Il existe de nombreux types de nombres, parmi lesquels les nombres entiers. Les nombres entiers semblaient faciliter le comptage non seulement dans côté positif, mais aussi négatif.

Regardons un exemple :
Pendant la journée, la température extérieure était de 3 degrés. Le soir, la température a baissé de 3 degrés.
3-3=0
Il faisait 0 degré dehors. Et la nuit, la température a baissé de 4 degrés et le thermomètre a commencé à indiquer -4 degrés.
0-4=-4

Une série d'entiers.

Nous ne pouvons pas décrire un tel problème en utilisant des nombres naturels ; nous considérerons ce problème sur une ligne de coordonnées.

Nous avons une série de chiffres :
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Cette série de nombres est appelée série d'entiers.

Entiers positifs. Entiers négatifs.

La série d'entiers est composée de nombres positifs et négatifs. À droite de zéro se trouvent les nombres naturels, ou on les appelle aussi entiers positifs. Et à gauche de zéro ils vont entiers négatifs.

Zéro n'est ni un nombre positif ni négatif. C'est la frontière entre les nombres positifs et négatifs.

est un ensemble de nombres composé de nombres naturels, d’entiers négatifs et de zéro.

Une série d’entiers dans un sens positif et négatif est un nombre infini.

Si nous prenons deux entiers quelconques, alors les nombres entre ces entiers seront appelés ensemble fini.

Par exemple:
Prenons des entiers de -2 à 4. Tous les nombres compris entre ces nombres sont inclus dans l'ensemble fini. Notre dernière série de chiffres ressemble à ceci :
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Entiers sont désignés Lettre latine N.
Les nombres entiers sont désignés par la lettre latine Z. L'ensemble des nombres naturels et des nombres entiers peut être représenté dans une image.


Entiers non positifs en d’autres termes, ce sont des entiers négatifs.
Entiers non négatifs sont des entiers positifs.

Propriétés algébriques

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• Des choses entières

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Numéros de Leyland- Un nombre de Leyland est un nombre naturel, représentable par xy + yx, où x et y sont des entiers supérieurs à 1. Les 15 premiers nombres de Leyland sont : 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 séquence A076980 dans OEIS.... ... Wikipédia

Entiers algébriques- les nombres qui sont des racines d'équations de la forme xn + a1xn ​​​​​​1 +... + an = 0, où a1,..., an sont des entiers rationnels. Par exemple, x1 = 2 + C. a. h., puisque x12 4x1 + 1 = 0. Théorie de C. a. h. est apparu dans 30 40 x ans. 19ème siècle en lien avec les recherches de K.… … Grande Encyclopédie Soviétique

Livres

• Arithmétique : nombres entiers. Sur la divisibilité des nombres. Mesure de quantités. Système métrique de mesures. Ordinaire, Kiselev, Andrey Petrovich. Nous présentons à l'attention des lecteurs un livre de l'éminent professeur et mathématicien russe A.P. Kiselev (1852-1940), contenant un cours systématique d'arithmétique. Le livre comprend six sections.…

Si l’on ajoute le nombre 0 à gauche d’une série d’entiers naturels, on obtient série d'entiers positifs:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Entiers négatifs

Regardons un petit exemple. L'image de gauche montre un thermomètre qui indique une température de 7°C. Si la température baisse de 4°, le thermomètre affichera 3° de chaleur. Une diminution de température correspond à l’action de soustraction :

Si la température baisse de 7°, le thermomètre indiquera 0°. Une diminution de température correspond à l’action de soustraction :

Si la température baisse de 8°, le thermomètre affichera -1° (1° en dessous de zéro). Mais le résultat de la soustraction de 7 à 8 ne peut pas être écrit en utilisant des nombres naturels et zéro.

Illustrons la soustraction en utilisant une série d'entiers positifs :

1) A partir du chiffre 7, comptez 4 chiffres vers la gauche et obtenez 3 :

2) A partir du chiffre 7, comptez 7 chiffres vers la gauche et obtenez 0 :

Il est impossible de compter 8 nombres à partir du chiffre 7 vers la gauche dans une suite d'entiers positifs. Pour rendre les actions 7 à 8 réalisables, nous élargissons la gamme d'entiers positifs. Pour ce faire, à gauche de zéro, on écrit (de droite à gauche) dans l'ordre tous les nombres naturels, en ajoutant à chacun d'eux le signe - , indiquant que ce nombre est à gauche de zéro.

Les entrées -1, -2, -3, ... lisent moins 1, moins 2, moins 3, etc. :

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La série de nombres résultante est appelée série d'entiers. Les points à gauche et à droite dans cette entrée signifient que la série peut se poursuivre indéfiniment vers la droite et la gauche.

À droite du chiffre 0 dans cette rangée se trouvent des chiffres appelés naturel ou entiers positifs(brièvement - positif).

À gauche du chiffre 0 dans cette rangée se trouvent des chiffres appelés entier négatif(brièvement - négatif).

Le nombre 0 est un nombre entier, mais n’est ni positif ni négatif. Il sépare les nombres positifs et négatifs.

Ainsi, la série d'entiers est constituée d'entiers négatifs, d'entiers nuls et d'entiers positifs.

Comparaison d'entiers

Comparez deux entiers- signifie découvrir lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou déterminer que les nombres sont égaux.

Vous pouvez comparer des nombres entiers à l'aide d'une rangée d'entiers, car les nombres qu'elle contient sont classés du plus petit au plus grand si vous vous déplacez le long de la rangée de gauche à droite. Ainsi, dans une série d'entiers, vous pouvez remplacer les virgules par le signe inférieur à :

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Ainsi, de deux entiers, plus le nombre qui se trouve à droite dans la série est grand et plus petit est celui qui se trouve à gauche, Moyens:

1) Tout nombre positif est supérieur à zéro et supérieur à tout nombre négatif :

1 > 0; 15 > -16

2) N'importe lequel un nombre négatif moins que zéro:

7 < 0; -357 < 0

3) De deux nombres négatifs, celui qui se trouve à droite dans la série des entiers est le plus grand.

Dans cet article, nous allons définir l'ensemble des entiers, considérer quels entiers sont dits positifs et lesquels sont négatifs. Nous montrerons également comment les nombres entiers sont utilisés pour décrire les changements dans certaines quantités. Commençons par la définition et les exemples d'entiers.

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Nombres entiers. Définition, exemples

Tout d’abord, rappelons-nous les nombres naturels ℕ. Le nom lui-même suggère qu’il s’agit de nombres qui sont naturellement utilisés pour compter depuis des temps immémoriaux. Afin de couvrir le concept d’entiers, nous devons élargir la définition des nombres naturels.

Définition 1. Entiers

Les nombres entiers sont les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro.

L'ensemble des entiers est désigné par la lettre ℤ.

L'ensemble des nombres naturels ℕ est un sous-ensemble des entiers ℤ. Tout nombre naturel est un nombre entier, mais tout nombre entier n’est pas un nombre naturel.

De la définition, il s'ensuit que l'un des nombres 1, 2, 3 est un nombre entier. . , le chiffre 0, ainsi que les chiffres - 1, - 2, - 3, . .

Conformément à cela, nous donnerons des exemples. Les nombres 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sont des nombres entiers.

Laissez la ligne de coordonnées être tracée horizontalement et dirigée vers la droite. Jetons-y un coup d'œil pour visualiser l'emplacement des entiers sur une ligne.

L'origine sur la ligne de coordonnées correspond au chiffre 0 et les points situés de part et d'autre de zéro correspondent à des entiers positifs et négatifs. Chaque point correspond à un seul entier.

Vous pouvez accéder à n'importe quel point d'une droite dont la coordonnée est un nombre entier en mettant de côté un certain nombre de segments unitaires à partir de l'origine.

Entiers positifs et négatifs

Parmi tous les entiers, il est logique de distinguer les entiers positifs et négatifs. Donnons leurs définitions.

Définition 2 : Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers avec un signe plus.

Par exemple, le nombre 7 est un entier avec un signe plus, c'est-à-dire un entier positif. Sur la ligne de coordonnées, ce nombre se trouve à droite du point de référence, qui est considéré comme le chiffre 0. Autres exemples d'entiers positifs : 12, 502, 42, 33, 100500.

Définition 3 : Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers avec un signe moins.

Exemples d'entiers négatifs : - 528, - 2568, - 1.

Le nombre 0 sépare les entiers positifs et négatifs et n’est lui-même ni positif ni négatif.

Tout nombre opposé à un entier positif est, par définition, un entier négatif. L'inverse est également vrai. L’inverse de tout entier négatif est un entier positif.

Il est possible de donner d'autres formulations des définitions des entiers négatifs et positifs en utilisant leur comparaison avec zéro.

Définition 4 : Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers supérieurs à zéro.

Définition 5 : Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers inférieurs à zéro.

En conséquence, les nombres positifs se trouvent à droite de l'origine sur la ligne de coordonnées et les nombres entiers négatifs se trouvent à gauche de zéro.

Nous avons dit plus tôt que les nombres naturels sont un sous-ensemble des nombres entiers. Précisons ce point. L'ensemble des nombres naturels est constitué d'entiers positifs. À son tour, l’ensemble des entiers négatifs est l’ensemble des nombres opposés aux nombres naturels.

Important!

Tout nombre naturel peut être appelé nombre entier, mais aucun nombre entier ne peut être appelé nombre naturel. Lorsque nous répondons à la question de savoir si les nombres négatifs sont des nombres naturels, nous devons hardiment dire : non, ils ne le sont pas.

Entiers non positifs et non négatifs

Donnons quelques définitions.

Définition 6. Entiers non négatifs

Les entiers non négatifs sont les entiers positifs et le nombre zéro.

Définition 7. Entiers non positifs

Les entiers non positifs sont les entiers négatifs et le nombre zéro.

Comme vous pouvez le constater, le nombre zéro n’est ni positif ni négatif.

Exemples d'entiers non négatifs : 52, 128, 0.

Exemples d'entiers non positifs : - 52, - 128, 0.

Un nombre non négatif est un nombre supérieur ou égal à zéro. Par conséquent, un entier non positif est un nombre inférieur ou égal à zéro.

Les termes « nombre non positif » et « nombre non négatif » sont utilisés par souci de concision. Par exemple, au lieu de dire que le nombre a est un entier supérieur ou égal à zéro, vous pouvez dire : a est un entier non négatif.

Utiliser des nombres entiers pour décrire les changements de quantités

A quoi servent les entiers ? Tout d'abord, avec leur aide, il est pratique de décrire et de déterminer les changements dans la quantité de tout objet. Donnons un exemple.

Laissez un certain nombre de vilebrequins être stockés dans un entrepôt. Si 500 vilebrequins supplémentaires sont amenés à l'entrepôt, leur nombre augmentera. Le nombre 500 exprime précisément la variation (augmentation) du nombre de pièces. Si 200 pièces sont ensuite retirées de l'entrepôt, ce nombre caractérisera également l'évolution du nombre de vilebrequins. Cette fois, vers le bas.

Si rien n'est sorti de l'entrepôt et que rien n'est livré, alors le chiffre 0 indiquera que le nombre de pièces reste inchangé.

La commodité évidente de l'utilisation de nombres entiers, par opposition aux nombres naturels, est que leur signe indique clairement la direction du changement de valeur (augmentation ou diminution).

Une diminution de la température de 30 degrés peut être caractérisée par un entier négatif - 30, et une augmentation de 2 degrés - par un entier positif 2.

Donnons un autre exemple utilisant des entiers. Cette fois, imaginons que nous devions donner 5 pièces à quelqu'un. Alors, on peut dire que nous avons - 5 pièces. Le chiffre 5 décrit le montant de la dette et le signe moins indique que nous devons donner les pièces.

Si nous devons 2 pièces à une personne et 3 à une autre, alors la dette totale (5 pièces) peut être calculée en utilisant la règle d'addition des nombres négatifs :

2 + (- 3) = - 5

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Enseignant de la catégorie la plus élevée

Quels nombres sont appelés entiers ?

Objectifs de la leçon:

-Élargissez la notion de nombre en introduisant des nombres négatifs :

-Développer la capacité d'écrire des nombres positifs et négatifs.

Objectifs de la leçon.

Éducatif – favoriser le développement de la capacité de généralisation et de systématisation, favoriser le développement des horizons mathématiques, de la pensée et de la parole, de l’attention et de la mémoire.

Éducatif – favoriser une attitude envers l'auto-éducation, l'auto-éducation, la performance précise, une attitude créative envers l'activité, la pensée critique.

Du développement – développer chez les écoliers la capacité de comparer et de généraliser, d’exprimer logiquement des pensées, de développer des horizons mathématiques, la pensée et la parole, l’attention et la mémoire.

Pendant les cours :

1. Conversation introductive.

Jusqu’à présent, dans les cours de mathématiques, nous avons examiné quels nombres ?

-Naturel et fractionné.

Quels nombres sont appelés nombres naturels ?

- Ce sont des nombres utilisés pour compter des objets.

Combien pouvez-vous en dire ?

- une infinité.

Zéro est-il un nombre naturel ? Pourquoi?

-A quoi servent les nombres fractionnaires ?

-Nous ne comptons pas seulement les objets, mais aussi les parties de certaines quantités.

Quelles fractions connaissez-vous ?

-Ordinaire et décimal.

Tâche n°1.

Parmi les nombres, quels sont les nombres naturels ? Fractions communes? Des décimales ?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .

2. Explication du nouveau matériel :

Cependant, dans votre vie vous avez probablement déjà rencontré d’autres chiffres, lesquels ? Où?

-Négatif. Par exemple, dans un bulletin météo.

Avant de passer à l'apprentissage d'un nouveau sujet, discutons des signes qui aideront à élargir l'ensemble des nombres. Ce sont des signes plus et moins. Pensez à ce à quoi ces signes sont associés dans la vie. Cela peut être n'importe quoi : blanc - noir, bon - mauvais. Nous rédigerons vos exemples sous forme de tableau.

Deux signes seulement évoquent tant de pensées. En fait, ces deux signes offrent la possibilité d’aller dans des directions différentes. De tels nombres, « similaires » aux nombres naturels, mais avec un signe moins, sont nécessaires dans les cas où une quantité peut changer dans deux directions opposées. Pour exprimer une valeur sous forme de nombre négatif, un zéro initial est introduit. Regardons les exemples que d'autres ont faits, et chez vous, vous pourrez y réfléchir et faire votre propre présentation. Diapositive n° 2-7.

Utiliser le panneau est très pratique. Son utilisation est acceptée dans le monde entier. Mais ce ne fut pas toujours ainsi. Diapositive numéro 8.

Donc, avec les nombres naturels

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Nous considérerons des nombres négatifs, dont chacun est obtenu en ajoutant un signe moins à l'entier naturel correspondant :

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Un nombre naturel et le nombre négatif correspondant sont appelés opposés. Par exemple, les nombres 15 et -15. Vous pouvez utiliser -15 et 15. O est l’opposé de lui-même.

Règle : Les nombres naturels, leurs opposés négatifs et le chiffre 0 sont appelés nombres entiers. Tous ces nombres constituent ensemble l’ensemble des nombres entiers.

Ouvrez le manuel, page 159, trouvez la règle, relisez-la et apprenez-la par cœur à la maison.

Un nombre naturel est aussi communément appelé entier positif, c’est-à-dire que c’est la même chose. Afin de souligner la différence externe par rapport au négatif, un signe plus est parfois placé devant celui-ci. +5=5.

3. Formation de compétences et d'aptitudes :

1) № 000.

2) Écrivez ces nombres en deux groupes : positifs et négatifs :

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Jeu « mon humeur ».

Vous évaluerez maintenant votre humeur du moment sur l’échelle suivante :

Bonne humeur : +1, +2, +3, +4, +5.

Mauvaise humeur : -1, -2, -3, -4, -5.

Une personne écrira les résultats au tableau, et tous les autres diront à tour de rôle à voix haute : « J'ai bonne humeur de 4 points"

4) Jeu "cracker"

Je nommerai des paires de nombres, si la paire est opposée, alors vous tapez dans vos mains, sinon, alors il devrait y avoir du silence dans la classe :

5 et -5 ; 6 et 0,6 ; -300 et 300 ; 3 et 1/3 ; 8 et 80 ; 14 et -14 ; 5/7 et 7/5 ; -1 et 1.

5) Propédeutique pour apprendre l'addition d'entiers :

N° 000 (a).

Nous examinons la solution à l'aide de la présentation. Diapositive numéro 8.

4. Résumé de la leçon :

-Quels nombres sont appelés positifs ? Négatif?

- Qu'as-tu découvert sur O ?

- A quoi servent les nombres négatifs ?

-Comment s'écrivent les nombres positifs et négatifs ?

5. D/Z : clause 8.1, n° 000, 721(b), 715(b). Tâche créative: écrire un poème sur les nombres entiers, un dessin, une présentation, un conte de fées.

Nous en soustrairons un autre au nombre,
Nous mettons une ligne droite.
On reconnaît ce signe
«Moins», nous l'appelons.
1.
Ça vaut un
On dirait une correspondance.
C'est juste un diable
Avec un petit coup.

2.
Il glisse à peine sur l'eau,
Comme un cygne, numéro deux.
Elle a courbé le cou,
Il chasse les vagues derrière lui.

3.
Deux crochets, regarde
Le résultat était le numéro trois.
Mais ces deux crochets
Vous ne pouvez pas attraper un ver.

4.
D'une manière ou d'une autre, la fourchette est tombée
Un clou de girofle était cassé.
Cette fourchette est dans le monde entier
Cela s'appelle "quatre".

5.
Numéro cinq - avec un gros ventre,
Porte une casquette avec une visière.
A l'école, ce nombre est cinq
Les enfants adorent recevoir.

6.
Quelle cerise, mon ami,
La tige est-elle courbée vers le haut ?
Essayez de le manger
Cette cerise est le numéro six.

7.
Je suis un tel poker
Je ne peux pas le mettre au four.
Tout le monde la connaît
C'est ce qu'on appelle "sept".

8.
La corde se tordait, se tordait,
Tressé en deux boucles.
"Quel est le nombre?" - Demandons à maman.
Maman nous répondra : « Huit ».

9.
Le vent soufflait et soufflait fort,
Il retourna la cerise.
Numéro six, s'il te plaît, dis-moi
Il est devenu le numéro neuf.

10.
Comme une sœur aînée
Le zéro est précédé d'un un.
Nous venons de marcher ensemble
Ils sont immédiatement devenus le numéro dix.

Poèmes sur les mathématiques

· Une grande partie des mathématiques ne restent pas en mémoire, mais lorsque vous les comprenez, il est alors facile de vous rappeler ce que vous avez oublié à l'occasion.