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| Déclaration complexe. Types d'instructions complexes. Logique propositionnelle : théorie et application. Exemples de solutions à des problèmes |
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TYPE DE LEÇON : cours combiné - explication de la nouvelle matière suivie d'une consolidation des connaissances acquises. DURÉE DE LA LEÇON : 40 minutes. BASE MATÉRIELLE ET TECHNIQUE :
PLAN DE LEÇON : JE. Moment d'organisation- 1 mn. II. Fixer des objectifs de cours - 2 min. III. Actualisation des connaissances - 9 min. IV. Présentation du nouveau matériel - 15 min. V. Consolidation du matériel étudié - 8 min. VI. Réflexion "Phrases inachevées" - 3 min. VII. Conclusion. Devoirs - 2 min. DÉROULEMENT DE LA LEÇON I. Moment organisationnel. Salutations, en marquant les absents de la classe. Diapositive 1 Nous continuons à étudier la section "Langage logique". Aujourd'hui, notre leçon est consacrée au thème « Déclarations logiques ». Commençons par vérifier devoirs(les poèmes des étudiants sont lus, qui contiennent de nombreux connecteurs logiques (opérations) et la conclusion est tirée que des informations arbitraires peuvent être interprétées sans ambiguïté sur la base de l'algèbre de la logique). Ainsi, le but de notre leçon est d'étudier les opérations logiques et de découvrir que des informations arbitraires peuvent être interprétées sans ambiguïté sur la base de l'algèbre de la logique. Mais vous devez d’abord revoir le matériel appris lors de la dernière leçon. III. Actualisation des connaissances (enquête frontale). Tâche 1. Travailler avec des cartes (donner des réponses brèves aux questions posées). Science qui étudie les lois et les formes de pensée.
Le nombre 2 n'est pas un diviseur du nombre 9.
La somme des angles d'un triangle vaut 1900. Les pingouins vivent au pôle Nord de la Terre. Alors, qu’est-ce qu’une déclaration ? (Une phrase déclarative qui peut être considérée comme vraie ou fausse.) Qu'est-ce qu'une simple déclaration ? (Une instruction est dite simple (élémentaire) si aucune de ses parties n’est une instruction.) Qu'est-ce qu'une instruction composée ? (Une instruction composée consiste en déclarations simples, reliés par des connecteurs logiques (opérations).) Tâche 2. Construisez des énoncés composés à partir d'énoncés simples : "A = Petya lit un livre", "B = Petya boit du thé." (sur l'écran - diapositive 2) Continuons à travailler.
IV. Présentationnouveau matériel. Dans les tâches précédentes, divers connecteurs logiques ont été utilisés : « et », « ou », « non », « si : alors : », « si et seulement si : ». En logique algébrique, les connecteurs logiques et les opérations logiques correspondantes ont des noms spéciaux. Considérons 3 opérations logiques de base - inversion, conjonction et disjonction, à l'aide desquelles vous pouvez obtenir des instructions composées. (diapositive 7) Toute opération logique est définie par une table appelée table de vérité. La table de vérité d'une expression logique est un tableau où toutes les combinaisons possibles de valeurs des données source sont écrites sur le côté gauche et sur le côté droit - la valeur de l'expression pour chaque combinaison. La négation est une opération logique qui associe chaque énoncé simple (élémentaire) à un nouvel énoncé dont le sens est opposé à celui d'origine. ( glisser 8) Considérons la règle pour construire une négation d'un énoncé simple. Règle: Lors de la construction d'une négation d'un énoncé simple, soit l'expression « ce n'est pas vrai que » est utilisée, soit la négation est construite en un prédicat, puis la particule « non » est ajoutée au prédicat et le mot « tout » est remplacé par « certains » et vice versa. Tâche 4. Construisez une inversion (négation) d’une instruction simple :
L’affirmation « Tous les garçons de 11e année ne sont pas d’excellents élèves » n’est pas un démenti de l’affirmation « Tous les garçons de 11e année sont d’excellents élèves ». L’affirmation « Tous les garçons de 11e année sont d’excellents élèves » est fausse, et la négation d’une fausse affirmation doit être une affirmation vraie. Mais l'affirmation « Tous les garçons de 11e année ne sont pas d'excellents élèves » n'est pas vraie, puisque parmi les élèves de 11e année, il y a à la fois d'excellents élèves et des élèves non excellents. La négation peut être représentée graphiquement comme un ensemble. ( diapositive 11) Considérons l'opération logique suivante : la conjonction. Un énoncé composé de deux énoncés en les combinant avec un connecteur « et » est appelé une conjonction ou une multiplication logique (en plus des connecteurs - a, mais, bien que) sont utilisés. Conjonction- une opération logique qui associe chacune de deux affirmations élémentaires à une nouvelle affirmation, qui est vraie si et seulement si les deux affirmations initiales sont vraies. ( glisser 12) Graphiquement, une conjonction peut être représentée comme un ensemble. ( glisser 13) Considérons l'opération logique suivante : la disjonction. Un énoncé composé de deux énoncés unis par le connecteur « ou » est appelé disjonction ou addition logique. Disjonction- une opération logique qui associe chacune de deux affirmations élémentaires à une nouvelle affirmation, qui est fausse si et seulement si les deux affirmations initiales sont fausses. ( glisser 14) Graphiquement, une disjonction peut être représentée comme un ensemble. ( glisser 15) Alors, quelles sont les trois opérations de base que nous avons apprises ? ( glisser 16) Essayons d'appliquer nos nouvelles connaissances lors du test. V. Consolidation de la matière étudiée (travail au tableau). Tâche 5. Faites correspondre le schéma et sa désignation.( glisser 17) Tâche 6. Il y a deux affirmations simples : A = « Le nombre 10 est pair », B = « Le loup est un herbivore ». Composez toutes les déclarations composées possibles à partir d'elles et déterminez leur vérité.
Une déclaration est une formation plus complexe qu'un nom. Lorsque nous décomposons des déclarations en parties plus simples, nous obtenons toujours certains noms. Supposons que la déclaration « Le soleil est une étoile » inclut les noms « Soleil » et « étoile » comme parties. Déclaration- une phrase grammaticalement correcte, prise ensemble avec le sens (contenu) qu'elle exprime et étant vraie ou fausse. Le concept d'énoncé est l'un des plus originaux, notions clés logique. En tant que tel, il ne permet pas définition précise, également applicable dans ses différentes sections. Une affirmation est considérée comme vraie si la description qu’elle donne correspond à la situation réelle, et fausse si elle n’y correspond pas. « Vrai » et « faux » sont appelés « valeurs de vérité des déclarations ». À partir de déclarations individuelles de différentes manières vous pouvez construire de nouvelles déclarations. Par exemple, à partir des affirmations « Le vent souffle » et « Il pleut », vous pouvez former des affirmations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « S'il pleut, alors le vent souffle ", etc. . La déclaration s'appelle simple,à moins qu'il n'inclue d'autres déclarations dans le cadre de celui-ci. La déclaration s'appelle je suis compliqué, s'il est obtenu à l'aide de connecteurs logiques à partir d'autres instructions plus simples. Considérons le plus moyens importants construire des énoncés complexes. Déclaration négative se compose d'une affirmation initiale et d'une négation, généralement exprimées par les mots « non », « ce n'est pas vrai que ». Un énoncé négatif est donc un énoncé complexe : il inclut comme partie un énoncé différent de lui. Par exemple, la négation de l'affirmation « 10 est un nombre pair » est l'affirmation « 10 n'est pas un nombre pair » (ou : « Il n'est pas vrai que 10 soit un nombre pair »). Désignons les énoncés par les lettres A, B, C,... Le sens plein de la notion de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé A est vrai, sa négation est fausse, et si A est faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque « 1 est un nombre entier positif » est vrai, sa négation « 1 n'est pas un nombre entier positif » est fausse, et puisque « 1 est un nombre premier » est fausse, sa négation « 1 n'est pas un nombre premier » est fausse. vrai. Relier deux instructions à l’aide du mot « et » produit une instruction complexe appelée conjonction. Les instructions connectées de cette manière sont appelées « membres d’une conjonction ». Par exemple, si l’on combine ainsi les affirmations « Il fait chaud aujourd’hui » et « Hier il faisait froid », on obtient la conjonction « Aujourd’hui il fait chaud et hier il faisait froid ». Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse. Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu’ils sont liés l’un à l’autre par leur contenu ou leur signification. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il marchait en manteau et je marchais vers l'université » comme une expression qui a un sens et peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est grande ville» sont vrais, nous ne sommes pas enclins à considérer leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville » comme vraie, puisque ses énoncés constitutifs n'ont pas de sens les uns par rapport aux autres. En simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et, à cette fin, en abandonnant le concept peu clair de « connexion des énoncés par le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus clair. Relier deux instructions en utilisant le mot « ou » donne disjonction ces déclarations. Les déclarations qui forment une disjonction sont appelées « membres de la disjonction ». . Le mot « ou » a deux significations différentes dans le langage courant. Parfois, cela signifie « l’un ou l’autre ou les deux », et parfois « l’un ou l’autre, mais pas les deux ». Par exemple, la déclaration « Cette saison, je veux y aller » Dame de pique« ou à Aïda » permet la possibilité de visiter l'opéra deux fois. La mention « Il étudie à l'Université de Moscou ou de Iaroslavl » implique que la personne en question a étudié dans une seule de ces universités. Le premier sens de « ou » s’appelle non exclusif. Pris dans ce sens, la disjonction de deux énoncés signifie qu'au moins un de ces énoncés est vrai, qu'ils soient tous les deux vrais ou non. Pris dans la seconde exclusif, ou sens strict, la disjonction de deux affirmations indique que l’une des affirmations est vraie et la seconde est fausse. Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins un de ses énoncés constitutifs est vrai, et fausse uniquement lorsque ses deux membres sont faux. Une disjonction exclusive est vraie lorsqu’un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux. En logique et en mathématiques, le mot « ou » est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif. Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée à l'aide du connecteur « si… alors… » et établissant qu'un événement, un état, etc. est dans un sens ou dans un autre la base ou la condition d'un autre. Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc. Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui qui est précédé du mot « si » s’appelle base, ou antécédent(précédent), l’énoncé qui suit le mot « cela » s’appelle conséquence, ou consécutif(ultérieur). En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons tout d'abord qu'il ne peut pas se produire que ce qui est dit dans sa base ait lieu et que ce qui est dit dans la conséquence soit absent. En d’autres termes, il ne peut pas arriver que l’antécédent soit vrai et que le conséquent soit faux. En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de conditions suffisantes et nécessaires sont généralement définis : l'antécédent (fond) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la vérité de l’énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure des alternatives disponibles est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure des options disponibles et que le choix d’une telle option est une condition nécessaire à sa rationalité. Une fonction typique d'une instruction conditionnelle est de justifier une instruction par référence à une autre instruction. Par exemple, le fait que l’argent soit électriquement conducteur peut être justifié par le fait qu’il s’agit d’un métal : « Si l’argent est un métal, il est électriquement conducteur ». Le lien entre le justificatif et le justifié (fondement et conséquence) exprimé par une déclaration conditionnelle est difficile à caractériser dans vue générale, et ce n'est que parfois que sa nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, une connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion d'une conclusion correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle ») ; deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à un frottement, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, un lien causal (« Si la Lune est au nœud de son orbite à la nouvelle lune, éclipse solaire"); quatrièmement, un modèle social, une règle, une tradition (« Si la société change, la personne change aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être suivi »), etc. Le lien exprimé par une déclaration conditionnelle s'accompagne généralement de la croyance que la conséquence « découle » avec une certaine nécessité de la raison et qu'il existe une loi générale que, ayant pu formuler, nous pourrions logiquement déduire la conséquence de la raison. raison. Par exemple, l’énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal, il est ductile » semble présupposer la loi générale « Tous les métaux sont ductiles », faisant du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent. Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de la fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est associée à aucune loi ou règle générale implicite (« Si je veux, je couperai mon manteau»); enregistrez une séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleut ») ; exprimer son incrédulité sous une forme particulière (« Si vous résolvez ce problème, je prouverai le dernier théorème de Fermat ») ; opposition (« Si un sureau pousse dans le jardin, alors un oncle vit à Kiev »), etc. Les fonctions nombreuses et hétérogènes d'une instruction conditionnelle compliquent considérablement son analyse. L'utilisation d'instructions conditionnelles est associée à certains facteurs psychologiques. Nous formulons habituellement une telle affirmation seulement si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et sa conséquence sont vrais ou faux. Sinon, son utilisation semble contre nature (« Si le coton est métallique, il est conducteur d’électricité »). L'instruction conditionnelle est très large application dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est généralement représenté par énoncé implicite, ou conséquences. En même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'usage du « si..., alors... » et le libère de l'influence des facteurs psychologiques. La logique est notamment abstraite du fait que le lien entre raison et conséquence, caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut être exprimé non seulement par « si... alors... », mais aussi par d'autres termes linguistiques. moyens. Par exemple, « Puisque l’eau est un liquide, elle transmet uniformément la pression dans toutes les directions », « Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c’est du plastique », « Si le bois était du métal, il serait conducteur d’électricité », etc. les déclarations sont représentées dans le langage de la logique au moyen d’implications, bien que l’utilisation de « si… alors… » ne serait pas tout à fait naturelle. En affirmant une implication, nous affirmons qu'il ne peut pas arriver que sa base ait lieu et que sa conséquence soit absente. En d’autres termes, une implication n’est fausse que si sa raison est vraie et sa conséquence est fausse. Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que chaque énoncé est vrai ou faux et que la valeur de vérité d'un énoncé complexe dépend uniquement des valeurs de vérité de ses énoncés constitutifs et de la manière dont ils sont connectés. Une implication est vraie lorsque sa raison et sa conséquence sont toutes deux vraies ou fausses ; elle est vraie si sa raison est fausse et si sa conséquence est vraie. Ce n’est que dans le quatrième cas, lorsque la raison est vraie et la conséquence fausse, que l’implication est fausse. Cela n’implique pas que les déclarations A et B soient liées d’une manière ou d’une autre dans leur contenu. Si B est vrai, l’énoncé « si A, alors B » est vrai, que A soit vrai ou faux et qu’il ait ou non un lien de sens avec B. Par exemple, les affirmations suivantes sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux fois deux égale quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. L'affirmation conditionnelle est également vraie. lorsque A est faux, et en même temps encore, cela ne fait aucune différence que B soit vrai ou non et qu'il ait ou non un rapport de contenu avec A. Les affirmations vraies incluent : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux et deux font cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc. Dans le raisonnement ordinaire, il est peu probable que toutes ces affirmations soient considérées comme significatives, et encore moins comme vraies. Bien que l’implication soit utile à de nombreuses fins, elle n’est pas entièrement cohérente avec la compréhension habituelle de la connexion conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique d'une instruction conditionnelle, mais en même temps, elle n'en constitue pas une description suffisamment adéquate. Au cours du dernier demi-siècle, de vigoureuses tentatives ont été menées pour réformer la théorie de l’implication. En même temps, il ne s'agissait pas d'abandonner le concept d'implication décrit, mais d'introduire, avec lui, un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais aussi leur lien dans le contenu. Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelée « double implication ». Équivalence- un énoncé complexe « A, si et seulement si B », formé des énoncés A et B et se décomposant en deux implications : « si A, alors B », et « si B, alors A ». Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s’il est équiangulaire. » Le terme « équivalence » désigne également le connecteur « …, si et seulement si… », à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de « si et seulement si », « si et seulement si », « si et seulement si », etc. peuvent être utilisés à cette fin. Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de mensonge, une équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés qui la composent ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire lorsqu'ils sont à la fois vrais et faux. En conséquence, une équivalence est fausse lorsque l’une des affirmations qu’elle contient est vraie et l’autre est fausse. Lors de l'examen des moyens de former des énoncés complexes à partir d'énoncés simples, la structure interne des énoncés simples n'a pas été prise en compte. Ils ont été considérés comme des particules indécomposables avec une seule propriété : être vraies ou fausses. Des paroles simples Ce n'est pas un hasard s'ils sont parfois appelés atomiques : à partir d'eux, comme à partir de briques élémentaires, à l'aide de connecteurs logiques « et », « ou », etc., divers énoncés complexes (« moléculaires ») sont construits. Il faut maintenant s'attarder sur la question de structure interne, ou la structure interne, des déclarations simples elles-mêmes : à partir de quelles parties spécifiques elles sont composées et comment ces parties sont interconnectées. Il faut immédiatement souligner que des déclarations simples peuvent être décomposées de différentes manières en leurs éléments constitutifs. Le résultat de la décomposition dépend du but pour lequel elle est effectuée, c'est-à-dire du concept d'inférence logique (conséquence logique) dans le cadre duquel de telles déclarations sont analysées. L'intérêt particulier pour les énoncés catégoriques s'explique principalement par le fait que le développement de la logique en tant que science a commencé avec l'étude de leurs connexions logiques. De plus, les énoncés de ce type sont largement utilisés dans notre raisonnement. La théorie des connexions logiques des énoncés catégoriques est généralement appelée syllogistique. Par exemple, dans la déclaration « Tous les dinosaures sont éteints », l’attribut « étant éteint » est attribué aux dinosaures. Dans la proposition « Certains dinosaures ont volé », la capacité de voler est attribuée à certaines espèces des dinosaures. La proposition « Toutes les comètes ne sont pas des astéroïdes » nie la présence de l’attribut « être un astéroïde » dans chacune des comètes. La proposition « Certains animaux ne sont pas herbivores » nie le caractère herbivore de certains animaux. Si nous ignorons les caractéristiques quantitatives contenues dans un énoncé catégorique et exprimées par les mots « tous » et « certains », nous obtenons deux versions de ces énoncés : affirmative et négative. Leur structure : "S est P" et "S n'est pas P" où la lettre S représente le nom de l'élément sur lequel nous parlons de dans une déclaration, et la lettre P est le nom d'une caractéristique inhérente ou non inhérente à cet objet. Le nom de l'objet mentionné dans une déclaration catégorique est appelé sujet, et le nom de son attribut est prédicat. Le sujet et le prédicat s'appellent termesénoncés catégoriques et sont reliés par des connecteurs « est » ou « n'est pas » (« est » ou « n'est pas », etc.). Par exemple, dans l'énoncé « Le soleil est une étoile », les termes sont les noms « Soleil » et « étoile » (le premier d'entre eux est le sujet de l'énoncé, le second est son prédicat), et le mot « est » est le connecteur. Des déclarations simples comme « S est (n'est pas) P » sont appelées attributives : elles impliquent l'attribution (attribution) d'une certaine propriété à un objet. Les déclarations attributives s'opposent aux déclarations sur les relations dans lesquelles des relations sont établies entre deux ou plusieurs objets : « Trois font moins de cinq », « Kiev est plus grande qu'Odessa », « Le printemps est meilleur que l'automne », « Paris est situé entre Moscou et New York », etc. Les déclarations sur les relations jouent un rôle important en science, en particulier en mathématiques. Ils ne sont pas réductibles à des énoncés catégoriques, puisque les relations entre plusieurs objets (comme « égal », « aime », « plus chaud », « est entre », etc.) ne sont pas réductibles aux propriétés d’objets individuels. L’un des défauts majeurs de la logique traditionnelle était qu’elle considérait les jugements sur les relations comme réductibles aux jugements sur les propriétés. Dans un énoncé catégorique, le lien entre l'objet et l'attribut est non seulement établi, mais aussi un certain caractéristique quantitative sujet de l’énoncé. Dans des déclarations telles que « Tous les S sont (ne sont pas) P », le mot « tous » signifie « chacun des objets de la classe correspondante ». Dans des déclarations telles que « Certains S sont (ne sont pas) P », le mot « certains » est utilisé dans un sens non exclusif et signifie « certains, ou peut-être tous ». Dans un sens exclusif, le mot « certains » signifie « seulement certains » ou « certains, mais pas tous ». La différence entre les deux sens de ce mot peut être illustrée par l’affirmation « Certaines étoiles sont des étoiles ». Dans un sens non exclusif, cela signifie « Certaines étoiles, peut-être toutes, sont des étoiles » et c'est évidemment vrai. Dans son sens d'exclusion, cette affirmation signifie « Seules certaines étoiles sont des étoiles » et est clairement fausse. Dans les énoncés catégoriques, l'appartenance de certaines caractéristiques aux objets considérés est affirmée ou niée et il est indiqué si l'on parle de tous ces objets ou de certains d'entre eux. Ainsi, quatre types d’énoncés catégoriques sont possibles : Tout S est P - une déclaration généralement affirmative, Un certain S est P - une déclaration affirmative particulière, Tout S n'est pas P - une affirmation généralement négative, Un certain S n'est pas P - une déclaration négative particulière. Les déclarations catégoriques peuvent être considérées comme le résultat de la substitution de certains noms dans les expressions suivantes avec des espaces (ellipses) : « Tous… sont… », « Certains… sont… », « Tous… sont… » pas… » et « Certains… ne sont pas… ». Chacune de ces expressions est une constante logique (opération logique) qui permet d'obtenir une instruction à partir de deux noms. Par exemple, en remplaçant les noms « volants » et « oiseaux » au lieu de points, nous obtenons respectivement les énoncés suivants : « Tous les volants sont des oiseaux », « Certains volants sont des oiseaux », Inférences « Tous ceux qui volent ne sont pas des oiseaux » et « Certains qui volent ne sont pas des oiseaux ». Les première et troisième affirmations sont fausses et les deuxième et quatrième sont vraies. Inférences "D'une goutte d'eau, une personne qui sait penser logiquement peut conclure à l'existence de l'océan Atlantique ou des chutes du Niagara, même si elle n'en a jamais vu ni entendu parler... Par les ongles d'une personne, par ses mains, chaussures, le pli de son pantalon sur les genoux, le long de l'épaississement de la peau sur les larges et index, par l'expression de son visage et les poignets de sa chemise - à partir de telles bagatelles, il n'est pas difficile de deviner sa profession. Et il ne fait aucun doute que tout cela pris ensemble incitera un observateur averti à tirer les bonnes conclusions.» Ceci est une citation d’un article politique du plus célèbre détective et consultant de la littérature mondiale, Sherlock Holmes. Basé sur les moindres détails, il a construit des chaînes de raisonnement logiquement impeccables et a résolu des crimes complexes, souvent sans quitter son appartement de Baker Street. Holmes a utilisé une méthode déductive qu'il a lui-même créée et qui, comme le croyait son ami le Dr Watson, plaçait la résolution de crimes à la limite d'une science exacte. Bien sûr, Holmes a quelque peu exagéré l'importance de la déduction en médecine légale, mais son raisonnement sur la méthode déductive a fait son travail. La « déduction » d'un terme spécial connu seulement de quelques-uns est devenue un concept couramment utilisé et même à la mode. La vulgarisation de l'art du raisonnement correct, et surtout du raisonnement déductif, n'est pas moins un mérite de Holmes que tous les crimes qu'il a résolus. Il a réussi à « donner à la logique le charme d'un rêve, se frayant un chemin à travers le labyrinthe cristallin des déductions possibles jusqu'à une seule conclusion brillante » (V. Nabokov). La déduction est cas particulier inférences. DANS au sens largeinférence - une opération logique à la suite de laquelle une nouvelle déclaration est obtenue à partir d'une ou plusieurs déclarations acceptées (prémisses) - une conclusion (conclusion, conséquence). Selon qu'il existe ou non un lien entre les prémisses et la conclusion conséquence logique, deux types d’inférences peuvent être distingués. Au cœur raisonnement déductif réside une loi logique, en raison de laquelle la conclusion découle avec une nécessité logique des prémisses acceptées. Particularité une telle conclusion est qu’elle mène toujours de vraies prémisses à une vraie conclusion. DANS raisonnement inductif le lien entre les prémisses et la conclusion ne repose pas sur la loi de la logique, mais sur des fondements factuels ou psychologiques qui ne sont pas de nature purement formelle. Dans une telle inférence, la conclusion ne découle pas logiquement des prémisses et peut contenir des informations qui n’y figurent pas. La fiabilité des prémisses ne signifie donc pas la fiabilité de l’énoncé qui en dérive inductivement. L'induction ne donne que le probable, ou plausible, des conclusions qui nécessitent une vérification plus approfondie. Les inférences déductives comprennent, par exemple, les éléments suivants : S'il pleut, le sol est mouillé. Il pleut. Le sol est humide. Si l’hélium est un métal, il est conducteur d’électricité. L'hélium n'est pas conducteur d'électricité. L'hélium n'est pas un métal. La ligne séparant les prémisses de la conclusion remplace, comme d'habitude, le mot « donc ». Des exemples d'induction incluent le raisonnement : L'Argentine est une république ; Le Brésil est une république ; Le Venezuela est une république ; L'Équateur est une république. L'Argentine, le Brésil, le Venezuela et l'Équateur sont des États d'Amérique latine. Tous les États latino-américains sont des républiques . L'Italie est une république, le Portugal est une république, la Finlande est une république, la France est une république. L'Italie, le Portugal, la Finlande et la France sont des pays d'Europe occidentale. Tous les pays d'Europe occidentale sont des républiques. L'induction n'offre pas une garantie complète d'obtenir une nouvelle vérité à partir de celles existantes. Le maximum dont nous pouvons parler est un certain degré de probabilité que l’énoncé soit déduit. Ainsi, les prémisses de la première et de la deuxième inférences inductives sont vraies, mais la conclusion de la première est vraie et la seconde est fausse. En effet, tous les États latino-américains sont des républiques ; mais parmi les pays d'Europe occidentale, il existe non seulement des républiques, mais aussi des monarchies, par exemple l'Angleterre, la Belgique et l'Espagne. Inférences Les déductions particulièrement caractéristiques sont les transitions logiques des connaissances générales aux connaissances particulières, telles que : Tous les métaux sont ductiles. Le cuivre est un métal. Le cuivre est ductile. Dans tous les cas où il faut considérer certains phénomènes à partir de ce qui est déjà connu règle générale et pour tirer la conclusion nécessaire concernant ces phénomènes, nous concluons sous forme de déduction. Raisonnement menant de la connaissance de certains objets (connaissance privée) à la connaissance de tous les objets d'une certaine classe ( connaissances générales), sont des inductions typiques. Il est toujours possible que la généralisation se révèle hâtive et infondée (« Napoléon est un commandant ; Souvorov est un commandant ; cela signifie que chaque personne est un commandant »). En même temps, on ne peut pas identifier la déduction avec le passage du général au particulier, et l'induction avec le passage du particulier au général. Dans l'argumentation, « Shakespeare a écrit des sonnets ; il n’est donc pas vrai que Shakespeare n’ait pas écrit de sonnets. » Il y a une déduction, mais il n’y a pas de transition du général au particulier. Le raisonnement « Si l’aluminium est plastique ou l’argile est plastique, alors l’aluminium est plastique » est, comme on le pense communément, inductif, mais il n’y a pas de transition du particulier au général. La déduction est la dérivation de conclusions aussi fiables que les prémisses acceptées, l'induction est la dérivation de conclusions probables (plausibles). Les inférences inductives comprennent à la fois les transitions du particulier au général, ainsi que l'analogie, les méthodes d'établissement de relations causales, la confirmation des conséquences, la justification délibérée, etc. L’intérêt particulier porté au raisonnement déductif est compréhensible. Ils permettent d'obtenir de nouvelles vérités à partir des connaissances existantes, et de plus, à l'aide du raisonnement pur, sans recourir à l'expérience, à l'intuition, au bon sens, etc. La déduction offre une garantie de succès à cent pour cent, et ne fournit pas simplement une ou une autre probabilité – peut-être même élevée – d’aboutir à une conclusion vraie. En partant de prémisses vraies et en raisonnant de manière déductive, nous sommes sûrs d’obtenir des connaissances fiables dans tous les cas. Tout en soulignant l'importance de la déduction dans le processus de déploiement et de justification des connaissances, il ne faut pas pour autant la séparer de l'induction et sous-estimer cette dernière. Presque tout dispositions générales, y compris les lois scientifiques, sont le résultat d'une généralisation inductive. En ce sens, l’induction est la base de nos connaissances. En soi, il ne garantit pas sa véracité et sa validité, mais il suscite des hypothèses, les relie à l'expérience et leur confère ainsi une certaine crédibilité, plus ou moins haut degré probabilités. L'expérience est la source et le fondement de la connaissance humaine. L'induction, à partir de ce qui est compris dans l'expérience, est un moyen nécessaire de sa généralisation et de sa systématisation. LOIS LOGIQUES Chapitre Concept de loi logique Les lois logiques constituent la base de la pensée humaine. Ils déterminent quand d’autres déclarations découlent logiquement de certaines déclarations et représentent ce cadre de fer invisible sur lequel repose un raisonnement cohérent et sans lequel il se transforme en un discours chaotique et incohérent. Sans loi logique, il est impossible de comprendre ce qu’est une conséquence logique, et donc ce qu’est une preuve. La pensée correcte ou, comme on dit habituellement, la pensée logique, consiste à penser selon les lois de la logique, selon les modèles abstraits qu'elles fixent. Cela explique l'importance de ces lois. Les lois logiques homogènes sont combinées en systèmes logiques, également appelés « logiques ». Chacun d'eux donne une description structure logique un certain fragment, ou type, de notre raisonnement. Par exemple, les lois qui décrivent les connexions logiques des énoncés, indépendamment de la structure interne de ces derniers, sont combinées dans un système appelé « logique propositionnelle ». Les lois logiques qui déterminent les connexions des énoncés catégoriques forment un système logique appelé « logique des énoncés catégoriques », ou « syllogistique », etc. Les lois logiques sont objectives et ne dépendent pas de la volonté et de la conscience de l'homme. Ils ne sont pas le résultat d’un accord entre des personnes, d’une convention spécialement élaborée ou formée spontanément. Ils ne sont pas le produit d’une sorte d’« esprit du monde », comme le croyait autrefois Platon. Le pouvoir des lois de la logique sur une personne, leur force obligatoire pour une pensée correcte, est dû au fait qu'elles représentent le reflet dans la pensée humaine du monde réel et l'expérience séculaire de sa connaissance et de sa transformation par l'homme. Comme toutes les autres lois scientifiques, les lois logiques sont universelles et nécessaires. Ils opèrent toujours et partout, s’étendant également à tous les peuples et à toutes les époques. Représentants Concept de loi logique différentes nations et différentes cultures, hommes et femmes, Égyptiens anciens et Polynésiens modernes, du point de vue de la logique de leur raisonnement, ne diffèrent pas les uns des autres. La nécessité inhérente aux lois logiques est en un certain sens encore plus urgente et immuable que la nécessité naturelle ou physique. Il est même impossible d’imaginer que ce qui est logiquement nécessaire puisse en être autrement. Si quelque chose contredit les lois de la nature et est physiquement impossible, alors aucun ingénieur, aussi talentueux soit-il, ne pourra le mettre en œuvre. Mais si quelque chose contredit les lois de la logique et est logiquement impossible, alors non seulement un ingénieur - même un être tout-puissant, s'il apparaissait soudainement, ne serait pas en mesure de lui donner vie. Comme indiqué précédemment, dans un raisonnement correct, la conclusion découle des prémisses avec une nécessité logique, et régime général Un tel raisonnement est une loi logique. Le nombre de schémas de raisonnement correct (lois logiques) est infini. Beaucoup de ces schémas nous sont connus grâce à la pratique du raisonnement. Nous les appliquons intuitivement, sans nous rendre compte que chaque inférence que nous faisons utilise correctement l’une ou l’autre loi logique. Avant d'entrer notion générale loi logique, nous donnons plusieurs exemples de schémas de raisonnement qui représentent des lois logiques. Au lieu des variables A, B, C, ..., habituellement utilisées pour désigner des énoncés, nous utiliserons, comme cela se faisait dans l'Antiquité, les mots « premier » et « deuxième », en remplacement des variables. « S’il y a un premier, alors il y a un second ; il y a le premier ; il y en a donc un deuxième. Ce schéma de raisonnement permet de passer de l'énoncé d'un énoncé conditionnel (« S'il y a un premier, alors il y a un second ») et l'énoncé de son fondement (« Il y a un premier ») à l'énoncé d'une conséquence ( "Il y a une seconde"). Selon ce schéma, en particulier, le raisonnement se déroule : « Si la glace est chauffée, elle fond ; la glace est chauffée ; donc il fond. Un autre schéma de raisonnement correct : « Soit le premier, soit le second a lieu ; il y a le premier ; cela veut dire qu’il n’y en a pas de deuxième. Grâce à ce schéma, à partir de deux alternatives mutuellement exclusives et en établissant laquelle d'entre elles est la bonne, on passe à la négation de la deuxième alternative. Par exemple : « Soit Dostoïevski est né à Moscou, soit il est né à Saint-Pétersbourg. Dostoïevski est né à Moscou. Cela signifie qu’il n’est pas vrai qu’il soit né à Saint-Pétersbourg.» Dans le western américain « Le Bon, la Brute et le Truand », un mauvais personnage dit à un autre : « Souvenez-vous, le monde est divisé en deux parties : ceux qui tiennent un revolver et ceux qui creusent. J’ai le revolver maintenant, alors prends la pelle. Ce raisonnement s'appuie également sur le schéma indiqué. Et un dernier exemple préliminaire d’une loi logique, ou d’un schéma général de raisonnement correct : « C’est le premier ou le deuxième. Mais le premier ne l’est pas. Cela signifie que c’est le dernier cas. Au lieu de l'expression « premier », substituons l'énoncé « Il fait jour », et au lieu de « deuxième », nous remplaçons l'énoncé « Il fait nuit ». À partir du diagramme abstrait, nous obtenons le raisonnement : « Est-ce le jour ou est-ce la nuit ? Mais ce n’est pas vrai qu’il fait jour. Alors il fait nuit maintenant. Ce sont quelques-uns circuits simples raisonnement correct, illustrant le concept de loi logique. Des centaines et des centaines de projets similaires nous trottent dans la tête, même si nous n’en sommes pas conscients. Sur cette base, nous raisonnons logiquement ou correctement. Loi de la logique (loi logique)- une expression qui inclut uniquement des constantes et des variables logiques au lieu de parties significatives et qui est vraie dans n'importe quel domaine de raisonnement. Prenons comme exemple une expression constituée uniquement de variables et de constantes logiques, l'expression : « Si A, alors B ; signifie, si ce n’est pas A, alors pas B. » Les constantes logiques ici sont les connecteurs propositionnels « si, alors » et « non ». Les variables A et B représentent certaines déclarations. Disons que A est la déclaration « Il y a une cause » et B est la déclaration « Il y a un effet ». Avec ce contenu spécifique, on obtient le raisonnement : « S’il y a une cause, alors il y a un effet ; Cela signifie que s’il n’y a pas d’effet, alors il n’y a pas de cause. » Supposons en outre qu'au lieu de A, l'énoncé « Le nombre est divisible par six » soit remplacé, et qu'au lieu de B, l'énoncé « Le nombre est divisible par trois » soit remplacé. Avec ce contenu spécifique, basé sur le schéma en question, on obtient le raisonnement : « Si un nombre est divisible par six, il est divisible par trois. Donc si un nombre n’est pas divisible par trois, il n’est pas divisible par six. » Quelles que soient les autres affirmations substituées aux variables A et B, si ces affirmations sont vraies, alors la conclusion qui en est tirée sera vraie. En logique, on fait généralement une réserve que la zone d'objets sur laquelle le raisonnement est mené et dont parlent les énoncés insérés dans la loi logique ne peut pas être vide : elle doit contenir au moins un objet. Autrement, raisonner selon le schéma, qui est une loi de la logique, peut conduire de prémisses vraies à une conclusion fausse. Par exemple, des prémisses vraies « Tous les éléphants sont des animaux » et « Tous les éléphants ont des trompes », selon la loi de la logique, découle la vraie conclusion « Certains animaux ont des trompes ». Mais si le domaine des objets en question est vide, suivre la loi de la logique ne garantit pas une vraie conclusion étant donné les vraies prémisses. Nous raisonnerons selon le même schéma, mais cette fois à propos de montagnes d’or. Tirons une conclusion : « Toutes les montagnes d’or sont des montagnes ; toutes les montagnes dorées sont dorées ; c’est pourquoi certaines montagnes sont dorées. Les deux prémisses de cette conclusion sont vraies. Mais sa conclusion « Certaines montagnes sont dorées » est clairement fausse : aucune montagne dorée n’existe. Concept de loi logique Ainsi, le raisonnement basé sur la loi de la logique se caractérise par deux caractéristiques : Un tel raisonnement mène toujours de vraies prémisses à une vraie conclusion ; La conséquence découle des prémisses avec une nécessité logique. La loi logique est aussi appelée tautologie logique. Tautologie logique- une expression qui reste vraie, quels que soient les objets dont on parle, ou une expression « toujours vraie ». Par exemple, tous les résultats des substitutions dans la loi logique de la double négation « Si A, alors ce n'est pas vrai que ce n'est pas A » sont des affirmations vraies : « Si la suie est noire, alors il n'est pas vrai qu'elle ne soit pas noire », "Si une personne tremble de peur, alors il n'est pas vrai qu'elle ne tremble pas de peur", etc. Comme déjà mentionné, le concept de loi logique est directement lié au concept d'implication logique : la conclusion découle logiquement des prémisses acceptées si elle y est liée par une loi logique. Par exemple, des prémisses « Si A, alors B » et « Si B, alors C », la conclusion « Si A, alors C » découle logiquement, puisque l'expression « Si A, alors B, et si B, alors C, alors si A , alors C" représente une loi logique, à savoir loi de transitivité(transitivité). Disons, des prémisses « Si une personne est père, alors elle est parent » et « Si une personne est parent, alors elle est père ou mère », selon cette loi, le corollaire suit : « Si un Une personne est père, alors elle est père ou mère. Séquence logique- la relation entre les prémisses et la conclusion d'une inférence dont le schéma général est une loi logique. Puisque la connexion d'implication logique repose sur une loi logique, elle se caractérise par deux caractéristiques : La conséquence logique mène des vraies prémisses seulement à une vraie conclusion ; La conclusion qui découle des prémisses en découle avec une nécessité logique. Toutes les lois logiques ne définissent pas directement le concept de conséquence logique. Il existe des lois qui décrivent d'autres connexions logiques : « et », « ou », « ce n'est pas vrai que », etc. et ne sont qu'indirectement liées à la relation d'implication logique. C'est notamment la loi de la contradiction examinée ci-dessous : « Il n'est pas vrai qu'une déclaration prise arbitrairement et Les pensées intelligentes viennent seulement lorsque des choses stupides ont déjà été faites. Seuls ceux qui font des tentatives absurdes pourront réaliser l’impossible. Albert Einstein De bons amis, de bons livres et une conscience endormie : c'est une vie idéale. Marc Twain Vous ne pouvez pas remonter le temps et modifier votre départ, mais vous pouvez commencer maintenant et modifier votre arrivée. En y regardant de plus près, il m'apparaît généralement clairement que les changements qui semblent se produire avec le temps ne sont en réalité aucun changement : seule ma vision des choses change. (Franz Kafka) Et même si la tentation est grande d'emprunter deux routes à la fois, on ne peut pas jouer à la fois avec le diable et avec Dieu avec un seul jeu de cartes... Pour une réponse affirmative, un seul mot suffit : « oui ». Tous les autres mots sont inventés pour dire non. Don Aminado Demandez à une personne : « Qu'est-ce que le bonheur ? et vous découvrirez ce qui lui manque le plus. Si vous voulez comprendre la vie, arrêtez de croire ce qu’ils disent et écrivent, mais observez et ressentez. Anton Tchekhov Il n’y a rien de plus destructeur et d’insupportable au monde que l’inaction et l’attente. Réalisez vos rêves, travaillez sur des idées. Ceux qui se moquaient de vous commenceront à vous envier. Les records sont là pour être battus. Vous n'avez pas besoin de perdre du temps, mais investissez-y. L’histoire de l’humanité est l’histoire d’un assez petit nombre de personnes qui ont cru en elles-mêmes. Vous êtes-vous poussé au bord du gouffre ? Vous ne voyez plus l'intérêt de vivre ? Cela signifie que vous êtes déjà proche... Proche de la décision d'atteindre le fond pour vous en éloigner et décider d'être heureux pour toujours... Alors n'ayez pas peur du fond, utilisez-le... Si vous êtes honnête et franc, les gens vous tromperont ; soyez toujours honnête et franc. Une personne réussit rarement quoi que ce soit si son activité ne lui apporte pas de joie. Dale Carnegie S’il reste au moins une branche fleurie dans votre âme, un oiseau chanteur s’y posera toujours (sagesse orientale). L’une des lois de la vie dit que dès qu’une porte se ferme, une autre s’ouvre. Mais le problème est que nous regardons la porte verrouillée et ne prêtons pas attention à celle ouverte. André Gide Ne jugez pas une personne avant de lui avoir parlé personnellement, car tout ce que vous entendez, ce sont des rumeurs. Michael Jackson. D’abord ils vous ignorent, puis ils se moquent de vous, puis ils se battent avec vous, puis vous gagnez. Mahatma Gandhi La vie humaine se divise en deux moitiés : pendant la première moitié, ils s'efforcent d'avancer vers la seconde, et pendant la seconde, ils s'efforcent de revenir vers la première. Si vous ne faites rien vous-même, comment pouvez-vous aider ? Vous ne pouvez conduire qu'un véhicule en mouvement Tout arrivera. Seulement quand vous décidez de le faire. Dans ce monde, vous pouvez tout chercher sauf l'amour et la mort... Eux-mêmes vous trouveront le moment venu. La satisfaction intérieure malgré le monde de souffrance qui l’entoure est un atout très précieux. Sridhar Maharaj Commencez dès maintenant à vivre la vie que vous aimeriez voir à la fin. Marc Aurèle Nous devons vivre chaque jour comme si c'était le dernier moment. Nous n'avons pas de répétition, nous avons la vie. Nous ne commençons pas lundi - nous vivons aujourd'hui. Chaque instant de la vie est une autre opportunité. Un an plus tard, vous regarderez le monde avec des yeux différents, et même cet arbre qui pousse près de chez vous vous semblera différent. Vous n'êtes pas obligé de rechercher le bonheur, vous devez l'être. Osho Presque toutes les réussites que je connais ont commencé avec une personne allongée sur le dos, vaincue par l’échec. Jim Rohn Tout long voyage commence par un premier pas. Personne n'est meilleur que toi. Personne n'est plus intelligent que vous. Ils ont juste commencé plus tôt. Brian Tracy Celui qui court tombe. Celui qui rampe ne tombe pas. Pline l'Ancien Il vous suffit de comprendre que vous vivez dans le futur et que vous vous y retrouverez immédiatement. Je choisis de vivre, de ne pas exister. James Alan Hetfield Lorsque vous appréciez ce que vous avez et ne vivez pas à la recherche d’idéaux, vous deviendrez vraiment heureux. Seuls ceux qui sont pires que nous ont une mauvaise opinion de nous, et ceux qui sont meilleurs que nous n’ont tout simplement pas de temps pour nous. Omar Khayam Parfois, nous sommes séparés du bonheur par un appel... Une conversation... Une confession... En admettant sa faiblesse, une personne devient forte. Onré Balzac Celui qui humilie son esprit, plus fort que ça qui conquiert les villes. Quand une opportunité se présente, il faut la saisir. Et lorsque vous l'avez saisi et que vous avez réussi, profitez-en. Ressentez la joie. Et laissez tout le monde autour de vous vous sucer les tuyaux parce qu’ils sont des connards alors qu’ils n’ont pas donné un centime pour vous. Et puis - partez. Beau. Et laisse tout le monde sous le choc. Ne désespérez jamais. Et si vous êtes déjà tombé dans le désespoir, continuez à travailler dans le désespoir. Un pas en avant décisif est le résultat d’un bon coup de pied par derrière ! En Russie, il faut être célèbre ou riche pour être traité comme on traite n’importe qui en Europe. Constantin Raïkine Tout dépend de votre attitude. (Chuck Norris) Aucun raisonnement ne peut montrer à une personne un chemin qu'elle ne veut pas voir Romain Rolland Ce en quoi vous croyez devient votre monde. Richard Matheson C'est bien là où nous ne sommes pas. Nous ne sommes plus dans le passé, et c'est pour cela que cela semble beau. Anton Tchekhov Les riches s’enrichissent parce qu’ils apprennent à surmonter leurs difficultés financières. Ils les voient comme une opportunité d’apprendre, de grandir, de se développer et de devenir riche. Chacun a son propre enfer – il n’est pas nécessaire que ce soit le feu et le goudron ! Notre enfer est une vie gâchée ! Où mènent les rêves Peu importe à quel point vous travaillez dur, l’essentiel est le résultat. Seule maman a les mains les plus gentilles, le sourire le plus tendre et le cœur le plus aimant... Les gagnants dans la vie pensent toujours dans l'esprit : je peux, je veux, je. Les perdants, quant à eux, concentrent leurs pensées dispersées sur ce qu’ils auraient pu, pourraient faire ou ce qu’ils ne peuvent pas faire. En d’autres termes, les gagnants assument toujours leurs responsabilités, tandis que les perdants blâment les circonstances ou les autres pour leurs échecs. Denis Whately. La vie est une montagne, on monte lentement, on descend vite. Guy de Maupassant Les gens ont tellement peur de faire un pas vers une nouvelle vie qu'ils sont prêts à fermer les yeux sur tout ce qui ne leur convient pas. Mais c'est encore plus effrayant : se réveiller un jour et se rendre compte que tout à proximité n'est plus pareil, pas pareil, pas pareil... Bernard Shaw L'amitié et la confiance ne s'achètent ni ne se vendent. Toujours, à chaque minute de votre vie, même lorsque vous êtes absolument heureux, ayez une attitude envers les gens qui vous entourent : - En tout cas, je ferai ce que je veux, avec ou sans vous. Dans le monde, on ne peut choisir qu'entre la solitude et la vulgarité. Arthur Schopenhauer Il suffit de voir les choses différemment et la vie prendra une direction différente. Le fer a dit ceci à l'aimant : Je te déteste surtout parce que tu attires sans avoir assez de force pour t'entraîner ! Frédéric Nietzsche Apprenez à vivre même lorsque la vie devient insupportable. N. Ostrovski L’image que vous voyez dans votre esprit finira par devenir votre vie. « La première moitié de votre vie, vous vous demandez de quoi vous êtes capable, mais la seconde : qui en a besoin ? » Il n'est jamais trop tard pour se fixer un nouvel objectif ou trouver un nouveau rêve. Contrôlez votre destin ou quelqu’un d’autre le fera. voir la beauté dans le laid, On demanda au sage : Combien de types d’amitié existe-t-il ? Quatre, répondit-il. Je deviendrai la personne que je veux devenir – si je crois que je le deviendrai. Gandhi Ouvrez votre cœur et écoutez ce dont il rêve. Suivez vos rêves, car ce n'est qu'à travers ceux qui n'ont pas honte d'eux-mêmes que la gloire du Seigneur sera révélée. Paulo Coelho Il n’y a rien à craindre d’être réfuté ; Il faut avoir peur d’autre chose : d’être incompris. Emmanuel Kant Soyez réaliste – exigez l’impossible ! Che Guevara Ne remettez pas vos projets à plus tard s'il pleut dehors. Soit vous créez le monde, soit le monde vous crée. Jack Nicholson J'adore quand les gens sourient comme ça. Par exemple, vous êtes dans un bus et vous voyez une personne qui regarde par la fenêtre ou qui écrit un SMS et qui sourit. Cela fait du bien à votre âme. Et j'ai envie de sourire moi-même. Une déclaration est une formation plus complexe qu'un nom. Lorsque nous décomposons des déclarations en parties plus simples, nous obtenons toujours certains noms. Supposons que la déclaration « Le soleil est une étoile » inclut les noms « Soleil » et « étoile » comme parties. Déclaration - une phrase grammaticalement correcte, prise avec le sens (contenu) qu'elle exprime et étant vraie ou fausse. Le concept d'énoncé est l'un des concepts initiaux et clés de la logique moderne. En tant que tel, il ne permet pas une définition précise qui soit également applicable dans ses différentes sections. Une affirmation est considérée comme vraie si la description qu’elle donne correspond à la situation réelle, et fausse si elle n’y correspond pas. « Vrai » et « faux » sont appelés « valeurs de vérité des déclarations ». À partir d’énoncés individuels, de nouveaux énoncés peuvent être construits de différentes manières. Par exemple, à partir des affirmations « Le vent souffle » et « Il pleut », on peut former des affirmations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « S'il il pleut, puis le vent souffle », etc. La déclaration s'appelle simple,à moins qu'il n'inclue d'autres déclarations dans le cadre de celui-ci. La déclaration s'appelle complexe, s'il est obtenu à l'aide de connecteurs logiques à partir d'autres instructions plus simples. Examinons les manières les plus importantes de construire des déclarations complexes. Déclaration négative se compose d'une affirmation initiale et d'une négation, généralement exprimées par les mots « non », « ce n'est pas vrai que ». Un énoncé négatif est donc un énoncé complexe : il inclut comme partie un énoncé différent de lui. Par exemple, la négation de l'affirmation « 10 est un nombre pair » est l'affirmation « 10 n'est pas un nombre pair » (ou : « Il n'est pas vrai que 10 soit un nombre pair »). Désignons les déclarations par des lettres A, B, C,... Le sens plein de la notion de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé UN est vrai, sa négation est fausse, et si UN est faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque l’affirmation « 1 est un nombre entier positif » est vraie, sa négation « 1 n’est pas un nombre entier positif » est fausse, et puisque « 1 est un nombre premier » est fausse, sa négation « 1 n’est pas un nombre premier » est fausse. » est vrai. Relier deux instructions à l’aide du mot « et » produit une instruction complexe appelée conjonction. Les instructions connectées de cette manière sont appelées « membres d’une conjonction ». Par exemple, si l’on combine ainsi les affirmations « Il fait chaud aujourd’hui » et « Hier il faisait froid », on obtient la conjonction « Aujourd’hui il fait chaud et hier il faisait froid ». Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse. Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu’ils sont liés l’un à l’autre par leur contenu ou leur signification. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il marchait en manteau et je marchais vers l'université » comme une expression qui a un sens et peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est une grande ville » soient vraies, nous ne sommes pas enclins à considérer leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville » comme vraie, puisque les composantes de ces déclarations n’ont pas de sens interconnectés. En simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et, à cette fin, en abandonnant le concept peu clair de « connexion des énoncés par le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus spécifique. Relier deux instructions en utilisant le mot « ou » donne disjonction ces déclarations. Les déclarations qui forment une disjonction sont appelées « membres de la disjonction ». Le mot « ou » a deux significations différentes dans le langage courant. Parfois, cela signifie « l’un ou l’autre ou les deux », et parfois « l’un ou l’autre, mais pas les deux ». Par exemple, la mention « Cette saison, je veux aller chez la Dame de Pique ou Aïda » permet de visiter l'onera deux fois. La mention « Il étudie à l’Université de Moscou ou de Iaroslavl » implique que la personne mentionnée étudie dans une seule de ces universités. Le premier sens de « ou » s’appelle non exclusif. Pris dans ce sens, la disjonction de deux énoncés signifie qu'au moins un de ces énoncés est vrai, qu'ils soient tous les deux vrais ou non. Pris dans la seconde exclusif ou au sens strict, la disjonction de deux énoncés stipule que l'un des énoncés est vrai et le second est faux. Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins un de ses énoncés constitutifs est vrai, et fausse uniquement lorsque ses deux membres sont faux. Une disjonction exclusive est vraie lorsqu’un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux. En logique et en mathématiques, le mot « ou » est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif. Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée à l'aide du connecteur « si..., alors... » et établissant cet événement, cet état, etc. est, dans un sens ou dans un autre, la base ou la condition d'un autre. Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc. Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui qui est précédé du mot « si » s’appelle base, ou antécédent(précédent), l’énoncé qui suit le mot « cela » s’appelle conséquence, ou consécutif(ultérieur). En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons tout d'abord qu'il ne peut pas se produire que ce qui est dit dans sa base ait lieu et que ce qui est dit dans la conséquence soit absent. En d’autres termes, il ne peut pas arriver que l’antécédent soit vrai et que le conséquent soit faux. En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de conditions suffisantes et nécessaires sont généralement définis : l'antécédent (fond) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est une condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la vérité de l’énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure des alternatives disponibles est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure des options disponibles et que le choix d’une telle option est une condition nécessaire à sa rationalité. Une fonction typique d'une instruction conditionnelle est de justifier une instruction par référence à une autre instruction. Par exemple, le fait que l’argent soit électriquement conducteur peut être justifié par le fait qu’il s’agit d’un métal : « Si l’argent est un métal, il est électriquement conducteur ». Le lien entre le fondement et le fondement (motif et conséquence) exprimé par une déclaration conditionnelle est difficile à caractériser de manière générale, et ce n'est que parfois que sa nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, une connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion d'une conclusion correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle ») ; deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à un frottement, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, un lien causal (« Si la Lune est au nœud de son orbite à la nouvelle lune, une éclipse solaire se produit ») ; quatrièmement, la régularité sociale, la règle, la tradition, etc. (« Si la société change, la personne aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être mis en œuvre »). Le lien exprimé par une déclaration conditionnelle s'accompagne généralement de la croyance que la conséquence « découle » avec une certaine nécessité de la raison et qu'il existe une loi générale que, ayant pu formuler, nous pourrions logiquement déduire la conséquence de la raison. raison. Par exemple, l’énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal est plastique » semble présupposer la loi générale « Aucun métal n’est plastique », faisant du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent. Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de la fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est associée à aucune loi ou règle générale implicite (« Si je veux, je couperai mon manteau»); enregistrez n'importe quelle séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleut ») ; exprimer son incrédulité sous une forme particulière (« Si vous résolvez ce problème, je prouverai le dernier théorème de Fermat ») ; opposition (« Si le sureau pousse dans le jardin, alors un gars vit à Kiev »), etc. La multiplicité et l'hétérogénéité des fonctions d'une instruction conditionnelle compliquent considérablement son analyse. L'utilisation d'instructions conditionnelles est associée à certains facteurs psychologiques. Ainsi, nous formulons habituellement une telle affirmation seulement si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et sa conséquence sont vrais ou faux. Sinon, son utilisation semble contre nature (« Si le coton est du métal, c’est un conducteur électrique »). L’énoncé conditionnel trouve une application très large dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est généralement représenté par déclaration implicite, ou implications. En même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'usage du « si..., alors... », le libérant de l'influence de facteurs psychologiques. La logique est notamment abstraite du fait que le lien entre raison et conséquence, caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut s'exprimer non seulement par « si..., alors... », mais aussi par d'autres moyens linguistiques. Par exemple : « Puisque l’eau est un liquide, elle transmet la pression uniformément dans toutes les directions », « Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c’est du plastique », « Si le bois était du métal, il serait conducteur d’électricité », etc. Ces déclarations et d’autres similaires sont représentées implicitement dans le langage de la logique, bien que l’utilisation de « si…, alors… » ne serait pas tout à fait naturelle. En affirmant une implication, nous affirmons qu'il ne peut pas arriver que sa base soit présente et que sa conséquence soit absente. En d’autres termes, une implication n’est fausse que si sa raison est vraie et sa conséquence est fausse. Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que chaque énoncé est vrai ou faux et que la valeur de vérité d'un énoncé complexe dépend uniquement des valeurs de vérité des énoncés constitutifs et de la manière dont ils sont connectés. Une implication est vraie lorsque sa raison et sa conséquence sont toutes deux vraies ou fausses ; elle est vraie si sa raison est fausse et si sa conséquence est vraie. Ce n’est que dans le quatrième cas, lorsque la raison est vraie et la conséquence fausse, que l’implication est fausse. Il n'est pas sous-entendu que les déclarations UN Et DANS sont en quelque sorte liés les uns aux autres dans le contenu. Si c'est vrai DANS déclaration "si UN, Que DANS" vrai, peu importe si UN vrai ou faux et il est lié en termes de sens à DANS ou non. Par exemple, les affirmations suivantes sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux et deux font quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. Une instruction conditionnelle est également vraie lorsque UN faux, et encore une fois indifférent, vrai DANS ou non et son contenu est-il lié à UN ou non. Les affirmations vraies incluent : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux et deux font cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc. Dans le raisonnement ordinaire, il est peu probable que toutes ces affirmations soient considérées comme significatives, et encore moins comme vraies. Bien que l’implication soit utile à de nombreuses fins, elle n’est pas entièrement cohérente avec la compréhension habituelle de la connexion conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique d'une instruction conditionnelle, mais en même temps, elle n'en constitue pas une description suffisamment adéquate. Au cours du dernier demi-siècle, de vigoureuses tentatives ont été menées pour réformer la théorie de l’implication. En même temps, il ne s'agissait pas d'abandonner le concept d'implication décrit, mais d'introduire, avec lui, un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais aussi leur lien dans le contenu. Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelé « double implication ». L'équivalence est un énoncé complexe « A si et seulement si B », formé d'énoncés de Li B et se décomposant en deux implications : « si UN, alors B", et "si B, alors UN". Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s’il est équiangulaire. » Le terme « équivalence » désigne également le connecteur « …, si et seulement si… », à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de « si et seulement si », « si et seulement si », « si et seulement si », etc. peuvent être utilisés à cette fin. Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de mensonge, une équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés constitutifs ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire quand ils sont tous les deux vrais ou tous les deux faux. En conséquence, une équivalence est fausse lorsque l’une des affirmations qu’elle contient est vraie et l’autre est fausse. Logique propositionnelle , également appelée logique propositionnelle, est une branche des mathématiques et de la logique qui étudie les formes logiques d'énoncés complexes construits à partir d'énoncés simples ou élémentaires utilisant des opérations logiques. La logique propositionnelle fait abstraction du contenu des déclarations et étudie leur valeur de vérité, c'est-à-dire si la déclaration est vraie ou fausse. L’image ci-dessus est une illustration d’un phénomène connu sous le nom de paradoxe du menteur. En même temps, de l'avis de l'auteur du projet, de tels paradoxes ne sont possibles que dans des environnements qui ne sont pas exempts de problèmes politiques, où quelqu'un peut a priori être qualifié de menteur. Dans le monde naturel à plusieurs niveaux le sujet de la « vérité » ou du « faux » seules les déclarations individuelles sont évaluées . Et plus tard dans cette leçon, vous découvrirez la possibilité d'évaluer par vous-même de nombreuses déclarations à ce sujet (puis regardez les bonnes réponses). Y compris des déclarations complexes dans lesquelles les plus simples sont interconnectées par des signes d'opérations logiques. Mais d’abord, considérons ces opérations sur les instructions elles-mêmes. La logique propositionnelle est utilisée en informatique et en programmation sous la forme de déclaration de variables logiques et de leur attribution de valeurs logiques « fausses » ou « vraies », dont dépend le déroulement de l'exécution ultérieure du programme. Dans les petits programmes où une seule variable booléenne est impliquée, la variable booléenne reçoit souvent un nom tel que "drapeau" et la signification est "le drapeau est levé" lorsque la valeur de la variable est "vrai" et "le drapeau est baissé, lorsque". la valeur de cette variable est "faux". Dans les grands programmes, dans lesquels il existe plusieurs, voire plusieurs variables logiques, les professionnels doivent trouver des noms pour les variables logiques sous forme d'instructions et charge sémantique, les distinguant des autres variables logiques et compréhensibles pour les autres professionnels qui liront le texte de ce programme. Ainsi, une variable logique portant le nom « UserRegistered » (ou son analogue en anglais) peut être déclarée sous la forme d'une instruction, à laquelle la valeur logique « true » peut être attribuée si les conditions sont remplies pour que les données d'enregistrement aient été envoyées. par l'utilisateur et ces données sont reconnues comme valides par le programme. Dans d'autres calculs, les valeurs des variables peuvent changer en fonction de la valeur logique (vrai ou faux) de la variable UserRegistered. Dans d'autres cas, une variable, par exemple, portant le nom « Plus de trois jours restants avant le jour », peut se voir attribuer la valeur « Vrai » avant un certain bloc de calculs, et lors de l'exécution ultérieure du programme, cette valeur peut être enregistré ou modifié en « faux » et la progression de l'exécution ultérieure dépend de la valeur de cette variable du programme. Si un programme utilise plusieurs variables logiques dont les noms ont la forme d'instructions et que des instructions plus complexes sont construites à partir d'elles, il est alors beaucoup plus facile de développer le programme si, avant de le développer, nous écrivons toutes les opérations du déclarations sous forme de formules utilisées dans la logique des instructions que nous le faisons au cours de cette leçon. Opérations logiques sur les instructionsPour les énoncés mathématiques, on peut toujours faire un choix entre deux alternatives différentes, « vrai » et « faux », mais pour les énoncés formulés en langage « verbal », les concepts de « vrai » et de « faux » sont un peu plus vagues. Cependant, par exemple, des formes verbales telles que « Rentre chez toi » et « Est-ce qu’il pleut ? » ne sont pas des déclarations. Il est donc clair que les déclarations sont des formes verbales dans lesquelles quelque chose est énoncé . Les phrases interrogatives ou exclamatives, les appels, ainsi que les souhaits ou exigences ne sont pas des déclarations. Ils ne peuvent pas être évalués par les valeurs « vrai » et « faux ». Les énoncés, au contraire, peuvent être considérés comme des quantités pouvant prendre deux sens : « vrai » et « faux ». Par exemple, les jugements suivants sont rendus : « un chien est un animal », « Paris est la capitale de l'Italie », « 3 La première de ces affirmations peut être évaluée avec le symbole « vrai », la deuxième avec « faux », la troisième avec « vrai » et la quatrième avec « faux ». Cette interprétation des énoncés fait l'objet de l'algèbre propositionnelle. Nous désignerons les déclarations par de grosses lettres en lettres latines UN, B, ..., et leurs significations, c'est-à-dire respectivement vrai et faux ET Et L. Dans le discours ordinaire, des connexions entre les déclarations « et », « ou » et d'autres sont utilisées. Ces connexions permettent, en reliant différentes déclarations entre elles, de former de nouvelles déclarations - déclarations complexes . Par exemple, le connecteur « et ». Que les déclarations soient données : " π plus de 3" et la mention " π moins de 4". Vous pouvez organiser une nouvelle déclaration complexe " π plus de 3 et π moins de 4". Déclaration "si π irrationnel alors π ² est également irrationnel" s'obtient en reliant deux énoncés avec le connecteur "si - alors". Enfin, nous pouvons obtenir de n'importe quel énoncé un nouvel énoncé - un énoncé complexe - en niant l'énoncé original. Considérer les énoncés comme des quantités qui prennent des sens ET Et L, nous définirons plus loin opérations logiques sur les instructions , qui nous permettent d'obtenir de nouvelles déclarations complexes à partir de ces déclarations. Soit deux déclarations arbitraires UN Et B. 1 . La première opération logique sur ces énoncés - la conjonction - représente la formation d'un nouvel énoncé, que nous noterons UN ∧ B et ce qui est vrai si et seulement si UN Et B sont vrais. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à la connexion des énoncés avec le connecteur « et ». Table de vérité pour la conjonction :
2 . Deuxième opération logique sur les instructions UN Et B- disjonction exprimée par UN ∨ B, est défini comme suit : il est vrai si et seulement si au moins une des affirmations originales est vraie. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à relier des énoncés avec le connecteur « ou ». Cependant, nous avons ici un « ou » non divisible, qui s’entend dans le sens de « soit ou » lorsque UN Et B les deux ne peuvent pas être vrais. Dans la définition de la logique propositionnelle UN ∨ B vrai à la fois si une seule des affirmations est vraie et si les deux affirmations sont vraies UN Et B. Table de vérité pour la disjonction :
3 . La troisième opération logique sur les instructions UN Et B, exprimé comme UN → B; l'énoncé ainsi obtenu est faux si et seulement si UN vrai, mais B FAUX. UN appelé par colis , B - conséquence , et la déclaration UN → B - suivant , également appelée implication. Dans le langage ordinaire, cette opération correspond au connecteur « si-alors » : « si UN, Que B". Mais dans la définition de la logique propositionnelle, cette affirmation est toujours vraie, que l'affirmation soit vraie ou fausse. B. Cette circonstance peut être brièvement formulée ainsi : « du faux tout découle ». À son tour, si UN vrai, mais B est faux, alors toute la déclaration UN → B FAUX. Ce sera vrai si et seulement si UN, Et B sont vrais. En bref, cela peut être formulé ainsi : « le faux ne peut pas découler du vrai ». Table de vérité à suivre (implication) :
4 . La quatrième opération logique sur les énoncés, plus précisément sur un énoncé, est appelée la négation d'un énoncé UN et est noté ~ UN(vous pouvez également retrouver l'utilisation non pas du symbole ~, mais du symbole ¬, ainsi qu'un surscore ci-dessus UN). ~ UN il y a une déclaration qui est fausse quand UN vrai, et vrai quand UN FAUX. Table de vérité pour la négation :
5 . Et enfin, la cinquième opération logique sur les énoncés est appelée équivalence et est notée UN ↔ B. La déclaration résultante UN ↔ B une affirmation est vraie si et seulement si UN Et B les deux sont vrais ou les deux sont faux. Table de vérité pour l'équivalence :
La plupart des langages de programmation ont des symboles spéciaux pour désigner la signification logique des instructions ; ils sont écrits dans presque tous les langages comme étant vrais et faux. Résumons ce qui précède. Logique propositionnelle étudie les connexions entièrement déterminées par la manière dont certains énoncés sont construits à partir d'autres, dites élémentaires. Dans ce cas, les énoncés élémentaires sont considérés comme des touts et ne peuvent être décomposés en parties. Systématisons dans le tableau ci-dessous les noms, notations et significations des opérations logiques sur les instructions (nous en aurons bientôt à nouveau besoin pour résoudre des exemples).
Vrai pour les opérations logiques lois de la logique algébrique, qui peut être utilisé pour simplifier les expressions booléennes. Il convient de noter qu’en logique propositionnelle, on fait abstraction du contenu sémantique d’un énoncé et on se limite à le considérer du point de vue qu’il est soit vrai, soit faux. Exemple 1. 1) (2 = 2) ET (7 = 7) ; 2) Non(15; 3) ("Pin" = "Chêne") OU ("Cerisier" = "Érable"); 4) Non("Pin" = "Chêne") ; 5) (Non(15 20) ; 6) (« Les yeux sont donnés pour voir ») Et (« Sous le troisième étage se trouve le deuxième étage »); 7) (6/2 = 3) OU (7*5 = 20) . 1) Le sens de l’énoncé entre parenthèses est « vrai », le sens de l’expression entre parenthèses est également vrai. Les deux instructions sont reliées par l'opération logique « ET » (voir les règles de cette opération ci-dessus), donc la valeur logique de l'ensemble de cette instruction est « vraie ». 2) La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Avant cette affirmation, il y a une opération logique de négation, donc la signification logique de toute cette affirmation est « vraie ». 3) Le sens de la déclaration entre parenthèses est « faux », le sens de la déclaration entre parenthèses est également « faux ». Les instructions sont reliées par l'opération logique « OU » et aucune des instructions n'a la valeur « vrai ». Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « fausse ». 4) La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Cet énoncé est précédé de l'opération logique de négation. Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « vraie ». 5) La déclaration entre parenthèses intérieures est annulée dans les premières parenthèses. Cette affirmation entre parenthèses a le sens « faux », donc sa négation aura le sens logique « vrai ». La déclaration entre parenthèses signifie « faux ». Ces deux déclarations sont reliées par l'opération logique « ET », c'est-à-dire que « vrai ET faux » est obtenu. Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « fausse ». 6) Le sens de la déclaration entre parenthèses est « vrai », le sens de la déclaration entre parenthèses est également « vrai ». Ces deux affirmations sont reliées par l'opération logique « ET », c'est-à-dire que « vrai ET vérité » est obtenu. Par conséquent, la signification logique de l’ensemble de la déclaration donnée est « vraie ». 7) La signification de la déclaration entre parenthèses est « vrai ». La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Ces deux affirmations sont reliées par l'opération logique « OU », c'est-à-dire « vrai OU faux ». Par conséquent, la signification logique de l’ensemble de la déclaration donnée est « vraie ». Exemple 2.Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques : 1) « L'utilisateur n'est pas enregistré » ; 2) « Aujourd'hui, c'est dimanche et certains employés sont au travail » ; 3) « L'utilisateur est enregistré si et seulement si les données soumises par l'utilisateur sont considérées comme valides. » 1) p- instruction unique « L'utilisateur est enregistré », opération logique : ; 2) p- une seule déclaration « Aujourd'hui, c'est dimanche », q- "Certains salariés sont au travail", opération logique : ; 3) p- une seule déclaration « L'utilisateur est enregistré », q- « Les données envoyées par l'utilisateur ont été jugées valides », opération logique : . Résolvez vous-même des exemples de logique propositionnelle, puis examinez les solutionsExemple 3. Calculez les valeurs logiques des instructions suivantes : 1) (« Il y a 70 secondes dans une minute ») OU (« Une horloge en marche indique l'heure »); 2) (28 > 7) ET (300/5 = 60) ; 3) ("Télévision - appareil électrique") Et ("Verre - bois"); 4) Non((300 > 100) OR ("Vous pouvez étancher votre soif avec de l'eau")); 5) (75 < 81) → (88 = 88) . Exemple 4.Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques et calculez leurs valeurs logiques : 1) « Si l'horloge indique l'heure de manière incorrecte, vous risquez d'arriver en classe à la mauvaise heure » ; 2) « Dans le miroir, vous pouvez voir votre reflet et Paris, la capitale des États-Unis » ; Exemple 5. Déterminer la valeur booléenne d'une expression (p → q) ↔ (r → s) , p = "278 > 5" , q= "Pomme = Orange", p = "0 = 9" , s= "Le chapeau couvre la tête". Formules de logique propositionnelleLe concept de forme logique d'un énoncé complexe est clarifié à l'aide du concept formules de logique propositionnelle . Dans les exemples 1 et 2, nous avons appris à écrire des instructions complexes à l'aide d'opérations logiques. En fait, on les appelle des formules logiques propositionnelles. Pour désigner les déclarations, comme dans l'exemple mentionné, nous continuerons à utiliser les lettres p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ... Ces lettres joueront le rôle de variables qui prennent comme valeurs les valeurs de vérité « vrai » et « faux ». Ces variables sont également appelées variables propositionnelles. Nous les appellerons en outre formules élémentaires ou atomes . Pour construire des formules logiques propositionnelles, en plus des lettres indiquées ci-dessus, des signes d'opérations logiques sont utilisés ~, ∧, ∨, →, ↔, ainsi que des symboles qui offrent la possibilité d'une lecture sans ambiguïté des formules - crochets gauche et droit. Concept formules de logique propositionnelle définissons-le comme suit : 1) les formules élémentaires (atomes) sont des formules de logique propositionnelle ; 2) si UN Et B- des formules de logique propositionnelle, alors ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B) sont aussi des formules de logique propositionnelle ; 3) seules les expressions sont des formules de logique propositionnelle pour lesquelles cela découle de 1) et 2). La définition d'une formule logique propositionnelle contient une liste des règles de formation de ces formules. Selon la définition, chaque formule logique propositionnelle est soit un atome, soit formée d'atomes suite à l'application cohérente de la règle 2). Exemple 6. Laisser p- énoncé unique (atome) « Tous les nombres rationnels sont réels », q- "Certains nombres réels sont des nombres rationnels" r- "certains nombres rationnels sont réels." Traduisez les formules suivantes de logique propositionnelle sous forme d’énoncés verbaux : 6) 1) « il n’existe pas de nombres réels rationnels » ; 2) "si tous les nombres rationnels ne sont pas réels, alors non nombres rationnels, qui sont valides" ; 3) « si tous les nombres rationnels sont réels, alors certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont réels » ; 4) « tous les nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont des nombres réels » ; 5) « tous les nombres rationnels sont réels si et seulement s'il n'est pas vrai que tous les nombres rationnels ne sont pas réels » ; 6) « Ce n’est pas vrai que tous les nombres rationnels ne sont pas réels et qu’il n’y a pas de nombres réels rationnels ou qu’il n’y a pas de nombres rationnels réels. » Exemple 7. Créer une table de vérité pour la formule de logique propositionnelle Solution. Nous commençons à compiler une table de vérité en enregistrant les valeurs (« vrai » ou « faux ») pour des déclarations uniques (atomes) p , q Et r. Toutes les valeurs possibles sont écrites sur huit lignes du tableau. De plus, lors de la détermination des valeurs de l'opération d'implication et en se déplaçant vers la droite dans le tableau, on se souvient que la valeur est égale à « faux » lorsque « faux » découle de « vrai ».
Notez qu'aucun atome n'a la forme ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B) . Les formules complexes ont ce type. Le nombre de parenthèses dans les formules de logique propositionnelle peut être réduit si l'on accepte que 1) dans formule complexe nous omettrons la paire extérieure de parenthèses ; 2) classons les signes des opérations logiques « par ordre de préséance » : ↔, →, ∨, ∧, ~ . Dans cette liste, le signe ↔ a la plus grande portée et le signe ~ a la plus petite portée. La portée d'un signe d'opération fait référence aux parties de la formule de logique propositionnelle auxquelles l'occurrence de ce signe en question est appliquée (sur lesquelles il agit). Ainsi, il est possible d'omettre dans n'importe quelle formule les paires de parenthèses qui peuvent être restituées, en tenant compte de « l'ordre de préséance ». Et lors de la restauration des parenthèses, on place d'abord toutes les parenthèses liées à toutes les occurrences du signe ~ (on se déplace de gauche à droite), puis à toutes les occurrences du signe ∧, et ainsi de suite. Exemple 8. Restaurer les parenthèses dans la formule logique propositionnelle B ↔ ~ C ∨ D ∧ UN . Solution. Les parenthèses sont restaurées étape par étape comme suit : B ↔ (~ C) ∨ D ∧ UN B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ UN) B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ UN)) (B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ UN))) Toutes les formules de logique propositionnelle ne peuvent pas être écrites sans parenthèses. Par exemple, dans les formules UN → (B → C) et ~( UN → B), une exclusion supplémentaire des parenthèses n'est pas possible. Tautologies et contradictionsLes tautologies logiques (ou simplement les tautologies) sont des formules de logique propositionnelle telles que si les lettres sont arbitrairement remplacées par des déclarations (vrai ou faux), le résultat sera toujours une déclaration vraie. Puisque la vérité ou la fausseté d'énoncés complexes dépend uniquement des significations, et non du contenu des énoncés, dont chacun correspond à une certaine lettre, alors vérifier si un énoncé donné est une tautologie peut être effectué de la manière suivante. Dans l'expression étudiée, les valeurs 1 et 0 (respectivement « vrai » et « faux ») sont substituées aux lettres de toutes les manières possibles, et les valeurs logiques des expressions sont calculées à l'aide d'opérations logiques. Si toutes ces valeurs sont égales à 1, alors l'expression étudiée est une tautologie, et si au moins une substitution donne 0, alors ce n'est pas une tautologie. Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur « vrai » pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée identique à la vraie formule ou tautologie . Le sens opposé est une contradiction logique. Si toutes les valeurs des instructions sont égales à 0, alors l'expression est une contradiction logique. Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur « faux » pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée formule identiquement fausse ou contradiction . Outre les tautologies et les contradictions logiques, il existe des formules de logique propositionnelle qui ne sont ni des tautologies ni des contradictions. Exemple 9. Construisez une table de vérité pour une formule de logique propositionnelle et déterminez s'il s'agit d'une tautologie, d'une contradiction ou ni l'un ni l'autre. Solution. Créons une table de vérité :
Dans les significations de l'implication, nous ne trouvons pas de ligne dans laquelle « vrai » implique « faux ». Toutes les valeurs de la déclaration originale sont égales à « vrai ». Par conséquent, cette formule de logique propositionnelle est une tautologie. |
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, qui dans le tableau peut être désigné f
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