"La grandeur d'un homme réside dans sa capacité à penser."
Blaise Pascal.

Objectifs de la leçon :

1) Pédagogique– présenter aux étudiants les équations homogènes, envisager des méthodes pour les résoudre et favoriser le développement de compétences dans la résolution des types d'équations trigonométriques précédemment étudiés.

2) Du développement– développer l'activité créative des élèves, leur activité cognitive, leur pensée logique, leur mémoire, leur capacité à travailler dans une situation problématique, atteindre la capacité d'exprimer correctement, de manière cohérente et rationnelle leurs pensées, élargir les horizons des élèves et augmenter le niveau de leurs mathématiques culture.

3) Pédagogique– cultiver le désir de s'améliorer, de travailler dur, de développer la capacité d'exécuter des notes mathématiques avec compétence et précision, de cultiver l'activité, de contribuer à stimuler l'intérêt pour les mathématiques.

Type de cours : combiné.

Équipement:

1. Cartes perforées pour six étudiants.
2. Cartes pour indépendants et travail individuelétudiants.
3. Stands « Résolution d'équations trigonométriques », « Cercle d'unité numérique ».
4. Tables de trigonométrie électrifiées.
5. Présentation de la leçon (Annexe 1).

Progression de la leçon

1. Étape organisationnelle (2 minutes)

Salutation mutuelle ; vérifier la préparation des élèves pour la leçon ( lieu de travail, apparence); organisation de l'attention.

L'enseignant explique aux élèves le sujet de la leçon, les objectifs (diapositive 2) et explique que pendant la leçon, les documents qui se trouvent sur les pupitres seront utilisés.

2. Répétition du matériel théorique (15 minutes)

Tâches de cartes perforées(6 personnes) . Temps de travail avec cartes perforées – 10 min (Annexe 2)

En résolvant des problèmes, les élèves apprendront où les calculs trigonométriques sont utilisés. Les réponses suivantes sont obtenues : triangulation (technique qui permet de mesurer les distances aux étoiles proches en astronomie), acoustique, ultrasons, tomographie, géodésie, cryptographie.

(diapositive 5)

Enquête frontale.

1. Quelles équations sont appelées trigonométriques ?
2. Quels types d’équations trigonométriques connaissez-vous ?
3. Quelles équations sont appelées les équations trigonométriques les plus simples ?
4. Quelles équations sont appelées trigonométriques quadratiques ?
5. Formuler la définition de l’arc sinus de a.
6. Formuler la définition de l’arc cosinus de a.
7. Formuler la définition de l’arctangente de a.
8. Formuler la définition de l’arc cotangente du nombre a.

Jeu "Devinez le mot crypté"

Blaise Pascal a dit un jour que les mathématiques sont une science tellement sérieuse qu'il ne faut pas manquer une occasion de la rendre un peu plus divertissante. C'est pourquoi je suggère de jouer. Après avoir résolu les exemples, déterminez la séquence de nombres utilisée pour composer le mot crypté. En latin, ce mot signifie « sinus ». (diapositive 3)

2) arc tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (arc ctg √3)

Réponse : « Pliage »

Jeu "Mathématicien abstrait"»

Les tâches du travail oral sont projetées sur l'écran :

Vérifiez que les équations sont résolues correctement.(la bonne réponse apparaît sur la diapositive après la réponse de l'élève). (diapositive 4)

Vérification des devoirs.

L'enseignant établit l'exactitude et la conscience de l'accomplissement des devoirs par tous les élèves ; identifie les lacunes dans les connaissances; améliore les connaissances, les compétences et les capacités des étudiants dans le domaine de la résolution d'équations trigonométriques simples.

1 équation. L'élève commente la solution de l'équation dont les droites apparaissent sur la diapositive dans l'ordre du commentaire). (diapositive 6)

√3tg2x = 1 ;

tg2x =1/√3;

2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 n, n ∈Z.

2 équation. Solution hécrit aux élèves au tableau.

2 péché 2 x + 3 cosx = 0.

3. Mise à jour de nouvelles connaissances (3 minutes)

Les élèves, à la demande de l'enseignant, rappellent des manières de résoudre des équations trigonométriques. Ils choisissent les équations qu'ils savent déjà résoudre, nomment la méthode de résolution de l'équation et le résultat obtenu. . Les réponses apparaissent sur la diapositive. (diapositive 7) .

Introduction d'une nouvelle variable :

N°1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Soit sinx = t, alors :

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Factorisation :

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0 ;

сos4x(3sinx – 1) = 0 ;

cos4x = 0 ou 3 sinx – 1 = 0 ; ...

N°3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

N°4. 3 péché 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Professeur: Vous ne savez toujours pas comment résoudre les deux derniers types d’équations. Ce sont tous deux la même espèce. Ils ne peuvent être réduits à une équation des fonctions sinx ou cosx. Sont appelés équations trigonométriques homogènes. Mais seulement le premier - équation homogène du premier degré, et la seconde est une équation homogène du deuxième degré. Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons nous familiariser avec de telles équations et apprendre à les résoudre.

4. Explication du nouveau matériel (25 minutes)

L'enseignant donne aux élèves des définitions d'équations trigonométriques homogènes et présente des méthodes pour les résoudre.

Définition. Une équation de la forme a sinx + b cosx =0, où a ≠ 0, b ≠ 0 est appelée équation trigonométrique homogène du premier degré.(diapositive 8)

Un exemple d'une telle équation est l'équation n° 3. Nous l'écrirons vue généraleéquation et analysez-la.

a sinx + b cosx = 0.

Si cosx = 0, alors sinx = 0.

– Une telle situation pourrait-elle se produire ?

- Non. Nous avons obtenu une contradiction avec l’identité trigonométrique de base.

Cela signifie cosx ≠ 0. Effectuons une division terme par terme par cosx :

un tgx + b = 0

tgx = –b / une– l'équation trigonométrique la plus simple.

Conclusion: Homogène équations trigonométriques Le premier degré est résolu en divisant les deux côtés de l’équation par cosx (sinx).

Par exemple: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Parce que cosx ≠ 0, alors

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.

Définition. Une équation de la forme a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, où a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 est appelée équation trigonométrique du deuxième degré. (diapositive 8)

Un exemple d'une telle équation est l'équation n° 4. Écrivons la forme générale de l’équation et analysons-la.

un péché 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Si cosx = 0, alors sinx = 0.

Encore une fois, nous avons une contradiction avec l’identité trigonométrique de base.

Cela signifie cosx ≠ 0. Effectuons une division terme par terme par cos 2 x :

et tg 2 x + b tgx + c = 0 est une équation qui se réduit à une quadratique.

Conclusion : Ah les équations trigonométriques homogènes du deuxième degré sont résolues en divisant les deux côtés de l'équation par cos 2 x (sin 2 x).

Par exemple: 3 péché 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Parce que cos 2 x ≠ 0, alors

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Invitez l'élève à se rendre au tableau et à compléter l'équation de manière indépendante).

Remplacement : tgx = y. 3 à 2 – 4 à + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 ou y 2 = 1/3

tgx = 1 ou tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctan + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Étape de vérification de la compréhension par les étudiants du nouveau matériel (1 min.)

Sélectionnez l'intrus :

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2 ;

√3sinx + cosx = 0 ; péché 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0 ;

4cosx + 5sinx = 0 ; √3sinx – cosx = 0.

(diapositive 9)

6. Consolidation du nouveau matériel (24 min).

Les élèves, avec les répondants au tableau, résolvent des équations sur nouveau matériel. Les tâches sont écrites sur une diapositive sous forme de tableau. Lors de la résolution d'une équation, la partie correspondante de l'image sur la diapositive s'ouvre. Après avoir complété 4 équations, les élèves se voient présenter le portrait d'un mathématicien qui a eu une influence significative sur le développement de la trigonométrie. (les élèves reconnaîtront le portrait de François Vieta, grand mathématicien qui a grandement contribué à la trigonométrie, découvert la propriété des racines de l'équation quadratique réduite et s'est impliqué dans la cryptographie) . (diapositive 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Parce que cosx ≠ 0, alors

√3tgx + 1 = 0 ;

tgx = –1/√3 ;

x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) péché 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Parce que cos 2 x ≠ 0, alors tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Remplacement: tgx = y.

oui 2 – 10 oui + 21 = 0

y 1 = 7 ou y 2 = 3

tgx = 7 ou tgx = 3

x = arctan7 + πn, n ∈Z

x = arctan3 + πn, n ∈Z

3) péché 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Parce que cos 2 2x ≠ 0, alors 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Remplacement: tg2x = y.

3у 2 – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 ou y 2 = 1

tg2x = 5 ou tg2x = 1

2х = arctan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arctan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6 péché 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Parce que cos 2 x ≠0, alors 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Remplacement: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 ou y 2 = –1

tg x = 1/5 ou tg x = –1

x = arctan1/5 + πn, n ∈Z

x = arctan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

En plus (sur la carte) :

Résolvez l'équation et, en choisissant une option parmi les quatre proposées, devinez le nom du mathématicien qui a dérivé les formules de réduction :

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Réponses possibles :

x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclide

x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Bonne réponse : Léonhard Euler.

7. Travail indépendant différencié (8 min.)

Il y a plus de 2 500 ans, le grand mathématicien et philosophe a suggéré une manière de développer les capacités de réflexion. "La réflexion commence par l'émerveillement", a-t-il déclaré. Nous avons été convaincus à plusieurs reprises aujourd’hui de l’exactitude de ces propos. Après avoir réalisé un travail indépendant sur 2 options, vous pourrez montrer comment vous maîtrisez la matière et connaître le nom de ce mathématicien. Pour travail indépendant utilisez les documents qui se trouvent sur vos tables. Vous pouvez choisir vous-même l’une des trois équations proposées. Mais rappelez-vous qu'en résolvant l'équation correspondant à couleur jaune, vous ne pouvez obtenir "3" qu'en résolvant l'équation correspondant à la couleur verte - "4", la couleur rouge - "5". (Annexe 3)

Quel que soit le niveau de difficulté choisi par les élèves, après la bonne décision La première version de l'équation produit le mot « ARIST », la seconde - « HÔTEL ». Le mot sur la diapositive est : « ARIST-HOTEL ». (diapositive 11)

Les feuilles de travail avec un travail indépendant sont soumises pour vérification. (Annexe 4)

8. Enregistrement des devoirs (1 min)

D/z : §7.17. Composer et résoudre 2 équations homogènes du premier degré et 1 équation homogène du deuxième degré (en utilisant le théorème de Vieta pour composer). (diapositive 12)

9. Résumer la leçon, notation (2 minutes)

L'enseignant attire une fois de plus l'attention sur ces types d'équations et ces faits théoriques qui ont été rappelés en classe et parle de la nécessité de les apprendre.

Les élèves répondent aux questions :

1. Quels types d’équations trigonométriques connaissons-nous ?
2. Comment ces équations sont-elles résolues ?

L'enseignant note le plus travail réussi dans la leçon d'élèves individuels, donne des notes.

Équations non linéaires à deux inconnues

Définition 1. Soit A ensemble de paires de nombres (x; oui) . On dit que l'ensemble A est donné fonction numérique zà partir de deux variables

x et y , si une règle est spécifiée à l'aide de laquelle chaque paire de nombres de l'ensemble A est associée à un certain nombre. Spécifier une fonction numérique z de deux variables x et y est souvent indiquer

Donc: Où (x , oui) f

Où (x , oui) = – toute fonction autre qu’une fonction ,

hache+par+c

où a, b, c reçoivent des nombres. Définition 3. Résolution de l'équation (2) x; oui appeler une paire de numéros (

) , pour laquelle la formule (2) est une vraie égalité.

Exemple 1. Résoudre l'équation

Puisque le carré de n'importe quel nombre n'est pas négatif, il résulte de la formule (4) que les inconnues x et y satisfont le système d'équations

dont la solution est une paire de nombres (6 ; 3).

Réponse : (6 ; 3)

Par conséquent, la solution de l’équation (6) est nombre infini de paires de nombres gentil

(1 + oui ; oui) ,

où y est n'importe quel nombre.

linéaire

Définition 4. Résoudre un système d'équations

appeler une paire de numéros ( x; oui) , en les substituant dans chacune des équations de ce système, l'égalité correcte est obtenue.

Les systèmes de deux équations, dont l'une est linéaire, ont la forme

g(x , oui)

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Solution . Exprimons l'inconnue y de la première équation du système (7) par l'inconnue x et substituons l'expression résultante dans la deuxième équation du système :

Résoudre l'équation

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Ainsi,

oui 1 = 8 - x 1 = 9 ,
oui 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Systèmes de deux équations dont une homogène

Les systèmes de deux équations, dont l'une est homogène, ont la forme

où a, b, c reçoivent des nombres, et g(x , oui) – fonction de deux variables x et y.

Exemple 6. Résoudre un système d'équations

Solution . Résolvons l'équation homogène

3x 2 + 2xy - oui 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10oui 2 = 0 ,

en le traitant comme une équation quadratique par rapport à l'inconnue x :

.

Au cas où x = - 5oui, à partir de la deuxième équation du système (11) on obtient l'équation

5oui 2 = - 20 ,

qui n'a pas de racines.

Au cas où

à partir de la deuxième équation du système (11) on obtient l'équation

,

dont les racines sont des nombres oui 1 = 3 , oui 2 = - 3 . En trouvant pour chacune de ces valeurs y la valeur x correspondante, on obtient deux solutions du système : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Réponse : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Exemples de résolution de systèmes d'équations d'autres types

Exemple 8. Résoudre un système d'équations (MIPT)

Solution . Introduisons de nouvelles inconnues u et v, qui s'expriment par x et y selon les formules :

Afin de réécrire le système (12) en termes de nouvelles inconnues, nous exprimons d'abord les inconnues x et y en termes de u et v. Du système (13) il résulte que

Résolvons le système linéaire (14) en éliminant la variable x de la deuxième équation de ce système.

• Pour cela, nous effectuons les transformations suivantes sur le système (14) :
• Nous laisserons inchangée la première équation du système ;

de la deuxième équation, nous soustrayons la première équation et remplaçons la deuxième équation du système par la différence résultante.

En conséquence, le système (14) est transformé en un système équivalent

d'où l'on trouve

A l'aide des formules (13) et (15), nous réécrivons le système original (12) sous la forme

La première équation du système (16) est linéaire, nous pouvons donc en exprimer l'inconnue u à travers l'inconnue v et substituer cette expression dans la deuxième équation du système.

1. Aujourd'hui, nous étudierons les équations trigonométriques homogènes. Tout d'abord, regardons la terminologie : qu'est-ce qu'une équation trigonométrique homogène. Il présente les caractéristiques suivantes :
2. il doit contenir plusieurs termes ;
3. toutes les fonctions incluses dans une identité trigonométrique homogène doivent nécessairement avoir le même argument.

Algorithme de solution

Sélectionnons les termes

Et si tout est clair avec le premier point, alors cela vaut la peine de parler plus en détail du second. Que signifie avoir le même degré de termes ? Regardons le premier problème :

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Le premier terme de cette équation est 3cosx 3\cos x. Veuillez noter qu'il n'y a qu'une seule fonction trigonométrique ici - cosx\cos x - et pas d'autres fonctions trigonométriques n'est pas présent ici, donc le degré de ce terme est 1. De même avec le second - 5sinx 5\sin x - seul le sinus est présent ici, c'est-à-dire que le degré de ce terme est également égal à un. Nous avons donc devant nous une identité constituée de deux éléments, dont chacun contient une fonction trigonométrique, et une seule. Il s'agit d'une équation du premier degré.

Passons à la deuxième expression :

4péché2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Le premier membre de cette construction est 4péché2 x 4((\sin )^(2))x.

Nous pouvons maintenant écrire la solution suivante :

péché2 x = péchéx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Autrement dit, le premier terme contient deux fonctions trigonométriques, c'est-à-dire que son degré est deux. Parlons du deuxième élément - péché2x\péché 2x. Rappelons cette formule - la formule du double angle :

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Et encore une fois, dans la formule résultante, nous avons deux fonctions trigonométriques - sinus et cosinus. Ainsi, la valeur de puissance de ce terme de construction est également égale à deux.

Passons au troisième élément - 3. Du cours de mathématiques lycée Nous nous souvenons que n'importe quel nombre peut être multiplié par 1, nous l'écrivons donc :

˜ 3=3⋅1

Et l’unité peut s’écrire en utilisant l’identité trigonométrique de base sous la forme suivante :

1=péché2 x⋅ parce que2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

On peut donc réécrire 3 comme suit :

3=3(péché2 x⋅ parce que2 x)=3péché2 x+3 parce que2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Ainsi, notre terme 3 est scindé en deux éléments dont chacun est homogène et possède un second degré. Le sinus du premier terme apparaît deux fois, le cosinus du second apparaît également deux fois. Ainsi, 3 peut également être représenté comme un terme avec un exposant puissance de deux.

Même chose avec la troisième expression :

péché3 x+ péché2 xcosx=2 parce que3 x

Voyons. Le premier terme est péché3 x((\sin )^(3))x est une fonction trigonométrique du troisième degré. Deuxième élément - péché2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

péché2 ((\sin )^(2)) est un lien avec une valeur de puissance deux multipliée par cosx\cos x est le premier terme. Au total, le troisième terme a également une valeur de puissance de trois. Enfin, à droite il y a un autre lien - 2parce que3 x 2((\cos )^(3))x est un élément du troisième degré. Ainsi, nous avons devant nous une équation trigonométrique homogène du troisième degré.

Nous avons écrit trois identités de degrés différents. Faites à nouveau attention à la deuxième expression. Dans le dossier original, l'un des membres a une dispute 2x 2x. Nous sommes obligés de nous débarrasser de cet argument en le transformant à l'aide de la formule du sinus à double angle, car toutes les fonctions incluses dans notre identité doivent nécessairement avoir le même argument. Et c'est une exigence pour les équations trigonométriques homogènes.

Nous utilisons la formule de l'identité trigonométrique principale et notons la solution finale

Nous avons réglé les termes, passons à la solution. Quel que soit l’exposant de puissance, la résolution d’égalités de ce type s’effectue toujours en deux étapes :

1) prouver que

cosx≠0

\cos x\ne 0. Pour ce faire, il suffit de rappeler la formule de l'identité trigonométrique principale (péché2 x⋅ parce que2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) et remplacez-le dans cette formule cosx=0\cosx=0. Nous obtiendrons l'expression suivante :

péché2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

En remplaçant les valeurs obtenues, c'est-à-dire au lieu de cosx\cos x est nul, et à la place péché\sin x — 1 ou -1, dans l'expression originale, nous obtiendrons une égalité numérique incorrecte. C'est la justification que

cosx≠0

2) la deuxième étape découle logiquement de la première. Depuis

cosx≠0

\cos x\ne 0, nous divisons nos deux côtés de la structure par parce quen x((\cos )^(n))x, où n n est l'exposant de puissance lui-même d'une équation trigonométrique homogène. Qu'est-ce que cela nous donne :

\[\begin(array)(·(35)(l))

péchécosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \fin(tableau)\]

Grâce à cela, notre lourde construction initiale se réduit à l’équation n n-degré par rapport à la tangente, dont la solution peut être facilement écrite en utilisant un changement de variable. C'est tout l'algorithme. Voyons comment cela fonctionne dans la pratique.

Nous résolvons de vrais problèmes

Tâche n°1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Nous avons déjà découvert qu'il s'agit d'une équation trigonométrique homogène avec un exposant de puissance égal à un. Alors, tout d’abord, découvrons que cosx≠0\cos x\ne 0. Supposons le contraire, que

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Nous substituons la valeur résultante dans notre expression, nous obtenons :

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Sur cette base, nous pouvons dire que cosx≠0\cos x\ne 0. Divisons notre équation par cosx\cos x car notre expression entière a une valeur de puissance de un. On obtient :

3(cosxcosx) +5(péchécosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(aligner)

Il ne s'agit pas d'une valeur de tableau, la réponse inclura donc arctgx arctgx :

x=arctg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Depuis arctg arctg arctg est une fonction étrange, nous pouvons retirer le « moins » de l'argument et le placer devant arctg. Nous obtenons la réponse finale :

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Tâche n°2

4péché2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Comme vous vous en souvenez, avant de commencer à le résoudre, vous devez effectuer quelques transformations. Nous réalisons les transformations :

4péché2 x+2sinxcosx−3 (péché2 x+ parce que2 x)=0 4péché2 x+2sinxcosx−3 péché2 x−3 parce que2 x=0péché2 x+2sinxcosx−3 parce que2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (aligner)

Nous avons reçu une structure composée de trois éléments. Au premier terme, nous voyons péché2 ((\sin )^(2)), c'est-à-dire que sa valeur de puissance est de deux. Au deuxième terme, nous voyons péché\sin x et cosx\cos x - encore une fois il y a deux fonctions, elles sont multipliées, donc le degré total est encore une fois deux. Dans le troisième lien, nous voyons parce que2 x((\cos )^(2))x - similaire à la première valeur.

Prouvons que cosx=0\cos x=0 n'est pas une solution à cette construction. Pour ce faire, supposons le contraire :

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\fin (tableau)\]

Nous avons prouvé que cosx=0\cos x=0 ne peut pas être une solution. Passons à la deuxième étape : divisez l'ensemble de notre expression par parce que2 x((\cos )^(2))x. Pourquoi au carré ? Parce que l'exposant puissance de cette équation homogène est égal à deux :

péché2 xparce que2 x+2sinxcosxparce que2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\fin (aligner)

Est-il possible de résoudre cette expression à l’aide d’un discriminant ? Bien sûr que vous le pouvez. Mais je propose de rappeler le théorème, inverse du théorème Vieta, et on obtient que l'on représente ce polynôme sous la forme de deux polynômes simples, à savoir :

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

De nombreux étudiants se demandent s’il vaut la peine d’écrire des coefficients séparés pour chaque groupe de solutions d’identités ou s’il ne vaut pas la peine d’écrire les mêmes partout. Personnellement, je pense qu'il est préférable et plus fiable d'utiliser des lettres différentes, de sorte que si vous entrez dans une université technique sérieuse avec des tests supplémentaires en mathématiques, les examinateurs ne trouveront pas à redire à la réponse.

Tâche n°3

péché3 x+ péché2 xcosx=2 parce que3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Nous savons déjà qu'il s'agit d'une équation trigonométrique homogène du troisième degré, aucune formule spéciale n'est nécessaire et il nous suffit de déplacer le terme 2parce que3 x 2((\cos )^(3))x vers la gauche. Réécrivons :

péché3 x+ péché2 xcosx−2 parce que3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Nous voyons que chaque élément contient trois fonctions trigonométriques, cette équation a donc une valeur de puissance de trois. Résolvons-le. Tout d'abord, nous devons prouver que cosx=0\cos x=0 n'est pas une racine :

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Remplaçons ces nombres dans notre construction originale :

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(aligner)

Ainsi, cosx=0\cos x=0 n'est pas une solution. Nous avons prouvé que cosx≠0\cos x\ne 0. Maintenant que nous avons prouvé cela, divisons notre équation originale par parce que3 x((\cos )^(3))x. Pourquoi dans un cube ? Parce que nous venons de prouver que notre équation originale a la troisième puissance :

péché3 xparce que3 x+péché2 xcosxparce que3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\fin (aligner)

Introduisons une nouvelle variable :

tgx=t

Réécrivons la construction :

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Devant nous équation cubique. Comment le résoudre ? Au départ, alors que je préparais ce didacticiel vidéo, j'avais prévu de parler d'abord de la factorisation des polynômes et d'autres techniques. Mais dans dans ce cas tout est beaucoup plus simple. Jetez un œil à notre identité donnée, le terme ayant le degré le plus élevé valant 1. De plus, tous les coefficients sont des nombres entiers. Cela signifie que l’on peut utiliser un corollaire du théorème de Bezout, qui dit que toutes les racines sont des diviseurs du nombre -2, c’est-à-dire le terme libre.

La question se pose : par quoi fait -2 divisé ? Puisque 2 est un nombre premier, il n’y a pas beaucoup d’options. Il peut s'agir des nombres suivants : 1 ; 2 ; -1 ; -2. Les racines négatives disparaissent immédiatement. Pourquoi? Parce que les deux sont supérieurs à 0 en valeur absolue, donc t3 ((t)^(3)) sera supérieur en module à t2 ((t)^(2)). Et puisque le cube est une fonction impaire, donc le nombre dans le cube sera négatif, et t2 ((t)^(2)) - positif, et toute cette construction, avec t=−1 t=-1 et t=−2 t=-2, ne sera pas supérieur à 0. Soustrayez-en -2 et obtenez un nombre qui est certainement inférieur à 0. Il ne reste que 1 et 2. Remplaçons chacun de ces nombres :

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\à \text( )1+1-2=0\à 0=0

Nous avons obtenu l'égalité numérique correcte. Ainsi, t=1 t=1 est la racine.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\à 8+4-2=0\à 10\ne 0

t=2 t=2 n'est pas une racine.

D’après le corollaire et le même théorème de Bezout, tout polynôme dont la racine est x0 ((x)_(0)), représentez-le sous la forme :

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Dans notre cas, dans le rôle x x agit comme une variable t t, et dans le rôle x0 ((x)_(0)) est une racine égale à 1. On obtient :

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Comment trouver un polynôme P. (t) P\gauche(t\droite) ? Évidemment, vous devez procéder comme suit :

P(t)= t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Remplaçons :

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Ainsi, notre polynôme original est divisé sans reste. Ainsi, nous pouvons réécrire notre égalité originale comme suit :

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. Nous avons déjà considéré le premier multiplicateur. Regardons le deuxième :

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Les étudiants expérimentés ont probablement déjà compris que cette conception n'a pas de racines, mais calculons quand même le discriminant.

ré=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Le discriminant est inférieur à 0, donc l'expression n'a pas de racine. Au total, l'immense construction a été réduite à l'égalité habituelle :

\[\begin(array)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

En conclusion, je voudrais ajouter quelques commentaires sur la dernière tâche :

1. la condition sera-t-elle toujours satisfaite ? cosx≠0\cos x\ne 0, et est-ce que cela vaut la peine d'effectuer cette vérification ? Bien sûr, pas toujours. Dans les cas où cosx=0\cos x=0 est une solution de notre égalité ; nous devrions la retirer des parenthèses, et alors une équation homogène à part entière restera entre parenthèses.
2. Qu'est-ce que diviser un polynôme par un polynôme. En effet, la plupart des écoles n’étudient pas ce sujet et lorsque les étudiants voient un tel design pour la première fois, ils ressentent un léger choc. Mais en fait, c'est simple et bon accueil, ce qui facilite grandement la solution des équations diplômes supérieurs. Bien entendu, un didacticiel vidéo séparé lui sera dédié, que je publierai prochainement.

Points clés

Les équations trigonométriques homogènes sont un sujet de prédilection dans toutes sortes de domaines. essais. Ils peuvent être résolus très simplement – ​​il suffit de s’entraîner une fois. Pour clarifier de quoi nous parlons, introduisons une nouvelle définition.

Une équation trigonométrique homogène est une équation dans laquelle chaque terme non nul est constitué du même nombre de facteurs trigonométriques. Il peut s'agir de sinus, de cosinus ou d'une combinaison de ceux-ci - la méthode de résolution est toujours la même.

Le degré d'une équation trigonométrique homogène est le nombre de facteurs trigonométriques inclus dans les termes non nuls.

sinx+15 car x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - identité du 1er degré ;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2ème degré ;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3ème degré ;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - et cette équation n'est pas homogène, puisqu'il y a une unité à droite - un terme non nul dans lequel il n'y a pas de facteurs trigonométriques ;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 est également une équation non homogène. Élément péché2x\sin 2x est du second degré (puisqu’il peut être représenté

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x est le premier, et le terme 3 est généralement nul, car il ne contient ni sinus ni cosinus.

Schéma de solution général

Le schéma de solution est toujours le même :

Supposons que cosx=0\cosx=0. Alors sinx=±1\sin x=\pm 1 - cela découle de l'identité principale. Remplaçons péché\sin x et cosx\cos x dans l'expression originale, et si le résultat est absurde (par exemple, l'expression 5=0 5=0), passez au deuxième point ;

On divise tout par la puissance du cosinus : cosx, cos2x, cos3x... - dépend de la valeur de puissance de l'équation. Nous obtenons l’égalité habituelle avec les tangentes, qui peut être résolue en toute sécurité après avoir remplacé tgx=t.

tgx=tLes racines trouvées seront la réponse à l'expression originale.

Dans cet article, nous examinerons une méthode de résolution d'équations trigonométriques homogènes.

Les équations trigonométriques homogènes ont la même structure que les équations homogènes de tout autre type. Permettez-moi de vous rappeler la méthode de résolution des équations homogènes du deuxième degré :

Considérons des équations homogènes de la forme

Particularités des équations homogènes :

a) tous les monômes ont le même degré,

b) le terme libre est nul,

c) l'équation contient des puissances avec deux bases différentes.

Les équations homogènes sont résolues à l'aide d'un algorithme similaire.

Pour résoudre ce type d'équation, on divise les deux côtés de l'équation par (peut être divisé par ou par)

Attention! Lorsque vous divisez les côtés droit et gauche d'une équation par une expression contenant une inconnue, vous pouvez perdre des racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l’expression par laquelle nous divisons les deux côtés de l’équation sont les racines de l’équation d’origine.

Si c'est le cas, alors nous écrivons cette racine pour ne pas l'oublier plus tard, puis divisons l'expression par ceci.

En général, la première chose à faire lors de la résolution d’une équation comportant un zéro à droite est d’essayer de développer côté gauche factoriser des équations par n'importe quel d'une manière accessible. Et puis assimilez chaque facteur à zéro. Dans ce cas, nous ne perdrons certainement pas les racines.

Alors, divisez soigneusement le côté gauche de l’équation en expression terme par terme. On obtient :

Réduisons le numérateur et le dénominateur des deuxième et troisième fractions :

Présentons le remplacement :

Nous obtenons équation quadratique:

Résolvons l'équation quadratique, trouvons les valeurs de , puis revenons à l'inconnue d'origine.

Lors de la résolution d’équations trigonométriques homogènes, il y a plusieurs choses importantes à retenir :

1. Le terme factice peut être converti en carré du sinus et du cosinus en utilisant l'identité trigonométrique de base :

2. Le sinus et le cosinus d'un argument double sont des monômes du deuxième degré - le sinus d'un argument double peut être facilement converti en produit du sinus et du cosinus, et le cosinus d'un argument double en carré du sinus ou du cosinus :

Examinons plusieurs exemples de résolution d'équations trigonométriques homogènes.

1. Résolvons l'équation :

Ce exemple classiqueéquation trigonométrique homogène du premier degré : le degré de chaque monôme est égal à un, le terme libre est égal à zéro.

Avant de diviser les deux côtés de l’équation par , vous devez vérifier que les racines de l’équation ne sont pas les racines de l’équation d’origine. On vérifie : si , alors title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Divisons les deux côtés de l'équation par .

On obtient :

, Où

, Où

Répondre: , Où

2. Résolvons l'équation :

Ceci est un exemple d'équation trigonométrique homogène du deuxième degré. Nous rappelons que si nous pouvons factoriser le côté gauche de l’équation, alors il est conseillé de le faire. Dans cette équation, nous pouvons mettre . Faisons ceci :

Solution de la première équation : , où

La deuxième équation est une équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour le résoudre, divisez les deux côtés de l’équation par . On obtient :

Réponse : , où ,

3. Résolvons l'équation :

Pour rendre cette équation « devenue » homogène, on la transforme en produit et on présente le nombre 3 comme la somme des carrés du sinus et du cosinus :

Déplaçons tous les termes vers la gauche, ouvrons les parenthèses et présentons les termes similaires. On obtient :

Factorisons le côté gauche et définissons chaque facteur égal à zéro :

Réponse : , où ,

4. Résolvons l'équation :

Voyons ce que nous pouvons retirer des parenthèses. Faisons ceci :

Assumons chaque facteur à zéro :

Solution de la première équation :

La deuxième équation de population est une équation homogène classique du deuxième degré. Les racines de l’équation ne sont pas les racines de l’équation d’origine, nous divisons donc les deux côtés de l’équation par :

Solution de la première équation :

Solution de la deuxième équation.

Sujet de cours : « Équations trigonométriques homogènes »

(10e année)

Cible: introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degré I et II ; formuler et élaborer un algorithme pour résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; apprendre aux étudiants à résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; développer la capacité d'identifier des modèles et de généraliser ; stimuler l’intérêt pour le sujet, développer un sentiment de solidarité et une saine compétition.

Type de cours : leçon dans la formation de nouvelles connaissances.

Formulaire: travailler en groupe.

Équipement: installation informatique, multimédia

Progression de la leçon

Moment d'organisation

Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.

Dans le cours, un système de notation d'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances en remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant sélectionné par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. .

Actualisation des connaissances de base.

Les devoirs sont vérifiés et notés par un expert indépendant et des consultants avant le cours et une feuille de notation est complétée.

Le professeur résume les devoirs.

Professeur: Nous continuons à étudier le thème «Équations trigonométriques». Aujourd'hui, dans la leçon, nous vous présenterons un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et nous répéterons donc ce que nous avons appris. Lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, ils en sont réduits à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs individuels effectués en groupe sont vérifiés. Soutenance de la présentation « Solutions des équations trigonométriques les plus simples »

(Les travaux du groupe sont évalués par un expert indépendant)

Motivation pour l'apprentissage.

Professeur: Nous avons du travail à faire pour résoudre les mots croisés. Après l'avoir résolu, nous découvrirons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui en classe.

Les questions sont projetées au tableau. Les étudiants devinent et un expert indépendant inscrit les scores des étudiants qui répondent sur la feuille de notation.

Après avoir résolu les mots croisés, les enfants liront le mot « homogène ».

Assimilation de nouvelles connaissances.

Professeur: Le sujet de la leçon est « Équations trigonométriques homogènes ».

Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du deuxième degré.

Écrivons la définition d'une équation homogène du premier degré. Je montre un exemple de résolution de ce type d'équation ; vous créez un algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Équation de la forme UN péché + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Considérons la solution de l'équation lorsque les coefficients UN Et V sont différents de 0.

Exemple: sinx + cosx = 0

R. en divisant les deux côtés du terme de l'équation par cosx, nous obtenons

Attention! Vous ne pouvez diviser par 0 que si cette expression ne devient 0 nulle part. Si le cosinus est égal à 0, alors le sinus sera également égal à 0, étant donné que les coefficients sont différents de 0, mais on sait que le sinus et le cosinus tendent vers zéro en des points différents. Par conséquent, cette opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d’équation.

Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré : division des deux côtés de l'équation par cosx, cosx 0

Équation de la forme UN péché mx +b cosmx = 0 est également appelée équation trigonométrique homogène du premier degré et résout également la division des deux côtés de l'équation par le cosinus mx.

Équation de la forme un péché 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

Exemple : péché 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme l'équation précédente, cosx n'est pas égal à 0, et vous pouvez donc utiliser la méthode de division des deux côtés de l'équation par cos 2 x.

On obtient tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, on obtient alors l'équation

une 2 + 2une – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

une 1 = 1 une 2 = –3

Retour au remplacement

Répondre:

Si le coefficient a = 0, alors l'équation prendra la forme 2sinx cosx – 3cos2x = 0, on la résout en sortant le facteur commun cosx entre parenthèses. Si le coefficient c = 0, alors l'équation prend la forme sin2x +2sinx cosx = 0, on la résout en sortant le facteur commun sinx entre parenthèses. Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré :

Vérifiez si l'équation contient le terme asin2 x.

Si le terme asin2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue en divisant les deux côtés de l'équation par cos2x puis en introduisant une nouvelle variable.

Si le terme asin2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par factorisation : cosx est sorti entre parenthèses. Les équations homogènes de la forme a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 sont résolues de la même manière

L'algorithme de résolution d'équations trigonométriques homogènes est écrit dans le manuel à la page 102.

Minute d'éducation physique

Formation de compétences pour résoudre des équations trigonométriques homogènes

Ouverture des cahiers de problèmes page 53

Les 1er et 2ème groupes décident n° 361-v

Les 3ème et 4ème groupes décident du n°363-v

Montrer la solution au tableau, expliquer, compléter. Un expert indépendant évalue.

Résoudre des exemples du cahier de problèmes n° 361-v
sinx – 3cosx = 0
on divise les deux côtés de l'équation par cosx 0, on obtient

N° 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
divisez les deux côtés de l’équation par cos2x, nous obtenons tg2x + tanx – 2 = 0

résoudre en introduisant une nouvelle variable
soit tgx = a, alors nous obtenons l'équation
a2 + une – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
retour au remplacement

Travail indépendant.

Résolvez les équations.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

A la fin du travail indépendant, ils changent de métier et se vérifient mutuellement. Les bonnes réponses sont projetées au tableau.

Puis ils le louent expert indépendant.

Solution libre-service

Résumer la leçon.

Quel type d’équations trigonométriques avons-nous appris en classe ?

Algorithme de résolution d'équations trigonométriques du premier et du deuxième degré.

Devoirs: § 20.3 lire. N° 361(g), 363(b), difficulté supplémentaire n° 380(a).

Mots croisés.

Si vous entrez les mots corrects, vous obtiendrez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques.

La valeur de la variable qui rend l’équation vraie ? (Racine)

Unité de mesure des angles ? (Radian)

Facteur numérique dans un produit ? (Coefficient)

Branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)

Quel modèle mathématique est nécessaire pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle)

Quelle fonction trigonométrique est paire ? (Cosinus)

Comment s’appelle une véritable égalité ? (Identité)

L'égalité avec une variable ? (Équation)

Des équations qui ont les mêmes racines ? (équivalent)

Ensemble de racines d'une équation ? (Solution)

Feuille de pointage

№
n\n

Nom, prénom du professeur

Devoirs

Présentation

Activité cognitive
étudier

Résoudre des équations

Indépendant
Emploi

Devoirs – 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été assignées pour les devoirs)

Présentation – 1 point

Activité étudiante – 1 réponse – 1 point (4 points maximum)

Résoudre des équations 1 point

Travail indépendant – 4 points

Note de groupe :

« 5 » – 22 points ou plus
« 4 » – 18 – 21 points
« 3 » – 12 – 17 points