Premier niveau

Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme " équation quadratique"Le mot clé est "carré". Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x à la puissance troisième (ou supérieure).

La solution de nombreuses équations revient à résoudre des équations quadratiques.

Apprenons à déterminer qu'il s'agit d'une équation quadratique et non d'une autre équation.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplaçons tout vers côté gauche et classer les termes par ordre décroissant des puissances de x

Nous pouvons désormais affirmer avec certitude que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu’elle y figurait à l’origine, n’est pas quadratique !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Effrayant? Les quatrième et deuxième degrés... Cependant, si nous effectuons un remplacement, nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Cela semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, c'est réduit - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

1. carré;
2. carré;
3. pas carré;
4. pas carré;
5. pas carré;
6. carré;
7. pas carré;
8. carré.

Les mathématiciens divisent classiquement toutes les équations quadratiques dans les types suivants :

• Équations quadratiques complètes- des équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c, ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation du premier exemple est non seulement complète, mais aussi réduite !)

• Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

  Ils sont incomplets car il leur manque certains éléments. Mais l'équation doit toujours contenir x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus une équation quadratique, mais une autre équation.

Pourquoi ont-ils proposé une telle division ? Il semblerait qu'il y ait un X au carré, et d'accord. Cette division est déterminée par les méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d’abord, concentrons-nous sur la résolution d’équations quadratiques incomplètes – elles sont beaucoup plus simples !

Il existe des types d'équations quadratiques incomplètes :

1. , dans cette équation le coefficient est égal.
2. , dans cette équation le terme libre est égal à.
3. , dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

1. je. Parce que nous savons extraire Racine carrée, alors exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler que cela ne peut pas être moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il ne reste plus qu'à extraire la racine des côtés gauche et droit. Après tout, vous vous souvenez comment extraire les racines ?

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Oh! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour de telles équations sans racines, les mathématiciens ont proposé une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s’écrire ainsi :

Répondre:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Répondre:

Le type le plus simple d’équations quadratiques incomplètes (même si elles sont toutes simples, n’est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Nous renoncerons ici aux exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple ; l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a une racine. Attention particulière avancez d'un pas. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous en souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, l’équation est complète.

Solutions à différents types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ? Mais le discriminant peut être négatif. Ce qu'il faut faire? Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

• Si, alors l'équation a des racines :
• Si, alors l'équation a les mêmes racines, et en fait, une seule racine :

  Ces racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi est-ce possible différentes quantités racines? Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, . Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis). Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

Répondre: .

Répondre:

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient, pris de signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple n°2 :

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit de changer simplement les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons de telles paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple n°5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu’au moins une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines. Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seul le théorème de Vieta :

Solutions aux tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données. Vous devez donc d’abord donner une équation. Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez d’une autre manière (par exemple, via un discriminant). Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Super. Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Tâche 4.

Le membre libre est négatif. Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ? Et le fait est que les racines auront des signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Permettez-moi de résumer :

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 2 :

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

DANS vue générale la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ? C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
• s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
• si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Équation quadratique incomplète de la forme où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Mettons l'équation sous forme standard : ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

2.5 Formule de Vieta pour les polynômes (équations) diplômes supérieurs

Les formules dérivées de Viète pour les équations quadratiques sont également vraies pour les polynômes de degrés supérieurs.

Laissez le polynôme

P(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 + … + une n

A n racines différentes x 1, x 2..., x n.

Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :

une 0 x n + une 1 x n-1 +…+ une n = une 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Divisons les deux côtés de cette égalité par a 0 ≠ 0 et ouvrons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissances sont égaux. Il s'ensuit que l'égalité

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Par exemple, pour les polynômes du troisième degré

une 0 x³ + une 1 x² + une 2 x + une 3

Nous avons des identités

x1 + x2 + x3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x1x2x3 = -

Quant aux équations quadratiques, cette formule est appelée formules de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques à partir des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.

2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)

Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :

hache 4 + bx 2 + c = 0,

appelé biquadratique, et a ≠ 0.

Il suffit de mettre x 2 = y dans cette équation, donc,

ay² + par + c = 0

trouvons les racines de l'équation quadratique résultante

oui 1,2 =

Pour trouver immédiatement les racines x 1, x 2, x 3, x 4, remplacez y par x et obtenez

x² =

x1,2,3,4 = .

Si une équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,

Si a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d’une telle équation est nulle.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Remplaçons l'équation dans la formule des racines des équations biquadratiques :

x1,2,3,4 = ,

sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :

x 3,4 =

Réponse : x 1,2 = ±2 ; x 1,2 =

2.7 Etude des équations biquadratiques

Prenons l'équation biquadratique

hache 4 + bx 2 + c = 0,

où a, b, c sont des nombres réels, et a > 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², on examine les racines de cette équation et on inscrit les résultats dans le tableau (voir annexe n°1)

2.8 Formule Cardano

Si nous utilisons le symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :

X =

Cette formule détermine les racines équation générale troisième degré:

hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Cela ne s'appliquera pas toujours, parce que... très difficile à remplir.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Listez ou sélectionnez les endroits les plus intéressants parmi 2-3 textes. Ainsi, nous avons examiné les dispositions générales de création et de déroulement des cours au choix, qui seront prises en compte lors de l'élaboration d'un cours au choix d'algèbre pour la 9e année « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre ». Chapitre II. Méthodologie de déroulement du cours au choix « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre » 1.1. Sont communs...

Solutions à partir de méthodes de calcul numérique. Pour déterminer les racines d'une équation, la connaissance des théories des groupes d'Abel, Galois, Lie, etc. et l'utilisation d'une terminologie mathématique particulière : anneaux, corps, idéaux, isomorphismes, etc. ne sont pas nécessaires. Pour résoudre une équation algébrique du nième degré, il vous suffit de savoir résoudre des équations quadratiques et extraire les racines d'un nombre complexe. Les racines peuvent être déterminées par...

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Formulation et preuve du théorème de Vieta pour les équations quadratiques. Théorème inverse de Vieta. Théorème de Vieta pour les équations cubiques et les équations d'ordre arbitraire.

Équations du second degré

Théorème de Vieta

Soit et désignons les racines de l'équation quadratique réduite
(1) .
Alors la somme des racines est égale au coefficient de , pris avec le signe opposé. Le produit des racines est égal au terme libre :
;
.

Une note sur les racines multiples

Si le discriminant de l’équation (1) est nul, alors cette équation a une racine. Mais, afin d'éviter des formulations lourdes, il est généralement admis que dans ce cas, l'équation (1) a deux racines multiples ou égales :
.

Première preuve

Trouvons les racines de l'équation (1). Pour ce faire, appliquez la formule des racines d'une équation quadratique :
;
;
.

Trouvez la somme des racines :
.

Pour trouver le produit, appliquez la formule :
.
Alors

.

Le théorème est prouvé.

Deuxième preuve

Si les nombres sont les racines de l’équation quadratique (1), alors
.
Ouvrir les parenthèses.

.
Ainsi, l’équation (1) prendra la forme :
.
En comparant avec (1), on trouve :
;
.

Le théorème est prouvé.

Théorème inverse de Vieta

Qu'il y ait des nombres arbitraires. Alors et sont les racines de l'équation quadratique
,
Où
(2) ;
(3) .

Preuve du théorème inverse de Vieta

Considérons l'équation quadratique
(1) .
Nous devons prouver que si et , alors et sont les racines de l’équation (1).

Remplaçons (2) et (3) dans (1) :
.
Nous regroupons les termes du côté gauche de l’équation :
;
;
(4) .

Remplaçons en (4) :
;
.

Remplaçons en (4) :
;
.
L’équation est vraie. Autrement dit, le nombre est la racine de l’équation (1).

Le théorème est prouvé.

Théorème de Vieta pour une équation quadratique complète

Considérons maintenant l'équation quadratique complète
(5) ,
où , et sont quelques nombres. De plus.

Divisons l'équation (5) par :
.
Autrement dit, nous avons l'équation donnée
,
Où ; .

Alors le théorème de Vieta pour une équation quadratique complète a la forme suivante.

Soit et désignons les racines de l'équation quadratique complète
.
Ensuite, la somme et le produit des racines sont déterminés par les formules :
;
.

Théorème de Vieta pour l'équation cubique

De la même manière, nous pouvons établir des connexions entre les racines d’une équation cubique. Considérons l'équation cubique
(6) ,
où , , , sont des nombres. De plus.
Divisons cette équation par :
(7) ,
Où , , .
Soit , , les racines de l'équation (7) (et de l'équation (6)). Alors

.

En comparant avec l'équation (7), nous trouvons :
;
;
.

Théorème de Vieta pour une équation du nième degré

De la même manière, vous pouvez trouver des connexions entre les racines , , ... , , pour une équation de nième degré
.

Le théorème de Vieta pour une équation du nième degré a la forme suivante :
;
;
;

.

Pour obtenir ces formules, on écrit l'équation comme suit :
.
Ensuite, nous égalisons les coefficients pour , , , ... et comparons le terme libre.

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov et al., Algèbre : manuel pour la 8e année dans les établissements d'enseignement général, Moscou, Éducation, 2006.

En mathématiques, il existe des techniques spéciales permettant de résoudre de nombreuses équations quadratiques très rapidement et sans aucun discriminant. De plus, avec une formation appropriée, beaucoup commencent à résoudre des équations quadratiques oralement, littéralement « à première vue ».

Malheureusement, dans le cours moderne de mathématiques scolaires, ces technologies ne sont presque pas étudiées. Mais il faut savoir ! Et aujourd'hui, nous examinerons l'une de ces techniques : le théorème de Vieta. Tout d’abord, introduisons une nouvelle définition.

Une équation quadratique de la forme x 2 + bx + c = 0 est dite réduite. Veuillez noter que le coefficient pour x 2 est 1. Il n'y a aucune autre restriction sur les coefficients.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 est une équation quadratique réduite ;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - également réduit ;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mais cela n'est pas du tout donné, puisque le coefficient de x 2 est égal à 2.

Bien entendu, toute équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0 peut être réduite - il suffit de diviser tous les coefficients par le nombre a. Nous pouvons toujours le faire, puisque la définition d’une équation quadratique implique que a ≠ 0.

Certes, ces transformations ne seront pas toujours utiles pour trouver des racines. Ci-dessous, nous veillerons à ce que cela ne soit fait que lorsque dans l'équation finale donnée par le carré, tous les coefficients sont entiers. Pour l'instant, regardons les exemples les plus simples :

Tâche. Convertissez l'équation quadratique en équation réduite :

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0 ;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0 ;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Divisons chaque équation par le coefficient de la variable x 2. On a:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - tout divisé par 3 ;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - divisé par −4 ;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - divisé par 1,5, tous les coefficients sont devenus des entiers ;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - divisé par 2. Dans ce cas, des coefficients fractionnaires sont apparus.

Comme vous pouvez le constater, les équations quadratiques ci-dessus peuvent avoir des coefficients entiers même si l'équation d'origine contenait des fractions.

Formulons maintenant le théorème principal, pour lequel, en fait, la notion d'équation quadratique réduite a été introduite :

Théorème de Vieta. Considérons l'équation quadratique réduite de la forme x 2 + bx + c = 0. Supposons que cette équation ait des racines réelles x 1 et x 2. Dans ce cas, les affirmations suivantes sont vraies :

1. X 1 + X 2 = −b. En d'autres termes, la somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au coefficient de la variable x, pris avec le signe opposé ;
2. x 1 x 2 = c . Le produit des racines d'une équation quadratique est égal au coefficient libre.

Exemples. Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que les équations quadratiques ci-dessus qui ne nécessitent pas de transformations supplémentaires :

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9 ; x1x2 = 20 ; racines : x 1 = 4 ; x2 = 5 ;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2 ; x 1 x 2 = −15 ; racines : x 1 = 3 ; x2 = −5 ;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5 ; x1x2 = 4 ; racines : x 1 = −1 ; x2 = −4.

Le théorème de Vieta nous donne des informations supplémentaires sur les racines d'une équation quadratique. À première vue, cela peut sembler difficile, mais même avec un minimum de formation, vous apprendrez à « voir » les racines et à les deviner littéralement en quelques secondes.

Tâche. Résolvez l'équation quadratique :

1. x 2 − 9x + 14 = 0 ;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 ;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0 ;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Essayons d'écrire les coefficients en utilisant le théorème de Vieta et de « deviner » les racines :

1. x 2 − 9x + 14 = 0 est une équation quadratique réduite.
   D'après le théorème de Vieta, nous avons : x 1 + x 2 = −(−9) = 9 ; x 1 · x 2 = 14. Il est facile de voir que les racines sont les nombres 2 et 7 ;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - également réduit.
   D'après le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −(−12) = 12 ; x 1 x 2 = 27. D'où les racines : 3 et 9 ;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - cette équation n'est pas réduite. Mais nous allons corriger cela maintenant en divisant les deux côtés de l'équation par le coefficient a = 3. Nous obtenons : x 2 + 11x + 10 = 0.
   Nous résolvons en utilisant le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −11 ; x 1 x 2 = 10 ⇒ racines : −10 et −1 ;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - encore une fois le coefficient pour x 2 n'est pas égal à 1, c'est-à-dire équation non donnée. On divise le tout par le nombre a = −7. On obtient : x 2 − 11x + 30 = 0.
   D'après le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −(−11) = 11 ; x1x2 = 30 ; A partir de ces équations, il est facile de deviner les racines : 5 et 6.

Le raisonnement ci-dessus montre clairement comment le théorème de Vieta simplifie la solution des équations quadratiques. Pas de calculs compliqués, pas de racines ou de fractions arithmétiques. Et nous n’avions même pas besoin d’un discriminant (voir la leçon « Résolution d’équations quadratiques »).

Bien entendu, dans toutes nos réflexions, nous sommes partis de deux hypothèses importantes, qui, d’une manière générale, ne se rencontrent pas toujours dans les problèmes réels :

1. L'équation quadratique est réduite, c'est-à-dire le coefficient pour x 2 est 1 ;
2. L'équation a deux racines différentes. D'un point de vue algébrique, dans ce cas le discriminant est D > 0 - en fait, nous supposons initialement que cette inégalité est vraie.

Cependant, dans les problèmes mathématiques typiques, ces conditions sont remplies. Si le calcul aboutit à une « mauvaise » équation quadratique (le coefficient de x 2 est différent de 1), cela peut être facilement corrigé - regardez les exemples au tout début de la leçon. Je reste généralement silencieux sur les racines : de quel genre de problème s’agit-il sans réponse ? Bien sûr, il y aura des racines.

Ainsi, régime général la résolution d’équations quadratiques à l’aide du théorème de Vieta ressemble à ceci :

1. Réduire l'équation quadratique à celle donnée, si cela n'a pas déjà été fait dans l'énoncé du problème ;
2. Si les coefficients de l'équation quadratique ci-dessus sont fractionnaires, nous résolvons en utilisant le discriminant. Vous pouvez même revenir à l'équation originale pour travailler avec des nombres plus « pratiques » ;
3. Dans le cas de coefficients entiers, nous résolvons l’équation en utilisant le théorème de Vieta ;
4. Si vous ne parvenez pas à deviner les racines en quelques secondes, oubliez le théorème de Vieta et résolvez en utilisant le discriminant.

Tâche. Résolvez l'équation : 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Nous avons donc devant nous une équation qui n’est pas réduite, car coefficient a = 5. Divisez le tout par 5, nous obtenons : x 2 − 7x + 10 = 0.

Tous les coefficients de l'équation quadratique sont entiers - essayons de la résoudre en utilisant le théorème de Vieta. On a : x 1 + x 2 = −(−7) = 7 ; x 1 x 2 = 10,V dans ce cas les racines sont faciles à deviner - elles sont 2 et 5. Il n'est pas nécessaire de compter en utilisant le discriminant.

Tâche. Résolvez l'équation : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Regardons : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - cette équation n'est pas réduite, divisons les deux côtés par le coefficient a = −5. On obtient : x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - une équation à coefficients fractionnaires.

Il est préférable de revenir à l'équation originale et de compter via le discriminant : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x2 = 0,4.

Tâche. Résolvez l'équation : 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Tout d'abord, divisons le tout par le coefficient a = 2. Nous obtenons l'équation x 2 + 5x − 300 = 0.

C'est l'équation réduite, d'après le théorème de Vieta nous avons : x 1 + x 2 = −5 ; x 1 x 2 = −300. Il est difficile de deviner les racines de l'équation quadratique dans ce cas - personnellement, j'étais sérieusement coincé lors de la résolution de ce problème.

Vous devrez chercher les racines à travers le discriminant : D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Si vous ne vous souvenez pas de la racine du discriminant, je noterai simplement que 1225 : 25 = 49. Donc 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Maintenant que la racine du discriminant est connue, résoudre l’équation n’est plus difficile. On obtient : x 1 = 15 ; x2 = −20.

Le théorème de Vieta (plus précisément, le théorème inverse du théorème de Vieta) permet de réduire le temps de résolution des équations quadratiques. Il faut juste savoir s'en servir. Comment apprendre à résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta ? Ce n'est pas difficile si on y réfléchit un peu.

Nous allons maintenant parler uniquement de la résolution de l’équation quadratique réduite à l’aide du théorème de Vieta. Une équation quadratique réduite est une équation dans laquelle a, c’est-à-dire le coefficient de x², est égal à un. Il est également possible de résoudre des équations quadratiques qui ne sont pas données à l’aide du théorème de Vieta, mais dont au moins une des racines n’est pas un nombre entier. Ils sont plus difficiles à deviner.

Le théorème inverse du théorème de Vieta stipule : si les nombres x1 et x2 sont tels que

alors x1 et x2 sont les racines de l'équation quadratique

Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide du théorème de Vieta, seules 4 options sont possibles. Si vous vous souvenez du raisonnement, vous pouvez apprendre à trouver très rapidement des racines entières.

I. Si q est un nombre positif,

cela signifie que les racines x1 et x2 sont des nombres de même signe (puisque seule la multiplication de nombres de mêmes signes produit un nombre positif).

I.a. Si -p est un nombre positif, (respectivement, p<0), то оба корня x1 и x2 — nombres positifs(puisque nous avons ajouté des nombres du même signe et obtenu un nombre positif).

I.b. Si -p est un nombre négatif, (respectivement p>0), alors les deux racines sont des nombres négatifs (nous avons ajouté des nombres du même signe et obtenu un nombre négatif).

II. Si q est un nombre négatif,

cela signifie que les racines x1 et x2 ont des signes différents (lors de la multiplication de nombres, un nombre négatif n'est obtenu que lorsque les signes des facteurs sont différents). Dans ce cas, x1+x2 n'est plus une somme, mais une différence (après tout, lorsqu'on additionne des nombres avec différents signes on soustrait le plus petit du plus grand). Par conséquent, x1+x2 montre à quel point les racines x1 et x2 diffèrent, c'est-à-dire à quel point une racine est supérieure à l'autre (en valeur absolue).

II.a. Si -p est un nombre positif, (c'est-à-dire p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Si -p est un nombre négatif, (p>0), alors la racine la plus grande (modulo) est un nombre négatif.

Considérons la résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta à l'aide d'exemples.

Résolvez l'équation quadratique donnée en utilisant le théorème de Vieta :

Ici q=12>0, donc les racines x1 et x2 sont des nombres du même signe. Leur somme est -p=7>0, donc les deux racines sont des nombres positifs. On sélectionne des entiers dont le produit est égal à 12. Ce sont 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4. La somme est 7 pour le couple 3 et 4. Cela signifie que 3 et 4 sont les racines de l'équation.

DANS dans cet exemple q=16>0, ce qui signifie que les racines x1 et x2 sont des nombres de même signe. Leur somme est -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, alors le plus grand nombre est positif. Les racines sont donc 5 et -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.