À première vue, les fractions algébriques semblent très complexes, et un élève non préparé peut penser qu'on ne peut rien en faire. Le fouillis de variables, de nombres et même de degrés évoque la peur. Cependant, les mêmes règles sont utilisées pour réduire les fractions communes (telles que 15/25) et algébriques.

Mesures

Réduire les fractions

Découvrez les activités avec fractions simples. Les opérations avec les fractions ordinaires et algébriques sont similaires. Par exemple, prenons la fraction 15/35. Pour simplifier cette fraction, il faut trouver un diviseur commun. Les deux nombres sont divisibles par cinq, on peut donc isoler 5 au numérateur et au dénominateur :

Maintenant tu peux réduire les facteurs communs, c'est-à-dire rayer 5 au numérateur et au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction simplifiée 3/7 . DANS expressions algébriques les facteurs communs sont répartis de la même manière que les facteurs ordinaires. Dans l'exemple précédent, nous avons pu facilement isoler 5 de 15 - le même principe s'applique à des expressions plus complexes telles que 15x – 5. Trouvons le facteur commun. DANS dans ce cas ce sera 5, puisque les deux termes (15x et -5) sont divisibles par 5. Comme précédemment, isolez le facteur commun et déplacez-le gauche.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Pour vérifier si tout est correct, multipliez simplement l'expression entre parenthèses par 5 - le résultat sera les mêmes nombres qu'au début. Les membres complexes peuvent être isolés de la même manière que les membres simples. Les mêmes principes s’appliquent aux fractions algébriques et aux fractions ordinaires. C'est le moyen le plus simple de réduire une fraction. Considérons la fraction suivante :

Notez que le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) contiennent tous deux un terme (x+2), il peut donc être réduit de la même manière que le facteur commun 5 dans la fraction 15/35 :

En conséquence, nous obtenons une expression simplifiée : (x-3)/(x+10)

Réduire des fractions algébriques

Trouvez le facteur commun au numérateur, c'est-à-dire en haut de la fraction. Lors de la réduction d’une fraction algébrique, la première étape consiste à simplifier les deux côtés. Commencez par le numérateur et essayez de le prendre en compte dans autant de facteurs que possible. Considérons dans cette section la fraction suivante :

Commençons par le numérateur : 9x – 3. Pour 9x et -3, le facteur commun est le nombre 3. Prenons 3 entre parenthèses, comme on le fait avec les nombres ordinaires : 3 * (3x-1). Le résultat de cette transformation est la fraction suivante :

Trouvez le facteur commun au numérateur. Continuons avec l'exemple ci-dessus et notons le dénominateur : 15x+6. Comme précédemment, trouvons par quel nombre les deux parties sont divisibles. Et dans ce cas le commun diviseur est 3, on peut donc écrire : 3 * (5x +2). Réécrivons la fraction sous la forme suivante :

Raccourcissez les mêmes termes. À cette étape, vous pouvez simplifier la fraction. Annulez les mêmes termes au numérateur et au dénominateur. Dans notre exemple, ce nombre est 3.

Déterminer que la fraction a forme la plus simple. Une fraction est complètement simplifiée lorsqu’il n’y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Notez que vous ne pouvez pas annuler les termes qui sont entre parenthèses - dans l'exemple ci-dessus, il n'y a aucun moyen d'isoler x de 3x et 5x, puisque les termes complets sont (3x -1) et (5x + 2). Ainsi, la fraction ne peut pas être simplifiée davantage, et la réponse finale est la suivante :

Entraînez-vous à réduire les fractions par vous-même. La meilleure façon apprendre la méthode est décision indépendante tâches. Les bonnes réponses sont données sous les exemples.

Répondre:(x=13)

Répondre:(2x-1)/5

Mouvements spéciaux

Sortez-le signe négatif au-delà de la fraction. Supposons qu’on vous donne la fraction suivante :

Notez que (x-4) et (4-x) sont « presque » identiques, mais ils ne peuvent pas être réduits immédiatement car ils sont « inversés ». Cependant, (x - 4) peut s'écrire -1 * (4 - x), tout comme (4 + 2x) peut s'écrire 2 * (2 + x). C’est ce qu’on appelle « l’inversion des signes ».

Vous pouvez maintenant réduire les termes identiques (4-x) :

Nous obtenons donc la réponse finale : -3/5 . Apprenez à reconnaître la différence entre les carrés. Une différence de carrés se produit lorsque le carré d'un nombre est soustrait du carré d'un autre nombre, comme dans l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits peut toujours être décomposée en deux parties - la somme et la différence des carrés correspondants. racines carrées. L’expression prendra alors la forme suivante :

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Cette technique est très utile pour trouver des termes communs dans des fractions algébriques.

• Vérifiez si vous avez correctement factorisé telle ou telle expression. Pour ce faire, multipliez les facteurs - le résultat devrait être la même expression.
• Pour simplifier complètement une fraction, isolez toujours les plus grands facteurs.

Dans cet article, nous verrons en détail comment fractions réductrices. Tout d’abord, parlons de ce qu’on appelle réduire une fraction. Après cela, parlons de la réduction d'une fraction réductible à une forme irréductible. Nous obtiendrons ensuite la règle de réduction des fractions et, enfin, considérerons des exemples d'application de cette règle.

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Que signifie réduire une fraction ?

Nous savons que les fractions ordinaires sont divisées en fractions réductibles et irréductibles. D’après les noms, vous pouvez deviner que les fractions réductibles peuvent être réduites, mais pas les fractions irréductibles.

Que signifie réduire une fraction ? Réduire une fraction- cela signifie diviser son numérateur et son dénominateur par leur unité positive et différente de l'unité. Il est clair qu'en raison de la réduction d'une fraction, une nouvelle fraction est obtenue avec un numérateur et un dénominateur plus petits et, en raison de la propriété fondamentale de la fraction, la fraction résultante est égale à l'originale.

Par exemple, réduisons la fraction commune 8/24 en divisant son numérateur et son dénominateur par 2. Autrement dit, réduisons la fraction 8/24 de 2. Puisque 8:2=4 et 24:2=12, cette réduction donne la fraction 4/12, qui est égale à la fraction originale 8/24 (voir fractions égales et inégales). En conséquence, nous avons .

Réduire des fractions ordinaires à une forme irréductible

En règle générale, le but ultime de la réduction d’une fraction est d’obtenir une fraction irréductible égale à la fraction réductible d’origine. Cet objectif peut être atteint en réduisant la fraction réductible originale par son numérateur et son dénominateur. Grâce à une telle réduction, une fraction irréductible est toujours obtenue. En effet, une fraction est irréductible, puisqu'on sait que Et - . Nous dirons ici que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction est le plus grand nombre, par lequel cette fraction peut être réduite.

Donc, réduire une fraction commune à une forme irréductible consiste à diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction réductible originale par leur pgcd.

Regardons un exemple, pour lequel on revient à la fraction 8/24 et on la réduit du plus grand diviseur commun des nombres 8 et 24, qui est égal à 8. Puisque 8:8=1 et 24:8=3, on arrive à la fraction irréductible 1/3. Donc, .

Notez que l’expression « réduire une fraction » signifie souvent réduire la fraction originale à sa forme irréductible. En d’autres termes, réduire une fraction consiste très souvent à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (plutôt que par un quelconque diviseur commun).

Comment réduire une fraction ? Règles et exemples de fractions réductrices

Il ne reste plus qu'à regarder la règle de réduction des fractions, qui explique comment réduire une fraction donnée.

Règle de réduction des fractions se compose de deux étapes :

• tout d'abord, le pgcd du numérateur et du dénominateur de la fraction est trouvé ;
• deuxièmement, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par leur pgcd, ce qui donne une fraction irréductible égale à celle d'origine.

Faisons le tri exemple de réduction d'une fraction selon la règle énoncée.

Exemple.

Réduisez la fraction 182/195.

Solution.

Effectuons les deux étapes prescrites par la règle de réduction d'une fraction.

Nous trouvons d’abord GCD(182, 195) . Il est plus pratique d'utiliser l'algorithme euclidien (voir) : 195=182·1+13, 182=13·14, c'est-à-dire PGCD(182, 195)=13.

Nous divisons maintenant le numérateur et le dénominateur de la fraction 182/195 par 13, et nous obtenons la fraction irréductible 14/15, qui est égale à la fraction originale. Ceci termine la réduction de la fraction.

Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : .

Répondre:

C’est là que nous pouvons finir de réduire les fractions. Mais pour compléter le tableau, examinons deux autres façons de réduire les fractions, qui sont généralement utilisées dans les cas simples.

Parfois, le numérateur et le dénominateur de la fraction à réduire ne sont pas difficiles. Réduire une fraction dans ce cas est très simple : il suffit de supprimer tous les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

Il convient de noter que cette méthode découle directement de la règle des fractions réductrices, puisque le produit de tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur est égal à leur plus grand diviseur commun.

Regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Réduisez la fraction 360/2 940.

Solution.

Factorisons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples : 360=2·2·2·3·3·5 et 2,940=2·2·3·5·7·7. Ainsi, .

Maintenant, nous nous débarrassons des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, pour plus de commodité, nous les biffons simplement : .

Enfin, on multiplie les facteurs restants : , et la réduction de la fraction est terminée.

Voici un bref résumé de la solution : .

Répondre:

Considérons une autre façon de réduire une fraction, qui consiste en une réduction séquentielle. Ici, à chaque étape, la fraction est réduite par un diviseur commun du numérateur et du dénominateur, qui est soit évident, soit facilement déterminé à l'aide de

Sans savoir comment réduire une fraction et sans avoir une compétence constante pour résoudre exemples similaires Il est très difficile d'étudier l'algèbre à l'école. Plus vous avancez, plus les connaissances de base sur les abréviations s'accroissent fractions ordinaires superposé nouvelles informations. D’abord apparaissent des puissances, puis des facteurs, qui deviennent plus tard des polynômes.

Comment pouvez-vous éviter de vous perdre ici ? Consolider en profondeur les compétences dans les matières précédentes et se préparer progressivement à la connaissance de la réduction d'une fraction, qui devient plus complexe d'année en année.

Connaissances de base

Sans eux, vous ne pourrez pas faire face à des tâches de quelque niveau que ce soit. Pour comprendre, il faut comprendre deux moments simples. Premièrement : vous ne pouvez réduire que les facteurs. Cette nuance s’avère très importante lorsque des polynômes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, vous devez clairement distinguer où se trouve le multiplicateur et où se trouve l’addition.

Le deuxième point dit que n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de facteurs. De plus, le résultat de la réduction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits.

Règles de réduction des fractions communes

Tout d’abord, vous devez vérifier si le numérateur est divisible par le dénominateur ou vice versa. Alors c’est précisément ce nombre qu’il faut réduire. C'est l'option la plus simple.

La seconde est l'analyse apparence Nombres. Si les deux se terminent par un ou plusieurs zéros, ils peuvent alors être raccourcis de 10, 100 ou mille. Ici, vous pouvez remarquer si les nombres sont pairs. Si oui, vous pouvez le couper par deux en toute sécurité.

La troisième règle pour réduire une fraction consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. À l’heure actuelle, vous devez utiliser activement toutes vos connaissances sur les signes de divisibilité des nombres. Après cette décomposition, il ne reste plus qu'à trouver tous les répétitifs, à les multiplier et à les réduire par le nombre obtenu.

Et s’il existait une expression algébrique dans une fraction ?

C'est là qu'apparaissent les premières difficultés. Car c’est là qu’apparaissent des termes qui peuvent être identiques à des facteurs. Je veux vraiment les réduire, mais je ne peux pas. Avant de couper fraction algébrique, il doit être transformé pour avoir des multiplicateurs.

Pour ce faire, vous devrez effectuer plusieurs étapes. Vous devrez peut-être les parcourir tous, ou peut-être que le premier offrira une option appropriée.

Vérifiez si le numérateur et le dénominateur ou toute expression qu'ils contiennent diffèrent par leur signe. Dans ce cas, il suffit de mettre moins un entre parenthèses. Cela produit des facteurs égaux qui peuvent être réduits.

Voyez s'il est possible de supprimer le facteur commun du polynôme entre parenthèses. Peut-être que cela entraînera une parenthèse, qui peut également être raccourcie, ou un monôme supprimé.

Essayez de regrouper les monômes afin de leur ajouter ensuite un facteur commun. Après cela, il se peut que certains facteurs puissent être réduits, ou encore que la mise entre parenthèses d'éléments communs soit répétée.

Essayez d'envisager des formules de multiplication abrégées par écrit. Avec leur aide, vous pouvez facilement convertir des polynômes en facteurs.

Séquence d'opérations avec des fractions avec des puissances

Afin de comprendre facilement la question de savoir comment réduire une fraction avec des puissances, vous devez vous rappeler fermement les opérations de base avec elles. Le premier d’entre eux est lié à la multiplication des pouvoirs. Dans ce cas, si les bases sont les mêmes, il faut additionner les indicateurs.

La seconde est la division. Encore une fois, pour ceux qui ont les mêmes raisons, les indicateurs devront être soustraits. De plus, vous devez soustraire du nombre qui figure dans le dividende, et non l'inverse.

La troisième est l'exponentiation. Dans cette situation, les indicateurs sont multipliés.

Une réduction réussie nécessitera également la capacité de réduire les pouvoirs à des bases égales. Autrement dit, voir que quatre fait deux au carré. Ou 27 - le cube de trois. Parce que réduire 9 au carré et 3 au cube est difficile. Mais si nous transformons la première expression comme (3 2) 2, alors la réduction réussira.

De nombreux élèves font les mêmes erreurs lorsqu’ils travaillent avec des fractions. Et tout ça parce qu'ils oublient les règles de base arithmétique. Aujourd'hui, nous répéterons ces règles sur tâches spécifiques que je donne dans mes cours.

Voici la tâche que je propose à tous ceux qui se préparent à l'examen d'État unifié de mathématiques :

Tâche. Un marsouin mange 150 grammes de nourriture par jour. Mais elle a grandi et a commencé à manger 20 % de plus. Combien de grammes de nourriture le porc mange-t-il actuellement ?

Pas la bonne décision. Il s’agit d’un problème de pourcentage qui se résume à l’équation :

Beaucoup (très nombreux) réduisent le nombre 100 au numérateur et au dénominateur d'une fraction :

C’est l’erreur que mon élève a commise le jour même de la rédaction de cet article. Les nombres tronqués sont marqués en rouge.

Inutile de dire que la réponse était fausse. Jugez par vous-même : le cochon a mangé 150 grammes, mais a commencé à en manger 3150 grammes. L'augmentation n'est pas de 20 %, mais de 21 fois, soit de 2000%.

Pour éviter de tels malentendus, rappelez-vous la règle de base :

Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les conditions ne peuvent pas être réduites !

Ainsi, la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Les nombres abrégés au numérateur et au dénominateur sont marqués en rouge. Comme vous pouvez le voir, le numérateur est le produit, le dénominateur est numéro ordinaire. La réduction est donc tout à fait légale.

Travailler avec les proportions

Encore une chose zone problématique — proportions. Surtout quand la variable est des deux côtés. Par exemple:

Tâche. Résolvez l'équation :

Mauvaise solution - certaines personnes ont littéralement envie de tout raccourcir de m :

Les variables réduites sont affichées en rouge. L'expression 1/4 = 1/5 s'avère être un non-sens total, ces nombres ne sont jamais égaux.

Et maintenant, la bonne décision. En gros c'est ordinaire équation linéaire . Il peut être résolu soit en déplaçant tous les éléments d’un côté, soit par la propriété fondamentale de proportion :

De nombreux lecteurs objecteront : « Où est l’erreur dans la première solution ? Eh bien, découvrons-le. Rappelons la règle pour travailler avec des équations :

N'importe quelle équation peut être divisée et multipliée par n'importe quel nombre, non nul.

Vous avez raté l'astuce ? Vous ne pouvez diviser que par des nombres non nul. En particulier, vous ne pouvez diviser par une variable m que si m != 0. Mais que se passe-t-il si m = 0 ? Remplaçons et vérifions :

Nous avons reçu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire m = 0 est la racine de l'équation. Pour le m != 0 restant, nous obtenons une expression de la forme 1/4 = 1/5, ce qui est naturellement incorrect. Il n’y a donc pas de racines non nulles.

Conclusions : tout mettre ensemble

Alors pour résoudre équations rationnelles fractionnaires rappelez-vous trois règles :

1. Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les ajouts ne sont pas autorisés. Par conséquent, apprenez à factoriser le numérateur et le dénominateur ;
2. La propriété principale de la proportion : le produit des éléments extrêmes est égal au produit des éléments moyens ;
3. Les équations ne peuvent être multipliées et divisées que par des nombres k différents de zéro. Le cas k = 0 doit être vérifié séparément.

N'oubliez pas ces règles et ne faites pas d'erreurs.

Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun, différent de un, s'appelle réduire une fraction.

Pour réduire une fraction commune, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.

Ce nombre est le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée.

Les éléments suivants sont possibles formulaires d'enregistrement des décisions Exemples de réduction de fractions communes.

L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'enregistrement.

Exemples. Simplifiez les fractions.

Réduisez la fraction par 3 (divisez le numérateur par 3 ;

divisez le dénominateur par 3).

Réduisez la fraction de 7.

Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.

La fraction résultante est réduite de 5.

Réduisons cette fraction 4) sur 5·7³- le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, qui est constitué des facteurs communs du numérateur et du dénominateur, portés à la puissance du plus petit exposant.

Factorisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en facteurs premiers.

On obtient : 756=2²·3³·7 Et 1176=2³·3·7².

Déterminer le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .

C'est le produit de facteurs communs pris avec les exposants les plus bas.

pgcd(756, 1176)= 2²·3·7.

On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur pgcd, c'est-à-dire par 2²·3·7 on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Ou il était possible d'écrire la décomposition du numérateur et du dénominateur sous la forme d'un produit de facteurs premiers, sans utiliser la notion de puissance, puis de réduire la fraction en rayant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .

Et finalement, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant des signes de division des nombres au numérateur et au dénominateur de la fraction. On raisonne ainsi : des chiffres 756 Et 1176 se terminent par un nombre pair, ce qui signifie que les deux sont divisibles par 2 . On réduit la fraction de 2 . Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 Et 588 également divisé en 2 . On réduit la fraction de 2 . On remarque que le nombre 294 - même, et 189 est étrange, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions la divisibilité des nombres 189 Et 294 sur 3 .

(1+8+9)=18 est divisible par 3 et (2+9+4)=15 est divisible par 3, d'où les nombres eux-mêmes 189 Et 294 sont divisés en 3 . On réduit la fraction de 3 . Suivant, 63 est divisible par 3 et 98 - Non. Regardons d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 . On réduit la fraction de 7 et on obtient la fraction irréductible 9/14 .