Ordinaire nombres fractionnaires Ils rencontrent d'abord des écoliers dès la 5e et les accompagnent tout au long de leur vie, car dans la vie de tous les jours il est souvent nécessaire d'examiner ou d'utiliser un objet non pas dans son ensemble, mais par morceaux séparés. Commencez à étudier ce sujet - partages. Les actions sont à parts égales, en lequel tel ou tel objet est divisé. Après tout, il n'est pas toujours possible d'exprimer, par exemple, la longueur ou le prix d'un produit sous la forme d'un nombre entier de parties ou de parts d'une certaine mesure ; Formé du verbe « diviser » - diviser en parties, et ayant des racines arabes, le mot « fraction » lui-même est apparu dans la langue russe au VIIIe siècle.

Les expressions fractionnaires ont longtemps été considérées comme la branche la plus difficile des mathématiques. Au XVIIe siècle, lorsque les premiers manuels de mathématiques parurent, on les appelait « nombres brisés », ce qui était très difficile à comprendre.

Look moderne les restes fractionnaires simples, dont les parties sont séparées par une ligne horizontale, ont été promus pour la première fois par Fibonacci - Léonard de Pise. Ses œuvres sont datées de 1202. Mais le but de cet article est d'expliquer simplement et clairement au lecteur comment se produit la multiplication fractions mélangées Avec différents dénominateurs.

Multiplier des fractions avec différents dénominateurs

Dans un premier temps, il convient de déterminer types de fractions:

• correct;
• incorrect;
• mixte.

Ensuite, vous devez vous rappeler comment les nombres fractionnaires sont multipliés par mêmes dénominateurs. La règle même de ce processus est facile à formuler indépendamment : le résultat de la multiplication fractions simples avec les mêmes dénominateurs est une expression fractionnaire dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions. Autrement dit, le nouveau dénominateur est le carré de l'un des dénominateurs initialement existants.

En multipliant fractions simples avec différents dénominateurs pour deux facteurs ou plus, la règle ne change pas :

un/b * c/d = a*c / b*d.

La seule différence est que le nombre résultant sous la ligne fractionnaire sera le produit de différents nombres et, bien sûr, le carré d'un. expression numérique il est impossible de le nommer.

Il vaut la peine d'envisager la multiplication de fractions avec des dénominateurs différents à l'aide d'exemples :

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Les exemples utilisent des méthodes pour réduire les expressions fractionnaires. Vous ne pouvez réduire que les nombres du numérateur avec les nombres du dénominateur ; les facteurs adjacents au-dessus ou au-dessous de la ligne de fraction ne peuvent pas être réduits.

Outre les fractions simples, il existe le concept de fractions mixtes. Un nombre fractionnaire est constitué d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire, c'est-à-dire qu'il est la somme de ces nombres :

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Comment fonctionne la multiplication ?

Plusieurs exemples sont proposés à titre de réflexion.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

L'exemple utilise la multiplication d'un nombre par partie fractionnaire ordinaire, la règle de cette action peut s'écrire :

un* b/c = un*b/c.

En fait, un tel produit est la somme de restes fractionnaires identiques, et le nombre de termes l'indique nombre naturel. Cas particulier:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Il existe une autre solution pour multiplier un nombre par un reste fractionnaire. Il vous suffit de diviser le dénominateur par ce nombre :

d* e/f = e/f : d.

Cette technique est utile lorsque le dénominateur est divisé par un nombre naturel sans reste ou, comme on dit, par un nombre entier.

Convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres et obtenez le produit de la manière décrite précédemment :

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Cet exemple implique une manière de représenter une fraction mixte comme une fraction impropre, et peut également être représenté sous la forme d'une formule générale :

un bc = a*b+ c / c, où le dénominateur de la nouvelle fraction est formé en multipliant la partie entière par le dénominateur et en l'ajoutant au numérateur du reste fractionnaire d'origine, et le dénominateur reste le même.

Ce processus fonctionne également dans revers. Pour séparer la partie entière et le reste fractionnaire, vous devez diviser le numérateur fraction impropreà son dénominateur avec un « coin ».

Multiplier des fractions impropres produit d'une manière généralement acceptée. Lorsque vous écrivez sous une seule ligne de fraction, vous devez réduire les fractions si nécessaire afin de réduire les nombres à l'aide de cette méthode et de faciliter le calcul du résultat.

Il existe de nombreuses aides sur Internet pour résoudre des problèmes mathématiques, même complexes, diverses variantes programmes. Quantité suffisante ces services offrent leur aide pour compter la multiplication des fractions avec différents numéros en dénominateurs - ce qu'on appelle des calculatrices en ligne pour calculer des fractions. Ils sont capables non seulement de multiplier, mais aussi d'effectuer toutes les autres opérations arithmétiques simples avec des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires. C'est facile à utiliser : vous remplissez les champs appropriés sur la page du site et sélectionnez le signe. opération mathématique et cliquez sur « calculer ». Le programme calcule automatiquement.

Le thème des opérations arithmétiques avec des fractions est d'actualité tout au long de l'enseignement des collégiens et lycéens. Au lycée, on ne considère plus les espèces les plus simples, mais expressions fractionnaires entières, mais la connaissance des règles de transformation et de calcul obtenues précédemment est appliquée sous sa forme originale. Des connaissances de base bien maîtrisées donnent une totale confiance en décision réussie la plupart tâches complexes.

En conclusion, il est logique de citer les mots de Lev Nikolaïevitch Tolstoï, qui a écrit : « L'homme est une fraction. Il n'est pas au pouvoir d'une personne d'augmenter son numérateur - ses mérites - mais n'importe qui peut réduire son dénominateur - son opinion sur lui-même, et avec cette diminution se rapprocher de sa perfection.

Maintenant que nous avons appris à additionner et à multiplier des fractions individuelles, nous pouvons examiner davantage conceptions complexes. Par exemple, que se passe-t-il si le même problème implique d’ajouter, de soustraire et de multiplier des fractions ?

Tout d’abord, vous devez convertir toutes les fractions en fractions impropres. Ensuite, nous effectuons séquentiellement les actions requises - dans le même ordre que pour les nombres ordinaires. À savoir:

1. L'exponentiation est effectuée en premier - débarrassez-vous de toutes les expressions contenant des exposants ;
2. Puis - division et multiplication ;
3. La dernière étape est l'addition et la soustraction.

Bien sûr, s'il y a des parenthèses dans l'expression, l'ordre des opérations change - tout ce qui se trouve entre parenthèses doit être compté en premier. Et n'oubliez pas les fractions impropres : vous ne devez mettre en évidence la partie entière que lorsque toutes les autres actions sont déjà terminées.

Convertissons toutes les fractions de la première expression en fractions impropres, puis effectuons les étapes suivantes :

Trouvons maintenant la valeur de la deuxième expression. Ici les fractions avec partie entière non, mais il y a des parenthèses, donc on fait d'abord l'addition, et ensuite seulement la division. Notez que 14 = 7 · 2. Alors:

Enfin, considérons le troisième exemple. Il y a des parenthèses et un diplôme ici - il vaut mieux les compter séparément. En considérant que 9 = 3 3, on a :

Faites attention au dernier exemple. Pour élever une fraction à une puissance, vous devez élever séparément le numérateur à cette puissance, et séparément le dénominateur.

Vous pouvez décider différemment. Si l'on rappelle la définition d'un degré, le problème se réduira à la multiplication habituelle des fractions :

Fractions à plusieurs étages

Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les fractions « pures », lorsque le numérateur et le dénominateur sont nombres ordinaires. Ceci est tout à fait cohérent avec la définition d’une fraction numérique donnée dans la toute première leçon.

Mais que se passe-t-il si vous mettez un objet plus complexe au numérateur ou au dénominateur ? Par exemple, une autre fraction numérique ? De telles constructions surviennent assez souvent, surtout lorsque l'on travaille avec des expressions longues. Voici quelques exemples :

Il n'y a qu'une seule règle pour travailler avec des fractions à plusieurs étages : vous devez vous en débarrasser immédiatement. Supprimer des étages « supplémentaires » est assez simple, si vous rappelez que la barre oblique signifie l'opération de division standard. Par conséquent, toute fraction peut être réécrite comme suit :

En utilisant ce fait et en suivant la procédure, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle fraction à plusieurs étages à une fraction ordinaire. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Convertissez des fractions à plusieurs étages en fractions ordinaires :

Dans chaque cas, nous réécrivons la fraction principale en remplaçant la ligne de démarcation par un signe de division. N'oubliez pas non plus que tout entier peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur de 1. C'est-à-dire 12 = 12/1 ; 3 = 3/1. On obtient :

Dans le dernier exemple, les fractions ont été annulées avant la multiplication finale.

Spécificités du travail avec des fractions à plusieurs niveaux

Il y a une subtilité dans les fractions à plusieurs niveaux dont il faut toujours se souvenir, sinon vous pouvez obtenir une mauvaise réponse, même si tous les calculs étaient corrects. Jetez un oeil :

1. Le numérateur contient le nombre unique 7 et le dénominateur contient la fraction 12/5 ;
2. Le numérateur contient la fraction 7/12 et le dénominateur contient le nombre distinct 5.

Donc, pour une entrée, nous en avons deux complètement différentes interprétations. Si vous comptez, les réponses seront également différentes :

Pour garantir que l'enregistrement est toujours lu sans ambiguïté, utilisez une règle simple : la ligne de séparation de la fraction principale doit être plus longue que la ligne de la fraction imbriquée. De préférence plusieurs fois.

Si vous suivez cette règle, alors les fractions ci-dessus doivent s'écrire comme suit :

Oui, c'est probablement inesthétique et prend trop de place. Mais vous compterez correctement. Enfin, quelques exemples où des fractions à plusieurs étages apparaissent réellement :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Travaillons donc avec le premier exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis effectuons des opérations d'addition et de division :

Faisons de même avec le deuxième exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions impropres et effectuons les opérations requises. Afin de ne pas ennuyer le lecteur, j'omettra quelques calculs évidents. Nous avons:

Du fait que le numérateur et le dénominateur des fractions de base contiennent des sommes, la règle d'écriture des fractions à plusieurs étages est automatiquement observée. De plus, dans le dernier exemple, nous avons intentionnellement laissé 46/1 sous forme de fraction pour effectuer la division.

Je noterai également que dans les deux exemples, la barre de fraction remplace en fait les parenthèses : on a d'abord trouvé la somme, et ensuite seulement le quotient.

Certains diront que le passage aux fractions impropres dans le deuxième exemple était clairement redondant. C'est peut-être vrai. Mais en faisant cela, nous nous assurons contre les erreurs, car la prochaine fois, l'exemple pourrait s'avérer beaucoup plus compliqué. Choisissez vous-même ce qui est le plus important : la vitesse ou la fiabilité.

Tôt ou tard, tous les enfants de l'école commencent à apprendre les fractions : leur addition, leur division, leur multiplication et toutes les opérations possibles qui peuvent être effectuées avec des fractions. Afin de fournir une assistance appropriée à l'enfant, les parents eux-mêmes ne doivent pas oublier comment diviser les nombres entiers en fractions, sinon vous ne pourrez en aucun cas l'aider, mais ne ferez que le confondre. Si vous avez besoin de vous souvenir de cette action, mais que vous ne parvenez tout simplement pas à regrouper toutes les informations que vous avez en tête dans une seule règle, alors cet article vous aidera : vous apprendrez à diviser un nombre par une fraction et verrez des exemples clairs.

Comment diviser un nombre en fraction

Écrivez votre exemple sous forme de brouillon afin de pouvoir prendre des notes et des ratures. N'oubliez pas que le nombre entier est écrit entre les cellules, juste à leur intersection, et que les nombres fractionnaires sont écrits chacun dans sa propre cellule.

• DANS cette méthode vous devez retourner la fraction, c'est-à-dire écrire le dénominateur dans le numérateur et le numérateur dans le dénominateur.
• Le signe de division doit être remplacé par multiplication.
• Il ne vous reste plus qu'à effectuer la multiplication selon les règles que vous avez déjà apprises : le numérateur est multiplié par un nombre entier, mais vous ne touchez pas au dénominateur.

Bien sûr, à la suite d'une telle action, vous obtiendrez très grand nombre au numérateur. Vous ne pouvez pas laisser une fraction dans cet état - l'enseignant n'acceptera tout simplement pas cette réponse. Réduisez la fraction en divisant le numérateur par le dénominateur. Écrivez l'entier résultant à gauche de la fraction au milieu des cellules, et le reste sera le nouveau numérateur. Le dénominateur reste inchangé.

Cet algorithme est assez simple, même pour un enfant. Après l'avoir complété cinq ou six fois, l'enfant se souviendra de la procédure et pourra l'appliquer à n'importe quelle fraction.

Comment diviser un nombre par une décimale

Il existe d'autres types de fractions - les décimales. La division en eux se produit selon un algorithme complètement différent. Si vous rencontrez un tel exemple, suivez les instructions :

• Pour commencer, transformez les deux nombres en décimales. C'est facile à faire : votre diviseur est déjà représenté sous forme de fraction, et vous séparez l'entier naturel divisé par une virgule, obtenant ainsi une fraction décimale. Autrement dit, si le dividende était de 5, vous obtenez la fraction 5,0. Vous devez séparer un nombre par autant de chiffres qu'il y a après la virgule et le diviseur.
• Après cela, vous devez faire des deux fractions décimales des nombres naturels. Cela peut paraître un peu déroutant au début, mais c'est le plus manière rapide division, ce qui vous prendra quelques secondes après quelques entraînements. La fraction 5,0 deviendra le nombre 50, la fraction 6,23 deviendra 623.
• Faites la division. Si les nombres sont grands ou si la division se fera avec un reste, faites-le en colonne. De cette façon, vous pouvez voir clairement toutes les actions cet exemple. Vous n'avez pas besoin de mettre une virgule volontairement, car elle apparaîtra d'elle-même au cours du long processus de division.

Ce type de division semble au départ trop déroutant, puisqu'il faut transformer le dividende et le diviseur en fraction, puis à nouveau en nombres naturels. Mais après une courte pratique, vous commencerez immédiatement à voir les nombres qu'il vous suffit de diviser les uns par les autres.

N'oubliez pas que la capacité de diviser correctement des fractions et des nombres entiers par eux peut s'avérer utile plusieurs fois dans la vie. Par conséquent, un enfant doit connaître parfaitement ces règles et principes simples afin que dans les classes supérieures, ils ne deviennent pas une pierre d'achoppement à cause de laquelle l'enfant ne peut pas résoudre des tâches plus complexes.

Vous pouvez tout faire avec les fractions, y compris la division. Cet article montre la division fractions ordinaires. Des définitions seront données et des exemples seront discutés. Arrêtons-nous en détail sur la division de fractions par des nombres naturels et vice versa. La division d'une fraction commune par un nombre fractionnaire sera discutée.

Diviser des fractions

La division est l'inverse de la multiplication. Lors de la division, l'inconnue se trouve à œuvre célèbre et un autre facteur, où sa signification donnée est préservée avec les fractions ordinaires.

S'il est nécessaire de diviser une fraction commune a b par c d, alors pour déterminer un tel nombre, vous devez multiplier par le diviseur c d, cela donnera finalement le dividende a b. Prenons un nombre et écrivons-le a b · d c , où d c est l'inverse du nombre c d. Les égalités peuvent être écrites en utilisant les propriétés de multiplication, à savoir : a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, où l'expression a b · d c est le quotient de la division de a b par c d.

De là, nous obtenons et formulons la règle de division des fractions ordinaires :

Définition 1

Pour diviser une fraction commune a b par c d, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

Écrivons la règle sous la forme d'une expression : a b : c d = a b · d c

Les règles de division se résument à la multiplication. Pour vous y tenir, vous devez avoir une bonne compréhension de la multiplication des fractions.

Passons à la division des fractions ordinaires.

Exemple 1

Divisez 9 7 par 5 3. Écrivez le résultat sous forme de fraction.

Solution

Le nombre 5 3 est la fraction réciproque 3 5. Il est nécessaire d'utiliser la règle de division des fractions ordinaires. On écrit cette expression comme suit : 9 7 : 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Répondre: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Lors de la réduction de fractions, séparez la partie entière si le numérateur est supérieur au dénominateur.

Exemple 2

Divisez 8 15 : 24 65. Écrivez la réponse sous forme de fraction.

Solution

Pour résoudre, vous devez passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous cette forme : 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Il faut faire une réduction, et cela se fait comme suit : 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Sélectionnez la partie entière et obtenez 13 9 = 1 4 9.

Répondre: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Diviser une fraction extraordinaire par un nombre naturel

On utilise la règle de division d'une fraction par un nombre naturel : pour diviser a b par un nombre naturel n, il suffit de multiplier le dénominateur par n. De là, nous obtenons l'expression : a b : n = a b · n.

La règle de division est une conséquence de la règle de multiplication. Par conséquent, représenter un nombre naturel sous forme de fraction donnera une égalité de ce type : a b : n = a b : n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Considérez cette division d'une fraction par un nombre.

Exemple 3

Divisez la fraction 16 45 par le nombre 12.

Solution

Appliquons la règle pour diviser une fraction par un nombre. On obtient une expression de la forme 16 45 : 12 = 16 45 · 12.

Réduisons la fraction. Nous obtenons 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Répondre: 16 45: 12 = 4 135 .

Diviser un nombre naturel par une fraction

La règle de division est similaire Ô la règle pour diviser un nombre naturel par une fraction ordinaire : pour diviser un nombre naturel n par une fraction ordinaire a b, il faut multiplier le nombre n par l'inverse de la fraction a b.

D'après la règle, nous avons n : a b = n · b a, et grâce à la règle de multiplication d'un nombre naturel par une fraction ordinaire, nous obtenons notre expression sous la forme n : a b = n · b a. Il faut considérer cette division avec un exemple.

Exemple 4

Divisez 25 par 15 28.

Solution

Il faut passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous la forme de l'expression 25 : 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Réduisons la fraction et obtenons le résultat sous la forme de la fraction 46 2 3.

Répondre: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Diviser une fraction par un nombre fractionnaire

Lorsque vous divisez une fraction commune par un nombre fractionnaire, vous pouvez facilement commencer à diviser des fractions communes. Vous devez convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre.

Exemple 5

Divisez la fraction 35 16 par 3 1 8.

Solution

Puisque 3 1 8 est un nombre fractionnaire, représentons-le comme une fraction impropre. On obtient alors 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Maintenant, divisons les fractions. On obtient 35 16 : 3 1 8 = 35 16 : 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Répondre: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

La division d'un nombre fractionnaire se fait de la même manière que les nombres ordinaires.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée