Définition. Le plus grand entier naturel, par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste, est appelé plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.

Trouvons le plus grand diviseur commun numéros 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.

Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.

Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.

En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.

Trouver plus grand diviseur commun

2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.

Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.

Plus petit commun multiple (LCM)

Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs premiers : 75 = 3 * 5 * 5 et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.

À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.

Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.

Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Ils appelaient un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers vient du fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit. nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3e siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un seul tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) étaient barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.

Les expressions et problèmes mathématiques nécessitent de nombreuses connaissances supplémentaires. NOC est l'un des principaux, particulièrement souvent utilisé dans Le sujet est étudié au lycée, et il n'est pas particulièrement difficile de comprendre la matière ; une personne familiarisée avec les pouvoirs et la table de multiplication n'aura pas de difficulté à identifier les nombres nécessaires et à découvrir les nombres nécessaires ; résultat.

Définition

Un commun multiple est un nombre qui peut être complètement divisé en deux nombres à la fois (a et b). Le plus souvent, ce nombre est obtenu en multipliant les nombres originaux a et b. Le nombre doit être divisible par les deux nombres à la fois, sans écarts.

NOC est la désignation acceptée nom court, recueilli dès les premières lettres.

Façons d'obtenir un numéro

La méthode de multiplication des nombres n'est pas toujours adaptée pour trouver le LCM ; elle est bien mieux adaptée aux nombres simples à un ou deux chiffres. Il est d'usage de diviser en facteurs ; plus le nombre est grand, plus il y aura de facteurs.

Exemple 1

Pour l’exemple le plus simple, les écoles utilisent généralement des nombres premiers, à un ou deux chiffres. Par exemple, vous devez résoudre la tâche suivante, trouver le plus petit commun multiple des nombres 7 et 3, la solution est assez simple, il suffit de les multiplier. En conséquence, il existe un nombre 21, il n'y a tout simplement pas de nombre plus petit.

Exemple n°2

La deuxième version de la tâche est beaucoup plus difficile. Les numéros 300 et 1260 sont donnés, trouver le LOC est obligatoire. Pour résoudre le problème, les actions suivantes sont supposées :

Décomposition du premier et du deuxième nombres en facteurs simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. La première étape est terminée.

La deuxième étape consiste à travailler avec des données déjà obtenues. Chacun des numéros reçus doit participer au calcul du résultat final. Pour chaque facteur, le plus grand nombre d’occurrences est extrait des nombres d’origine. CNP est nombre total, par conséquent, les facteurs des nombres doivent y être répétés, chacun d'entre eux, même ceux qui sont présents dans un seul exemplaire. Les deux nombres initiaux contiennent les nombres 2, 3 et 5, dans des puissances différentes ; 7 n'est présent que dans un cas.

Pour calculer le résultat final, vous devez prendre chaque nombre dans la plus grande des puissances représentées dans l'équation. Il ne reste plus qu'à multiplier et obtenir la réponse ; si elle est correctement remplie, la tâche se déroule en deux étapes sans explication :

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) CNP = 6 300.

C'est tout le problème, si vous essayez de calculer le nombre requis par multiplication, alors la réponse ne sera certainement pas correcte, puisque 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300/300 = 21 - correct ;

6300/1260 = 5 - correct.

L'exactitude du résultat obtenu est déterminée en vérifiant - en divisant le LCM par les deux nombres initiaux ; si le nombre est un nombre entier dans les deux cas, alors la réponse est correcte ;

Que signifie NOC en mathématiques ?

Comme vous le savez, il n’existe pas une seule fonction inutile en mathématiques, celle-ci ne fait pas exception. Le but le plus courant de ce nombre est de réduire les fractions à dénominateur commun. Ce qui est habituellement étudié en 5e et 6e années lycée. C'est également un diviseur commun à tous les multiples, si de telles conditions sont présentes dans le problème. Une telle expression peut trouver des multiples non seulement de deux nombres, mais aussi de plusieurs plus- trois, cinq et ainsi de suite. Plus il y a de chiffres, plus la tâche comporte d’actions, mais cela n’augmente pas la complexité.

Par exemple, étant donné les nombres 250, 600 et 1500, il faut trouver leur LCM commun :

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - cet exemple décrit la factorisation en détail, sans réduction.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pour composer une expression, il faut mentionner tous les facteurs, dans ce cas 2, 5, 3 sont donnés - pour tous ces nombres il faut déterminer le degré maximum.

Attention : tous les facteurs doivent être ramenés à une simplification complète, si possible, décomposés au niveau à un chiffre.

Examen:

1) 3000 / 250 = 12 - correct ;

2) 3000 / 600 = 5 - vrai ;

3) 3000/1500 = 2 - correct.

Cette méthode ne nécessite aucune astuce ni capacité de génie, tout est simple et clair.

Autrement

En mathématiques, beaucoup de choses sont liées, beaucoup de choses peuvent être résolues de deux ou plusieurs manières, il en va de même pour trouver le plus petit commun multiple, LCM. La méthode suivante peut être utilisée dans le cas de nombres simples à deux chiffres et à un chiffre. Un tableau est compilé dans lequel le multiplicande est inscrit verticalement, le multiplicateur horizontalement et le produit est indiqué dans les cellules qui se croisent de la colonne. Vous pouvez refléter le tableau à l'aide d'une ligne, prendre un nombre et noter les résultats de la multiplication de ce nombre par des nombres entiers, de 1 à l'infini, parfois 3 à 5 points suffisent, le deuxième nombre et les suivants subissent le même processus de calcul. Tout se passe jusqu'à ce qu'un multiple commun soit trouvé.

Étant donné les nombres 30, 35, 42, il faut trouver le LCM reliant tous les nombres :

1) Multiples de 30 : 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiples de 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiples de 42 : 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Il est à noter que tous les chiffres sont assez différents, le seul chiffre commun entre eux est le 210, ce sera donc le NOC. Parmi les processus impliqués dans ce calcul, il existe également un plus grand diviseur commun, calculé selon des principes similaires et souvent rencontré dans des problèmes voisins. La différence est faible, mais assez significative, LCM implique le calcul d'un nombre divisé par toutes les valeurs initiales données, et GCD implique le calcul valeur la plus élevée par lequel les nombres originaux sont divisés.

Deuxième numéro : b=

Séparateur de milliers Sans séparateur d'espace "´

Résultat:

Plus grand diviseur commun PGCD ( un,b)=6

Plus petit commun multiple de LCM ( un,b)=468

Le plus grand nombre naturel pouvant être divisé sans reste par les nombres a et b s'appelle plus grand diviseur commun(PGCD) de ces nombres. Noté pgcd(a,b), (a,b), pgcd(a,b) ou hcf(a,b).

Multiple moins commun Le LCM de deux entiers a et b est le plus petit nombre naturel divisible par a et b sans reste. Noté LCM(a,b), ou lcm(a,b).

Les entiers a et b sont appelés mutuellement premier, s'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que +1 et −1.

Plus grand diviseur commun

Soit deux nombres positifs un 1 et un 2 1). Il faut trouver le diviseur commun de ces nombres, c'est-à-dire trouver un tel numéro λ , qui divise les nombres un 1 et un 2 en même temps. Décrivons l'algorithme.

1) Dans cet article, le mot nombre sera compris comme un nombre entier.

Laisser un 1 ≥ un 2 et laissez

Où m 1 , un 3 sont des nombres entiers, un 3 <un 2 (reste de la division un 1 par un 2 devrait être moins un 2).

Faisons comme si λ divise un 1 et un 2 alors λ divise m 1 un 2 et λ divise un 1 −m 1 un 2 =un 3 (Énoncé 2 de l'article « Divisibilité des nombres. Test de divisibilité »). Il s’ensuit que tout diviseur commun un 1 et un 2 est le diviseur commun un 2 et un 3. L’inverse est également vrai si λ diviseur commun un 2 et un 3 alors m 1 un 2 et un 1 =m 1 un 2 +un 3 est également divisible par λ . Donc le diviseur commun un 2 et un 3 est aussi un diviseur commun un 1 et un 2. Parce que un 3 <un 2 ≤un 1, alors on peut dire que la solution au problème de trouver le diviseur commun des nombres un 1 et un 2 réduit au problème plus simple de trouver le diviseur commun des nombres un 2 et un 3 .

Si un 3 ≠0, alors on peut diviser un 2 par un 3. Alors

,

Où m 1 et un 4 sont des nombres entiers, ( un 4 reste de la division un 2 par un 3 (un 4 <un 3)). Par un raisonnement similaire, nous arrivons à la conclusion que les diviseurs communs des nombres un 3 et un 4 coïncide avec les diviseurs communs des nombres un 2 et un 3, et aussi avec des diviseurs communs un 1 et un 2. Parce que un 1 , un 2 , un 3 , un 4, ... sont des nombres qui diminuent constamment, et comme il existe un nombre fini d'entiers entre un 2 et 0, puis à un moment donné n, reste de la division un non un n+1 sera égal à zéro ( un n+2 =0).

.

Tout diviseur commun λ Nombres un 1 et un 2 est aussi un diviseur de nombres un 2 et un 3 , un 3 et un 4 , .... un n et un n+1 . L'inverse est également vrai, les diviseurs communs des nombres un n et un n+1 sont aussi des diviseurs de nombres un n−1 et un n , .... , un 2 et un 3 , un 1 et un 2. Mais le diviseur commun des nombres un n et un n+1 est un nombre un n+1 , parce que un n et un n+1 sont divisibles par un n+1 (rappelez-vous que un n+2 =0). Ainsi un n+1 est aussi un diviseur de nombres un 1 et un 2 .

Notez que le numéro un n+1 est le plus grand diviseur des nombres un n et un n+1 , puisque le plus grand diviseur un n+1 est lui-même un n+1 . Si un n+1 peut être représenté comme un produit d'entiers, alors ces nombres sont également des diviseurs communs de nombres un 1 et un 2. Nombre un n+1 est appelé plus grand diviseur commun Nombres un 1 et un 2 .

Nombres un 1 et un 2 peut être un nombre positif ou négatif. Si l'un des nombres est égal à zéro, alors le plus grand diviseur commun de ces nombres sera égal à la valeur absolue de l'autre nombre. Le plus grand diviseur commun de zéros n’est pas défini.

L'algorithme ci-dessus s'appelle Algorithme euclidien trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers.

Un exemple de recherche du plus grand diviseur commun de deux nombres

Trouvez le plus grand diviseur commun de deux nombres 630 et 434.

• Étape 1. Divisez le nombre 630 par 434. Le reste est 196.
• Étape 2. Divisez le nombre 434 par 196. Le reste est 42.
• Étape 3. Divisez le nombre 196 par 42. Le reste est 28.
• Étape 4. Divisez le nombre 42 par 28. Le reste est 14.
• Étape 5. Divisez le nombre 28 par 14. Le reste est 0.

À l'étape 5, le reste de la division est 0. Par conséquent, le plus grand diviseur commun des nombres 630 et 434 est 14. Notez que les nombres 2 et 7 sont également des diviseurs des nombres 630 et 434.

Nombres premiers entre eux

Définition 1. Soit le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 est égal à un. Ensuite, ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux, n'ayant pas de diviseur commun.

Théorème 1. Si un 1 et un 2 nombres premiers entre eux, et λ un nombre, puis tout diviseur commun de nombres λa 1 et un 2 est aussi un diviseur commun des nombres λ Et un 2 .

Preuve. Considérons l'algorithme euclidien pour trouver le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 (voir ci-dessus).

.

Des conditions du théorème, il s'ensuit que le plus grand diviseur commun des nombres un 1 et un 2 et donc un n et un n+1 vaut 1. C'est-à-dire un n+1 =1.

Multiplions toutes ces égalités par λ , Alors

.

Soit le diviseur commun un 1 λ Et un 2 oui δ . Alors δ est inclus comme multiplicateur dans un 1 λ , m 1 un 2 λ et en un 1 λ -m 1 un 2 λ =un 3 λ (voir "Divisibilité des nombres", Énoncé 2). Plus loin δ est inclus comme multiplicateur dans un 2 λ Et m 2 un 3 λ , et est donc inclus comme facteur dans un 2 λ -m 2 un 3 λ =un 4 λ .

En raisonnant ainsi, nous sommes convaincus que δ est inclus comme multiplicateur dans un n−1 λ Et m n−1 un n λ , et donc dans un n−1 λ −m n−1 un n λ =un n+1 λ . Parce que un n+1 =1, alors δ est inclus comme multiplicateur dans λ . Donc le nombre δ est le diviseur commun des nombres λ Et un 2 .

Considérons des cas particuliers du théorème 1.

Conséquence 1. Laisser un Et c Les nombres premiers sont relativement b. Puis leur produit ca est un nombre premier par rapport à b.

Vraiment. D'après le théorème 1 ca Et b ont les mêmes diviseurs communs que c Et b. Mais les chiffres c Et b relativement simple, c'est-à-dire avoir un seul diviseur commun 1. Alors ca Et b ont également un seul diviseur commun 1. Par conséquent ca Et b mutuellement simples.

Conséquence 2. Laisser un Et b nombres premiers entre eux et laissez b divise eak. Alors b divise et k.

Vraiment. De la condition d'approbation eak Et b avoir un diviseur commun b. En vertu du théorème 1, b doit être un diviseur commun b Et k. Ainsi b divise k.

Le corollaire 1 peut être généralisé.

Conséquence 3. 1. Laissez les chiffres un 1 , un 2 , un 3 , ..., un m sont premiers par rapport au nombre b. Alors un 1 un 2 , un 1 un 2 · un 3 , ..., un 1 un 2 un 3 ··· un m, le produit de ces nombres est premier par rapport au nombre b.

2. Ayons deux rangées de nombres

de telle sorte que chaque nombre de la première série est premier dans le rapport de chaque nombre de la deuxième série. Ensuite le produit

Vous devez trouver des nombres divisibles par chacun de ces nombres.

Si un nombre est divisible par un 1, alors il a la forme sa 1 où s un certain nombre. Si q est le plus grand commun diviseur des nombres un 1 et un 2, alors

Où s 1 est un entier. Alors

est multiples de nombres les moins courants un 1 et un 2 .

un 1 et un 2 sont relativement premiers, donc le plus petit commun multiple des nombres un 1 et un 2:

Nous devons trouver le plus petit commun multiple de ces nombres.

De ce qui précède, il s'ensuit que tout multiple de nombres un 1 , un 2 , un 3 doit être un multiple de nombres ε Et un 3 et retour. Soit le plus petit commun multiple des nombres ε Et un 3 oui ε 1 . Ensuite, des multiples de nombres un 1 , un 2 , un 3 , un 4 doit être un multiple de nombres ε 1 et un 4 . Soit le plus petit commun multiple des nombres ε 1 et un 4 oui ε 2. Ainsi, nous avons découvert que tous les multiples de nombres un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m coïncide avec des multiples d'un certain nombre ε n, qui est appelé le plus petit commun multiple des nombres donnés.

Dans le cas particulier où les nombres un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m sont relativement premiers, alors le plus petit commun multiple des nombres un 1 , un 2, comme représenté ci-dessus, a la forme (3). Ensuite, puisque un 3 premiers par rapport aux nombres un 1 , un 2 alors un 3 nombre premier un 1 · un 2 (Corollaire 1). Signifie le plus petit commun multiple des nombres un 1 ,un 2 ,un 3 est un nombre un 1 · un 2 · un 3. En raisonnant de la même manière, nous arrivons aux affirmations suivantes.

Déclaration 1. Le plus petit commun multiple des nombres premiers un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m est égal à leur produit un 1 · un 2 · un 3 ··· un m.

Déclaration 2. Tout nombre divisible par chacun des nombres premiers entre eux un 1 , un 2 , un 3 ,...,un m est également divisible par leur produit un 1 · un 2 · un 3 ··· un m.

Comment trouver le LCM (le plus petit commun multiple)

Le plus petit commun multiple de deux entiers est le plus petit de tous les entiers divisible par les deux nombres donnés sans laisser de reste.

Méthode 1. Vous pouvez trouver le LCM, tour à tour, pour chacun des nombres donnés, en écrivant par ordre croissant tous les nombres obtenus en les multipliant par 1, 2, 3, 4, et ainsi de suite.

Exemple pour les numéros 6 et 9.
Nous multiplions le nombre 6, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 6, 12, 18 , 24, 30
Nous multiplions le nombre 9, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 9, 18 , 27, 36, 45
Comme vous pouvez le constater, le LCM des nombres 6 et 9 sera égal à 18.

Cette méthode est pratique lorsque les deux nombres sont petits et qu’il est facile de les multiplier par une séquence d’entiers. Cependant, il existe des cas où vous devez trouver le LCM pour des nombres à deux ou trois chiffres, ainsi que lorsqu'il y a trois nombres initiaux ou même plus.

Méthode 2. Vous pouvez trouver le LCM en factorisant les nombres d'origine en facteurs premiers.
Après décomposition, il est nécessaire de rayer les nombres identiques de la série de facteurs premiers résultante. Les nombres restants du premier nombre seront un multiplicateur pour le second, et les nombres restants du second seront un multiplicateur pour le premier.

Exemple pour les numéros 75 et 60.
Le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs simples :
75 = 3 * 5 * 5, un
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Comme vous pouvez le constater, les facteurs 3 et 5 apparaissent dans les deux lignes. Nous les « rayons » mentalement.
Écrivons les facteurs restants inclus dans le développement de chacun de ces nombres. En décomposant le nombre 75, on se retrouve avec le chiffre 5, et en décomposant le nombre 60, on se retrouve avec 2 * 2
Cela signifie que pour déterminer le LCM pour les nombres 75 et 60, nous devons multiplier les nombres restants de l'expansion de 75 (c'est 5) par 60, et multiplier les nombres restants de l'expansion de 60 (c'est 2). * 2) par 75. Autrement dit, pour faciliter la compréhension, nous disons que nous multiplions « en croix ».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
C'est ainsi que nous avons trouvé le LCM pour les nombres 60 et 75. Il s'agit du nombre 300.

Exemple. Déterminez le LCM pour les nombres 12, 16, 24
Dans ce cas, nos actions seront un peu plus compliquées. Mais d’abord, comme toujours, factorisons tous les nombres
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pour déterminer correctement le LCM, nous sélectionnons le plus petit de tous les nombres (c'est le nombre 12) et parcourons séquentiellement ses facteurs, en les barrant si dans au moins une des autres lignes de nombres nous rencontrons le même facteur qui n'a pas encore été barré.

Étape 1 . Nous voyons que 2 * 2 apparaît dans toutes les séries de nombres. Rayons-les.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Étape 2. Dans les facteurs premiers du nombre 12, seul le chiffre 3 reste mais il est présent dans les facteurs premiers du nombre 24. On raye le chiffre 3 des deux lignes, alors qu'aucune action n'est requise pour le chiffre 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Comme vous pouvez le voir, lors de la décomposition du nombre 12, nous avons « barré » tous les nombres. Cela signifie que la recherche du LOC est terminée. Il ne reste plus qu'à calculer sa valeur.
Pour le nombre 12, prenez les facteurs restants du nombre 16 (suivant par ordre croissant)
12 * 2 * 2 = 48
C'est le CNO

Comme vous pouvez le constater, dans ce cas, trouver le LCM était un peu plus difficile, mais lorsque vous avez besoin de le trouver pour trois nombres ou plus, cette méthode vous permet de le faire plus rapidement. Cependant, les deux méthodes pour trouver le LCM sont correctes.

Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .

Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.

Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).

Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).

Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Donc, Fonction Chebyshev. Et:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Recherche du plus petit commun multiple (LCM).

CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :

2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

Où p 1 ,...,pk- divers nombres premiers, et d 1 ,...,dk Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :

Règle. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;

— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.

Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;

5) multiplier ces pouvoirs.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.