Une fonction de la forme où est appelée fonction quadratique.

Graphique d'une fonction quadratique – parabole.

Considérons les cas :

I CASE, PARABOLE CLASSIQUE

C'est , ,

Pour construire, remplissez le tableau en substituant les valeurs x dans la formule :

Marquez les points (0;0); (1;1); (-1;1), etc. sur avion coordonné(plus on prend de pas les valeurs de x (en dans ce casétape 1), et plus on prend de valeurs x, plus la courbe sera lisse), on obtient une parabole :

Il est facile de voir que si l'on prend le cas , , , alors on obtient une parabole symétrique par rapport à l'axe (oh). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :

II CAS, « a » EST DIFFÉRENT DE L'UNITÉ

Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Sur la première image (voir ci-dessus) on voit clairement que les points du tableau de la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire qu'avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous raisonnons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.

Et quand la parabole « devient plus large » que la parabole :

Résumons :

1)Le signe du coefficient détermine la direction des branches. Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de la « dilatation » et de la « compression » de la parabole. Plus la parabole est grande, plus la parabole est étroite, plus |a| est petite, plus la parabole est large.

CAS III, "C" APPARAÎT

Introduisons maintenant dans le jeu (c'est-à-dire considérons le cas où), nous considérerons des paraboles de la forme . Il n'est pas difficile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe selon le signe :

CAS IV, « b » APPARAÎT

Quand la parabole va-t-elle « se détacher » de l'axe et finalement « marcher » le long de tout le plan de coordonnées ? Quand cessera-t-il d’être égal ?

Ici, pour construire une parabole, nous avons besoin formule de calcul du sommet : , .

Donc à ce stade (comme au point (0;0) nouveau système coordonnées), nous allons construire une parabole, ce que nous pouvons déjà faire. Si nous traitons du cas, alors à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point) ; si nous avons affaire, par exemple, à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, deux vers le haut, etc.

Par exemple, le sommet d'une parabole :

Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.

Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet trèsIl convient de considérer les points suivants :

1) parabole je passerai certainement par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, nous obtenons que . C'est-à-dire que l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) est . Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'ordonnée au point , puisque .

2) axe de symétrie paraboles est une ligne droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on le construit symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, on obtient le point (4 ; -2) par lequel passera la parabole.

3) En égalant à , on retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oh). Pour ce faire, nous résolvons l’équation. En fonction du discriminant, nous obtiendrons un (, ), deux ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, notre racine du discriminant n'est pas un entier ; lors de la construction, cela n'a pas beaucoup de sens pour nous de trouver les racines, mais on voit bien que nous aurons deux points d'intersection avec l'axe (oh) (depuis title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Alors trouvons une solution

Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme

1) déterminer la direction des branches (a>0 – vers le haut, a<0 – вниз)

2) on trouve les coordonnées du sommet de la parabole à l'aide de la formule , .

3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) à l'aide du terme libre, on construit un point symétrique à ce point par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (à noter qu'il arrive qu'il ne soit pas rentable de marquer ce point par exemple, car la valeur est grande... on saute ce point...)

4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) On retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore « fait surface ») en résolvant l'équation

Exemple 1

Exemple 2

Note 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple ), alors il sera encore plus facile de la construire, car on nous a déjà donné les coordonnées du sommet . Pourquoi?

Prenons un trinôme quadratique et isolons le carré complet qu'il contient : Regardez, nous avons ça , . Vous et moi appelions auparavant le sommet d'une parabole, c'est-à-dire maintenant.

Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (par rapport à ). C'est-à-dire que nous réalisons les points 1 ; 3 ; 4 ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).

Note 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire présentée comme le produit de deux facteurs linéaires), alors nous pouvons immédiatement voir les points d'intersection de la parabole avec l'axe (bœuf). Dans ce cas – (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme en ouvrant les parenthèses.

Dans les cours de mathématiques à l'école, vous vous êtes déjà familiarisé avec les propriétés et le graphique les plus simples d'une fonction y = x 2. Développons nos connaissances sur fonction quadratique.

Exercice 1.

Représenter graphiquement la fonction y = x 2. Echelle : 1 = 2 cm Marquez un point sur l'axe Oy. F(0 ; 1/4). À l'aide d'un compas ou d'une bande de papier, mesurez la distance du point Fà un certain point M. paraboles. Épinglez ensuite la bande au point M et faites-la pivoter autour de ce point jusqu'à ce qu'elle soit verticale. La fin de la bande tombera légèrement en dessous de l'axe des x (Fig. 1). Marquez sur la bande jusqu'où elle s'étend au-delà de l'axe des x. Prenez maintenant un autre point sur la parabole et répétez la mesure. Dans quelle mesure le bord de la bande est-il tombé en dessous de l’axe des x ?

Résultat: quel que soit le point de la parabole y = x 2 que vous prenez, la distance de ce point au point F(0; 1/4) sera supérieure à la distance du même point à l'axe des abscisses de toujours le même nombre - 1/4.

On peut le dire différemment : la distance de n'importe quel point de la parabole au point (0 ; 1/4) est égale à la distance du même point de la parabole à la droite y = -1/4. Ce merveilleux point F(0; 1/4) est appelé se concentrer paraboles y = x 2 et droite y = -1/4 – directrice cette parabole. Chaque parabole a une directrice et un foyer.

Propriétés intéressantes d'une parabole :

1. Tout point de la parabole est équidistant d'un certain point, appelé foyer de la parabole, et d'une ligne droite, appelée sa directrice.

2. Si vous faites pivoter une parabole autour de l'axe de symétrie (par exemple, la parabole y = x 2 autour de l'axe Oy), vous obtiendrez une surface très intéressante appelée paraboloïde de révolution.

La surface du liquide dans un récipient en rotation a la forme d’un paraboloïde de révolution. Vous pouvez voir cette surface si vous remuez vigoureusement avec une cuillère dans un verre de thé incomplet, puis retirez la cuillère.

3. Si vous jetez une pierre dans le vide à un certain angle par rapport à l'horizon, elle volera en parabole (Fig.2).

4. Si vous coupez la surface d'un cône avec un plan parallèle à l'une de ses génératrices, alors la section transversale donnera lieu à une parabole. (Fig.3).

5. Les parcs d'attractions proposent parfois un manège amusant appelé Paraboloïde des Merveilles. Il semble à tous ceux qui se trouvent à l'intérieur du paraboloïde en rotation qu'ils se tiennent sur le sol, et que le reste des gens s'accroche miraculeusement aux murs.

6. Dans les télescopes à réflexion, des miroirs paraboliques sont également utilisés : la lumière d'une étoile lointaine, arrivant dans un faisceau parallèle, tombant sur le miroir du télescope, est focalisée.

7. Les projecteurs ont généralement un miroir en forme de paraboloïde. Si vous placez une source de lumière au foyer d'un paraboloïde, les rayons réfléchis par le miroir parabolique forment un faisceau parallèle.

Représenter graphiquement une fonction quadratique

En cours de mathématiques, vous avez étudié comment obtenir des graphiques de fonctions de la forme à partir du graphique de la fonction y = x 2 :

1) y = hache 2– étirer le graphe y = x 2 le long de l'axe Oy en |a| fois (avec |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riz. 4).

2) y = x 2 + n– déplacement du graphique de n unités le long de l'axe Oy, et si n > 0, alors le déplacement est vers le haut, et si n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– décalage du graphique de m unités le long de l’axe Ox : si m< 0, то вправо, а если m >0, puis je suis parti, (Fig.5).

4) y = -x 2– affichage symétrique par rapport à l'axe Ox du graphique y = x 2 .

Examinons de plus près le tracé de la fonction y = une(x – m) 2 + n.

Une fonction quadratique de la forme y = ax 2 + bx + c peut toujours être réduite à la forme

y = a(x – m) 2 + n, où m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Prouvons-le.

Vraiment,

y = hache 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Introduisons de nouvelles notations.

Laisser m = -b/(2a), UN n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

alors nous obtenons y = a(x – m) 2 + n ou y – n = a(x – m) 2.

Faisons quelques substitutions supplémentaires : soit y – n = Y, x – m = X (*).

On obtient alors la fonction Y = aX 2 dont le graphique est une parabole.

Le sommet de la parabole est à l'origine. X = 0 ; Oui = 0.

En substituant les coordonnées du sommet dans (*), on obtient les coordonnées du sommet du graphe y = a(x – m) 2 + n : x = m, y = n.

Ainsi, afin de tracer une fonction quadratique représentée par

y = une(x – m) 2 + n

à travers les transformations, vous pouvez procéder comme suit :

un) tracer la fonction y = x 2 ;

b) par translation parallèle le long de l'axe Ox de m unités et le long de l'axe Oy de n unités - transférer le sommet de la parabole de l'origine au point de coordonnées (m ; n) (Fig.6).

Transformations d'enregistrement :

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Exemple.

À l'aide de transformations, construisez un graphique de la fonction y = 2(x – 3) 2 dans le système de coordonnées cartésiennes – 2.

Solution.

Chaîne de transformations :

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Le tracé est montré dans riz. 7.

Vous pouvez vous entraîner à représenter graphiquement des fonctions quadratiques par vous-même. Par exemple, construisez un graphique de la fonction y = 2(x + 3) 2 + 2 dans un système de coordonnées à l'aide de transformations. Si vous avez des questions ou souhaitez obtenir des conseils d'un enseignant, vous avez la possibilité de procéder. cours gratuit de 25 minutes avec un tuteur en ligne après inscription. Pour la poursuite des travaux Avec votre professeur vous pourrez choisir le plan tarifaire qui vous convient.

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Notes IMPORTANTES!
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Pour comprendre ce qui sera écrit ici, vous devez bien savoir ce qu'est une fonction quadratique et avec quoi elle est utilisée. Si vous vous considérez comme un pro des fonctions quadratiques, bienvenue. Mais sinon, tu devrais lire le sujet.

Commençons par un petit chèques:

1. À quoi ressemble une fonction quadratique sous sa forme générale (formule) ?
2. Comment s’appelle le graphique d’une fonction quadratique ?
3. Comment le coefficient principal affecte-t-il le graphique d'une fonction quadratique ?

Si vous avez pu répondre à ces questions tout de suite, continuez à lire. Si au moins une question a posé des difficultés, allez-y.

Ainsi, vous savez déjà comment manipuler une fonction quadratique, analyser son graphique et construire un graphique par points.

Et bien le voici : .

Rappelons brièvement ce qu'ils font chances.

1. Le coefficient dominant est responsable de la « raideur » de la parabole, ou, en d'autres termes, de sa largeur : plus la parabole est grande, plus la parabole est étroite (plus raide), et plus la parabole est petite, plus large (plus plate).
2. Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.
3. Et le coefficient est en quelque sorte responsable du déplacement de la parabole par rapport au centre des coordonnées. Parlons-en plus en détail maintenant.

Par où commence-t-on toujours pour construire une parabole ? Quel est son point distinctif ?

Ce sommet. Vous souvenez-vous comment trouver les coordonnées du sommet ?

L'abscisse est recherchée à l'aide de la formule suivante :

Comme ça : que plus, ceux À gauche le sommet de la parabole se déplace.

L'ordonnée du sommet peut être trouvée en substituant dans la fonction :

Remplacez-le vous-même et faites le calcul. Ce qui s'est passé?

Si vous faites tout correctement et simplifiez autant que possible l'expression résultante, vous obtenez :

Il s'avère que plus module, ceux plus haut volonté sommet paraboles.

Passons enfin au tracé du graphique.
Le moyen le plus simple est de construire une parabole en partant du haut.

Exemple:

Construisez un graphique de la fonction.

Solution:

Tout d'abord, déterminons les coefficients : .

Calculons maintenant les coordonnées du sommet :

Rappelez-vous maintenant : toutes les paraboles ayant le même coefficient directeur se ressemblent. Cela signifie que si nous construisons une parabole et déplaçons son sommet vers un point, nous obtiendrons le graphique dont nous avons besoin :

Simple, non ?

Il ne reste qu'une question : comment dessiner rapidement une parabole ? Même si l'on dessine une parabole dont le sommet est à l'origine, il faut quand même la construire point par point, ce qui est long et peu pratique. Mais toutes les paraboles se ressemblent, peut-être existe-t-il un moyen d'accélérer leur dessin ?

Quand j'étais à l'école, mon professeur de mathématiques disait à tout le monde de découper un pochoir en forme de parabole dans du carton pour pouvoir le dessiner rapidement. Mais vous ne pourrez pas vous promener partout avec un pochoir et ils ne seront pas autorisés à l'apporter à l'examen. Cela signifie que nous n'utiliserons pas d'objets étrangers, mais rechercherons un motif.

Considérons la parabole la plus simple. Construisons-le point par point :

C'est le modèle ici. Si à partir du sommet nous nous déplaçons vers la droite (le long de l'axe) et vers le haut (le long de l'axe) de, alors nous arriverons au point de la parabole. De plus : si à partir de ce point nous nous déplaçons vers la droite et vers le haut, nous arriverons à nouveau à la pointe de la parabole. Ensuite : continuez et continuez. Et après? Et encore et encore. Et ainsi de suite : déplacez-en un vers la droite et le prochain nombre impair vers le haut. Ensuite, on fait de même avec la branche gauche (après tout, la parabole est symétrique, c'est-à-dire que ses branches se ressemblent) :

Génial, cela vous aidera à construire n'importe quelle parabole à partir d'un sommet avec un coefficient dominant égal à. Par exemple, nous avons appris que le sommet d’une parabole est un point. Construisez (vous-même, sur papier) cette parabole.

Construit?

Ça devrait ressembler à ça:

Maintenant, nous connectons les points résultants :

C'est tout.

OK, eh bien, maintenant on ne peut construire des paraboles qu'avec ?

Bien sûr que non. Voyons maintenant quoi en faire, si.

Regardons quelques cas typiques.

Super, vous avez appris à dessiner une parabole, pratiquons maintenant l'utilisation de fonctions réelles.

Alors, dessinez des graphiques de ces fonctions :

Réponses:

3. Haut : .

Vous rappelez-vous quoi faire si le coefficient senior est inférieur ?

On regarde le dénominateur de la fraction : il est égal. Nous allons donc procéder ainsi :

• à droite - en haut
• à droite - en haut
• à droite - en haut

et aussi à gauche :

4. Haut : .

Oh, que pouvons-nous faire à ce sujet ? Comment mesurer des cellules si le sommet se trouve quelque part entre les lignes ?

Et nous tricherons. Dessinons d'abord une parabole, puis déplaçons ensuite son sommet jusqu'à un point. Non, faisons quelque chose d'encore plus astucieux : dessinons une parabole, et ensuite déplacer les axes :- sur vers le bas, un - sur droite:

Cette technique est très pratique dans le cas de n'importe quelle parabole, rappelez-vous-en.

Je vous rappelle qu'on peut représenter la fonction sous cette forme :

Par exemple: .

Qu'est-ce que cela nous donne ?

Le fait est que le nombre qui est soustrait entre parenthèses () est l'abscisse du sommet de la parabole, et le terme en dehors des parenthèses () est l'ordonnée du sommet.

Cela signifie qu'après avoir construit une parabole, il vous faudra simplement déplacez l’axe vers la gauche et l’axe vers le bas.

Exemple : construisons un graphique d'une fonction.

Sélectionnons un carré complet :

Quel numéro déduit entre parenthèses ? Ceci (et non comment vous pouvez décider sans réfléchir).

Alors, construisons une parabole :

Maintenant, nous déplaçons l'axe vers le bas, c'est-à-dire vers le haut :

Et maintenant - à gauche, c'est-à-dire à droite :

C'est tout. C'est la même chose que déplacer une parabole avec son sommet de l'origine à un point, seul l'axe droit est beaucoup plus facile à déplacer qu'une parabole courbe.

Maintenant, comme d'habitude, moi-même :

Et n’oubliez pas d’effacer les anciens essieux avec une gomme !

je suis comme réponses Pour vérifier, je vous écris les ordonnées des sommets de ces paraboles :

Est-ce que tout s'est mis en place ?

Si oui, alors tu es génial ! Savoir manipuler une parabole est très important et utile, et nous avons découvert ici que ce n'est pas difficile du tout.

CONSTRUCTION D'UN GRAPHE D'UNE FONCTION QUADRATIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Fonction quadratique - une fonction de la forme, où, et sont des nombres (coefficients), - un terme libre.

Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole.

Sommet de la parabole :
, c'est à dire. Plus le \displaystyle b est grand, plus le sommet de la parabole se déplace vers la gauche.
On le substitue dans la fonction, et on obtient :
, c'est à dire. plus le \displaystyle b est grand en valeur absolue, plus le sommet de la parabole sera haut

Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

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