Poursuivant le sujet « Résolution d'équations », le contenu de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Regardons tout en détail : l'essence et l'enregistrement de l'équation quadratique, définissons les termes associés, analysons le schéma de résolution incomplète et équations complètes, nous nous familiariserons avec la formule des racines et du discriminant, établirons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr nous donnerons une solution visuelle à des exemples pratiques.

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Équation quadratique, ses types

Équation quadratique est une équation écrite sous la forme une x 2 + b x + c = 0, Où X– variable, a , b et c– quelques chiffres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent équations du second degré sont également appelées équations du deuxième degré, car par essence une équation quadratique est une équation algébrique du deuxième degré.

Donnons un exemple pour illustrer définition donnée: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Ce sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à X, UN c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 le coefficient principal est 6, le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors utilisez forme abrégée des enregistrements comme 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, mais non 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'écriture de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'écriture des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique oui 2 − oui + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Sur la base de la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique dont le coefficient dominant est 1. Pour les autres valeurs du coefficient dominant, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Donnons des exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant les deux côtés par le premier coefficient (transformation équivalente). L’équation transformée aura les mêmes racines que l’équation non réduite donnée ou n’aura aucune racine du tout.

La considération d'un exemple précis nous permettra de démontrer clairement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation quadratique réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l’équation originale sous sa forme réduite.

Solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux côtés de l'équation originale par le coefficient dominant 6. On obtient alors : (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0. D'ici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Répondre: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Nous y avons précisé que une ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était précisément carré, puisqu'à une = 0 il se transforme essentiellement en équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b Et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète- une telle équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, où au moins un des coefficients b Et c(ou les deux) est nul.

Équation quadratique complète– une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types d'équations quadratiques reçoivent exactement ces noms.

Lorsque b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, ce qui équivaut à une x 2 + c = 0. À c = 0équation quadratique écrite comme une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui est équivalent une x 2 + b x = 0. À b = 0 Et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs côtés gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ni les deux. En fait, c’est ce fait qui a donné le nom à ce type d’équation – incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0 ; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types d'équations quadratiques incomplètes suivants :

• une x 2 = 0, cette équation correspond aux coefficients b = 0 et c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 à b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 à c = 0.

Considérons séquentiellement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 =0

Comme mentionné ci-dessus, cette équation correspond aux coefficients b Et c, égal à zéro. L'équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation originale par le nombre un, différent de zéro. Le fait évident est que la racine de l’équation x2 = 0 c'est zéro parce que 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p, n'est pas égal à zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une racine unique x = 0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons une équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. C'est équivalent à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x = 0, alors l'équation d'origine a une seule racine - zéro.

En bref, la solution s'écrit comme suit :

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Résoudre l'équation a x 2 + c = 0

Vient ensuite la solution d'équations quadratiques incomplètes, où b = 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en déplaçant un terme d'un côté à l'autre de l'équation, en changeant le signe pour le signe opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

• transfert c du membre de droite, ce qui donne l'équation une x 2 = − c;
• divisez les deux côtés de l'équation par un, on se retrouve avec x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes ; par conséquent, l'équation résultante est également équivalente à l'originale, et ce fait permet de tirer des conclusions sur les racines de l'équation. D'où sont les valeurs un Et c la valeur de l'expression - c a dépend : elle peut avoir un signe moins (par exemple, si une = 1 Et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si une = − 2 Et c = 6, alors - c a = - 6 - 2 = 3); ce n'est pas nul parce que c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent lorsque - c a > 0 : rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 = - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 = - c a. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre - - c a est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a.

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode de la contradiction. Pour commencer, définissons les notations pour les racines trouvées ci-dessus comme x1 Et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a ait aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 Et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation X ses racines, nous transformons l’équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 Et −x1 on écrit : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 = - c une . Sur la base des propriétés des égalités numériques, nous soustrayons une égalité correcte terme par terme d'une autre, ce qui nous donnera : X 1 2 − X 2 2 = 0. Nous utilisons les propriétés des opérations avec des nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui précède, il résulte que x 1 − x 2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui est pareil x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début il a été convenu que la racine de l'équation x2 diffère de x1 Et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas de racines autres que x = - c a et x = - - c a.

Résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalent à l'équation x 2 = - c a, qui :

• n'aura pas de racines en - c a< 0 ;
• aura deux racines x = - c a et x = - - c a pour - c a > 0.

Donnons des exemples de résolution des équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9x2 + 7 = 0. Il faut trouver une solution.

Solution

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation, l'équation prendra alors la forme 9 x 2 = − 7.
Divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racine. Alors l'équation quadratique incomplète originale 9x2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Répondre: l'équation 9x2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

L'équation doit être résolue −x2 + 36 = 0.

Solution

Déplaçons 36 vers la droite : −x2 = −36.
Divisons les deux parties par − 1 , on a x2 = 36. Sur le côté droit - nombre positif, de là nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Extrayons la racine et notons le résultat final : équation quadratique incomplète −x2 + 36 = 0 a deux racines x=6 ou x = − 6.

Répondre: x=6 ou x = − 6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utiliserons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme qui se trouve du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses X. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète originale en son équivalent x (une x + b) = 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à un ensemble d’équations x = 0 Et une x + b = 0. L'équation une x + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x = 0 Et x = − b une.

Renforçons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver une solution à l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solution

Nous allons le retirer X en dehors des parenthèses, nous obtenons l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x = 0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0. Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Écrivez brièvement la solution de l’équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Répondre: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formule pour les racines d'une équation quadratique

Pour trouver des solutions aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 · a, où ré = b 2 − 4 une c– ce qu'on appelle le discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x = - b ± D 2 · a signifie essentiellement que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Il serait utile de comprendre comment cette formule a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

• diviser les deux côtés de l'équation par un nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique suivante : x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Sélectionnons le carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + Californie
  Après cela, l'équation prendra la forme : x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0 ;
• Il est maintenant possible de déplacer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
  b 2 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - c une = b 2 4 · une 2 - 4 · une · c 4 · une 2 = b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 .

Ainsi, nous arrivons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons examiné la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (résolution d'équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion concernant les racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 :

• avec b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• lorsque b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'équation est x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

De là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

• pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ce qui suit sera vrai : x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ce qui est identique à x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence de racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (et donc l'équation originale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur (dénominateur 4 et 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c le nom est donné - le discriminant de l'équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - en fonction de sa valeur et de son signe, ils peuvent conclure si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulons à nouveau nos conclusions :

Définition 9

• à D< 0 l'équation n'a pas de véritables racines ;
• à D=0 l'équation a une racine unique x = - b 2 · a ;
• à D > 0 l'équation a deux racines : x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent s'écrire sous la forme : x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. Et, lorsque nous ouvrons les modules et ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons : x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique :

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent de déterminer les deux racines réelles lorsque le discriminant est supérieur à zéro. Lorsque le discriminant est nul, l’application des deux formules donnera la même racine, comme seule décisionéquation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, si l'on essaie d'utiliser la formule de la racine d'une équation quadratique, on sera confronté à la nécessité d'extraire Racine carrée depuis nombre négatif, ce qui nous mènera au-delà des chiffres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminées par les mêmes formules de racines que celles que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule de la racine, mais cela se fait généralement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la majorité des cas, cela signifie généralement rechercher non pas des racines complexes, mais réelles d'une équation quadratique. Ensuite, il est optimal, avant d'utiliser les formules pour les racines d'une équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon nous conclurons que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul du valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

• selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur discriminante ;
• en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pour D = 0, trouvez la racine unique de l'équation en utilisant la formule x = - b 2 · a ;
• pour D > 0, déterminez deux racines réelles de l'équation quadratique en utilisant la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a, cela donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a.

Regardons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Donnons une solution aux exemples pour différentes significations discriminant.

Exemple 6

Nous devons trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solution

Notons les coefficients numériques de l'équation quadratique : a = 1, b = 2 et c = − 6. Ensuite, nous procédons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons par calculer le discriminant, auquel on substituera les coefficients a, b Et c dans la formule discriminante : D = b 2 − 4 · une · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Nous obtenons donc D > 0, ce qui signifie que l’équation originale aura deux racines réelles.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x = - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs correspondantes, nous obtenons : x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe racine puis en réduisant la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Répondre: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemple 7

Besoin de résoudre une équation quadratique − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solution

Définissons le discriminant : D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Répondre: x = 3,5.

Exemple 8

L'équation doit être résolue 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

Solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5, b = 6 et c = 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l’équation quadratique originale n’a pas de véritables racines.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des actions avec des nombres complexes :

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 je 10 ou x = - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 · je ou x = - 3 5 - 1 5 · je.

Répondre: il n'y a pas de véritables racines ; les racines complexes sont les suivantes : - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

DANS programme scolaire Il n'y a pas d'exigence standard pour rechercher des racines complexes, par conséquent, si lors de la solution le discriminant est déterminé comme négatif, la réponse est immédiatement écrite qu'il n'y a pas de racines réelles.

Formule racine pour même les seconds coefficients

La formule racine x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions à des équations quadratiques à coefficient pair pour x ( ou avec un coefficient de la forme 2 · n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . On procède selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), puis on utilise la formule racine :

x = - 2 n ± D 2 une, x = - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x = - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · c une .

Soit l'expression n 2 − a · c notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 · n prendra la forme :

x = - n ± D 1 a, où D 1 = n 2 − a · c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Autrement dit, D 1 est le quart du discriminant. Évidemment, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence de racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique de deuxième coefficient 2 n, il faut :

• trouver D 1 = n 2 − a · c ;
• à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• lorsque D 1 = 0, déterminez la seule racine de l'équation en utilisant la formule x = - n a ;
• pour D 1 > 0, déterminez deux racines réelles en utilisant la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l’équation quadratique 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième coefficient de l'équation donnée par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée sous la forme 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, où a = 5, n = − 3 et c = − 32.

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l’équation a deux racines réelles. Déterminons-les à l'aide de la formule racine correspondante :

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule habituelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Répondre: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplifier la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation originale, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l’équation quadratique 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est réalisée en multipliant ou en divisant ses deux côtés par un certain nombre. Par exemple, nous avons montré ci-dessus une représentation simplifiée de l’équation 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenue en divisant les deux côtés par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas mutuellement nombres premiers. Ensuite, nous divisons généralement les deux côtés de l’équation par le plus grand diviseur commun valeurs absolues ses coefficients.

A titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Déterminons le PGCD des valeurs absolues de ses coefficients : PGCD (12, 42, 48) = PGCD(PGCD (12, 42), 48) = PGCD (6, 48) = 6. Divisons les deux côtés de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

En multipliant les deux côtés d’une équation quadratique, vous vous débarrassez généralement des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, ils sont multipliés par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) = 6, alors elle s'écrira en plus sous forme simple x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Enfin, notons que l'on supprime presque toujours le moins du premier coefficient d'une équation quadratique en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux côtés par − 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relation entre racines et coefficients

La formule des racines des équations quadratiques, déjà connue de nous, x = - b ± D 2 · a, exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. Sur la base de cette formule, nous avons la possibilité de préciser d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables sont le théorème de Vieta :

x 1 + x 2 = - b a et x 2 = c a.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le deuxième coefficient avec signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, en regardant la forme de l’équation quadratique 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 et que le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d’autres liens entre les racines et les coefficients d’une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Une équation quadratique incomplète diffère des équations classiques (complètes) en ce que ses facteurs ou terme libre sont égaux à zéro. Les graphiques de ces fonctions sont des paraboles. Selon leur aspect général, ils sont répartis en 3 groupes. Les principes de solution pour tous les types d’équations sont les mêmes.

Il n'y a rien de compliqué pour déterminer le type d'un polynôme incomplet. Il est préférable de considérer les principales différences à l'aide d'exemples visuels :

1. Si b = 0, alors l'équation est ax 2 + c = 0.
2. Si c = 0, alors l'expression ax 2 + bx = 0 doit être résolue.
3. Si b = 0 et c = 0, alors le polynôme se transforme en une égalité comme ax 2 = 0.

Ce dernier cas est plutôt une possibilité théorique et ne se produit jamais dans les tâches de test de connaissances, puisque la seule valeur correcte de la variable x dans l'expression est zéro. À l'avenir, des méthodes et des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes des types 1) et 2) seront pris en compte.

Algorithme général de recherche de variables et exemples de solutions

Quel que soit le type d'équation, l'algorithme de résolution se réduit aux étapes suivantes :

1. Réduisez l’expression à une forme pratique pour trouver des racines.
2. Effectuer des calculs.
3. Écrivez la réponse.

La façon la plus simple de résoudre des équations incomplètes est de les factoriser côté gauche et en laissant un zéro à droite. Ainsi, la formule d'une équation quadratique incomplète pour trouver des racines se réduit au calcul de la valeur de x pour chacun des facteurs.

Vous ne pouvez apprendre à le résoudre que dans la pratique, alors réfléchissons exemple spécifique trouver les racines d'une équation incomplète :

Comme on peut le constater, dans dans ce cas b = 0. Factorisons le côté gauche et obtenons l'expression :

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Évidemment, le produit est égal à zéro lorsqu’au moins un des facteurs est égal à zéro. Les valeurs de la variable x1 = 0,5 et (ou) x2 = -0,5 répondent à des exigences similaires.

Afin de faire face facilement et rapidement à la tâche de décomposition trinôme quadratique en facteurs, rappelez-vous la formule suivante :

S'il n'y a pas de terme libre dans l'expression, le problème est grandement simplifié. Il suffira juste de trouver et de mettre entre parenthèses dénominateur commun. Pour plus de clarté, considérons un exemple de la façon de résoudre des équations quadratiques incomplètes de la forme ax2 + bx = 0.

Sortons la variable x des parenthèses et obtenons l'expression suivante :

x ⋅ (x + 3) = 0.

Guidés par la logique, nous arrivons à la conclusion que x1 = 0 et x2 = -3.

Méthode de résolution traditionnelle et équations quadratiques incomplètes

Que se passe-t-il si vous appliquez la formule discriminante et essayez de trouver les racines d'un polynôme avec des coefficients égaux à zéro ? Prenons un exemple de la collection tâches typiques pour l'examen d'État unifié de mathématiques 2017, nous le résoudrons à l'aide de formules standard et de la méthode de factorisation.

7x2 – 3x = 0.

Calculons la valeur discriminante : D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Il s'avère que le polynôme a deux racines :

Maintenant, résolvons l'équation en factorisant et comparons les résultats.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Comme vous pouvez le constater, les deux méthodes donnent le même résultat, mais la résolution de l’équation en utilisant la deuxième méthode s’est avérée beaucoup plus simple et plus rapide.

Théorème de Vieta

Mais que faire du théorème préféré de Vieta ? Cette méthode peut-elle être utilisée lorsque le trinôme est incomplet ? Essayons de comprendre les aspects liés à l'apport d'équations incomplètes à look classique ax2 + bx + c = 0.

En fait, il est possible d'appliquer le théorème de Vieta dans ce cas. Il suffit de ramener l'expression à sa forme générale, en remplaçant les termes manquants par zéro.

Par exemple, avec b = 0 et a = 1, afin d'éliminer tout risque de confusion, la tâche doit s'écrire sous la forme : ax2 + 0 + c = 0. Alors le rapport de la somme et du produit des racines et les facteurs du polynôme peuvent être exprimés comme suit :

Les calculs théoriques aident à se familiariser avec l'essence du problème et nécessitent toujours des compétences pratiques lors de la résolution. tâches spécifiques. Revenons à l'ouvrage de référence des tâches standards pour l'examen d'État unifié et trouvons un exemple approprié :

Écrivons l’expression sous une forme pratique pour appliquer le théorème de Vieta :

x2 + 0 – 16 = 0.

L'étape suivante consiste à créer un système de conditions :

Évidemment, les racines du polynôme quadratique seront x 1 = 4 et x 2 = -4.

Maintenant, entraînons-nous à ramener l'équation à sa forme générale. Prenons l'exemple suivant : 1/4× x 2 – 1 = 0

Pour appliquer le théorème de Vieta à une expression, il faut se débarrasser de la fraction. Multiplions les côtés gauche et droit par 4 et regardons le résultat : x2– 4 = 0. L'égalité résultante est prête à être résolue par le théorème de Vieta, mais il est beaucoup plus facile et plus rapide d'obtenir la réponse en déplaçant simplement c = 4 à droite de l’équation : x2 = 4.

Pour résumer, il faut dire que la meilleure façon résoudre des équations incomplètes est la factorisation, c'est le plus simple et méthode rapide. Si des difficultés surviennent lors du processus de recherche de racines, vous pouvez contacter méthode traditionnelle trouver des racines à travers un discriminant.

Travaillons avec équations du second degré. Ce sont des équations très populaires ! Dans le très vue générale l'équation quadratique ressemble à ceci :

Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Comment résoudre des équations quadratiques ? Si vous avez devant vous une équation quadratique sous cette forme, alors tout est simple. Souvenons-nous mot magique discriminant . Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! Son utilisation est simple et sans problème. Ainsi, la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe de la racine est celle discriminant. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c C'est la formule que nous calculons. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, pour la première équation UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est tout.

Quels cas sont possibles en utilisant cette formule ? Il n'y a que trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Alors vous avez une solution. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais cela joue un rôle dans les inégalités, où nous étudierons la question plus en détail.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici une = -6 ; b = -5 ; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire et le nombre d'erreurs. diminuera fortement. Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez techniques pratiques, qui sont décrits ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont nous nous souvenions. Ou alors ils ont appris, ce qui est aussi une bonne chose. Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Vous comprenez que le mot clé ici est attentivement ?

Cependant, les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Ce équations quadratiques incomplètes . Ils peuvent également être résolus par un discriminant. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Cela n'existe pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune discrimination. Considérons le premier équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x = 0, ou x = 4

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser un discriminant.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Et aussi deux racines . x = +3 et x = -3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X hors parenthèses, soit transfert simple les nombres à droite, puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous. Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D’abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est que vous avez déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur. Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Tous moins d'erreurs volonté.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par un dénominateur commun comme décrit dans la section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Équations fractionnaires. ODZ.

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. La dernière vue restante - équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés de manière beaucoup plus respectable - fractionnaire équations rationnelles . C'est le même.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comme enseigné dans classes juniors? On met tout de côté, on le ramène à un dénominateur commun, etc. Oublie comment horrible rêve! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en substance, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par. 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaire l'équation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche et tous côté droit:

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous réduisons (x-2) et on obtient une équation sans aucune fraction, avec une règle !

Ouvrons maintenant les parenthèses :

Nous en apportons des similaires, déplaçons tout vers la gauche et obtenons :

Équation quadratique classique. Mais le moins à venir n'est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser en multipliant ou en divisant par -1. Mais si vous regardez bien l’exemple, vous remarquerez qu’il est préférable de diviser cette équation par -2 ! D'un seul coup, le moins disparaîtra et les cotes deviendront plus attractives ! Divisez par -2. Sur le côté gauche - terme par terme, et à droite - divisez simplement zéro par -2, zéro et nous obtenons :

Nous résolvons par le discriminant et vérifions en utilisant le théorème de Vieta. On a x = 1 et x = 3. Deux racines.

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire, mais ici elle devient quadratique. Il arrive qu'après s'être débarrassé des fractions, tous les X soient réduits. Il reste quelque chose, comme 5=5. Cela signifie que x peut être n'importe quoi. Quoi qu’il en soit, il sera quand même réduit. Et cela s’avère être la pure vérité, 5=5. Mais après s’être débarrassé des fractions, cela peut s’avérer complètement faux, comme 2=7. Et cela signifie que aucune solution! Tout X s’avère faux.

Réalisé la solution principale équations fractionnaires ? C'est simple et logique. On change l’expression originale pour que tout ce qu’on n’aime pas disparaisse. Ou alors ça interfère. Dans ce cas, ce sont des fractions. Nous ferons de même avec toutes sortes d'exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et autres horreurs. Nous Toujours Débarrassons-nous de tout cela.

Cependant, nous devons modifier l'expression originale dans le sens souhaité. selon les règles, oui... Dont la maîtrise est la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques. Nous le maîtrisons donc.

Nous allons maintenant apprendre à contourner l'un des principales embuscades à l'examen d'État unifié! Mais d’abord, voyons si vous tombez dans le piège ou non ?

Regardons un exemple simple :

L'affaire est déjà familière, on multiplie les deux côtés par (x-2), on a:

Je te le rappelle, entre parenthèses (x-2) Nous travaillons comme avec une seule expression intégrale !

Ici je n'en ai plus écrit un dans les dénominateurs, c'est indigne... Et je n'ai pas mis de parenthèses dans les dénominateurs, sauf pour x-2 il n’y a rien, il n’est pas nécessaire de dessiner. Raccourcissons :

Ouvrez les parenthèses, déplacez le tout vers la gauche et donnez-en des similaires :

On résout, vérifie, on obtient deux racines. x = 2 Et x = 3. Super.

Supposons que le devoir demande d'écrire la racine, ou leur somme, s'il y a plus d'une racine. Qu'allons-nous écrire ?

Si vous décidez que la réponse est 5, vous ont été pris en embuscade. Et la tâche ne vous sera pas créditée. Ils ont travaillé en vain... La bonne réponse est 3.

Quel est le problème?! Et vous essayez de faire une vérification. Remplacez les valeurs de l'inconnu par original exemple. Et si à x = 3 tout va grandir à merveille, on obtient 9 = 9, puis quand x = 2 Ce sera une division par zéro ! Ce que vous ne pouvez absolument pas faire. Moyens x = 2 n'est pas une solution et n'est pas pris en compte dans la réponse. C'est ce qu'on appelle la racine étrangère ou supplémentaire. Nous le rejetons simplement. La racine finale est une. x = 3.

Comment ça?! – J'entends des exclamations indignées. On nous a appris qu'une équation peut être multipliée par une expression ! C'est une transformation identique !

Oui, identique. Sous une petite condition - l'expression par laquelle on multiplie (divise) - différent de zéro. UN x-2à x = 2 est égal à zéro ! Donc tout est juste.

Et maintenant, que puis-je faire ?! Ne pas multiplier par expression ? Dois-je vérifier à chaque fois ? Encore une fois, ce n'est pas clair !

Calmement! Ne pas paniquer!

Dans cette situation difficile, trois lettres magiques nous sauveront. Je sais ce que tu penses. Droite! Ce ODZ . Domaine des valeurs acceptables.

J'espère qu'après avoir étudié cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation quadratique complète.

Grâce au discriminant, seules les équations quadratiques complètes sont résolues ; pour résoudre les équations quadratiques incomplètes, d'autres méthodes sont utilisées, que vous trouverez dans l'article « Résolution d'équations quadratiques incomplètes ».

Quelles équations quadratiques sont dites complètes ? Ce équations de la forme ax 2 + b x + c = 0, où les coefficients a, b et c ne sont pas égaux à zéro. Ainsi, pour résoudre une équation quadratique complète, nous devons calculer le discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

En fonction de la valeur du discriminant, nous noterons la réponse.

Si le discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est nul, alors x = (-b)/2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D > 0),

alors x 1 = (-b - √D)/2a, et x 2 = (-b + √D)/2a.

Par exemple. Résous l'équation x2– 4x + 4=0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Réponse : 2.

Résoudre l'équation 2 x2 +x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Réponse : pas de racines.

Résoudre l'équation 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Réponse : – 3,5 ; 1.

Imaginons donc la solution d'équations quadratiques complètes à l'aide du diagramme de la figure 1.

En utilisant ces formules, vous pouvez résoudre n’importe quelle équation quadratique complète. Il faut juste faire attention à l'équation a été écrite sous forme de polynôme de la forme standard

UN x2 + bx + c, sinon vous risquez de faire une erreur. Par exemple, en écrivant l’équation x + 3 + 2x 2 = 0, vous pouvez décider par erreur que

a = 1, b = 3 et c = 2. Alors

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 et alors l'équation a deux racines. Et ce n'est pas vrai. (Voir la solution à l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite sous forme de polynôme de forme standard, l'équation quadratique complète doit d'abord être écrite sous forme de polynôme de forme standard (le monôme avec le plus grand exposant doit venir en premier, c'est-à-dire UN x2 , puis avec moins – bx et puis un membre gratuit Avec.

Lors de la résolution d'une équation quadratique réduite et d'une équation quadratique avec un coefficient pair au deuxième terme, vous pouvez utiliser d'autres formules. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation quadratique complète, le deuxième terme a un coefficient pair (b = 2k), vous pouvez alors résoudre l'équation à l'aide des formules présentées dans le diagramme de la figure 2.

Une équation quadratique complète est dite réduite si le coefficient à x2 est égal à un et l'équation prend la forme x 2 + px + q = 0. Une telle équation peut être donnée pour solution, ou elle peut être obtenue en divisant tous les coefficients de l'équation par le coefficient UN, debout à x2 .

La figure 3 montre un diagramme pour résoudre le carré réduit
équations. Regardons un exemple d'application des formules discutées dans cet article.

Exemple. Résous l'équation

3x2 + 6x – 6 = 0.

Résolvons cette équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3

Vous pouvez remarquer que le coefficient de x dans cette équation est un nombre pair, c'est-à-dire b = 6 ou b = 2k, d'où k = 3. Essayons ensuite de résoudre l'équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3. En remarquant que tous les coefficients de cette équation quadratique sont divisibles par 3 et en effectuant la division, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + 2x – 2 = 0 Résolvez cette équation en utilisant les formules de l'équation quadratique réduite
équations figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3.

Comme vous pouvez le voir, en résolvant cette équation à l’aide de différentes formules, nous avons obtenu la même réponse. Par conséquent, après avoir parfaitement maîtrisé les formules présentées dans le diagramme de la figure 1, vous serez toujours en mesure de résoudre n'importe quelle équation quadratique complète.

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Équation quadratique - facile à résoudre ! *Ci-après dénommé « KU ». Mes amis, il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple en mathématiques que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions à la demande Yandex donne par mois. Voici ce qui s'est passé, regardez :

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes recherchent chaque mois cette information, qu'est-ce que cet été a à voir avec cela et que se passera-t-il entre année scolaire— il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces enfants et ces filles qui ont obtenu leur diplôme il y a longtemps et se préparent à l'examen d'État unifié recherchent ces informations, et les écoliers s'efforcent également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui vous expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Premièrement, j'aimerais que les visiteurs viennent sur mon site en fonction de cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le sujet de « KU » sera abordé, je fournirai un lien vers cet article ; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est habituellement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients une,bet avec nombres arbitraires, où une≠0.

DANS cours scolaire le matériel est donné sous la forme suivante - les équations sont conditionnellement divisées en trois classes :

1. Ils ont deux racines.

2. *N'ayez qu'une seule racine.

3. Ils n’ont pas de racines. Il convient particulièrement de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment sont calculées les racines ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot « terrible » se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Il faut connaître ces formules par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre :

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

Par à cette occasion, lorsque le discriminant est égal à zéro, le cours scolaire dit qu'on obtient une racine, ici elle est égale à neuf. Tout est correct, c'est vrai, mais...

Cette idée est quelque peu incorrecte. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, vous obtenez deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, la réponse doit inclure deux racines :

x1 = 3 x2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l’école, vous pouvez l’écrire et dire qu’il n’y a qu’une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d’un nombre négatif ne peut pas être prise, il n’y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Cela montre à quoi ressemble géométriquement la solution. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution à l'inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c – nombres donnés, avec a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec « y » égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est zéro) et aucun (le discriminant est négatif). Détails sur fonction quadratique Vous pouvez visualiser article d'Inna Feldman.

Regardons des exemples :

Exemple 1 : Résoudre 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = –12

*Il était possible de diviser immédiatement les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire de la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons trouvé que x 1 = 11 et x 2 = 11

Il est permis d'écrire x = 11 dans la réponse.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Nous parlerons ici de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Connaissez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas ici dans les détails sur pourquoi et où ils sont apparus et quel est leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques ; il s'agit d'un sujet pour un grand article séparé ;

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est ce qu'on appelle l'unité imaginaire.

a+bi – il s’agit d’un NUMÉRO UNIQUE, pas d’un ajout.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

On obtient deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient « b » ou « c » est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils peuvent être résolus facilement sans aucun problème discriminatoire.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation devient :

Convertissons :

Exemple:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation devient :

Transformons et factorisons :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x1 = 0x2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l’équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un + b+ c = 0, Que

- si pour les coefficients de l'équation UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un+ s =b, Que

Ces propriétés aident à décider un certain typeéquations

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des cotes est de 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ce qui signifie

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

L’égalité tient un+ s =b, Moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > x 1 = –une x 2 = –1/une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 – bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > X 1 = une X 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation. ax 2 + bx – c = 0 coefficient « b » est égal à (a 2 – 1), et coefficient « c » numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = – une x 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 – bx – c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 – 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = une x 2 = – 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta doit son nom au célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, nous pouvons exprimer la somme et le produit des racines d'une KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Au total, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques immédiatement.

Le théorème de Vieta, en plus. C'est pratique car après avoir résolu une équation quadratique de la manière habituelle (par l'intermédiaire d'un discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de toujours faire cela.

MODE DE TRANSPORT

Avec cette méthode, le coefficient « a » est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de « transfert ». Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

En utilisant le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 = 10 x 2 = 1

Les racines résultantes de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été « jetées » depuis x 2), on obtient

x1 = 5x2 = 0,5.

Quelle est la justification ? Regardez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont égaux :

Si vous regardez les racines des équations, vous n'obtenez que des dénominateurs différents, et le résultat dépend précisément du coefficient de x 2 :

Le second (modifié) a des racines 2 fois plus grosses.

On divise donc le résultat par 2.

*Si on relance les trois, on divisera le résultat par 3, etc.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

Carré. ur-ie et examen d'État unifié.

Je vais vous parler brièvement de son importance - VOUS DEVEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et des discriminants. De nombreux problèmes inclus dans les tâches de l'examen d'État unifié se résument à la résolution d'une équation quadratique (y compris les équations géométriques).

Quelque chose à noter !

1. La forme d'écriture d'une équation peut être « implicite ». Par exemple, la saisie suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez le mettre sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. N'oubliez pas que x est une quantité inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.