Dans cet article, je vais vous montrer algorithmes pour résoudre sept types d'équations rationnelles, qui peut être réduit au quadratique en changeant les variables. Dans la plupart des cas, les transformations qui conduisent au remplacement sont très non triviales et il est assez difficile de les deviner par vous-même.

Pour chaque type d'équation, j'expliquerai comment y apporter un changement de variable, puis montrerai une solution détaillée dans le didacticiel vidéo correspondant.

Vous avez la possibilité de continuer à résoudre les équations vous-même, puis de vérifier votre solution avec la leçon vidéo.

Alors commençons.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Notez que sur le côté gauche de l’équation se trouve un produit de quatre parenthèses et sur le côté droit se trouve un nombre.

1. Regroupons les parenthèses par deux pour que la somme des termes libres soit la même.

2. Multipliez-les.

3. Introduisons un changement de variable.

Dans notre équation, nous regrouperons la première parenthèse avec la troisième, et la deuxième avec la quatrième, puisque (-1)+(-4)=(-7)+2 :

À ce stade, le remplacement de la variable devient évident :

On obtient l'équation

Répondre:

2 .

Une équation de ce type est similaire à la précédente avec une différence : à droite de l’équation se trouve le produit du nombre et . Et cela se résout d'une manière complètement différente :

1. On regroupe les parenthèses par deux pour que le produit des termes libres soit le même.

2. Multipliez chaque paire de parenthèses.

3. Nous retirons x de chaque facteur.

4. Divisez les deux côtés de l'équation par .

5. Nous introduisons un changement de variable.

Dans cette équation, on regroupe la première parenthèse avec la quatrième, et la deuxième avec la troisième, puisque :

A noter que dans chaque tranche le coefficient at et le terme libre sont les mêmes. Retirons un facteur de chaque tranche :

Puisque x=0 n’est pas une racine de l’équation d’origine, nous divisons les deux côtés de l’équation par . On obtient :

On obtient l'équation :

Répondre:

3 .

Notez que les dénominateurs des deux fractions sont trinômes carrés, pour lequel le coefficient dominant et le terme libre sont les mêmes. Sortons x de la parenthèse, comme dans l'équation du deuxième type. On obtient :

Divisez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par x :

Nous pouvons maintenant introduire un remplacement de variable :

On obtient une équation pour la variable t :

4 .

A noter que les coefficients de l'équation sont symétriques par rapport à celui central. Cette équation s'appelle consigné .

Pour le résoudre,

1. Divisez les deux côtés de l’équation par (Nous pouvons le faire puisque x=0 n’est pas une racine de l’équation.) Nous obtenons :

2. Regroupons les termes de cette manière :

3. Dans chaque groupe, retirons le facteur commun entre parenthèses :

4. Présentons le remplacement :

5. Exprimez à travers t l'expression :

D'ici

On obtient l'équation pour t :

Répondre:

5. Équations homogènes.

Des équations qui ont une structure homogène peuvent être rencontrées lors de la résolution d'équations exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, vous devez donc être capable de les reconnaître.

Les équations homogènes ont la structure suivante :

Dans cette égalité, A, B et C sont des nombres, et le carré et le cercle désignent des expressions identiques. C'est-à-dire que sur le côté gauche d'une équation homogène se trouve une somme de monômes ayant le même degré (en dans ce cas le degré des monômes est 2), et il n'y a pas de terme libre.

Pour décider équation homogène, divisez les deux côtés par

Attention! Lorsque vous divisez les côtés droit et gauche d’une équation par une expression contenant une inconnue, vous pouvez perdre des racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l’expression par laquelle nous divisons les deux côtés de l’équation sont les racines de l’équation d’origine.

Allons-y par le premier chemin. On obtient l'équation :

Nous introduisons maintenant le remplacement de variable :

Simplifions l'expression et obtenons bi équation quadratique par rapport à t :

Répondre: ou

7 .

Cette équation a la structure suivante :

Pour le résoudre, vous devez sélectionner un carré complet sur le côté gauche de l’équation.

Pour sélectionner un carré complet, vous devez ajouter ou soustraire deux fois le produit. Ensuite, nous obtenons le carré de la somme ou de la différence. Ceci est crucial pour un remplacement réussi des variables.

Commençons par trouver deux fois le produit. Ce sera la clé pour remplacer la variable. Dans notre équation, le double du produit est égal à

Voyons maintenant ce qui nous convient le mieux : le carré de la somme ou la différence. Considérons d'abord la somme des expressions :

Super! Cette expression est exactement égale au double du produit. Ensuite, pour obtenir le carré de la somme entre parenthèses, vous devez ajouter et soustraire le produit double :

En termes simples, ce sont des équations dans lesquelles il y a au moins une variable au dénominateur.

Par exemple:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemple Paséquations rationnelles fractionnaires :

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Comment les équations rationnelles fractionnaires sont-elles résolues ?

La principale chose à retenir à propos des équations rationnelles fractionnaires est que vous devez y écrire. Et après avoir trouvé les racines, assurez-vous de vérifier leur admissibilité. Sinon, des racines étrangères pourraient apparaître et l'ensemble de la décision sera considéré comme incorrect.

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

Notez et « résolvez » l'ODZ.

Multipliez chaque terme de l'équation par dénominateur commun et réduire les fractions résultantes. Les dénominateurs disparaîtront.

Écrivez l'équation sans ouvrir les parenthèses.

Résolvez l’équation résultante.

Vérifiez les racines trouvées avec ODZ.

Notez dans votre réponse les racines qui ont réussi le test de l'étape 7.

Ne mémorisez pas l'algorithme, 3 à 5 équations résolues et il sera mémorisé tout seul.

Exemple . Résoudre fractionnellement équation rationnelle \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Solution:

Répondre: \(3\).

Exemple . Trouver les racines de l'équation rationnelle fractionnaire \(=0\)

Solution:

Répondre: \(\frac(1)(2)\).

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

• formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires ;
• envisager différentes façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ;
• considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition que la fraction soit égale à zéro ;
• enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires à l'aide d'un algorithme ;
• vérifier le niveau de maîtrise du sujet en réalisant un test.

Du développement:

• développer la capacité d'opérer correctement avec les connaissances acquises et de penser logiquement ;
• développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation ;
• développement de l'initiative, de la capacité de prendre des décisions, et de ne pas s'arrêter là ;
• développement de la pensée critique;
• développement des compétences en recherche.

Éduquer :

• favoriser l'intérêt cognitif pour le sujet ;
• favoriser l’indépendance dans la prise de décision tâches éducatives;
• nourrir la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel.

Bonjour les gars ! Il y a des équations écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier en classe aujourd’hui ? Formulez le sujet de la leçon. Alors, ouvrez vos cahiers et notez le sujet de la leçon «Résoudre des équations rationnelles fractionnaires».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous aurons besoin pour étudier un nouveau sujet. Veuillez répondre aux questions suivantes :

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une ou plusieurs variables.)
2. Quel est le nom de l’équation numéro 1 ? ( Linéaire.) Solution équations linéaires. (Transférez tout avec l'inconnu vers côté gaucheéquations, tous les nombres sont à droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).
3. Quel est le nom de l’équation numéro 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Isoler un carré complet à l'aide de formules utilisant le théorème de Vieta et ses corollaires.)
4. Qu’est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux rapports.) La propriété principale de proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens..)
5. Quelles propriétés sont utilisées lors de la résolution d’équations ? ( 1. Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant son signe, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée.)
6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas zéro..)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l’équation n°2 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété fondamentale de proportion ? (N°5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Résolvez l’équation n°4 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux côtés de l’équation par le dénominateur ? (N° 6).

x2 -7x+12 = 0

D=1›0, x1 =3, x2 =4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l’équation numéro 7 en utilisant l’une des méthodes suivantes.

Expliquez pourquoi cela s'est produit ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l’autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré la notion de racine étrangère ; il leur est en effet très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, l’enseignant pose alors des questions suggestives.

• En quoi les équations n°2 et 4 diffèrent-elles des équations n°5,6,7 ? ( Dans les équations n° 2 et 4, il y a des nombres au dénominateur, les n° 5 à 7 sont des expressions avec une variable.)
• Quelle est la racine d’une équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient vraie.)
• Comment savoir si un nombre est la racine d’une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors des tests, certains élèves remarquent qu’ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui permette d’éliminer cette erreur ? Oui, cette méthode repose sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, ce qui signifie que 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.
2. Réduisez les fractions à un dénominateur commun.
3. Créer un système : une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
4. Résolvez l’équation.
5. Vérifiez l’inégalité pour exclure les racines superflues.
6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si l'on utilise la propriété de base de proportion et en multipliant les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Ajouter à la solution : exclure de ses racines celles qui font disparaître le dénominateur commun).

4. Compréhension initiale du nouveau matériel.

Travaillez en binôme. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l’équation en fonction du type d’équation. Devoirs du manuel « Algèbre 8 », Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600(b,c,i) ; N ° 601 (a, e, g). L'enseignant surveille l'achèvement de la tâche, répond à toutes les questions qui se posent et fournit une assistance aux élèves peu performants. Autotest : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 – racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 – racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12.5.

g) Réponse : 1;1.5.

5. Fixer des devoirs.

1. Lisez le paragraphe 25 du manuel, analysez les exemples 1 à 3.
2. Apprenez un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires.
3. Résoudre dans les cahiers n°600 (a, d, e) ; N° 601(g,h).
4. Essayez de résoudre le numéro 696(a) (facultatif).

6. Réaliser une tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail est réalisé sur des morceaux de papier.

Exemple de tâche :

A) Lesquelles des équations sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est _______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation numéro 6 ?

D) Résoudre l'équation n°7.

Critères d'évaluation de la mission :

• « 5 » est attribué si l'élève a réalisé correctement plus de 90 % de la tâche.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• « 2 » est attribué à un élève qui a réalisé moins de 50 % de la tâche.
• Une note de 2 n'est pas donnée dans le journal, 3 est facultative.

7. Réflexion.

Sur les feuilles de travail indépendantes, écrivez :

• 1 – si la leçon vous a été intéressante et compréhensible ;
• 2 – intéressant, mais pas clair ;
• 3 – pas intéressant, mais compréhensible ;
• 4 – pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires et avons appris à résoudre ces équations. de diverses manières, ont testé leurs connaissances à l'aide d'une formation travail indépendant. Vous apprendrez les résultats de votre travail indépendant dans la prochaine leçon et à la maison, vous aurez l'occasion de consolider vos connaissances.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires, à votre avis, est la plus simple, la plus accessible et la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il retenir ? Quelle est la « ruse » des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, le cours est terminé.

"Résoudre des équations rationnelles fractionnaires"

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires ; envisager différentes façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ; considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition que la fraction soit égale à zéro ; enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires à l'aide d'un algorithme ; vérifier le niveau de maîtrise du sujet en réalisant un test.

Du développement:

développer la capacité d'opérer correctement avec les connaissances acquises et de penser logiquement ; développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation ; développement de l'initiative, de la capacité de prendre des décisions, et de ne pas s'arrêter là ; développement de la pensée critique; développement des compétences en recherche.

Éduquer :

favoriser l'intérêt cognitif pour le sujet ; favoriser l'indépendance dans la résolution des problèmes éducatifs ; nourrir la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel.

Bonjour les gars ! Il y a des équations écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier en classe aujourd’hui ? Formulez le sujet de la leçon. Alors, ouvrez vos cahiers et notez le sujet de la leçon «Résoudre des équations rationnelles fractionnaires».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous aurons besoin pour étudier un nouveau sujet. Veuillez répondre aux questions suivantes :

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une ou plusieurs variables.)

2. Quel est le nom de l'équation n°1 ? ( Linéaire.) Une méthode pour résoudre des équations linéaires. ( Déplacez tout ce qui a l'inconnue vers la gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).

3. Quel est le nom de l'équation n°3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Isoler un carré complet à l'aide de formules utilisant le théorème de Vieta et ses corollaires.)

4. Qu'est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux rapports.) La propriété principale de proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens..)

5. Quelles propriétés sont utilisées lors de la résolution d'équations ? ( 1. Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant son signe, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée.)

6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas zéro..)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l’équation n°2 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété fondamentale de proportion ? (N°5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Résolvez l’équation n°4 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux côtés de l’équation par le dénominateur ? (N° 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l’équation numéro 7 en utilisant l’une des méthodes suivantes.

Expliquez pourquoi cela s'est produit ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l’autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré la notion de racine étrangère ; il leur est en effet très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, l’enseignant pose alors des questions suggestives.

En quoi les équations n°2 et 4 diffèrent-elles des équations n°5,6,7 ? ( Dans les équations n° 2 et 4, il y a des nombres au dénominateur, les n° 5 à 7 sont des expressions avec une variable.) Quelle est la racine d’une équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient vraie.) Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors des tests, certains élèves remarquent qu’ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui permette d’éliminer cette erreur ? Oui, cette méthode repose sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, ce qui signifie que 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.

2. Réduisez les fractions à un dénominateur commun.

3. Créez un système : une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.

4. Résolvez l’équation.

5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.

6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si l'on utilise la propriété de base de proportion et en multipliant les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Ajouter à la solution : exclure de ses racines celles qui font disparaître le dénominateur commun).

4. Compréhension initiale du nouveau matériel.

Travaillez en binôme. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l’équation en fonction du type d’équation. Devoirs du manuel « Algebra 8 », 2007 : n° 000 (b, c, i) ; N° 000(a, d, g). L'enseignant surveille l'achèvement de la tâche, répond à toutes les questions qui se posent et fournit une assistance aux élèves peu performants. Autotest : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 – racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 – racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12.5.

g) Réponse : 1;1.5.

5. Fixer des devoirs.

2. Apprenez l'algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires.

3. Résoudre dans les cahiers n° 000 (a, d, e) ; N° 000(g, h).

4. Essayez de résoudre le numéro 000(a) (facultatif).

6. Réaliser une tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail est réalisé sur des morceaux de papier.

Exemple de tâche :

A) Lesquelles des équations sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est _______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation numéro 6 ?

D) Résoudre l'équation n°7.

Critères d'évaluation de la mission :

« 5 » est attribué si l'élève a réalisé correctement plus de 90 % de la tâche. « 4 » - 75 %-89 % « 3 » - 50 %-74 % « 2 » est attribué à un élève qui a réalisé moins de 50 % de la tâche. Une note de 2 n'est pas donnée dans le journal, 3 est facultative.

7. Réflexion.

Sur les feuilles de travail indépendantes, écrivez :

1 – si la leçon vous a été intéressante et compréhensible ; 2 – intéressant, mais pas clair ; 3 – pas intéressant, mais compréhensible ; 4 – pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations de différentes manières et testé nos connaissances à l'aide d'un travail pédagogique indépendant. Vous apprendrez les résultats de votre travail indépendant dans la prochaine leçon et à la maison, vous aurez l'occasion de consolider vos connaissances.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires, à votre avis, est la plus simple, la plus accessible et la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il retenir ? Quelle est la « ruse » des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, le cours est terminé.

T. Kosiakova,
École n°80, Krasnodar

Résolution d'équations rationnelles quadratiques et fractionnaires contenant des paramètres

Leçon 4

Sujet de la leçon :

Objectif de la leçon : développer la capacité de résoudre des équations rationnelles fractionnaires contenant des paramètres.

Type de cours : introduction de nouveau matériel.

1. (Oralement) Résolvez les équations :

Exemple 1. Résoudre l'équation

Solution.

Trouvons les valeurs invalides un:

Répondre. Si Si un = – 19 , alors il n'y a pas de racines.

Exemple 2. Résoudre l'équation

Solution.

Trouvons les valeurs de paramètres invalides un :

10 – un = 5, un = 5;

10 – un = un, un = 5.

Répondre. Si un = 5 un № 5 , Que x=10– un .

Exemple 3. À quelles valeurs de paramètres b équation a:

a) deux racines ; b) la seule racine ?

Solution.

1) Rechercher les valeurs de paramètres invalides b :

X = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ou b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ou b = – 2.

2) Résoudre l'équation x2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

UN)

Exclusion des valeurs de paramètres non valides b , on trouve que l'équation a deux racines si b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, mais c'est une valeur de paramètre invalide b ; Si b 2 –1=0 , c'est-à-dire b=1 ou.

Réponse : a) si b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , puis deux racines ; b) si b=1 ou b=–1 , alors la seule racine.

Travail indépendant

Option 1

Résolvez les équations :

Option 2

Résolvez les équations :

Réponses

B-1. a) Si un=3 , alors il n'y a pas de racines ; Si b) si si un № 2 , alors il n'y a pas de racines.

B-2. Si un=2 , alors il n'y a pas de racines ; Si un=0 , alors il n'y a pas de racines ; Si
b) si un=– 1 , alors l’équation n’a plus de sens ; s'il n'y a pas de racines ;
Si

Devoir à la maison.

Résolvez les équations :

Réponses : a) Si un № –2 , Que x= un ; Si un=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; b) si un № –2 , Que x=2; Si un=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; c) si un=–2 , Que x– n'importe quel numéro sauf 3 ; Si un № –2 , Que x=2; d) si un=–8 , alors il n'y a pas de racines ; Si un=2 , alors il n'y a pas de racines ; Si

Leçon 5

Sujet de la leçon :"Résoudre des équations rationnelles fractionnaires contenant des paramètres."

Objectifs de la leçon :

formation à la résolution d'équations avec des conditions non standard ;
assimilation consciente par les étudiants des concepts algébriques et des liens entre eux.

Type de cours : systématisation et généralisation.

Vérification des devoirs.

Exemple 1. Résoudre l'équation

a) par rapport à x ; b) par rapport à y.

Solution.

a) Rechercher des valeurs invalides oui: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– valeur de paramètre invalide oui.

Si oui№ 0 , Que x=y–2; Si y=0, alors l’équation n’a plus de sens.

b) Rechercher les valeurs de paramètres invalides x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valeur de paramètre invalide x; y(2+x–y)=0, y=0 ou y=2+x;

y=0 ne satisfait pas à la condition y(y–x)№ 0 .

Réponse : a) si y=0, alors l’équation n’a plus de sens ; Si oui№ 0 , Que x=y–2; b) si x=0 x№ 0 , Que y=2+x .

Exemple 2. Pour quelles valeurs entières du paramètre a sont les racines de l'équation appartiennent à l'intervalle

ré = (3 un + 2) 2 – 4un(un+ 1) 2 = 9 un 2 + 12un + 4 – 8un 2 – 8un,

ré = ( un + 2) 2 .

Si un № 0 ou un № – 1 , Que

Répondre: 5 .

Exemple 3. Trouver relativement x solutions entières à l'équation

Répondre. Si y=0, alors l'équation n'a pas de sens ; Si y=–1, Que x– tout entier sauf zéro ; Si y№ 0, y№ – 1, alors il n'y a pas de solutions.

Exemple 4. Résoudre l'équation avec paramètres un Et b .

Si un№ –b , Que

Répondre. Si une = 0 ou b= 0 , alors l’équation n’a plus de sens ; Si un№ 0, b№ 0, une = –b , Que x– n'importe quel nombre sauf zéro ; Si un№ 0, b№ 0,une№ –b, Que x=–a, x=–b .

Exemple 5. Montrer que pour toute valeur du paramètre n autre que zéro, l’équation a une racine unique égale à – n .

Solution.

c'est-à-dire x=–n, c'était ce qui devait être prouvé.

Devoir à la maison.

1. Trouver des solutions entières à l'équation

2. À quelles valeurs de paramètres céquation a:
a) deux racines ; b) la seule racine ?

3. Trouvez toutes les racines entières de l'équation Si unÀ PROPOS N .

4. Résolvez l'équation 3xy – 5x + 5y = 7 : a) relativement oui; b) relativement x .

1. L'équation est satisfaite par toute valeur entière égale de x et y autre que zéro.
2. a) Quand
b) à ou
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Si alors il n’y a pas de racines ; Si
b) si alors il n'y a pas de racines ; Si

Test

Option 1

1. Déterminer le type d'équation 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 quand : a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Résolvez les équations : a) x 2 –bx=0 ; b) cx2 –6x+1=0; V)

3. Résolvez l'équation 3x–xy–2y=1 :

a) relativement x ;
b) relativement oui .

nx 2 – 26x + n = 0, sachant que le paramètre n n'accepte que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs de b l'équation a:

a) deux racines ;
b) la seule racine ?

Option 2

1. Déterminer le type d'équation 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 quand : a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Résolvez les équations : a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Résolvez l'équation 6x–xy+2y=5 :

a) relativement x ;
b) relativement oui .

4. Trouvez les racines entières de l'équation nx 2 –22x+2n=0 , sachant que le paramètre n n'accepte que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle a:

a) deux racines ;
b) la seule racine ?

Réponses

B-1. 1. a) Équation linéaire ;
b) équation quadratique incomplète ; c) équation quadratique.
2. a) Si b=0, Que x=0; Si b№ 0, Que x=0, x=b;
b) Si cО (9;+Ґ ), alors il n'y a pas de racines ;
c) si un=–4 , alors l’équation n’a plus de sens ; Si un№ –4 , Que x=– un .
3. a) Si y=3, alors il n'y a pas de racines ; Si);
b) un=–3, un=1.

Tâches supplémentaires

Résolvez les équations :

Littérature

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. À propos des paramètres dès le début. – Tuteur, n° 2/1991, p. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Conditions préalables en problèmes avec les paramètres. – Kvant, n° 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Résolution de problèmes contenant des paramètres. Partie 2. – M., Perspective, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Cinq cent quatorze problèmes avec les paramètres. –Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problèmes avec les paramètres. – M., Éducation, 1986.