 fois 0,0254 font.

Solution

On compte sans virgules. On obtient le numéro suivant :

Nous mettrons une virgule séparant 8 chiffres sur le côté droit, car les fractions originales ont ensemble 8 décimales. Mais notre résultat n'a que sept chiffres, et nous ne pouvons pas nous passer de zéros supplémentaires :

Répondre: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Comment multiplier un nombre décimal par 0,001, 0,01, 01, etc.

Multiplier des décimales par de tels nombres est courant, il est donc important de pouvoir le faire rapidement et avec précision. Écrivons une règle spéciale que nous utiliserons pour cette multiplication :

Définition 2

Si l’on multiplie une décimale par 0, 1, 0, 01, etc., on obtient un nombre similaire à la fraction originale, avec la virgule décimale déplacée vers la gauche du nombre de places requis. S'il n'y a pas assez de chiffres à transférer, vous devez ajouter des zéros à gauche.

Ainsi, pour multiplier 45, 34 par 0, 1, vous devez déplacer d'une place la virgule décimale de la fraction décimale d'origine. Nous nous retrouverons avec 4 534.

Exemple 6

Multipliez 9,4 par 0,0001.

Solution

Nous devrons déplacer la virgule décimale de quatre places en fonction du nombre de zéros dans le deuxième facteur, mais les nombres dans le premier facteur ne suffisent pas pour cela. Nous attribuons les zéros nécessaires et obtenons que 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

Répondre: 0 , 00094 .

Pour les décimales infinies, nous utilisons la même règle. Ainsi, par exemple, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ou 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... etc.

Le processus d’une telle multiplication n’est pas différent de l’action consistant à multiplier deux fractions décimales. Il est pratique d'utiliser la méthode de multiplication de colonnes si l'énoncé du problème contient une fraction décimale finale. Dans ce cas, il faut prendre en compte toutes les règles dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent.

Exemple 7

Calculez combien 15 · 2,27 fait.

Solution

Multiplions les nombres d'origine par une colonne et séparons deux virgules.

Répondre: 15 · 2,27 = 34,05.

Si nous multiplions une fraction décimale périodique par un nombre naturel, nous devons d’abord changer la fraction décimale en une fraction ordinaire.

Exemple 8

Calculez le produit de 0 , (42) et 22 .

Réduisons la fraction périodique à la forme ordinaire.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Nous pouvons écrire le résultat final sous la forme d’une fraction décimale périodique sous la forme 9, (3).

Répondre: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Les fractions infinies doivent d'abord être arrondies avant les calculs.

Exemple 9

Calculez combien 4 · 2, 145... fera.

Solution

Arrondons la fraction décimale infinie originale aux centièmes. Après cela, nous arrivons à multiplier un nombre naturel et une fraction décimale finale :

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

Répondre: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Comment multiplier un nombre décimal par 1000, 100, 10, etc.

Multiplier une fraction décimale par 10, 100, etc. est souvent rencontré dans des problèmes, nous analyserons donc ce cas séparément. La règle de base de la multiplication est la suivante :

Définition 3

Pour multiplier une fraction décimale par 1000, 100, 10, etc., vous devez déplacer sa virgule décimale à 3, 2, 1 chiffres en fonction du multiplicateur et supprimer les zéros supplémentaires à gauche. S'il n'y a pas assez de nombres pour déplacer la virgule, nous ajoutons autant de zéros vers la droite que nécessaire.

Montrons avec un exemple exactement comment procéder.

Exemple 10

Multipliez 100 et 0,0783.

Solution

Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 2 chiffres vers la droite. Nous nous retrouverons avec 007, 83. Les zéros de gauche peuvent être supprimés et le résultat écrit 7, 38.

Répondre: 0,0783 100 = 7,83.

Exemple 11

Multipliez 0,02 par 10 mille.

Solution : Nous allons déplacer la virgule de quatre chiffres vers la droite. Nous n’avons pas assez de signes pour cela dans la fraction décimale originale, nous devrons donc ajouter des zéros. Dans ce cas, trois 0 suffiront. Le résultat est 0, 02000, déplacez la virgule et obtenez 00200, 0. En ignorant les zéros à gauche, nous pouvons écrire la réponse sous la forme 200.

Répondre: 0,02 · 10 000 = 200.

La règle que nous avons donnée fonctionnera de la même manière dans le cas de fractions décimales infinies, mais ici, vous devez faire très attention à la période de la fraction finale, car il est facile de s'y tromper.

Exemple 12

Calculez le produit de 5,32 (672) fois 1 000.

Solution : tout d'abord, nous écrirons la fraction périodique sous la forme 5, 32672672672..., donc la probabilité de se tromper sera moindre. Après cela, nous pouvons déplacer la virgule jusqu'au nombre de caractères requis (trois). Le résultat sera 5326, 726726... Mettons le point entre parenthèses et écrivons la réponse sous la forme 5 326, (726).

Répondre: 5, 32 (672) · 1 000 = 5 326, (726) .

Si les conditions du problème contiennent des fractions infinies non périodiques qui doivent être multipliées par dix, cent, mille, etc., n'oubliez pas de les arrondir avant de multiplier.

Pour effectuer une multiplication de ce type, vous devez représenter la fraction décimale comme une fraction ordinaire, puis procéder selon les règles déjà familières.

Exemple 13

Multipliez 0, 4 par 3 5 6

Solution

Commençons par convertir la fraction décimale en fraction ordinaire. On a : 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Nous avons reçu la réponse sous la forme d'un nombre mixte. Vous pouvez l'écrire sous forme de fraction périodique 1, 5 (3).

Répondre: 1 , 5 (3) .

Si une fraction infinie non périodique est impliquée dans le calcul, vous devez l'arrondir à un certain nombre puis la multiplier.

Exemple 14

Calculez le produit 3, 5678. . . · 2 3

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième facteur comme 2 3 = 0, 6666…. Ensuite, arrondissez les deux facteurs à la millième place. Après cela, nous devrons calculer le produit de deux fractions décimales finales 3,568 et 0,667. Comptons avec une colonne et obtenons la réponse :

Le résultat final doit être arrondi au millième, puisque c'est à ce chiffre que l'on a arrondi les nombres initiaux. Il s’avère que 2,379856 ≈ 2,380.

Répondre: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2 380

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La décimale est utilisée lorsque vous devez effectuer des opérations sur des nombres non entiers. Cela peut paraître irrationnel. Mais ce type de nombres simplifie grandement les opérations mathématiques qui doivent être effectuées avec eux. Cette compréhension vient avec le temps, lorsque leur écriture devient familière, que leur lecture ne pose pas de difficultés et que les règles des fractions décimales sont maîtrisées. De plus, toutes les actions répètent celles déjà connues, qui ont été apprises avec des nombres naturels. Vous avez juste besoin de vous rappeler certaines fonctionnalités.

Définition décimale

Un nombre décimal est une représentation spéciale d'un nombre non entier avec un dénominateur divisible par 10, donnant la réponse comme un et éventuellement des zéros. En d’autres termes, si le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc., il est alors plus pratique de réécrire le nombre à l’aide d’une virgule. Ensuite, la partie entière sera située devant elle, puis la partie fractionnaire. De plus, l'enregistrement de la seconde moitié du nombre dépendra du dénominateur. Le nombre de chiffres de la partie fractionnaire doit être égal au chiffre du dénominateur.

Ce qui précède peut être illustré par ces chiffres :

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Raisons d'utiliser les décimales

Les mathématiciens avaient besoin de décimales pour plusieurs raisons :

Simplification de l'enregistrement. Une telle fraction est située le long d'une ligne sans tiret entre le dénominateur et le numérateur, alors que la clarté n'en souffre pas.

La simplicité en comparaison. Il suffit simplement de corréler les nombres qui se trouvent dans les mêmes positions, alors qu'avec des fractions ordinaires, il faudrait les réduire à un dénominateur commun.

Simplifiez les calculs.

Les calculatrices ne sont pas conçues pour accepter les fractions ; elles utilisent la notation décimale pour toutes les opérations.

Comment lire correctement de tels chiffres ?

La réponse est simple : tout comme un nombre fractionnaire ordinaire avec un dénominateur multiple de 10. La seule exception concerne les fractions sans valeur entière, alors lors de la lecture, vous devez prononcer « zéro entier ».

Par exemple, 45/1000 doit être prononcé comme quarante-cinq millièmes, en même temps 0,045 ressemblera à zéro virgule quarante-cinq millièmes.

Numéro mixte avec partie entièreégal à 7 et la fraction 17/100, qui s'écrira 7,17, dans les deux cas elle se lira comme sept virgule dix-sept.

Le rôle des chiffres dans l'écriture des fractions

Marquer correctement le rang est ce qu'exigent les mathématiques. Les décimales et leur signification peuvent changer considérablement si vous écrivez le chiffre au mauvais endroit. Cependant, c'était vrai auparavant.

Pour lire les chiffres de la partie entière d’une fraction décimale, il suffit d’utiliser les règles connues pour les nombres naturels. Et sur le côté droit, ils sont reflétés et lus différemment. Si la partie entière sonnait « dizaines », alors après la virgule décimale, ce serait « dixièmes ».

Cela se voit clairement dans ce tableau.

Comment écrire correctement un nombre fractionnaire sous forme décimale ?

Si le dénominateur contient un nombre égal à 10 ou 100, et autres, alors la question de savoir comment convertir une fraction en nombre décimal n'est pas difficile. Pour ce faire, il suffit de réécrire différemment tous ses composants. Les points suivants vous y aideront :

écrivez le numérateur de la fraction un peu à côté, à ce moment le point décimal est situé à droite, après le dernier chiffre ;

déplacez la virgule vers la gauche, le plus important ici est de compter correctement les nombres - vous devez la déplacer d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le dénominateur ;

s'il n'y en a pas assez, alors il devrait y avoir des zéros dans les positions vides ;

les zéros qui se trouvaient à la fin du numérateur ne sont désormais plus nécessaires et peuvent être barrés ;

Avant la virgule, ajoutez la partie entière ; si elle n'était pas là, alors il y aura également zéro ici.

Attention. Vous ne pouvez pas rayer les zéros entourés d’autres nombres.

Vous pouvez lire ci-dessous comment gérer une situation où le dénominateur contient plus que des uns et des zéros, et comment convertir une fraction en nombre décimal. Ce informations importantes, ce qui vaut vraiment le détour.

Comment convertir une fraction en nombre décimal si le dénominateur est un nombre arbitraire ?

Il y a deux options ici :

Lorsque le dénominateur peut être représenté par un nombre égal à dix à n’importe quelle puissance.

Si une telle opération ne peut être effectuée.

Comment puis-je vérifier cela ? Vous devez prendre en compte le dénominateur. Si seulement 2 et 5 sont présents dans le produit, alors tout va bien et la fraction est facilement convertie en décimale finale. Sinon, si 3, 7 et d'autres nombres premiers apparaissent, le résultat sera infini. Une telle fraction décimale pour faciliter son utilisation dans opérations mathématiques Il est d'usage d'arrondir. Ceci sera discuté un peu plus bas.

Explore comment les décimales sont faites, 5e année. Les exemples ici seront très utiles.

Soit les dénominateurs les nombres : 40, 24 et 75. Décomposition en facteurs premiers pour eux, ce sera comme ça :

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

Dans ces exemples, seule la première fraction peut être représentée comme fraction finale.

Algorithme pour convertir une fraction commune en une décimale finale

Vérifiez la factorisation du dénominateur en facteurs premiers et assurez-vous qu'il sera composé de 2 et 5.

Ajoutez autant de 2 et de 5 à ces nombres pour qu'il y en ait un nombre égal. Ils donneront la valeur du multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le dénominateur et le numérateur par ce nombre. Le résultat sera une fraction ordinaire, sous la ligne de laquelle il y a 10 dans une certaine mesure.

Si dans le problème ces actions sont effectuées avec un nombre fractionnaire, celui-ci doit d'abord être représenté comme une fraction impropre. Et alors seulement, agissez selon le scénario décrit.

Représenter une fraction sous forme de décimale arrondie

Cette méthode de conversion d’une fraction en nombre décimal peut sembler encore plus simple à certains. Parce qu'il n'y a pas beaucoup d'action. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Tout nombre avec une partie décimale à droite du point décimal peut se voir attribuer un nombre infini de zéros. Cette propriété est ce dont vous devez profiter.

Tout d’abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule après. Si la fraction est correcte, écrivez zéro.

Ensuite, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Pour qu'ils aient le même nombre de chiffres. Autrement dit, ajoutez le nombre requis de zéros à droite du numérateur.

Effectuez une division longue jusqu'à ce que le nombre de chiffres requis soit atteint. Par exemple, si vous devez arrondir aux centièmes, la réponse devrait être 3. En général, il devrait y avoir un nombre de plus que ce dont vous avez besoin à la fin.

Notez la réponse intermédiaire après la virgule et arrondissez selon les règles. Si le dernier chiffre est compris entre 0 et 4, il vous suffit de le supprimer. Et lorsqu'il est égal à 5-9, alors celui qui le précède doit être augmenté de un, en écartant le dernier.

Retour d'une fraction décimale à une fraction commune

En mathématiques, il existe des problèmes lorsqu'il est plus pratique de représenter des fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires, dans lesquelles se trouve un numérateur avec un dénominateur. Vous pouvez pousser un soupir de soulagement : cette opération est toujours possible.

Pour cette procédure, vous devez procéder comme suit :

notez la partie entière, si elle est égale à zéro, alors il n'est pas nécessaire d'écrire quoi que ce soit ;

tracez une ligne de fraction ;

au-dessus, notez les chiffres du côté droit, si les zéros viennent en premier, alors ils doivent être barrés ;

Sous la ligne, écrivez-en un avec autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction originale.

C'est tout ce que vous devez faire pour convertir un nombre décimal en fraction.

Que peut-on faire avec les décimales ?

En mathématiques, il s'agira de certaines opérations avec des décimales qui étaient auparavant effectuées pour d'autres nombres.

Ils sont:

comparaison;

addition et soustraction;

multiplication et division.

La première action, la comparaison, est similaire à celle utilisée pour les nombres naturels. Pour déterminer lequel est le plus grand, vous devez comparer les chiffres de la pièce entière. S'ils s'avèrent égaux, ils passent alors au fractionnaire et les comparent également par chiffres. Le nombre avec le chiffre le plus grand dans le chiffre le plus significatif sera la réponse.

Additionner et soustraire des décimales

Ce sont peut-être les plus étapes simples. Parce qu'ils sont réalisés selon les règles des nombres naturels.



Ainsi, pour additionner des fractions décimales, elles doivent être écrites les unes en dessous des autres, en plaçant des virgules dans une colonne. Avec cette notation, les parties entières apparaissent à gauche des virgules et les parties fractionnaires à droite. Et maintenant, vous devez additionner les nombres petit à petit, comme c'est le cas avec les nombres naturels, en déplaçant la virgule vers le bas. Vous devez commencer à additionner à partir du plus petit chiffre de la partie fractionnaire du nombre. S'il n'y a pas assez de chiffres dans la moitié droite, des zéros sont ajoutés.

La même chose s'applique à la soustraction. Et ici, il y a une règle qui décrit la possibilité de prendre une unité du rang le plus élevé. Si la fraction à réduire a moins de chiffres après la virgule que la fraction à soustraire, alors des zéros y sont simplement ajoutés.

La situation est un peu plus compliquée avec les tâches où vous devez multiplier et diviser des fractions décimales.

Comment multiplier une fraction décimale dans différents exemples ?

La règle pour multiplier des fractions décimales par un nombre naturel est :

écrivez-les dans une colonne, en ignorant la virgule ;

multipliez-vous comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans la partie fractionnaire du nombre d'origine.

Un cas particulier est l’exemple dans lequel un nombre naturel est égal à 10 à n’importe quelle puissance. Ensuite, pour obtenir la réponse, il vous suffit de déplacer la virgule décimale vers la droite d’autant de positions qu’il y a de zéros dans l’autre facteur. En d'autres termes, multiplié par 10, la virgule décimale se déplace d'un chiffre, de 100 - il y en aura deux, et ainsi de suite. S'il n'y a pas assez de nombres dans la partie fractionnaire, vous devez alors écrire des zéros dans les positions vides.

La règle utilisée lorsqu'une tâche nécessite de multiplier des fractions décimales par un autre même nombre :

écrivez-les l'un après l'autre, sans faire attention aux virgules ;

multipliez-les comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu’il y avait dans les parties fractionnaires des deux fractions originales ensemble.

Un cas particulier sont les exemples dans lesquels l'un des multiplicateurs est égal à 0,1 ou 0,01 et ainsi de suite. Dans ceux-ci, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de chiffres dans les facteurs présentés. Autrement dit, s'il est multiplié par 0,1, le point décimal est décalé d'une position.

Comment diviser une fraction décimale en différentes tâches ?

La division de fractions décimales par un nombre naturel s'effectue selon la règle suivante :

notez-les pour les diviser dans une colonne comme s'ils étaient naturels ;

diviser selon la règle habituelle jusqu'à ce que toute la partie soit terminée ;

mettez une virgule dans la réponse ;

continuez à diviser la composante fractionnaire jusqu'à ce que le reste soit nul ;

si nécessaire, vous pouvez ajouter le nombre de zéros requis.

Si la partie entière est égale à zéro, elle ne figurera pas non plus dans la réponse.

Séparément, il existe une division en nombres égaux à dix, cent, etc. Dans de tels problèmes, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de zéros dans le diviseur. Il arrive qu'il n'y ait pas assez de nombres dans une partie entière, alors des zéros sont utilisés à la place. Vous pouvez voir que cette opération est similaire à la multiplication par 0,1 et par des nombres similaires.

Pour diviser des décimales, vous devez utiliser cette règle :

transformez le diviseur en un nombre naturel, et pour ce faire, déplacez la virgule vers la droite jusqu'à la fin ;

déplacer la virgule décimale du dividende du même nombre de chiffres ;

agir selon le scénario précédent.

La division par 0,1 est mise en évidence ; 0,01 et autres nombres similaires. Dans de tels exemples, le point décimal est décalé vers la droite du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. S'ils sont épuisés, vous devez ajouter le nombre de zéros manquant. Il convient de noter que cette action répète la division par 10 et des nombres similaires.



Conclusion : tout est une question de pratique

Rien dans l’apprentissage n’est facile ou sans effort. Maîtriser de manière fiable un nouveau matériel demande du temps et de la pratique. Les mathématiques ne font pas exception.

Pour vous assurer que le sujet sur les fractions décimales ne pose pas de difficultés, vous devez résoudre autant d'exemples que possible avec elles. Après tout, il fut un temps où l’addition de nombres naturels était une impasse. Et maintenant tout va bien.

Ainsi, pour paraphraser une phrase bien connue : décider, décider et décider encore. Ensuite, les tâches avec de tels nombres seront complétées facilement et naturellement, comme un autre puzzle.

À propos, les énigmes sont difficiles à résoudre au début, et vous devez ensuite effectuer les mouvements habituels. C'est pareil dans les exemples mathématiques : après avoir parcouru plusieurs fois le même chemin, alors vous ne penserez plus où donner de la tête.

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Exemples.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule décimale. Ainsi, nous obtenons la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention au point décimal, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après le point décimal qu'il y a dans les deux facteurs ensemble - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Dans les cours du collège et du lycée, les élèves ont abordé le thème « Fractions ». Cependant, ce concept est beaucoup plus large que ce qui est donné dans le processus d'apprentissage. Aujourd'hui, le concept de fraction est rencontré assez souvent et tout le monde ne peut pas calculer une expression, par exemple multiplier des fractions.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Historiquement, les nombres fractionnaires sont nés du besoin de mesurer. Comme le montre la pratique, il existe souvent des exemples de détermination de la longueur d'un segment et du volume d'un rectangle rectangulaire.

Dans un premier temps, les étudiants sont initiés à la notion de partage. Par exemple, si vous divisez une pastèque en 8 parties, chaque personne recevra un huitième de la pastèque. Cette partie de huit s’appelle une part.

Une part égale à la moitié d’une valeur quelconque est appelée moitié ; ⅓ - tiers ; ¼ - un quart. Les enregistrements de la forme 5/8, 4/5, 2/4 sont appelés fractions ordinaires. Une fraction commune est divisée en un numérateur et un dénominateur. Entre eux se trouve la barre de fraction, ou barre de fraction. La ligne fractionnaire peut être tracée sous forme de ligne horizontale ou oblique. DANS dans ce cas il représente le signe de division.

Le dénominateur représente le nombre de parties égales en lesquelles la quantité ou l'objet est divisé ; et le numérateur est le nombre d'actions identiques prises. Le numérateur est écrit au-dessus de la ligne de fraction, le dénominateur est écrit en dessous.

Il est plus pratique de représenter les fractions ordinaires sur un rayon de coordonnées. Si un segment unitaire est divisé en 4 parties égales, étiquetez chaque partie Lettre latine, le résultat peut alors être une excellente aide visuelle. Ainsi, le point A montre une part égale à 1/4 de l'ensemble du segment unitaire, et le point B marque 2/8 d'un segment donné.

Types de fractions

Les fractions peuvent être des nombres ordinaires, décimaux et mixtes. De plus, les fractions peuvent être divisées en fractions appropriées et impropres. Cette classification est plus adaptée aux fractions ordinaires.

Sous fraction propre comprendre le nombre dont le numérateur inférieur au dénominateur. En conséquence, une fraction impropre est un nombre dont le numérateur est supérieur à son dénominateur. Le deuxième type est généralement écrit sous forme de nombre mixte. Cette expression est constituée d'un entier et d'une partie fractionnaire. Par exemple, 1½. 1 est une partie entière, ½ est une partie fractionnaire. Cependant, si vous devez effectuer quelques manipulations avec l'expression (diviser ou multiplier des fractions, les réduire ou les convertir), le nombre fractionnaire est converti en fraction impropre.

Une expression fractionnaire correcte est toujours inférieure à un et une expression incorrecte est toujours supérieure ou égale à 1.

Quant à cette expression, nous entendons un enregistrement dans lequel est représenté n'importe quel nombre, dont le dénominateur de l'expression fractionnaire peut être exprimé par un avec plusieurs zéros. Si la fraction est propre, alors la partie entière en notation décimale sera égale à zéro.

Pour écrire une fraction décimale, vous devez d'abord écrire la partie entière, la séparer de la fraction par une virgule, puis écrire l'expression de la fraction. Il ne faut pas oublier qu'après la virgule décimale, le numérateur doit contenir autant de caractères numériques qu'il y a de zéros au dénominateur.

Exemple. Exprimez la fraction 7 21 / 1000 en notation décimale.

Algorithme de conversion d'une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice versa

Il est incorrect d'écrire une fraction impropre dans la réponse à un problème, elle doit donc être convertie en un nombre fractionnaire :

• divisez le numérateur par le dénominateur existant ;
• V exemple spécifique quotient incomplet - entier ;
• et le reste est le numérateur de la partie fractionnaire, le dénominateur restant inchangé.

Exemple. Convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire : 47 / 5.

Solution. 47 : 5. Le quotient partiel est 9, le reste = 2. Donc, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Parfois, vous devez représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Ensuite, vous devez utiliser l'algorithme suivant :

• la partie entière est multipliée par le dénominateur de l'expression fractionnaire ;
• le produit résultant est ajouté au numérateur ;
• le résultat est écrit au numérateur, le dénominateur reste inchangé.

Exemple. Présentez le nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction impropre : 9 8 / 10.

Solution. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 est le numérateur.

Répondre: 98 / 10.

Multiplier des fractions

Diverses opérations algébriques peuvent être effectuées sur des fractions ordinaires. Pour multiplier deux nombres, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. De plus, multiplier des fractions avec des dénominateurs différents n'est pas différent du produit nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs.

Il arrive qu'après avoir trouvé le résultat, vous deviez réduire la fraction. Il est impératif de simplifier au maximum l'expression résultante. Bien sûr, on ne peut pas dire qu’une fraction impropre dans une réponse est une erreur, mais il est également difficile de la qualifier de réponse correcte.

Exemple. Trouvez le produit de deux fractions ordinaires : ½ et 20/18.

Comme le montre l'exemple, après avoir trouvé le produit, une notation fractionnaire réductible a été obtenue. Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur sont divisés par 4 et le résultat est la réponse 5/9.

Multiplier des fractions décimales

Le produit de fractions décimales est tout à fait différent du produit de fractions ordinaires dans son principe. Ainsi, multiplier des fractions est la suivante :

• deux fractions décimales doivent être écrites l'une sous l'autre de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient l'un sous l'autre ;
• vous devez multiplier les nombres écrits, malgré les virgules, c'est-à-dire sous forme de nombres naturels ;
• compter le nombre de chiffres après la virgule dans chaque nombre ;
• dans le résultat obtenu après multiplication, il faut compter à partir de la droite autant de symboles numériques qu'il y a dans la somme des deux facteurs après la virgule décimale, et mettre un signe de séparation ;
• s'il y a moins de nombres dans le produit, vous devez alors écrire autant de zéros devant eux pour couvrir ce nombre, mettre une virgule et ajouter la partie entière égale à zéro.

Exemple. Calculez le produit de deux fractions décimales : 2,25 et 3,6.

Solution.

Multiplier des fractions mixtes

Pour calculer le produit de deux fractions mixtes, vous devez utiliser la règle de multiplication des fractions :

• convertir des nombres fractionnaires en fractions impropres ;
• trouver le produit des numérateurs ;
• trouver le produit des dénominateurs ;
• notez le résultat;
• simplifier l'expression autant que possible.

Exemple. Trouvez le produit de 4½ et 6 2/5.

Multiplier un nombre par une fraction (fractions par un nombre)

En plus de trouver le produit de deux fractions et de nombres fractionnaires, il existe des tâches dans lesquelles vous devez multiplier par une fraction.

Ainsi, pour trouver le produit d'une fraction décimale et d'un nombre naturel, il vous faut :

• écrivez le nombre sous la fraction de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient les uns au-dessus des autres ;
• trouver le produit malgré la virgule ;
• dans le résultat obtenu, séparez la partie entière de la partie fractionnaire à l'aide d'une virgule, en comptant à partir de la droite le nombre de chiffres situés après la virgule décimale dans la fraction.

Pour multiplier une fraction commune par un nombre, vous devez trouver le produit du numérateur et du facteur naturel. Si la réponse produit une fraction pouvant être réduite, elle doit être convertie.

Exemple. Calculez le produit de 5/8 et 12.

Solution. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Répondre: 7 1 / 2.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple précédent, il était nécessaire de réduire le résultat obtenu et de convertir l'expression fractionnaire incorrecte en un nombre fractionnaire.

La multiplication de fractions consiste aussi à trouver le produit d'un nombre sous forme mixte et d'un facteur naturel. Pour multiplier ces deux nombres, vous devez multiplier la partie entière du facteur mixte par le nombre, multiplier le numérateur par la même valeur et laisser le dénominateur inchangé. Si nécessaire, vous devez simplifier autant que possible le résultat obtenu.

Exemple. Trouvez le produit de 9 5 / 6 et 9.

Solution. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Répondre: 88 1 / 2.

Multiplication par facteurs de 10, 100, 1000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001

La règle suivante découle du paragraphe précédent. Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1000, 10000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros après celui dans le facteur.

Exemple 1. Trouvez le produit de 0,065 et 1000.

Solution. 0,065 x 1 000 = 0065 = 65.

Répondre: 65.

Exemple 2. Trouvez le produit de 3,9 et 1000.

Solution. 3,9 x 1 000 = 3,900 x 1 000 = 3 900.

Répondre: 3900.

Si vous devez multiplier un nombre naturel par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001, etc., vous devez déplacer la virgule dans le produit résultant vers la gauche d'autant de caractères numériques qu'il y a de zéros avant un. Si nécessaire, un nombre suffisant de zéros est écrit avant l'entier naturel.

Exemple 1. Trouvez le produit de 56 et 0,01.

Solution. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Répondre: 0,56.

Exemple 2. Trouvez le produit de 4 et 0,001.

Solution. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Répondre: 0,004.

Ainsi, trouver le produit de différentes fractions ne devrait pas poser de difficultés, sauf peut-être calculer le résultat ; dans ce cas, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer d'une calculatrice.