Le pouvoir est utilisé pour simplifier l’opération de multiplication d’un nombre par lui-même. Par exemple, au lieu d'écrire, vous pouvez écrire 4 5 (\style d'affichage 4^(5))(une explication de cette transition est donnée dans la première section de cet article). Les diplômes facilitent l'écriture d'expressions ou d'équations longues ou complexes ; les puissances sont également facilement ajoutées et soustraites, ce qui donne une expression ou une équation simplifiée (par exemple, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Note: si vous avez besoin de résoudre une équation exponentielle (dans une telle équation, l'inconnue est dans l'exposant), lisez.

Mesures

Résoudre des problèmes simples avec les diplômes

Multipliez la base de l'exposant par elle-même un nombre de fois égal à l'exposant. Si vous devez résoudre un problème de puissance à la main, réécrivez la puissance sous la forme d’une opération de multiplication, où la base de la puissance est multipliée par elle-même. Par exemple, étant donné un diplôme 3 4 (\style d'affichage 3^(4)). Dans ce cas, la base de puissance 3 doit être multipliée par elle-même 4 fois : 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Voici d'autres exemples :

Tout d’abord, multipliez les deux premiers nombres. Par exemple, 4 5 (\style d'affichage 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne vous inquiétez pas, le processus de calcul n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît à première vue. Multipliez d’abord les deux premiers quatre, puis remplacez-les par le résultat. Comme ça:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multipliez le résultat (16 dans notre exemple) par le nombre suivant. Chaque résultat ultérieur augmentera proportionnellement. Dans notre exemple, multipliez 16 par 4. Comme ceci :

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 * 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continuez à multiplier le résultat des deux premiers nombres par le nombre suivant jusqu'à ce que vous obteniez votre réponse finale. Pour ce faire, multipliez les deux premiers nombres, puis multipliez le résultat obtenu par le nombre suivant de la séquence. Cette méthode est valable pour n'importe quel diplôme. Dans notre exemple, vous devriez obtenir : 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Résolvez les problèmes suivants. Vérifiez votre réponse à l'aide d'une calculatrice.

   • 8 2 (\style d'affichage 8^(2))
   • 3 4 (\style d'affichage 3^(4))
   • 10 7 (\style d'affichage 10^(7))

3. Sur votre calculatrice, recherchez la clé intitulée « exp » ou « x n (\style d'affichage x^(n))", ou "^". En utilisant cette clé, vous élèverez un nombre à une puissance. Il est presque impossible de calculer manuellement un diplôme avec un grand indicateur (par exemple, le diplôme 9 15 (\style d'affichage 9^(15))), mais la calculatrice peut facilement faire face à cette tâche. Sous Windows 7, la calculatrice standard peut être basculée en mode ingénierie ; Pour ce faire, cliquez sur « Affichage » -> « Ingénierie ». Pour passer en mode normal, cliquez sur « Affichage » -> « Normal ».

   • Vérifiez la réponse que vous avez reçue à l'aide d'un moteur de recherche (Google ou Yandex). À l'aide de la touche "^" du clavier de votre ordinateur, saisissez l'expression dans le moteur de recherche, qui affichera instantanément la bonne réponse (et vous suggérera éventuellement des expressions similaires à étudier).

   Addition, soustraction, multiplication de puissances

   1. Vous ne pouvez ajouter et soustraire des puissances que si elles ont la même base. Si vous devez ajouter des puissances avec les mêmes bases et exposants, vous pouvez alors remplacer l'opération d'addition par l'opération de multiplication. Par exemple, étant donné l'expression 4 5 + 4 5 (\style d'affichage 4^(5)+4^(5)). N'oubliez pas que le diplôme 4 5 (\style d'affichage 4^(5)) peut être représenté sous la forme 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Ainsi, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(où 1 +1 =2). Autrement dit, comptez le nombre de diplômes similaires, puis multipliez ce diplôme par ce nombre. Dans notre exemple, élevez 4 à la puissance cinq, puis multipliez le résultat obtenu par 2. N'oubliez pas que l'opération d'addition peut être remplacée par l'opération de multiplication, par exemple : 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Voici d'autres exemples :

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Lors de la multiplication de puissances avec la même base, leurs exposants sont ajoutés (la base ne change pas). Par exemple, étant donné l'expression x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dans ce cas, il suffit d’ajouter les indicateurs en laissant la base inchangée. Ainsi, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Voici une explication visuelle de cette règle :

      Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés. Par exemple, un diplôme est délivré. Puisque les exposants sont multipliés, alors (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Le but de cette règle est que vous multipliez par les puissances (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sur lui-même cinq fois. Comme ça:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Puisque la base est la même, les exposants s’additionnent simplement : (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Une puissance avec un exposant négatif doit être convertie en fraction (puissance inverse). Peu importe si vous ne savez pas ce qu'est un diplôme réciproque. Si vous recevez un diplôme avec un exposant négatif, par ex. 3 − 2 (\style d'affichage 3^(-2)), écrivez ce degré au dénominateur de la fraction (mettez 1 au numérateur), et rendez l'exposant positif. Dans notre exemple : 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Voici d'autres exemples :

      Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits (la base ne change pas). L’opération de division est l’inverse de l’opération de multiplication. Par exemple, étant donné l'expression 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Soustrayez l’exposant du dénominateur de l’exposant du numérateur (ne changez pas la base). Ainsi, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • La puissance au dénominateur peut s’écrire comme suit : 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\style d'affichage 4^(-2)). N'oubliez pas qu'une fraction est un nombre (puissance, expression) avec un exposant négatif.

   4. Vous trouverez ci-dessous quelques expressions qui vous aideront à apprendre à résoudre des problèmes avec les exposants. Les expressions données couvrent le matériel présenté dans cette section. Pour voir la réponse, sélectionnez simplement l’espace vide après le signe égal.

   Résoudre des problèmes avec des exposants fractionnaires

   Une puissance avec un exposant fractionnaire (par exemple, ) est convertie en opération racine. Dans notre exemple : x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ici, le nombre qui se trouve au dénominateur de l'exposant fractionnaire n'a pas d'importance. Par exemple, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- est la quatrième racine de « x », c'est-à-dire x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Si l’exposant est une fraction impropre, alors l’exposant peut être décomposé en deux puissances pour simplifier la solution du problème. Il n'y a rien de compliqué à cela - rappelez-vous simplement la règle des puissances multiplicatives. Par exemple, un diplôme est délivré. Convertissez une telle puissance en une racine dont la puissance est égale au dénominateur de l'exposant fractionnaire, puis élevez cette racine à une puissance égale au numérateur de l'exposant fractionnaire. Pour ce faire, rappelez-vous que = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . Dans notre exemple :
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Certaines calculatrices ont un bouton pour calculer les exposants (vous devez d'abord saisir la base, puis appuyer sur le bouton, puis saisir l'exposant). Il est noté ^ ou x^y. N'oubliez pas que tout nombre à la puissance première est égal à lui-même, par exemple : 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) De plus, tout nombre multiplié ou divisé par un est égal à lui-même, par ex. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Et.
   4. 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Sachez que la puissance 0 0 n'existe pas (une telle puissance n'a pas de solution). Si vous essayez de résoudre un tel diplôme sur une calculatrice ou sur un ordinateur, vous recevrez une erreur. Mais rappelez-vous que tout nombre à la puissance zéro est 1, par exemple :
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) En mathématiques supérieures, qui fonctionnent avec des nombres imaginaires : e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Où; e est une constante environ égale à 2,7 ; a est une constante arbitraire. La preuve de cette égalité peut être trouvée dans n’importe quel manuel de mathématiques supérieures.

   Avertissements

   • À mesure que l’exposant augmente, sa valeur augmente considérablement. Donc, si la réponse vous semble fausse, il se peut qu’elle soit correcte. Vous pouvez vérifier cela en traçant n'importe quel fonction exponentielle par exemple 2x.

L’élévation à une puissance négative est l’un des éléments de base des mathématiques, souvent rencontré dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Lorsqu’on élève un nombre à une puissance ordinaire, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3×3×3 = 27. Avec une fraction négative, l’inverse est vrai. Vue générale selon la formule, cela ressemblera à ceci : a -n = 1/a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser un par le nombre donné, mais à une puissance positive.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

En gardant à l'esprit la règle ci-dessus, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi les réponses dans le premier et le deuxième exemples sont-elles les mêmes ? Le fait est que lors de la construction nombre négatifà une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le diplôme était pair, alors le moins resterait :

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever à une puissance négative - nombres de 0 à 1

Rappelons que lorsqu'un nombre compris entre 0 et 1 est élevé à une puissance positive, la valeur diminue à mesure que la puissance augmente. Ainsi par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Exemple 3 : Calculer 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

• Nous traduisons décimal 0,5 à fractionnaire 1/2. C'est plus facile ainsi.
  Élevez 1/2 à une puissance négative. 1/(2)-2 . Divisez 1 par 1/(2) 2, nous obtenons 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculer 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :

• Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
• Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. Dans ce cas, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous la forme d'un nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m/n, où a est un nombre régulier, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Regardons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

• Rappelons la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Notez que le dénominateur est le nombre 8 à la puissance fractionnaire. La forme générale de calcul d’une puissance fractionnaire est la suivante : a m/n = n √8 m.
• Ainsi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nous obtenons racine cubique sur huit, ce qui est égal à 2. D’ici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Réponse : 8 -1/3 = 2

Depuis l'école, nous connaissons tous la règle de l'exponentiation : tout nombre d'exposant N est égal au résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même N nombre de fois. En d'autres termes, 7 à la puissance 3 est 7 multiplié par lui-même trois fois, soit 343. Une autre règle est qu'élever n'importe quelle quantité à la puissance 0 en donne un, et élever une quantité négative est le résultat d'une augmentation ordinaire à la puissance si elle est paire, et le même résultat avec un signe moins si elle est impaire.

Les règles donnent également la réponse sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative. Pour ce faire, vous devez augmenter la valeur requise du module de l'indicateur de la manière habituelle, puis diviser l'unité par le résultat.

Il ressort clairement de ces règles que l'exécution de tâches réelles impliquant de grandes quantités nécessitera la présence de moyens techniques. Manuellement, vous pouvez multiplier vous-même une plage maximale de nombres allant de vingt à trente, puis pas plus de trois ou quatre fois. Cela ne veut pas dire qu’il faut ensuite diviser un par le résultat. Par conséquent, pour ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous vous expliquerons comment élever un nombre à une puissance négative dans Excel.

Résoudre des problèmes dans Excel

Pour résoudre les problèmes de construction en Diplôme Excel vous permet d'utiliser l'une des deux options.

La première est l’utilisation d’une formule avec un signe « couvercle » standard. Entrez les données suivantes dans les cellules de la feuille de calcul :

De la même manière, vous pouvez augmenter la valeur souhaitée à n'importe quelle puissance - négative, fractionnaire. Faisons-le prochaines étapes et répondez à la question de savoir comment élever un nombre à une puissance négative. Exemple:

Vous pouvez corriger =B2^-C2 directement dans la formule.

La deuxième option consiste à utiliser la fonction « Degré » prête à l'emploi, qui prend deux arguments obligatoires : un nombre et un exposant. Pour commencer à l'utiliser, placez simplement le signe égal (=) dans n'importe quelle cellule libre, indiquant le début de la formule, et entrez les mots ci-dessus. Il ne reste plus qu'à sélectionner deux cellules qui participeront à l'opération (ou à spécifier manuellement des numéros spécifiques) et à appuyer sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué sur la façon d'élever un nombre à une puissance négative et à une puissance régulière à l'aide d'Excel. Après tout, pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser à la fois le symbole familier du « couvercle » et la fonction intégrée du programme, facile à retenir. C'est un plus indéniable !

Passons à des exemples plus complexes. Rappelons-nous la règle sur la façon d'élever un nombre à une puissance fractionnaire négative, et nous verrons que ce problème est très facilement résolu dans Excel.

Indicateurs fractionnaires

En bref, l'algorithme de calcul d'un nombre avec un exposant fractionnaire est le suivant.

1. Convertir une fraction en fraction propre ou impropre.
2. Élevons notre nombre au numérateur de la fraction convertie résultante.
3. A partir du nombre obtenu dans le paragraphe précédent, calculez la racine, à condition que l'exposant de la racine soit le dénominateur de la fraction obtenue à la première étape.

Convenez que même en opérant avec un petit nombre et fractions correctes De tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. C’est bien que le tableur Excel ne se soucie pas de savoir quel nombre est élevé à quelle puissance. Essayez de résoudre l'exemple suivant sur une feuille de calcul Excel :

En utilisant les règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul a été effectué correctement.

A la fin de notre article, nous présenterons sous forme de tableau avec formules et résultats plusieurs exemples de comment élever un nombre à une puissance négative, ainsi que plusieurs exemples d'opérations avec des nombres fractionnaires et des puissances.

Exemple de tableau

Consultez les exemples suivants dans votre feuille de calcul Excel. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser une référence mixte lors de la copie de la formule. Fixez le numéro de la colonne contenant le numéro à augmenter et le numéro de la ligne contenant l'indicateur. Votre formule devrait ressembler à ceci : "=$B4^C$3".

Veuillez noter que les nombres positifs (même non entiers) peuvent être calculés sans problème pour n'importe quel exposant. Il n'y a aucun problème à élever des nombres à des nombres entiers. Mais élever un nombre négatif à une puissance fractionnaire s'avérera être une erreur pour vous, puisqu'il est impossible de suivre la règle indiquée au début de notre article sur l'augmentation des nombres négatifs, car la parité est une caractéristique exclusivement d'un nombre ENTIER.

Un nombre élevé à une puissance Ils appellent un numéro multiplié par lui-même plusieurs fois.

Puissance d'un nombre avec une valeur négative (un) peut être déterminé de la même manière que la façon dont la puissance du même nombre avec un exposant positif est déterminée (un) . Cependant, cela nécessite également une définition supplémentaire. La formule est définie comme suit :

un = (1/un n)

Les propriétés des puissances négatives des nombres sont similaires à celles des puissances à exposant positif. Équation présentée un m/a n= un m-n peut être juste comme

« Nulle part, comme en mathématiques, la clarté et l'exactitude de la conclusion ne permettent à une personne d'échapper à une réponse en contournant la question.».

A.D. Alexandrov

à n plus m , et avec m plus n . Regardons un exemple : 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Vous devez d’abord déterminer le nombre qui sert de définition du diplôme. b=une(-n) . Dans cet exemple -n est un exposant b - la valeur numérique souhaitée, un - la base du diplôme sous forme de titre naturel valeur numérique. Déterminez ensuite le module, c'est-à-dire la valeur absolue d'un nombre négatif, qui fait office d'exposant. Calculer la puissance d'un nombre relatif donné nombre absolu, comme indicateur. La valeur du degré se trouve en divisant un par le nombre obtenu.

Riz. 1

Considérons la puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire négatif. Imaginons que le nombre a soit n'importe quel nombre positif, nombres n Et m - les nombres naturels. Selon la définition un , qui est élevé au pouvoir - est égal à un divisé par le même nombre avec une puissance positive (Figure 1). Lorsque la puissance d’un nombre est une fraction, dans de tels cas, seuls les nombres avec des exposants positifs sont utilisés.

A retenir que zéro ne peut jamais être l'exposant d'un nombre (la règle de la division par zéro).

La diffusion d'un concept tel que le nombre est devenue une manipulation telle que les calculs de mesure, ainsi que le développement des mathématiques en tant que science. L'introduction de valeurs négatives était due au développement de l'algèbre, qui a donné solutions générales problèmes arithmétiques, quelles que soient leur signification spécifique et leurs données numériques initiales. En Inde, aux VIe-XIe siècles, les nombres négatifs étaient systématiquement utilisés pour résoudre des problèmes et étaient interprétés de la même manière qu'aujourd'hui. Dans la science européenne, les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés grâce à R. Descartes, qui a donné une interprétation géométrique des nombres négatifs comme directions des segments. C'est Descartes qui proposa de désigner un nombre élevé à la puissance pour l'afficher sous la forme d'une formule à deux étages. un .

peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple : 5+5+5+5+5+5=5x6. Une telle expression est dite que la somme de termes égaux est repliée en un produit. Et vice versa, si l’on lit cette égalité de droite à gauche, on constate que l’on a élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5=5 6.

Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent « cinq puissance six ».

L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où :

5 - base de diplômes;

6 - exposant.

Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est réduit à une puissance sont appelées élever à une puissance.

En général, un degré avec une base « a » et un exposant « n » s'écrit comme suit :

Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs dont chacun est égal à a

Si la base du degré « a » est égale à 1, alors la valeur du degré pour tout nombre naturel n sera égale à 1. Par exemple, 1 5 =1, 1 256 =1

Si vous élevez le chiffre « a » à premier degré, alors nous obtenons le nombre a lui-même : un 1 = un

Si vous augmentez un chiffre à zéro degré, puis à la suite de calculs, nous en obtenons un. un 0 = 1

Les deuxième et troisième puissances d’un nombre sont considérées comme spéciales. Ils leur ont trouvé des noms : le deuxième degré s'appelle mettre le nombre au carré, troisième - cube ce numéro.

N’importe quel nombre peut être élevé à une puissance – positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne s'appliquent pas :

Lorsqu’on trouve la puissance d’un nombre positif, le résultat est un nombre positif.

En calculant zéro à la puissance naturelle, nous obtenons zéro.

xm · xn = x m + n

par exemple : 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

À diviser les pouvoirs avec les mêmes bases On ne change pas la base, mais on soustrait les exposants :

xm / x n = x m - n , Où, m > n,

par exemple : 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Lors du calcul élever un pouvoir à un pouvoir Nous ne changeons pas la base, mais multiplions les exposants les uns par les autres.

(à m ) n = oui m n

par exemple : (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · o) n = xn · ouais ,

par exemple :(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Lors de l'exécution de calculs selon élever une fraction à une puissance on élève le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance donnée

(x/y)n = xn / o n

par exemple : (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​​​/ 5) · (2 ​​​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un diplôme.

Lors de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des puissances, ils effectuent d'abord des exponentiations, puis des multiplications et des divisions, et ensuite seulement des opérations d'addition et de soustraction.

Si vous devez calculer une expression contenant des parenthèses, effectuez d'abord les calculs entre parenthèses dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de puissances prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.

Leçon et présentation sur le thème : "Exposant avec un exposant négatif. Définition et exemples de résolution de problèmes"

Matériel supplémentaire
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits. Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.

Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 8e année
Manuel pour le manuel Muravin G.K.   

Un manuel pour le manuel d'Alimov Sh.A.

Par exemple : $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Nous savons bien que tout nombre à la puissance zéro est égal à un. $une^0=1$, $une≠0$.
La question se pose : que se passe-t-il si vous élevez un nombre à une puissance négative ? Par exemple, à quoi sera égal le nombre $2^(-2)$ ?
Les premiers mathématiciens qui ont posé cette question ont décidé qu'il ne valait pas la peine de réinventer la roue et qu'il était bon que toutes les propriétés des diplômes restent les mêmes. Autrement dit, en multipliant des puissances avec la même base, les exposants s'additionnent.
Considérons ce cas : $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Nous avons constaté que le produit de ces nombres devrait donner un. L'unité du produit est obtenue en multipliant les nombres réciproques, c'est-à-dire $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Un tel raisonnement a conduit à la définition suivante. Définition. Si $n$ – nombre naturel

et $a≠0$, alors l'égalité est vraie : $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Une identité importante qui est souvent utilisée est : $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

En particulier, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Calculez : 2 $^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Solution.
Considérons chaque terme séparément.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Il reste à effectuer les opérations d'addition et de soustraction : $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Réponse : $6\frac(1)(4)$.

Exemple 2.
Représenter un nombre donné sous forme de puissance nombre premier$\frac(1)(729)$.

Calculez : 2 $^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Évidemment, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Mais 729 n’est pas un nombre premier se terminant par 9. On peut supposer que ce nombre est une puissance de trois. Divisez systématiquement 729 par 3.
1) $\frac(729)(3)=243$ ;
2) $\frac(243)(3)=81$ ;
3) $\frac(81)(3)=27$ ;
4) $\frac(27)(3)=9$ ;
5) $\frac(9)(3)=3$ ;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Six opérations ont été effectuées et cela signifie : $729=3^6$.
Pour notre tâche :
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Réponse : 3$^(-6)$.

Exemple 3. Exprimez l'expression sous forme de puissance : $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Solution. La première action est toujours effectuée entre parenthèses, puis la multiplication $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= une^ (-4-(-5))=une^(-4+5)=une$.
Réponse : $a$.

Exemple 4. Prouver l'identité :
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Solution.
Sur le côté gauche, nous considérons chaque facteur entre parenthèses séparément.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Passons à la fraction par laquelle nous divisons.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Faisons la division.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Nous avons obtenu la bonne identité, ce que nous devions prouver.

A la fin de la leçon, nous réécrirons les règles de travail avec les puissances, ici l'exposant est un nombre entier.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problèmes à résoudre de manière autonome

L'élévation à une puissance négative est l'un des éléments de base des mathématiques et est souvent rencontrée dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Lorsqu’on élève un nombre à une puissance ordinaire, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3×3×3 = 27. Avec une fraction négative, l’inverse est vrai. La forme générale de la formule sera la suivante : a -n = 1/a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser un par le nombre donné, mais à une puissance positive.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

En gardant à l'esprit la règle ci-dessus, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi les réponses dans le premier et le deuxième exemples sont-elles les mêmes ? Le fait est que lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le diplôme était pair, alors le moins resterait :

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever les nombres de 0 à 1 à une puissance négative

Rappelons que lorsqu'un nombre compris entre 0 et 1 est élevé à une puissance positive, la valeur diminue à mesure que la puissance augmente. Ainsi par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemple 3 : Calculer 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

• Convertissez la fraction décimale 0,5 en fraction fractionnaire 1/2. C'est plus facile ainsi.
  Élevez 1/2 à une puissance négative. 1/(2)-2 . Divisez 1 par 1/(2) 2, nous obtenons 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculer 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :

• Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
• Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. Dans ce cas, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous la forme d'un nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m/n, où a est un nombre régulier, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Regardons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

• Rappelons la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Notez que le dénominateur est le nombre 8 à la puissance fractionnaire. La forme générale de calcul d’une puissance fractionnaire est la suivante : a m/n = n √8 m.
• Ainsi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est égale à 2. D’ici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Réponse : 8 -1/3 = 2