Le module fait partie de ces choses dont tout le monde semble avoir entendu parler, mais en réalité personne ne comprend vraiment. Par conséquent, il y aura aujourd'hui une grande leçon consacrée à la résolution d'équations avec des modules.

Je le dis tout de suite : la leçon ne sera pas difficile. Et en général, les modules sont un sujet relativement simple. « Oui bien sûr, ce n’est pas compliqué ! Cela m’époustoufle ! - diront beaucoup d'étudiants, mais toutes ces fractures cérébrales sont dues au fait que la plupart des gens n'ont pas de connaissances dans leur tête, mais une sorte de merde. Et le but de cette leçon est de transformer la merde en connaissance :)

Un peu de théorie

Alors, allons-y. Commençons par le plus important : qu’est-ce qu’un module ? Je vous rappelle que le module d'un nombre est simplement le même nombre, mais pris sans le signe moins. C'est, par exemple, $\left| -5 \right|=5$. Ou $\left| -129,5 \right|=$129,5.

Est-ce si simple ? Oui, simple. Quelle est alors la valeur absolue d’un nombre positif ? C'est encore plus simple ici : le module d'un nombre positif est égal à ce nombre lui-même : $\left| 5 \droite|=5$; $\gauche| 129,5 \right|=$129,5, etc.

Il s'avère une chose curieuse : différents numéros peut avoir le même module. Par exemple : $\left| -5 \droite|=\gauche| 5 \droite|=5$; $\gauche| -129,5 \droite|=\gauche| 129,5\droite|=129,5$. Il est facile de voir de quels types de nombres s'agit-il qui ont les mêmes modules : ces nombres sont opposés. Ainsi, constatons par nous-mêmes que les modules de nombres opposés sont égaux :

\[\gauche| -a \droite|=\gauche| a\droit|\]

Un autre fait important: le module n'est jamais négatif. Quel que soit le nombre que l'on prend - qu'il soit positif ou négatif - son module s'avère toujours positif (ou, dans les cas extrêmes, nul). C'est pourquoi le module est souvent appelé valeur absolue d'un nombre.

De plus, si l'on combine la définition du module pour le positif et le nombre négatif, on obtient alors une définition globale du module pour tous les nombres. A savoir : le module d'un nombre est égal au nombre lui-même si le nombre est positif (ou nul), ou égal au nombre opposé si le nombre est négatif. Vous pouvez écrire ceci sous forme de formule :

Il existe également un module nul, mais il est toujours égal à zéro. De plus, zéro est le seul nombre qui n’a pas d’opposé.

Ainsi, si l'on considère la fonction $y=\left| x \right|$ et essayez de dessiner son graphique, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

Graphique de module et exemple de résolution de l'équation

De cette image, il est immédiatement clair que $\left| -m \droite|=\gauche| m \right|$, et le graphique du module ne tombe jamais en dessous de l'axe des x. Mais ce n'est pas tout : la ligne rouge marque la droite $y=a$, qui, pour $a$ positif, nous donne deux racines à la fois : $((x)_(1))$ et $((x) _(2)) $, mais nous en reparlerons plus tard :)

En plus de la définition purement algébrique, il existe une définition géométrique. Disons qu'il y a deux points sur la droite numérique : $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$. Dans ce cas, l'expression $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ est simplement la distance entre les points spécifiés. Ou, si vous préférez, la longueur du segment reliant ces points :

Cette définition implique également que le module est toujours non négatif. Mais assez de définitions et de théorie - passons aux vraies équations :)

Formule de base

D'accord, nous avons réglé la définition. Mais cela n’a pas rendu les choses plus faciles. Comment résoudre des équations contenant ce même module ?

Du calme, juste du calme. Commençons par les choses les plus simples. Considérez quelque chose comme ceci :

\[\gauche| x\droite|=3\]

Le module de $x$ est donc 3. À quoi $x$ pourrait-il être égal ? Eh bien, à en juger par la définition, nous sommes plutôt satisfaits de $x=3$. Vraiment:

\[\gauche| 3\droite|=3\]

Y a-t-il d'autres numéros ? Cap semble laisser entendre que c'est le cas. Par exemple, $x=-3$ est également $\left| -3 \right|=3$, c'est-à-dire l'égalité requise est satisfaite.

Alors peut-être que si nous cherchons et réfléchissons, nous trouverons plus de chiffres ? Mais avouons-le : il n’y a plus de chiffres. Équation $\left| x \right|=3$ n'a que deux racines : $x=3$ et $x=-3$.

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Laissons la fonction $f\left(x \right)$ traîner sous le signe du module au lieu de la variable $x$, et au lieu du triple à droite on met nombre arbitraire$un$. On obtient l'équation :

\[\gauche| f\gauche(x \droite) \droite|=a\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Permettez-moi de vous rappeler : $f\left(x \right)$ est une fonction arbitraire, $a$ est n'importe quel nombre. Ceux. N'importe quoi du tout ! Par exemple:

\[\gauche| 2x+1 \droite|=5\]

\[\gauche| 10x-5 \droite|=-65\]

Faisons attention à la deuxième équation. On peut tout de suite dire de lui : il n'a pas de racines. Pourquoi? Tout est correct : car il faut que le module soit égal à un nombre négatif, ce qui n'arrive jamais, puisqu'on sait déjà que le module est toujours un nombre positif ou, dans les cas extrêmes, zéro.

Mais avec la première équation, tout est plus amusant. Il y a deux options : soit il y a une expression positive sous le signe du module, et alors $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou cette expression est toujours négative, et alors $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Dans le premier cas, notre équation sera réécrite comme suit :

\[\gauche| 2x+1 \droite|=5\Flèche droite 2x+1=5\]

Et soudain, il s'avère que l'expression sous-modulaire $2x+1$ est vraiment positive - elle est égale au nombre 5. C'est-à-dire nous pouvons résoudre cette équation en toute sécurité - la racine résultante sera un élément de la réponse :

Ceux qui se méfient particulièrement peuvent essayer de substituer la racine trouvée dans l'équation originale et s'assurer qu'il y a bien un nombre positif sous le module.

Regardons maintenant le cas d'une expression sous-modulaire négative :

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Flèche droite 2x+1=-5\]

Oups ! Encore une fois, tout est clair : nous avons supposé que $2x+1 \lt 0$, et en conséquence nous avons obtenu que $2x+1=-5$ - en effet, c'est l'expression inférieur à zéro. Nous résolvons l'équation résultante, tout en sachant déjà avec certitude que la racine trouvée nous conviendra :

Au total, nous avons à nouveau reçu deux réponses : $x=2$ et $x=3$. Oui, la quantité de calculs s'est avérée un peu plus grande que dans la très simple équation $\left| x \right|=3$, mais rien n'a fondamentalement changé. Alors peut-être qu'il y en a algorithme universel?

Oui, un tel algorithme existe. Et maintenant, nous allons l'analyser.

Se débarrasser du signe du module

Donnons-nous l'équation $\left| f\left(x \right) \right|=a$, et $a\ge 0$ (sinon, comme on le sait déjà, il n'y a pas de racines). Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du module en utilisant la règle suivante :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Ainsi, notre équation avec module se divise en deux, mais sans module. C'est tout ce qu'est la technologie ! Essayons de résoudre quelques équations. Commençons par ça

\[\gauche| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Considérons séparément quand il y a un plus dix à droite, et séparément quand il y a un moins. Nous avons:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\fin (aligner)\]

C'est ça! Nous avons deux racines : $x=1,2$ et $x=-2,8$. La solution entière prenait littéralement deux lignes.

Ok, pas de doute, regardons quelque chose d'un peu plus sérieux :

\[\gauche| 7-5x\droite|=13\]

Encore une fois, nous ouvrons le module avec plus et moins :

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fin (aligner)\]

Encore quelques lignes - et la réponse est prête ! Comme je l'ai dit, il n'y a rien de compliqué dans les modules. Il vous suffit de vous rappeler quelques règles. Par conséquent, nous passons à autre chose et commençons par des tâches vraiment plus complexes.

Le cas d'une variable de droite

Considérons maintenant cette équation :

\[\gauche| 3x-2 \droite|=2x\]

Cette équation est fondamentalement différente de toutes les précédentes. Comment? Et le fait qu'à droite du signe égal se trouve l'expression $2x$ - et on ne peut pas savoir à l'avance si elle est positive ou négative.

Que faire dans ce cas ? Premièrement, nous devons comprendre une fois pour toutes que si le côté droit de l’équation s’avère négatif, alors l’équation n’aura pas de racines- on sait déjà que le module ne peut pas être égal à un nombre négatif.

Et deuxièmement, si la partie droite est toujours positive (ou égale à zéro), alors vous pouvez agir exactement de la même manière que précédemment : ouvrez simplement le module séparément avec un signe plus et séparément avec un signe moins.

Ainsi, nous formulons une règle pour les fonctions arbitraires $f\left(x \right)$ et $g\left(x \right)$ :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Par rapport à notre équation on obtient :

\[\gauche| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Eh bien, nous allons d'une manière ou d'une autre répondre à l'exigence $2x\ge 0$. En fin de compte, nous pouvons bêtement substituer les racines que nous obtenons de la première équation et vérifier si l’inégalité est vraie ou non.

Résolvons donc l’équation elle-même :

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Flèche Droite 3x=0\Flèche Droite x=0. \\\fin (aligner)\]

Eh bien, laquelle de ces deux racines satisfait à l’exigence $2x\ge 0$ ? Oui les deux ! Par conséquent, la réponse sera deux nombres : $x=(4)/(3)\;$ et $x=0$. C'est la solution :)

Je soupçonne que certains étudiants commencent déjà à s'ennuyer ? Eh bien, regardons une équation encore plus complexe :

\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Même si cela semble maléfique, il s’agit en fait toujours de la même équation de la forme « module égal à fonction » :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Et cela se résout exactement de la même manière :

\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nous traiterons des inégalités plus tard - c'est en quelque sorte trop mauvais (en fait, c'est simple, mais nous ne le résoudrons pas). Pour l’instant, il vaut mieux s’occuper des équations résultantes. Considérons le premier cas - c'est celui où le module est développé avec un signe plus :

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Eh bien, il va de soi que vous devez tout rassembler sur la gauche, en apporter des similaires et voir ce qui se passe. Et voici ce qui se passe :

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fin (aligner)\]

Nous retirons le facteur commun $((x)^(2))$ entre parenthèses et obtenons une équation très simple :

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fin (aligner) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Ici, nous avons profité d'une propriété importante du produit, pour laquelle nous avons factorisé le polynôme d'origine : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Traitons maintenant la deuxième équation exactement de la même manière, qui s'obtient en développant le module avec un signe moins :

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\gauche(-3x+2 \droite)=0. \\\fin (aligner)\]

Encore la même chose : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. Nous avons:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Eh bien, nous avons trois racines : $x=0$, $x=1.5$ et $x=(2)/(3)\;$. Eh bien, lequel de cet ensemble entrera dans la réponse finale ? Pour ce faire, rappelons que nous avons une contrainte supplémentaire sous forme d’inégalité :

Comment prendre en compte cette exigence ? Remplaçons simplement les racines trouvées et vérifions si l'inégalité est valable ou non pour ces $x$. Nous avons:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fin (aligner)\]

Ainsi, la racine $x=1.5$ ne nous convient pas. Et en réponse il n'y aura que deux racines :

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Comme vous pouvez le constater, même dans ce cas, il n'y avait rien de compliqué - les équations avec modules sont toujours résolues à l'aide d'un algorithme. Il vous suffit d'avoir une bonne compréhension des polynômes et des inégalités. Par conséquent, passons à des tâches plus complexes - il n'y aura déjà pas un, mais deux modules.

Équations à deux modules

Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que la plupart équations simples— il y avait un module et autre chose. Nous avons envoyé cet « autre chose » dans une autre partie de l'inégalité, en dehors du module, pour qu'au final tout se réduise à une équation de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou encore plus simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Mais maternelle terminé - il est temps d'envisager quelque chose de plus sérieux. Commençons par des équations comme celle-ci :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\gauche(x \droite) \droite|\]

Il s’agit d’une équation de la forme « module égal module ». Fondamentalement point important est l'absence d'autres termes et facteurs : un seul module à gauche, un module de plus à droite - et rien de plus.

Certains penseront maintenant que de telles équations sont plus difficiles à résoudre que celles que nous avons étudiées jusqu’à présent. Mais non : ces équations sont encore plus faciles à résoudre. Voici la formule :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tous! Nous assimilons simplement les expressions sous-modulaires en mettant un signe plus ou moins devant l’une d’elles. Et puis nous résolvons les deux équations résultantes - et les racines sont prêtes ! Pas de restrictions supplémentaires, pas d'inégalités, etc. C'est très simple.

Essayons de résoudre ce problème :

\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \droite|\]

Élémentaire, Watson ! Extension des modules :

\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Considérons chaque cas séparément :

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\gauche(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\fin (aligner)\]

La première équation n'a pas de racines. Parce que quand est-ce que 3$=-7$ ? A quelles valeurs de $x$ ? « Qu'est-ce que c'est que $x$ ? Êtes-vous défoncé ? Il n’y a pas de $x$ du tout », dites-vous. Et vous aurez raison. Nous avons obtenu une égalité qui ne dépend pas de la variable $x$, et en même temps l'égalité elle-même est incorrecte. C'est pourquoi il n'y a pas de racines :)

Avec la deuxième équation, tout est un peu plus intéressant, mais aussi très, très simple :

Comme vous pouvez le voir, tout a été résolu littéralement en quelques lignes - nous n'attendions rien d'autre d'une équation linéaire :)

En conséquence, la réponse finale est : $x=1$.

Alors comment ? Difficile? Bien sûr que non. Essayons autre chose :

\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Encore une fois, nous avons une équation de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x\right) \right|$. Par conséquent, nous le réécrivons immédiatement, révélant le signe du module :

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Peut-être que quelqu'un demandera maintenant : « Hé, quelle absurdité ? Pourquoi « plus-moins » apparaît-il sur l’expression de droite et pas sur celle de gauche ? » Calme-toi, je vais tout t'expliquer maintenant. En effet, dans le bon sens, nous aurions dû réécrire notre équation comme suit :

Ensuite, vous devez ouvrir les parenthèses, déplacer tous les termes d'un côté du signe égal (puisque l'équation sera évidemment carrée dans les deux cas), puis trouver les racines. Mais il faut l'admettre : lorsque « plus-moins » apparaît avant trois termes (surtout lorsque l'un de ces termes est une expression quadratique), cela semble en quelque sorte plus compliqué que la situation où « plus-moins » apparaît avant seulement deux termes.

Mais rien n’empêche de réécrire l’équation originale comme suit :

\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \droite|\]

Ce qui s'est passé? Rien de spécial : ils ont juste interverti les côtés gauche et droit. Une petite chose qui va finalement nous faciliter un peu la vie :)

En général, nous résolvons cette équation en considérant les options avec un plus et un moins :

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fin (aligner)\]

La première équation a les racines $x=3$ et $x=1$. Le second est généralement un carré exact :

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Il n’a donc qu’une seule racine : $x=1$. Mais nous avons déjà obtenu cette racine plus tôt. Ainsi, seuls deux chiffres entreront dans la réponse finale :

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Mission accomplie ! Vous pouvez prendre une tarte sur l'étagère et la manger. Il y en a 2, le vôtre est celui du milieu :)

Remarque importante. La présence de racines identiques pour différentes options l'expansion du module signifie que les polynômes d'origine sont factorisés, et parmi ces facteurs il y en aura nécessairement un commun. Vraiment:

\[\begin(align)& \left| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \gauche| x-1 \droite|=\gauche| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\fin (aligner)\]

Une des propriétés du module : $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (c'est-à-dire que le module du produit est égal au produit des modules), donc l'équation originale peut être réécrite comme suit :

\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \droite|\]

Comme vous pouvez le constater, nous avons vraiment un point commun. Maintenant, si vous rassemblez tous les modules d'un côté, vous pouvez retirer ce facteur du support :

\[\begin(align)& \left| x-1 \droite|=\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \droite|; \\& \gauche| x-1 \droite|-\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \gauche| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fin (aligner)\]

Eh bien, rappelez-vous maintenant que le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro :

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \droite|=0, \\& \gauche| x-2 \right|=1. \\\fin (aligner) \right.\]

Ainsi, l'équation originale à deux modules a été réduite aux deux équations les plus simples dont nous avons parlé au tout début de la leçon. De telles équations peuvent être résolues littéralement en quelques lignes :)

Cette remarque peut paraître inutilement complexe et inapplicable en pratique. Cependant, en réalité, vous pourriez rencontrer beaucoup plus tâches complexes, que ceux que nous analysons aujourd’hui. Dans ceux-ci, les modules peuvent être combinés avec des polynômes, des racines arithmétiques, des logarithmes, etc. Et dans de telles situations, la possibilité de réduire le degré global de l'équation en supprimant quelque chose entre parenthèses peut être très, très utile :)

J’aimerais maintenant examiner une autre équation qui, à première vue, peut paraître folle. De nombreux étudiants restent bloqués là-dessus, même ceux qui pensent avoir une bonne compréhension des modules.

Cependant, cette équation est encore plus facile à résoudre que celle que nous avons examinée précédemment. Et si vous comprenez pourquoi, vous découvrirez une autre astuce pour résoudre rapidement des équations avec des modules.

L'équation est donc :

\[\gauche| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Non, ce n'est pas une faute de frappe : c'est un plus entre les modules. Et nous devons trouver à quel $x$ la somme de deux modules est égale à zéro :)

Quel est le problème de toute façon ? Mais le problème est que chaque module est un nombre positif ou, dans les cas extrêmes, zéro. Que se passe-t-il si vous additionnez deux nombres positifs ? Évidemment, c'est encore un nombre positif :

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

La dernière ligne pourrait vous donner une idée : le seul cas où la somme des modules est nulle, c'est si chaque module est nul :

\[\gauche| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Et quand le module est-il égal à zéro ? Seulement dans un cas - lorsque l'expression sous-modulaire est égale à zéro :

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Ainsi, nous avons trois points auxquels le premier module est remis à zéro : 0, 1 et −1 ; ainsi que deux points auxquels le deuxième module est remis à zéro : −2 et 1. Cependant, nous avons besoin que les deux modules soient remis à zéro en même temps, donc parmi les nombres trouvés, nous devons choisir ceux qui sont inclus dans les deux ensembles. Évidemment, il n'existe qu'un seul nombre de ce type : $x=1$ - ce sera la réponse finale.

Méthode de clivage

Eh bien, nous avons déjà abordé un tas de problèmes et appris beaucoup de techniques. Pensez-vous que c'est tout ? Mais non ! Nous allons maintenant examiner la technique finale - et en même temps la plus importante. Nous parlerons de fractionnement d'équations avec module. De quoi allons-nous même parler ? Revenons un peu en arrière et regardons une équation simple. Par exemple ceci :

\[\gauche| 3x-5 \droite|=5-3x\]

En principe, nous savons déjà comment résoudre une telle équation, car il s'agit d'une construction standard de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mais essayons d’examiner cette équation sous un angle légèrement différent. Plus précisément, considérons l'expression sous le signe du module. Permettez-moi de vous rappeler que le module de n'importe quel nombre peut être égal au nombre lui-même, ou il peut être opposé à ce nombre :

\[\gauche| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En fait, c'est cette ambiguïté qui est tout le problème : puisque le nombre sous le module change (cela dépend de la variable), il ne nous est pas clair s'il est positif ou négatif.

Mais que se passe-t-il si vous exigez initialement que ce nombre soit positif ? Par exemple, nous avons besoin que $3x-5 \gt 0$ - dans ce cas, nous sommes assurés d'obtenir un nombre positif sous le signe du module, et nous pouvons complètement nous débarrasser de ce même module :

Ainsi, notre équation se transformera en une équation linéaire, qui peut être facilement résolue :

Certes, toutes ces pensées n'ont de sens que sous la condition $3x-5 \gt 0$ - nous avons nous-mêmes introduit cette exigence afin de révéler sans ambiguïté le module. Par conséquent, remplaçons le $x=\frac(5)(3)$ trouvé dans cette condition et vérifions :

Il s'avère que pour la valeur spécifiée de $x$, notre exigence n'est pas satisfaite, car l'expression s'est avérée égale à zéro, et nous avons besoin qu'elle soit strictement supérieure à zéro. Triste. :(

Mais ça va ! Après tout, il existe une autre option $3x-5 \lt 0$. De plus : il y a aussi le cas $3x-5=0$ - cela doit également être pris en compte, sinon la solution sera incomplète. Considérons donc le cas $3x-5 \lt 0$ :

Évidemment, le module s'ouvrira avec un signe moins. Mais alors une situation étrange se présente : à gauche comme à droite dans l'équation originale, la même expression ressortira :

Je me demande à quel $x$ l'expression $5-3x$ sera égale à l'expression $5-3x$ ? Même Captain Obviousness s'étoufferait avec sa salive à cause de telles équations, mais nous le savons : cette équation est une identité, c'est-à-dire c'est vrai pour n'importe quelle valeur de la variable !

Cela signifie que n'importe quel $x$ nous conviendra. Cependant, nous avons une limite :

En d’autres termes, la réponse ne sera pas un seul nombre, mais tout un intervalle :

Enfin, il reste un autre cas à considérer : $3x-5=0$. Tout est simple ici : sous le module il y aura zéro, et le module de zéro est aussi égal à zéro (cela découle directement de la définition) :

Mais alors l'équation originale $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sera réécrit comme suit :

Nous avons déjà obtenu cette racine ci-dessus en considérant le cas de $3x-5 \gt 0$. De plus, cette racine est une solution de l'équation $3x-5=0$ - c'est la limitation que nous avons nous-mêmes introduite pour réinitialiser le module :)

Ainsi, en plus de l'intervalle, on se contentera également du nombre se trouvant à la toute fin de cet intervalle :

Réponse finale totale : $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Il n'est pas très courant de voir de telles conneries dans la réponse à une équation assez simple (essentiellement linéaire) avec module, vraiment ? Eh bien, il faut s'y habituer : la difficulté du module est que les réponses à de telles équations peuvent être complètement imprévisibles.

Autre chose est bien plus important : nous venons d'analyser un algorithme universel de résolution d'une équation avec un module ! Et cet algorithme comprend les étapes suivantes :

1. Égalisez chaque module de l’équation à zéro. Nous obtenons plusieurs équations ;
2. Résolvez toutes ces équations et marquez les racines sur la droite numérique. En conséquence, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles, à chacun desquels tous les modules seront révélés de manière unique ;
3. Résolvez l'équation originale pour chaque intervalle et combinez vos réponses.

C'est ça! Il ne reste qu’une seule question : que faire des racines obtenues à l’étape 1 ? Disons que nous avons deux racines : $x=1$ et $x=5$. Ils diviseront la droite numérique en 3 morceaux :

Alors, quels sont les intervalles ? Force est de constater qu'il y en a trois :

1. Celui le plus à gauche : $x \lt 1$ — l'unité elle-même n'est pas incluse dans l'intervalle ;
2. Central : $1\le x \lt 5$ - ici un est inclus dans l'intervalle, mais cinq n'est pas inclus ;
3. Tout à droite : $x\ge 5$ - cinq n'est inclus qu'ici !

Je pense que vous comprenez déjà le modèle. Chaque intervalle inclut l'extrémité gauche et n'inclut pas l'extrémité droite.

À première vue, une telle entrée peut sembler gênante, illogique et généralement un peu folle. Mais croyez-moi : après un peu de pratique, vous constaterez que cette approche est la plus fiable et ne gêne pas l'ouverture sans ambiguïté des modules. Il vaut mieux utiliser un tel schéma que de penser à chaque fois : donner l'extrémité gauche/droite à l'intervalle actuel ou le « jeter » dans le suivant.

Dans cet article, nous analyserons en détail module du nombre. Nous donnerons diverses définitions module d'un nombre, introduire la notation et fournir des illustrations graphiques. En même temps, considérons divers exemples trouver le module d'un nombre par définition. Après cela, nous listerons et justifierons les principales propriétés du module. À la fin de l’article, nous expliquerons comment déterminer et trouver le module d’un nombre complexe.

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Module Nombre - définition, notation et exemples

Nous introduisons d'abord désignation du module numérique. Nous écrirons le module du nombre a comme , c'est-à-dire qu'à gauche et à droite du nombre nous mettrons des tirets verticaux pour former le signe du module. Donnons quelques exemples. Par exemple, le module −7 peut s'écrire ; le module 4.125 s'écrit , et le module a une notation de la forme .

La définition suivante du module fait référence à , et donc à , et aux nombres entiers, ainsi qu'aux nombres rationnels et irrationnels, en tant que parties constitutives de l'ensemble des nombres réels. Nous parlerons du module d'un nombre complexe en.

Définition.

Module du nombre a– c'est soit le nombre a lui-même, si a est un nombre positif, soit le nombre −a, le chiffre opposé a si a est un nombre négatif, ou 0 si a=0.

La définition exprimée du module d'un nombre est souvent écrite sous la forme suivante , cette entrée signifie que si a>0, si a=0 et si a<0 .

Le dossier peut être présenté sous une forme plus compacte . Cette notation signifie que si (a est supérieur ou égal à 0), et si a<0 .

Il y a aussi l'entrée . Ici, nous devrions expliquer séparément le cas où a=0. Dans ce cas nous avons , mais −0=0, puisque zéro est considéré comme un nombre opposé à lui-même.

Donnons exemples de recherche du module d'un nombre en utilisant une définition donnée. Par exemple, trouvons les modules des nombres 15 et . Commençons par trouver. Puisque le nombre 15 est positif, son module, par définition, est égal à ce nombre lui-même, c'est-à-dire . Quel est le module d'un nombre ? Puisque est un nombre négatif, son module est égal au nombre opposé au nombre, c'est-à-dire le nombre . Ainsi, .

Pour conclure ce point, nous présentons une conclusion très pratique à utiliser en pratique pour trouver le module d'un nombre. De la définition du module d'un nombre il résulte que le module d'un nombre est égal au nombre sous le signe du module sans tenir compte de son signe, et à partir des exemples discutés ci-dessus, cela est très clairement visible. L'énoncé énoncé explique pourquoi le module d'un nombre est également appelé valeur absolue du nombre. Ainsi, le module d’un nombre et la valeur absolue d’un nombre sont une seule et même chose.

Module d'un nombre sous forme de distance

Géométriquement, le module d'un nombre peut être interprété comme distance. Donnons déterminer le module d'un nombre par la distance.

Définition.

Module du nombre a– c'est la distance entre l'origine sur la ligne de coordonnées et le point correspondant au nombre a.

Cette définition est cohérente avec la définition du module d'un nombre donnée dans le premier paragraphe. Précisons ce point. La distance de l'origine au point correspondant à un nombre positif est égale à ce nombre. Zéro correspond à l'origine, donc la distance de l'origine au point de coordonnée 0 est égale à zéro (il n'est pas nécessaire de mettre de côté un seul segment unitaire ni un seul segment qui constitue une fraction d'un segment unitaire pour pouvoir pour aller du point O à un point de coordonnée 0). La distance de l'origine à un point de coordonnée négative est égale au nombre opposé à la coordonnée de ce point, puisqu'elle est égale à la distance de l'origine au point dont la coordonnée est le nombre opposé.

Par exemple, le module du nombre 9 est égal à 9, puisque la distance de l'origine au point de coordonnée 9 est égale à neuf. Donnons un autre exemple. Le point de coordonnée −3,25 est situé à une distance de 3,25 du point O, donc .

La définition énoncée du module d'un nombre est un cas particulier de la définition du module de la différence de deux nombres.

Définition.

Module de la différence de deux nombres a et b est égal à la distance entre les points de la ligne de coordonnées de coordonnées a et b.

Autrement dit, si des points sur la ligne de coordonnées A(a) et B(b) sont donnés, alors la distance du point A au point B est égale au module de la différence entre les nombres a et b. Si l'on prend le point O (origine) comme point B, alors on obtient la définition du module d'un nombre donnée au début de ce paragraphe.

Déterminer le module d'un nombre à l'aide de la racine carrée arithmétique

Se produit occasionnellement détermination du module via la racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculons les modules des nombres −30 et en nous basant sur cette définition. Nous avons. De même, on calcule le module des deux tiers : .

La définition du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique est également cohérente avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. Montrons-le. Soit a un nombre positif et soit −a un nombre négatif. Alors Et , si a=0 , alors .

Propriétés des modules

Le module a un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du module. Nous allons maintenant présenter les principaux et les plus fréquemment utilisés. Pour justifier ces propriétés, nous nous appuierons sur la définition du module d'un nombre en termes de distance.

Commençons par la propriété la plus évidente du module : Le module d'un nombre ne peut pas être un nombre négatif. Sous forme littérale, cette propriété a la forme de n'importe quel nombre a. Cette propriété est très simple à justifier : le module d’un nombre est une distance, et la distance ne peut pas être exprimée par un nombre négatif.

Passons à la propriété du module suivante. Le module d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul. Le module de zéro est nul par définition. Zéro correspond à l'origine ; aucun autre point sur la ligne de coordonnées ne correspond à zéro, puisque chaque nombre réel est associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point différent de l'origine. Et la distance de l’origine à tout point autre que le point O n’est pas nulle, puisque la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces points coïncident. Le raisonnement ci-dessus prouve que seul le module de zéro est égal à zéro.

Passons à autre chose. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur la ligne de coordonnées dont les coordonnées sont des nombres opposés sont à la même distance de l'origine, ce qui signifie que les modules de nombres opposés sont égaux.

La propriété suivante du module est : Le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, c'est, . Par définition, le module du produit des nombres a et b est égal soit à ab si , soit à −(a · b) si . Des règles de multiplication des nombres réels, il s'ensuit que le produit des modules des nombres a et b est égal soit a·b, , soit −(a·b) si , ce qui prouve la propriété en question.

Le module du quotient de a divisé par b est égal au quotient du module d'un nombre divisé par le module de b, c'est, . Justifions cette propriété du module. Puisque le quotient est égal au produit, alors. Grâce à la propriété précédente, nous avons . Il ne reste plus qu'à utiliser l'égalité, qui vaut en vertu de la définition du module d'un nombre.

La propriété suivante d'un module s'écrit sous forme d'inégalité : , a , b et c sont des nombres réels arbitraires. L'inégalité écrite n'est rien d'autre que inégalité triangulaire. Pour que cela soit clair, prenons les points A(a), B(b), C(c) sur la ligne de coordonnées et considérons un triangle dégénéré ABC, dont les sommets se trouvent sur la même ligne. Par définition, le module de la différence est égal à la longueur du segment AB, - à la longueur du segment AC, et - à la longueur du segment CB. Puisque la longueur d’un côté d’un triangle ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés, alors l’inégalité est vraie. , par conséquent, l’inégalité est également vraie.

L'inégalité qui vient d'être démontrée est beaucoup plus courante sous la forme . L'inégalité écrite est généralement considérée comme une propriété distincte du module avec la formulation : « Le module de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme des modules de ces nombres" Mais l’inégalité découle directement de l’inégalité si l’on met −b au lieu de b et prends c=0.

Module d'un nombre complexe

Donnons définition du module d'un nombre complexe. Qu'il nous soit donné nombre complexe, écrit sous forme algébrique, où x et y sont des nombres réels, représentant respectivement les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z donné, et est l'unité imaginaire.

L'un des sujets les plus difficiles pour les étudiants consiste à résoudre des équations contenant une variable sous le signe du module. Voyons d'abord à quoi cela est lié ? Pourquoi, par exemple, la plupart des enfants résolvent-ils des équations quadratiques comme des fous, mais ont-ils tant de problèmes avec un concept aussi loin d'être complexe qu'un module ?

À mon avis, toutes ces difficultés sont liées au manque de règles clairement formulées pour résoudre les équations avec un module. Alors, décidant équation quadratique, l'étudiant sait avec certitude qu'il doit d'abord appliquer la formule discriminante, puis les formules des racines de l'équation quadratique. Que faire si un module est trouvé dans l'équation ? Nous essaierons de décrire clairement le plan d'action nécessaire pour le cas où l'équation contient une inconnue sous le signe du module. Nous donnerons plusieurs exemples pour chaque cas.

Mais d'abord, rappelons-nous définition du module. Donc modulo le nombre un ce numéro lui-même est appelé si un non négatif et -un, si numéro un inférieur à zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci :

|une| = a si a ≥ 0 et |a| = -a si un< 0

Parlant de la signification géométrique du module, il ne faut pas oublier que chaque nombre réel correspond à un certain point sur l'axe des nombres - son coordonner. Ainsi, le module ou valeur absolue d'un nombre est la distance de ce point à l'origine de l'axe numérique. La distance est toujours spécifiée sous forme de nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est un nombre positif. À propos, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut contenir n'importe quel nombre, mais le résultat de l'utilisation du module est toujours un nombre positif.

Passons maintenant directement à la résolution des équations.

1. Considérons une équation de la forme |x| = c, où c est un nombre réel. Cette équation peut être résolue en utilisant la définition du module.

On divise tous les nombres réels en trois groupes : ceux qui sont supérieurs à zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro et le troisième groupe est le nombre 0. On écrit la solution sous forme de diagramme :

(±c, si c > 0

Si |x| = c, alors x = (0, si c = 0

(pas de racines si avec< 0

1) |x| = 5, parce que 5 > 0, alors x = ±5 ;

2) |x| = -5, car -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, alors x = 0.

2. Équation de la forme |f(x)| = b, où b > 0. Pour résoudre cette équation il faut se débarrasser du module. Nous procédons de cette façon : f(x) = b ou f(x) = -b. Vous devez maintenant résoudre chacune des équations résultantes séparément. Si dans l'équation originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, parce que 4 > 0, alors

x + 2 = 4 ou x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, parce que 11 > 0, alors

x 2 – 5 = 11 ou x 2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 pas de racines

3) |x2 – 5x| = -8, car -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Une équation de la forme |f(x)| = g(x). Selon la signification du module, une telle équation aura des solutions si son membre de droite est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire g(x) ≥ 0. Alors on aura :

f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Cette équation aura des racines si 5x – 10 ≥ 0. C'est là que commence la solution de telles équations.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solutions :

2x – 1 = 5x – 10 ou 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Nous combinons O.D.Z. et la solution, on obtient :

La racine x = 11/7 ne correspond pas à l'O.D.Z., elle est inférieure à 2, mais x = 3 satisfait cette condition.

Réponse : x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles :

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solutions :

x – 1 = 1 – x 2 ou x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1

3. Nous combinons la solution et O.D.Z. :

Seules les racines x = 1 et x = 0 conviennent.

Réponse : x = 0, x = 1.

4. Équation de la forme |f(x)| = |g(x)|. Une telle équation est équivalente aux deux équations suivantes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Cette équation est équivalente aux deux suivantes :

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ou x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1

Réponse : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Équations résolues par la méthode de substitution (remplacement de variable). Cette méthode de solution est plus facilement expliquée dans exemple spécifique. Donnons donc une équation quadratique de module :

x2 – 6|x| + 5 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc l’équation peut être réécrite comme suit :

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors on aura :

t 2 – 6t + 5 = 0. En résolvant cette équation, nous trouvons que t = 1 ou t = 5. Revenons au remplacement :

|x| = 1 ou |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Réponse : x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Regardons un autre exemple :

x2 + |x| – 2 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors :

t 2 + t – 2 = 0. En résolvant cette équation, on obtient t = -2 ou t = 1. Revenons au remplacement :

|x| = -2 ou |x| = 1

Pas de racines x = ± 1

Réponse : x = -1, x = 1.

6. Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues en utilisant les propriétés du module.

1) |3 – |x|| = 4. Nous agirons de la même manière que dans les équations du deuxième type. Parce que 4 > 0, alors on obtient deux équations :

3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.

Exprimons maintenant le module x dans chaque équation, alors |x| = -1 ou |x| = 7.

Nous résolvons chacune des équations résultantes. Il n’y a pas de racines dans la première équation, car -1< 0, а во втором x = ±7.

Réponse x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nous résolvons cette équation de la même manière :

3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Pas de racines.

Réponse : x = -3, x = 1.

Il existe également une méthode universelle pour résoudre des équations avec un module. Il s'agit de la méthode des intervalles. Mais nous y reviendrons plus tard.

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Module numérique un est la distance de l'origine au point UN(un).

Pour comprendre cette définition, remplaçons la variable un n’importe quel nombre, par exemple 3 et essayez de le relire :

Module numérique 3 est la distance de l'origine au point UN(3 ).

Il devient clair que le module n'est rien de plus qu'une distance ordinaire. Essayons de voir la distance entre l'origine et le point A( 3 )

Distance de l'origine au point A( 3 ) est égal à 3 (trois unités ou trois pas).

Le module d'un nombre est indiqué par deux lignes verticales, par exemple :

Le module du nombre 3 est noté ainsi : |3|

Le module du nombre 4 est noté ainsi : |4|

Le module du nombre 5 est noté ainsi : |5|

Nous avons cherché le module du nombre 3 et avons découvert qu'il est égal à 3. Nous l'écrivons donc :

Se lit comme : "Le module du nombre trois est trois"

Essayons maintenant de trouver le module du nombre -3. Encore une fois, nous revenons à la définition et y remplaçons le nombre -3. Seulement au lieu d'un point UN utiliser un nouveau point B. Arrêt complet UN nous avons déjà utilisé dans le premier exemple.

Module du nombre - 3 est la distance de l'origine à un point B(—3 ).

La distance d'un point à un autre ne peut pas être négative. Par conséquent, le module de tout nombre négatif, étant une distance, ne sera pas non plus négatif. Le module du nombre -3 sera le nombre 3. La distance de l'origine au point B(-3) est également égale à trois unités :

Se lit comme : "Le module de moins trois est trois."

Le module du nombre 0 est égal à 0, puisque le point de coordonnée 0 coïncide avec l'origine des coordonnées, c'est-à-dire distance de l'origine au point O(0) est égal à zéro :

"Le module de zéro est nul"

Nous tirons des conclusions :

• Le module d'un nombre ne peut pas être négatif ;
• Pour un nombre positif et zéro, le module est égal au nombre lui-même, et pour un nombre négatif – le nombre opposé ;
• Les nombres opposés ont des modules égaux.

Numéros opposés

Les nombres qui ne diffèrent que par leurs signes sont appelés opposé. Par exemple, les nombres −2 et 2 sont opposés. Ils ne diffèrent que par leurs signes. Le nombre −2 a un signe moins et 2 a un signe plus, mais nous ne le voyons pas, car le plus, comme nous l'avons dit plus tôt, ne s'écrit traditionnellement pas.

Autres exemples de nombres opposés :

Les nombres opposés ont des modules égaux. Par exemple, trouvons les modules pour −2 et 2

La figure montre que la distance de l'origine aux points UNE(−2) Et B(2) est également égal à deux pas.

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A est calculé selon les règles suivantes :

Par souci de concision, les notations sont utilisées |une|. Donc, |10| = 10 ; - 1 / 3 = | 1/3 |; | -100| =100, etc.

Toutes les tailles X correspond à une valeur assez précise | X|. Et ça veut dire identité à= |X| ensembles à comme certains fonction d'argument X.

Calendrier ce fonctions présenté ci-dessous.

Pour x > 0 |x| = x, et pour x< 0 |x|= -x; à cet égard, la ligne y = | x| à x> 0 combiné avec une ligne droite y = x(bissectrice du premier angle de coordonnées), et quand X< 0 - с прямой y = -x(bissectrice du deuxième angle de coordonnées).

Séparé équations inclure les inconnues sous le signe module.

Exemples arbitraires de telles équations - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1, etc

Résoudre des équations contenant une inconnue sous le signe du module repose sur le fait que si la valeur absolue du nombre inconnu x est égale à nombre positif a, alors ce nombre x lui-même est égal à a ou à -a.

Par exemple:, si | X| = 10, alors ou X=10, ou X = -10.

Considérons résoudre des équations individuelles.

Analysons la solution de l'équation | X- 1| = 2.

Développons le module alors la différence X- 1 peut être égal soit à + 2, soit à - 2. Si x - 1 = 2, alors X= 3 ; si X- 1 = - 2, alors X= - 1. Nous effectuons une substitution et constatons que ces deux valeurs satisfont l'équation.

Répondre. L'équation ci-dessus a deux racines : x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analysons solution à l'équation | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Après extension de modules on obtient : soit 6 - 2 X= 3X+ 1, ou 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Dans le premier cas X= 1, et dans la seconde X= - 7.

Examen.À X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4 ; il découle du tribunal, X = 1 - racine donné équations.

À x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20 ; puisque 20 ≠ -20, alors X= - 7 n'est pas une racine de cette équation.

Répondre. U l'équation n'a qu'une seule racine : X = 1.

Des équations de ce type peuvent être résoudre et graphiquement.

Alors décidons Par exemple, graphiquement équation | X- 1| = 2.

Nous allons d’abord construire graphiques de fonctions à = |x-1|. Tout d'abord, dessinons un graphique de la fonction à=X- 1:

Cette partie graphique, qui est situé au dessus de l'axe X Nous ne le changerons pas. Pour elle X- 1 > 0 et donc | X-1|=X-1.

La partie du graphique située sous l'axe X, décrivons symétriquement par rapport à cet axe. Parce que pour cette partie X - 1 < 0 и соответственно |X- 1|= - (X- 1). Le résultat doubler(ligne continue) et sera graphique de fonction y = | X—1|.

Cette ligne croisera direct à= 2 en deux points : M 1 d'abscisse -1 et M 2 d'abscisse 3. Et, par conséquent, l'équation | X- 1| =2 il y aura deux racines : X 1 = - 1, X 2 = 3.