Équation différentielle ordinaire est une équation qui relie une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et ses dérivées (ou différentielles) d'ordres divers.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

En plus des équations aux dérivées partielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles sont également étudiées. Ce sont des équations mettant en relation des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivées partielles par rapport aux mêmes variables. Mais nous ne considérerons que équations différentielles ordinaires et par conséquent, par souci de concision, nous omettrons le mot « ordinaire ».

Exemples équations différentielles:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'équation (1) est du quatrième ordre, l'équation (2) est du troisième ordre, les équations (3) et (4) sont du deuxième ordre, l'équation (5) est du premier ordre.

Équation différentielle nème ordre ne doit pas nécessairement contenir une fonction explicite, toutes ses dérivées du premier au n-ième ordre et variable indépendante. Il ne peut pas contenir explicitement de dérivées de certains ordres, une fonction ou une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'y a clairement pas de dérivées du troisième et du second ordre, ni de fonction ; dans l'équation (2) - la dérivée du second ordre et la fonction ; dans l'équation (4) - la variable indépendante ; dans l'équation (5) - fonctions. Seule l'équation (3) contient explicitement toutes les dérivées, la fonction et la variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle chaque fonction est appelée y = f(x), lorsqu'il est substitué dans l'équation, il se transforme en identité.

Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé son intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme . La solution est de trouver la fonction à partir de sa dérivée. La fonction originale, comme le sait le calcul intégral, est une primitive de, c'est-à-dire

C'est ça solution à cette équation différentielle . Changer dedans C, nous obtiendrons différentes solutions. Nous avons découvert qu’il existe un nombre infini de solutions à une équation différentielle du premier ordre.

Solution générale de l'équation différentielle n L’ordre est sa solution, exprimée explicitement par rapport à la fonction inconnue et contenant n constantes arbitraires indépendantes, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle de l'exemple 1 est générale.

Solution partielle de l'équation différentielle une solution dans laquelle des constantes arbitraires reçoivent des valeurs numériques spécifiques est appelée.

Exemple 2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle et une solution particulière pour .

Solution. Intégrons les deux côtés de l'équation un nombre de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

,

.

En conséquence, nous avons reçu une solution générale -

d’une équation différentielle du troisième ordre donnée.

Trouvons maintenant une solution particulière dans les conditions spécifiées. Pour ce faire, remplacez leurs valeurs au lieu de coefficients arbitraires et obtenez

.

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale est donnée sous la forme , alors un tel problème est appelé Problème de Cauchy . Remplacez les valeurs et dans la solution générale de l'équation et trouvez la valeur d'une constante arbitraire C, puis une solution particulière de l'équation pour la valeur trouvée C. C'est la solution au problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de Cauchy pour l'équation différentielle de l'exemple 1 sous réserve de .

Solution. Remplaçons les valeurs de la condition initiale dans la solution générale oui = 3, x= 1. On obtient

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle du premier ordre :

La résolution d’équations différentielles, même les plus simples, nécessite de bonnes compétences en intégration et en dérivées, y compris les fonctions complexes. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle.

Solution. L’équation est écrite sous une forme telle que vous pouvez immédiatement intégrer les deux côtés.

.

Nous appliquons la méthode d'intégration par changement de variable (substitution). Qu'il en soit ainsi.

Obligatoire de prendre dx et maintenant - attention - nous faisons cela selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, puisque x et il y a une fonction complexe ("pomme" - extraire racine carrée ou, qu'est-ce que c'est la même chose - élever à la puissance « la moitié », et « viande hachée » est l'expression même sous la racine) :

On retrouve l'intégrale :

Revenir à la variable x, on obtient :

.

C'est la solution générale de cette équation différentielle du premier degré.

Non seulement les compétences des sections précédentes de mathématiques supérieures seront nécessaires pour résoudre des équations différentielles, mais également les compétences de l'élémentaire, c'est-à-dire les mathématiques scolaires. Comme déjà mentionné, dans une équation différentielle d'un ordre quelconque, il ne peut y avoir de variable indépendante, c'est-à-dire une variable x. La connaissance des proportions de l'école qui n'ont pas été oubliées (cependant, selon qui) de l'école aidera à résoudre ce problème. C'est l'exemple suivant.

Équations différentielles (DE). Ces deux mots terrifient généralement la personne moyenne. Les équations différentielles semblent être quelque chose de prohibitif et difficile à maîtriser pour de nombreux étudiants. Uuuuuu... équations différentielles, comment survivre à tout ça ?!

Cette opinion et cette attitude sont fondamentalement fausses, car en réalité ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - C'EST SIMPLE ET MÊME AMUSANT. Que faut-il savoir et être capable de faire pour apprendre à résoudre des équations différentielles ? Pour réussir à étudier les diffus, vous devez être doué pour intégrer et différencier. Mieux les sujets sont étudiés Dérivée d'une fonction d'une variable Et Intégrale indéfinie, plus il sera facile de comprendre les équations différentielles. J'en dirai plus, si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins décentes, alors le sujet est presque maîtrisé ! Plus il y a d'intégrales différents types vous savez décider, tant mieux. Pourquoi? Parce qu’il va falloir beaucoup intégrer. Et différencier. Aussi je recommande vivement apprendre à trouver dérivée d'une fonction spécifiée implicitement.

Dans 95% des cas en essais Il existe 3 types d'équations différentielles du premier ordre : les équations à variables séparables, que nous considérerons dans cette leçon ; équations homogènes Et équations linéaires inhomogènes. Pour ceux qui commencent à étudier les diffuseurs, je vous conseille de lire les leçons dans cet ordre. Il existe des types d'équations différentielles encore plus rares : équations en différentielles totales, Équations de Bernoulli et quelques autres. Les plus importants des deux derniers types sont les équations aux différentielles totales, car en plus de cette équation différentielle je considère nouveau matériel– l'intégration privée.

Tout d’abord, rappelons les équations habituelles. Ils contiennent des variables et des nombres. L'exemple le plus simple: . Que signifie résoudre une équation ordinaire ? Cela signifie trouver ensemble de nombres, qui satisfont cette équation. Il est facile de remarquer que l'équation des enfants a une racine unique : . Juste pour le plaisir, vérifions et remplaçons la racine trouvée dans notre équation :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Les diffuseurs sont conçus à peu près de la même manière !

Équation différentielle première commande, contient:
1) variable indépendante ;
2) variable dépendante (fonction) ;
3) la dérivée première de la fonction : .

Dans certains cas, l'équation du premier ordre peut manquer de « x » et/ou de « y » - important aller à la salle de contrôle était dérivée première, et il n'y avait pas dérivés d'ordres supérieurs – , etc.

Qu'est-ce que ça veut dire? Résoudre une équation différentielle signifie trouver de nombreuses fonctions, qui satisfont cette équation. Cet ensemble de fonctions est appelé solution générale de l'équation différentielle.

Exemple 1

Résoudre l'équation différentielle

Munitions pleines. Par où commencer à résoudre une équation différentielle du premier ordre ?

Tout d’abord, vous devez réécrire la dérivée sous une forme légèrement différente. Rappelons la lourde notation de la dérivée : . Cette appellation de dérivé a sans doute paru ridicule et inutile à beaucoup d’entre vous, mais c’est ce qui règne dans les diffuseurs !

Ainsi, dans un premier temps, nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin :

À la deuxième étape Toujours voyons si c'est possible des variables séparées ? Que signifie séparer les variables ? En gros, sur le côté gauche nous devons partir seulement "Grecs", UN du côté droit organiser seulement des "X". La division des variables s'effectue à l'aide de manipulations « scolaires » : les mettre entre parenthèses, transférer des termes de partie en partie avec changement de signe, transférer des facteurs de partie en partie selon la règle de proportion, etc.

Les différentiels sont des multiplicateurs à part entière et des participants actifs aux hostilités. Dans l'exemple considéré, les variables sont facilement séparées en mélangeant les facteurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées. Sur le côté gauche, il n’y a que des « Y », sur le côté droit, uniquement des « X ».

La prochaine étape est intégration d'équation différentielle. C’est simple, on met des intégrales des deux côtés :

Bien sûr, nous devons prendre des intégrales. DANS dans ce cas ils sont tabulaires :

Comme on s’en souvient, une constante est attribuée à toute primitive. Il y a ici deux intégrales, mais il suffit d'écrire la constante une fois. Il est presque toujours attribué au côté droit.

À proprement parler, une fois les intégrales prises, l’équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose est que notre « y » n'est pas exprimé par « x », c'est-à-dire que la solution est présentée de manière implicite formulaire. La solution d'une équation différentielle sous forme implicite s'appelle intégrale générale de l'équation différentielle. Autrement dit, il s'agit d'une intégrale générale.

Nous devons maintenant essayer de trouver une solution générale, c’est-à-dire essayer de représenter la fonction explicitement.

N'oubliez pas la première technique, elle est très courante et est souvent utilisée dans des tâches pratiques. Lorsqu'un logarithme apparaît à droite après intégration, il est presque toujours conseillé d'écrire également la constante sous le logarithme.

C'est, au lieu de les entrées sont généralement écrites .

Ici, c'est la même constante à part entière que . Pourquoi est-ce nécessaire ? Et afin de faciliter l’expression du « jeu ». Nous utilisons la propriété scolaire des logarithmes : . Dans ce cas:

Les logarithmes et les modules peuvent désormais être utilisés avec bonne conscience retirer des deux parties :

La fonction est présentée explicitement. C'est la solution générale.

Beaucoup de fonctionnalités est une solution générale d'une équation différentielle.

Donner une constante différentes significations, vous pouvez en obtenir une infinité solutions privéeséquation différentielle. N'importe laquelle des fonctions , , etc. satisfera l’équation différentielle.

Parfois, la solution générale est appelée famille de fonctions. DANS dans cet exemple solution générale est une famille de fonctions linéaires, ou plus précisément, une famille de proportionnalité directe.

De nombreuses équations différentielles sont assez faciles à tester. Cela se fait très simplement, on prend la solution trouvée et on trouve la dérivée :

Nous substituons notre solution et la dérivée trouvée dans l'équation d'origine :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement. En d’autres termes, la solution générale satisfait l’équation.

Après un examen approfondi du premier exemple, il convient de répondre à plusieurs questions naïves sur les équations différentielles.

1)Dans cet exemple, nous avons pu séparer les variables : . Est-ce que cela peut toujours être fait ? Non, pas toujours. Et plus souvent encore, les variables ne peuvent être séparées. Par exemple, dans équations homogènes du premier ordre, vous devez d'abord le remplacer. Dans d'autres types d'équations, par exemple, dans une équation linéaire inhomogène du premier ordre, il faut utiliser diverses techniques et les méthodes pour trouver une solution générale. Les équations à variables séparables, que nous considérons dans la première leçon, sont le type d'équations différentielles le plus simple.

2) Est-il toujours possible d'intégrer une équation différentielle ? Non, pas toujours. Il est très facile de proposer une équation « fantaisiste » qui ne peut pas être intégrée. De plus, il existe des intégrales qui ne peuvent pas être prises en compte. Mais de tels DE peuvent être résolus approximativement en utilisant des méthodes spéciales. Garantie D'Alembert et Cauchy. ...pouah, lurkmore.ru, je lis beaucoup en ce moment.

3) Dans cet exemple, nous avons obtenu une solution sous la forme d'une intégrale générale . Est-il toujours possible de trouver une solution générale à partir d’une intégrale générale, c’est-à-dire d’exprimer explicitement le « y » ? Non, pas toujours. Par exemple: . Eh bien, comment pouvez-vous exprimer « grec » ici ?! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite sous forme d’intégrale générale. De plus, il est parfois possible de trouver une solution générale, mais elle est écrite de manière si lourde et maladroite qu'il vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale

Nous ne nous précipiterons pas. Une autre télécommande simple et une autre solution typique.

Exemple 2

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale

Selon la condition, vous devez trouver solution privée DE satisfaisant la condition initiale. Cette formulation de la question est également appelée Problème de Cauchy.

Nous trouvons d’abord une solution générale. Il n'y a pas de variable « x » dans l'équation, mais cela ne doit pas prêter à confusion, l'essentiel est qu'elle ait la dérivée première.

On réécrit la dérivée en sous la bonne forme:

Bien évidemment, les variables peuvent être séparées, les garçons à gauche, les filles à droite :

Intégrons l'équation :

L'intégrale générale est obtenue. Ici j'ai dessiné une constante avec un astérisque, le fait est que très bientôt elle se transformera en une autre constante.

Essayons maintenant de transformer l’intégrale générale en une solution générale (exprimer explicitement le « y »). Rappelons-nous les bonnes vieilles choses de l'école : . Dans ce cas:

La constante de l’indicateur semble en quelque sorte peu casher, elle est donc généralement ramenée à la terre. Dans le détail, voici comment cela se passe. En utilisant la propriété des degrés, nous réécrivons la fonction comme suit :

Si est une constante, alors est aussi une constante, que nous désignons par la lettre :

N'oubliez pas de « reporter » la constante, c'est la deuxième technique souvent utilisée lors de la résolution d'équations différentielles.

La solution générale est donc : . C'est une belle famille de fonctions exponentielles.

Au stade final, vous devez trouver une solution particulière qui satisfait à la condition initiale donnée. C'est aussi simple.

Quelle est la tâche ? Il faut ramasser tel la valeur d'une constante pour que la condition initiale spécifiée soit satisfaite.

Il peut être formaté de différentes manières, mais celle-ci sera probablement la plus claire. Dans la solution générale, au lieu du « X » nous remplaçons un zéro, et au lieu du « Y » nous remplaçons un deux :



C'est,

Version de conception standard :

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale :
– c’est la solution particulière dont nous avons besoin.

Vérifions. La vérification d'une solution privée comprend deux étapes.

Vous devez d’abord vérifier si la solution particulière trouvée satisfait réellement à la condition initiale ? Au lieu de « X », nous remplaçons zéro et voyons ce qui se passe :
– oui, vous avez bien obtenu un deux, ce qui signifie que la condition initiale est remplie.

La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution particulière résultante et trouvons la dérivée :

Nous substituons dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue.

Conclusion : la solution particulière a été trouvée correctement.

Passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 3

Résoudre l'équation différentielle

Solution: Nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin :

On évalue s'il est possible de séparer les variables ? Peut. On déplace le deuxième terme vers la droite avec un changement de signe :

Et on transfère les multiplicateurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées, intégrons les deux parties :

Je dois vous prévenir, le jour du jugement approche. Si tu n'as pas bien étudié intégrales indéfinies, avez résolu quelques exemples, alors il n'y a nulle part où aller - vous devrez les maîtriser maintenant.

L'intégrale du côté gauche est facile à trouver ; nous traitons l'intégrale de la cotangente en utilisant la technique standard que nous avons vue dans la leçon. Intégration fonctions trigonométriques l'année dernière:

Sur le côté droit nous avons un logarithme, selon ma première recommandation technique, dans ce cas la constante doit également être écrite sous le logarithme.

Essayons maintenant de simplifier l’intégrale générale. Comme nous ne disposons que de logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s’en débarrasser. Nous « emballons » les logarithmes autant que possible. Le conditionnement est réalisé à partir de trois propriétés :

Veuillez réécrire ces trois formules dans votre classeur, lors de la résolution des diffuseurs, ils sont utilisés très souvent.

Je vais décrire la solution en détail :

L'emballage est terminé, supprimez les logarithmes :

Est-il possible d’exprimer « jeu » ? Peut. Il faut mettre les deux parties au carré. Mais vous n'avez pas besoin de faire ça.

Troisième conseils techniques: Si pour obtenir une solution générale il faut s'élever au pouvoir ou s'enraciner, alors dans la plupart des cas vous devez vous abstenir de ces actions et laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Le fait est que la solution générale semblera prétentieuse et terrible - avec de grosses racines et des signes.

Par conséquent, nous écrivons la réponse sous la forme d’une intégrale générale. De la bonne manière On considère qu'il représente l'intégrale générale sous la forme , c'est-à-dire qu'à droite, si possible, ne laissez qu'une constante. Ce n'est pas nécessaire, mais c'est toujours bénéfique pour faire plaisir au professeur ;-)

Répondre: intégrale générale :

Note:L’intégrale générale de n’importe quelle équation peut être écrite de plusieurs manières. Ainsi, si votre résultat ne coïncide pas avec une réponse connue précédemment, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l’équation.

L'intégrale générale est également assez simple à vérifier, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivées d'une fonction spécifiée implicitement. Différencions la réponse :

On multiplie les deux termes par :

Et divisez par :

L’équation différentielle originale a été obtenue exactement, ce qui signifie que l’intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 4

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Permettez-moi de vous rappeler que le problème de Cauchy se compose de deux étapes :
1) Trouver une solution générale.
2) Trouver une solution particulière.

Le contrôle s'effectue également en deux étapes (voir aussi exemple 2), il faut :
1) Assurez-vous que la solution particulière trouvée satisfait réellement à la condition initiale.
2) Vérifiez que la solution particulière satisfait généralement à l'équation différentielle.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouver une solution particulière à une équation différentielle , satisfaisant la condition initiale. Effectuer une vérification.

Solution: Tout d'abord, trouvons une solution générale. Cette équation contient déjà des différentielles toutes faites et, par conséquent, la solution est simplifiée. On sépare les variables :

Intégrons l'équation :

L'intégrale de gauche est tabulaire, l'intégrale de droite est prise méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel:

L'intégrale générale a été obtenue, est-il possible d'exprimer avec succès la solution générale ? Peut. Nous accrochons les logarithmes :

(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient déjà être connues)

La solution générale est donc :

Trouvons une solution particulière correspondant à la condition initiale donnée. Dans la solution générale, au lieu de « X » nous remplaçons zéro, et au lieu de « Y » nous remplaçons le logarithme de deux :

Conception plus familière :

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.

Répondre: solution privée :

Vérifier : Vérifions d’abord si la condition initiale est remplie :
- tout bouge.

Vérifions maintenant si la solution particulière trouvée satisfait à l’équation différentielle. Trouver la dérivée :

Regardons l'équation originale : – il est présenté en différentiels. Il existe deux façons de vérifier. Il est possible d'exprimer la différentielle à partir de la dérivée trouvée :

Remplaçons la solution particulière trouvée et le différentiel résultant dans l'équation d'origine :

Nous utilisons l'identité logarithmique de base :

L’égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution particulière a été trouvée correctement.

La deuxième méthode de vérification est en miroir et plus familière : à partir de l'équation Exprimons la dérivée, pour ce faire on divise tous les morceaux par :

Et dans le DE transformé, nous substituons la solution partielle obtenue et la dérivée trouvée. Grâce aux simplifications, l'égalité correcte devrait également être obtenue.

Exemple 6

Résoudre l’équation différentielle. Présentez la réponse sous la forme d’une intégrale générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Quelles difficultés nous guettent lors de la résolution d’équations différentielles à variables séparables ?

1) Il n'est pas toujours évident (surtout pour une théière) que les variables puissent être séparées. Considérons exemple conditionnel: . Ici, vous devez retirer les facteurs entre parenthèses : et séparer les racines : . Ce qu’il faut faire ensuite est clair.

2) Difficultés avec l'intégration elle-même. Les intégrales ne sont souvent pas les plus simples, et s'il y a des défauts dans les capacités de recherche intégrale indéfinie, alors ce sera difficile avec de nombreux diffuseurs. De plus, la logique « puisque l'équation différentielle est simple, alors que les intégrales soient plus compliquées » est populaire parmi les compilateurs de collections et de manuels de formation.

3) Transformations avec une constante. Comme tout le monde l’a remarqué, on peut presque tout faire avec une constante dans les équations différentielles. Et de telles transformations ne sont pas toujours compréhensibles pour un débutant. Regardons un autre exemple conditionnel : . Il est conseillé de multiplier tous les termes par 2 : . La constante résultante est également une sorte de constante, qui peut être désignée par : . Oui, et comme il y a un logarithme sur le côté droit, alors il convient de réécrire la constante sous la forme d'une autre constante : .

Le problème est qu’ils ne se soucient souvent pas des index et utilisent la même lettre. Et par conséquent, l'enregistrement de solution prend la forme suivante :

Qu'est-ce que c'est que ça ? Il y a aussi des erreurs. Formellement, oui. Mais de manière informelle, il n'y a pas d'erreur ; il est entendu que lors de la conversion d'une constante, une autre constante est toujours obtenue.

Ou cet exemple, supposons qu'au cours de la résolution de l'équation, une intégrale générale soit obtenue. Cette réponse a l'air moche, il est donc conseillé de changer les signes de tous les facteurs : . Formellement, selon l'enregistrement, il y a là encore une erreur ; elle aurait dû être écrite. Mais officieusement, il est entendu qu'il s'agit toujours d'une autre constante (de plus, elle peut prendre n'importe quelle valeur), donc changer le signe d'une constante n'a aucun sens et vous pouvez utiliser la même lettre.

J'essaierai d'éviter une approche imprudente, et je mettrai quand même différents index lors de leur conversion.

Exemple 7

Résoudre l’équation différentielle. Effectuer une vérification.

Solution: Cette équation permet de séparer les variables. On sépare les variables :

Intégrons :

Il n'est pas nécessaire de définir ici la constante comme un logarithme, car cela n'apportera rien d'utile.

Répondre: intégrale générale :

Vérifier : Différencier la réponse (fonction implicite) :

On se débarrasse des fractions en multipliant les deux termes par :

L'équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 8

Trouver une solution particulière du DE.
,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le seul commentaire est qu'ici vous obtenez une intégrale générale et, plus exactement, vous devez vous débrouiller pour trouver non pas une solution particulière, mais intégrale partielle. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Comme déjà noté, dans les diffus avec des variables séparables, les intégrales les plus simples n'apparaissent souvent pas. Et voici quelques autres exemples de ce type que vous pourrez résoudre vous-même. Je recommande à chacun de résoudre les exemples n°9-10, quel que soit son niveau de préparation, cela lui permettra de mettre à jour ses compétences en recherche d'intégrales ou de combler des lacunes dans ses connaissances.

Exemple 9

Résoudre l'équation différentielle

Exemple 10

Résoudre l'équation différentielle

N'oubliez pas qu'il existe plusieurs façons d'écrire une intégrale générale et que vos réponses peuvent être différentes. apparence mes réponses. Brève solution et réponses à la fin de la leçon.

Bonne promotion !

Exemple 4 :Solution: Trouvons une solution générale. On sépare les variables :


Intégrons :



L'intégrale générale a été obtenue ; nous essayons de la simplifier. Emballons les logarithmes et débarrassons-nous-en :

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante x, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à x = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à x = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant , dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, d'après ces définitions, résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui traverse ce point M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

Équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par x, nous obtenons G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) Et F(x)– quelques primitives de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résoudre l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est-à-dire C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si linéaire équation homogène on dirait y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résoudre l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de x. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est-à-dire .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y=1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1 : r 2 + pr + q = 0

Contenu de l'article

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Beaucoup lois physiques, auxquels sont soumis certains phénomènes, s'écrivent sous la forme d'une équation mathématique exprimant une certaine relation entre certaines quantités. Souvent nous parlons de sur la relation entre des quantités qui changent dans le temps, par exemple, l'efficacité du moteur, mesurée par la distance qu'une voiture peut parcourir avec un litre de carburant, dépend de la vitesse de la voiture. L'équation correspondante contient une ou plusieurs fonctions et leurs dérivées et est appelée équation différentielle. (Le taux de changement de distance dans le temps est déterminé par la vitesse ; par conséquent, la vitesse est une dérivée de la distance ; de même, l'accélération est une dérivée de la vitesse, puisque l'accélération détermine le taux de changement de vitesse avec le temps.) Grande valeur, que les équations différentielles ont pour les mathématiques et surtout pour leurs applications, s'expliquent par le fait que l'étude de nombreux problèmes physiques et techniques revient à résoudre de telles équations. Les équations différentielles jouent également un rôle important dans d'autres sciences, telles que la biologie, l'économie et l'électrotechnique ; en fait, ils surviennent partout où il y a un besoin d'une description quantitative (numérique) des phénomènes (puisque le monde qui nous entoure changements au fil du temps et les conditions changent d’un endroit à un autre).

Exemples.

Les exemples suivants permettent de mieux comprendre comment divers problèmes sont formulés dans le langage des équations différentielles.

1) La loi de désintégration de certaines substances radioactives est que le taux de désintégration est proportionnel à la quantité disponible de cette substance. Si x– la quantité de substance à un moment donné t, alors cette loi peut s'écrire comme suit :

Où dx/dt est le taux de désintégration, et k– une constante positive caractérisant une substance donnée. (Le signe moins sur le côté droit indique que x diminue avec le temps; un signe plus, toujours implicite lorsque le signe n'est pas explicitement indiqué, signifierait que x augmente avec le temps.)

2) Le récipient contient initialement 10 kg de sel dissous dans 100 m 3 d'eau. Si eau propre se verse dans le récipient à une vitesse de 1 m 3 par minute et se mélange uniformément avec la solution, et la solution résultante s'écoule du récipient à la même vitesse, alors quelle quantité de sel y aura-t-il dans le récipient à un moment ultérieur ? Si x– quantité de sel (en kg) dans le récipient à la fois t, puis à tout moment t 1 m 3 de solution dans le récipient contient x/100 kg de sel ; donc la quantité de sel diminue à un rythme x/100 kg/min, ou

3) Qu'il y ait des masses sur le corps m suspendu à l'extrémité du ressort, une force de rappel agit proportionnellement à la tension du ressort. Laisser x– l'ampleur de l'écart du corps par rapport à la position d'équilibre. Ensuite, selon la deuxième loi de Newton, qui stipule que l'accélération (la dérivée seconde de x par le temps, désigné d 2 x/dt 2) proportionnel à la force :

Le côté droit porte un signe moins car la force de rappel réduit l'étirement du ressort.

4) La loi du refroidissement corporel stipule que la quantité de chaleur dans un corps diminue proportionnellement à la différence de température corporelle et environnement. Si une tasse de café chauffée à une température de 90°C se trouve dans une pièce où la température est de 20°C, alors

Où T– température du café à l'heure t.

5) Le ministre des Affaires étrangères de l'État de Blefuscu affirme que le programme d'armement adopté par Lilliput oblige son pays à augmenter autant que possible ses dépenses militaires. Le ministre des Affaires étrangères de Lilliput fait des déclarations similaires. La situation qui en résulte (dans son interprétation la plus simple) peut être décrite avec précision par deux équations différentielles. Laisser x Et oui- les dépenses d'armement de Lilliput et Blefuscu. En supposant que Lilliput augmente ses dépenses en armement à un rythme proportionnel au taux d'augmentation des dépenses en armement de Blefuscu, et vice versa, on obtient :

où se trouvent les membres hache Et - par décrire les dépenses militaires de chaque pays, k Et je sont des constantes positives. (Ce problème a été formulé pour la première fois de cette manière en 1939 par L. Richardson.)

Une fois le problème écrit dans le langage des équations différentielles, vous devriez essayer de les résoudre, c'est-à-dire trouver les quantités dont les taux de changement sont inclus dans les équations. Parfois, les solutions sont trouvées sous la forme de formules explicites, mais le plus souvent elles ne peuvent être présentées que sous une forme approximative ou des informations qualitatives peuvent être obtenues à leur sujet. Il peut souvent être difficile de déterminer si une solution existe, et encore moins d’en trouver une. Une partie importante de la théorie des équations différentielles est constituée des « théorèmes d'existence », dans lesquels l'existence d'une solution pour l'un ou l'autre type d'équation différentielle est prouvée.

La formulation mathématique originale d'un problème physique contient généralement des hypothèses simplificatrices ; le critère de leur caractère raisonnable peut être le degré de cohérence de la solution mathématique avec les observations disponibles.

Solutions d'équations différentielles.

Équation différentielle, par exemple mourir/dx = x/oui, n'est pas satisfait par un nombre, mais par une fonction, dans ce cas particulier telle que son graphe en tout point, par exemple en un point de coordonnées (2,3), ait une tangente à pente, égal au rapport des coordonnées (dans notre exemple 2/3). Ceci est facile à vérifier si vous construisez grand nombre points et de chacun d’eux, réservez un court segment avec une pente correspondante. La solution sera une fonction dont le graphe touche chacun de ses points au segment correspondant. S'il y a suffisamment de points et de segments, nous pouvons alors tracer approximativement le tracé des courbes de solution (trois de ces courbes sont représentées sur la Fig. 1). Il existe exactement une courbe de solution passant par chaque point avec oui N° 0. Chaque solution individuelle est appelée solution partielle d'une équation différentielle ; s'il est possible de trouver une formule contenant toutes les solutions particulières (à l'exception peut-être de quelques solutions spéciales), alors on dit qu'une solution générale a été obtenue. Une solution particulière représente une fonction, tandis qu’une solution générale en représente toute une famille. Résoudre une équation différentielle signifie trouver sa solution particulière ou générale. Dans l’exemple que nous considérons, la solution générale a la forme oui 2 – x 2 = c, Où c– n'importe quel nombre ; une solution particulière passant par le point (1,1) a la forme oui = x et il s'avère que quand c= 0 ; une solution particulière passant par le point (2,1) a la forme oui 2 – x 2 = 3. La condition exigeant que la courbe solution passe, par exemple, par le point (2,1), est appelée condition initiale (puisqu'elle précise le point de départ sur la courbe solution).

On peut montrer que dans l’exemple (1) la solution générale a la forme x = ce –kt, Où c– une constante qui peut être déterminée, par exemple, en indiquant la quantité de substance à t= 0. Équation de l'exemple (2) – cas particulieréquation de l'exemple (1), correspondant k= 1/100. État initial x= 10 à t= 0 donne une solution particulière x = 10e –t/100 . L'équation de l'exemple (4) a une solution générale T = 70 + ce –kt et solution privée 70 + 130 – kt; pour déterminer la valeur k, des données supplémentaires sont nécessaires.

Équation différentielle mourir/dx = x/oui est appelée équation du premier ordre, car elle contient la dérivée première (l'ordre d'une équation différentielle est généralement considéré comme l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'elle contient). Pour la plupart (mais pas toutes) des équations différentielles du premier type qui se posent dans la pratique, une seule courbe de solution passe par chaque point.

Il existe plusieurs types importants d'équations différentielles du premier ordre qui peuvent être résolues sous la forme de formules contenant uniquement des fonctions élémentaires - puissances, exposants, logarithmes, sinus et cosinus, etc. Ces équations comprennent les suivantes.

Équations avec variables séparables.

Équations de la forme mourir/dx = f(x)/g(oui) peut être résolu en l’écrivant en différentielles g(oui)mourir = f(x)dx et intégrer les deux parties. Dans le pire des cas, la solution peut être représentée sous forme d’intégrales de fonctions connues. Par exemple, dans le cas de l'équation mourir/dx = x/oui nous avons f(x) = x, g(oui) = oui. En l'écrivant sous la forme ouais = XDX et en intégrant, on obtient oui 2 = x 2 + c. Les équations avec des variables séparables incluent les équations des exemples (1), (2), (4) (elles peuvent être résolues de la manière décrite ci-dessus).

Équations en différentielles totales.

Si l'équation différentielle a la forme mourir/dx = M.(x,oui)/N(x,oui), Où M. Et N sont deux fonctions données, alors cela peut être représenté comme M.(x,oui)dx – N(x,oui)mourir= 0. Si côté gauche est le différentiel d'une fonction F(x,oui), alors l’équation différentielle peut s’écrire dF(x,oui) = 0, ce qui équivaut à l'équation F(x,oui) = const. Ainsi, les courbes de solution de l'équation sont les « lignes de niveaux constants » de la fonction, ou le lieu des points qui satisfont les équations. F(x,oui) = c. Équation ouais = XDX(Fig. 1) - à variables séparables, et de même - en différentiels totaux : pour s'assurer de ce dernier, on l'écrit sous la forme ouais – XDX= 0, c'est à dire d(oui 2 – x 2) = 0. Fonction F(x,oui) dans ce cas est égal à (1/2)( oui 2 – x 2); Certaines de ses lignes de niveau constant sont représentées sur la Fig. 1.

Équations linéaires.

Les équations linéaires sont des équations du « premier degré » - la fonction inconnue et ses dérivées n'apparaissent dans de telles équations qu'au premier degré. Ainsi, l’équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme mourir/dx + p(x) = q(x), Où p(x) Et q(x) – fonctions qui dépendent uniquement de x. Sa solution peut toujours être écrite en utilisant des intégrales de fonctions connues. De nombreux autres types d’équations différentielles du premier ordre sont résolus à l’aide de techniques spéciales.

Équations d’ordre supérieur.

De nombreuses équations différentielles rencontrées par les physiciens sont des équations du second ordre (c'est-à-dire des équations contenant des dérivées secondes). Telle est, par exemple, l'équation du mouvement harmonique simple de l'exemple (3). Maryland 2 x/dt 2 = –kx. De manière générale, on peut s'attendre à ce qu'une équation du second ordre ait des solutions partielles qui satisfont à deux conditions : par exemple, on pourrait exiger que la courbe de solution passe par un point donné dans une direction donnée. Dans les cas où l'équation différentielle contient un paramètre (un nombre dont la valeur dépend des circonstances), les solutions du type requis n'existent que si certaines valeurs ce paramètre. Par exemple, considérons l'équation Maryland 2 x/dt 2 = –kx et nous exigerons que oui(0) = oui(1) = 0. Fonction ouiє 0 est évidemment une solution, mais s'il s'agit d'un multiple entier p, c'est-à-dire k = m 2 n 2 p 2, où n est un nombre entier, mais en réalité seulement dans ce cas, il existe d'autres solutions, à savoir : oui= péché npx. Les valeurs des paramètres pour lesquelles l'équation a des solutions spéciales sont appelées caractéristiques ou valeurs propres ; ils jouent un rôle important dans de nombreuses tâches.

L'équation du mouvement harmonique simple est un exemple d'une classe importante d'équations, à savoir les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Plus exemple général(également du deuxième ordre) – équation

Où un Et b– étant donné des constantes, f(x) est une fonction donnée. De telles équations peuvent être résolues de diverses manières, par exemple, en utilisant la transformée intégrale de Laplace. La même chose peut être dite à propos des équations linéaires d’ordres supérieurs à coefficients constants. Ils jouent également un rôle important équations linéaires avec des cotes variables.

Équations différentielles non linéaires.

Les équations contenant des fonctions inconnues et leurs dérivées à des puissances supérieures à la première ou d'une manière plus complexe sont appelées non linéaires. DANS dernières années ils attirent de plus en plus l'attention. Le fait est que les équations physiques ne sont généralement linéaires qu’en première approximation ; En règle générale, des recherches plus approfondies et plus précises nécessitent l'utilisation d'équations non linéaires. De plus, de nombreux problèmes sont de nature non linéaire. Étant donné que les solutions aux équations non linéaires sont souvent très complexes et difficiles à représenter par des formules simples, une partie importante théorie moderne est consacré à une analyse qualitative de leur comportement, c'est-à-dire le développement de méthodes qui permettent, sans résoudre l'équation, de dire quelque chose de significatif sur la nature des solutions dans leur ensemble : par exemple, qu'elles sont toutes limitées, ou ont un caractère périodique, ou dépendent d'une certaine manière de les coefficients.

Des solutions approximatives aux équations différentielles peuvent être trouvées numériquement, mais cela prend beaucoup de temps. Avec l'avènement des ordinateurs à grande vitesse, ce temps a été considérablement réduit, ce qui a ouvert de nouvelles possibilités pour la solution numérique de nombreux problèmes auparavant insolubles dans une telle solution.

Théorèmes d'existence.

Un théorème d'existence est un théorème qui stipule que, sous certaines conditions, une équation différentielle donnée a une solution. Il existe des équations différentielles qui n’ont pas de solutions ou qui en contiennent plus que prévu. Le but d’un théorème d’existence est de nous convaincre qu’une équation donnée a réellement une solution, et le plus souvent de nous assurer qu’elle a exactement une solution du type requis. Par exemple, l'équation que nous avons déjà rencontrée mourir/dx = –2oui a exactement une solution passant par chaque point du plan ( x,oui), et comme nous avons déjà trouvé une telle solution, nous avons ainsi complètement résolu cette équation. Par contre, l'équation ( mourir/dx) 2 = 1 – oui 2 a de nombreuses solutions. Parmi eux se trouvent des hétéros oui = 1, oui= –1 et courbes oui= péché( x + c). La solution peut consister en plusieurs segments de ces droites et courbes, se croisant aux points de contact (Fig. 2).

Équations aux dérivées partielles.

Une équation différentielle ordinaire est une déclaration sur la dérivée d'une fonction inconnue d'une variable. Une équation aux dérivées partielles contient une fonction de deux variables ou plus et des dérivées de cette fonction par rapport à au moins deux variables différentes.

En physique, des exemples de telles équations sont l'équation de Laplace

X, oui) à l’intérieur du cercle si les valeurs toi spécifié en chaque point du cercle délimitant. Puisque les problèmes comportant plus d’une variable en physique sont la règle plutôt que l’exception, il est facile d’imaginer à quel point le sujet de la théorie des équations aux dérivées partielles est vaste.

Donné calculateur en ligne vous permet de résoudre des équations différentielles en ligne. Il suffit de saisir votre équation dans le champ approprié, en désignant la dérivée de la fonction par une apostrophe et de cliquer sur le bouton « résoudre l'équation » et le système, mis en œuvre sur la base du site Web populaire WolframAlpha, donnera des détails. résoudre une équation différentielle absolument gratuit. Vous pouvez également définir le problème de Cauchy de sorte qu'à partir de l'ensemble solutions possibles sélectionner le quotient correspondant aux conditions initiales données. Le problème de Cauchy est inscrit dans un champ séparé.

Équation différentielle

Par défaut, la fonction dans l'équation oui est fonction d'une variable x. Cependant, vous pouvez spécifier votre propre désignation pour la variable ; si vous écrivez, par exemple, y(t) dans l'équation, la calculatrice le reconnaîtra automatiquement. oui il y a une fonction à partir d'une variable t. A l'aide d'une calculatrice, vous pouvez résoudre des équations différentielles de toute complexité et de tout type : homogènes et inhomogènes, linéaires ou non linéaires, du premier ordre ou du deuxième ordre et supérieur, équations à variables séparables ou non séparables, etc. Différence de solution. l'équation est donnée sous forme analytique, a description détaillée. Les équations différentielles sont très courantes en physique et en mathématiques. Sans les calculer, il est impossible de résoudre de nombreux problèmes (notamment en physique mathématique).

L'une des étapes de la résolution des équations différentielles consiste à intégrer des fonctions. Il existe des méthodes standard pour résoudre des équations différentielles. Il est nécessaire de réduire les équations à une forme avec des variables séparables y et x et d'intégrer séparément les fonctions séparées. Pour ce faire, un certain remplacement doit parfois être effectué.