Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est puissance d'un nombre. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons par . Pour l’avenir, disons que la définition de la puissance d’un nombre a d’exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire la notation a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».

Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

A noter que dans le dernier exemple, la base de la puissance 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases de la puissance qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .

L’un des problèmes inverses à l’élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base d’une puissance à partir d’une valeur connue de la puissance et d’un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que beaucoup nombres rationnels se compose de nombres entiers et fractionnaires, chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons donc défini le diplôme avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, pour compléter la définition du diplôme avec indicateur rationnel, vous devez donner un sens à la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons ça.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si l'on prend en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter, à condition que étant donné m, n et a, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.

Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire le degré du nombre zéro avec une fraction indicateur négatif cela n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre a dont l'exposant est , est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition ci-dessous ). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens) ; pour m négatif, le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division) ; par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie , Mais , UN .

PARTIE II. CHAPITRE 6
SÉQUENCES DE NOMBRES

Le concept de diplôme avec un exposant irrationnel

Soit a un nombre positif et a un nombre irrationnel.
Quel sens donner à l’expression a* ?
Pour rendre la présentation plus claire, nous la ferons en privé
exemple. A savoir, mettons a - 2 et a = 1, 624121121112. . . .
Ici, et - sans fin décimal, compilé selon ceci
loi : à partir de la quatrième décimale, pour l'image a
Seuls les chiffres 1 et 2 sont utilisés, et le nombre de chiffres est 1,
écrit à la suite avant le chiffre 2, en augmentant tout le temps de
un. La fraction a est non périodique, car sinon le nombre de chiffres est 1,
enregistrés d'affilée à son image seraient limités.
a est donc un nombre irrationnel.
Alors, quel sens donner à l’expression
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . r
Pour répondre à cette question, créons une séquence de valeurs
et avec déficit et excès avec une précision de (0,1)*. Nous obtenons
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Créons les séquences de puissances correspondantes du nombre 2 :
2M. 2M* ; 21*624 ; 21’62*1 ; ..., (3)
21D. 21''63 ; 2*»62Wu 21,6Sh; . (4)
La séquence (3) augmente à mesure que la séquence augmente
(1) (Théorème 2 § 6).
La séquence (4) est décroissante car la séquence est décroissante
(2).
Chaque terme de la séquence (3) est inférieur à chaque terme de la séquence
(4), et donc la séquence (3) est limitée
d’en haut, et la séquence (4) est délimitée en bas.
Basé sur le théorème des séquences bornées monotones
chacune des séquences (3) et (4) a une limite. Si

384 Notion de degré c indicateur irrationnel. .

il s'avère maintenant que la différence entre les séquences (4) et (3) converge
à zéro, alors il s'ensuivra que ces deux séquences,
ont une limite commune.
Différence des premiers termes des séquences (3) et (4)
21-7 - 21'* = 2|, en (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Différence des seconds termes
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Différence des nièmes termes
0,0000. ..0 1
2>.««…(2" - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Basé sur le théorème 3 § 6
limite 10″ / 2 = 1.
Ainsi, les séquences (3) et (4) ont une limite commune. Ce
la limite est le seul nombre réel qui soit plus grand
tous les membres de la séquence (3) et moins que tous les membres de la séquence
(4), il convient de le considérer comme la valeur exacte de 2*.
De ce qui a été dit, il s'ensuit qu'il est généralement conseillé d'accepter
la définition suivante :
Définition. Si a^> 1, alors la puissance de a avec irrationnel
l'exposant a est un nombre réel
qui est supérieur à toutes les puissances de ce nombre dont les exposants sont
approximations rationnelles a avec désavantage, et moins que tous les degrés
ce nombre dont les exposants sont des approximations rationnelles et avec
excès.
Si un<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
est le nombre réel qui est supérieur à toutes les puissances
ce nombre dont les exposants sont des approximations rationnelles et
avec excès, et moins que toutes les puissances de ce nombre, dont les indicateurs
- approximations rationnelles a avec un inconvénient.
.Si a- 1, alors son degré avec l'exposant irrationnel a
est 1.
En utilisant la notion de limite, cette définition peut être formulée
Donc:
Puissance d'un nombre positif avec un exposant irrationnel
et la limite vers laquelle tend la suite est appelée
puissances rationnelles de ce nombre, à condition que la séquence
les exposants de ces degrés tendent vers a, c'est-à-dire
аа = lim аЧ
b-*
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Un degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tous a et n, sauf dans le cas de a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont valides :

Un m *un n =un m+n ; une m:une n =une m-n (une≠0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n *b n ; (b≠0); une 1 =une; une 0 =1 (une≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m >a n pour a>1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette section nous généraliserons la notion de puissances d'un nombre, en donnant un sens aux expressions de type 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition de telle sorte que les puissances à exposant rationnel aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la nième puissance du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est exécuté, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la nième racine) que le nombredoit être la nième racine d'un m.

Définition.

La puissance d'un nombre a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier et n est un nombre naturel (n > 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 est définie uniquement pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Diplôme avec un exposant irrationnel.

Nombre irrationnelpeut être représenté sous la formelimite d'une séquence de nombres rationnels: .

Laisser . Il existe ensuite des puissances avec un exposant rationnel. On peut prouver que la séquence de ces puissances est convergente. La limite de cette suite s’appelle degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points sur le graphique de la fonction y = 2 x avoir préalablement calculé la valeur 2 à l'aide d'une calculatrice x sur le segment [—2; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b). etc. nous voyons que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qui peut naturellement être considérée comme le graphique d'une fonction, définie et croissante le long de toute la droite numérique et prenant des valeursaux points rationnels(Fig. 1, c). Ayant construit suffisamment grand nombre points du graphique de fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent que les nombres 2 peuvent être définis de cette façonα et pour chaque α irrationnel, que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y=2 x augmente et la fonctiondiminue tout au long de la droite numérique.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a est déterminé α pour α irrationnel pour a>1. Nous voulons nous assurer que la fonction y = a x était en augmentation. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choisir les valeurs r 1 et r2 en approchant x, on peut remarquer que les valeurs correspondantes d'un r 1 et a r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et un seul, le nombre y, qui est plus grand que tout a. r1 pour tout r rationnel 1 et au moins un r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est par définition un α .

Par exemple, utiliser une calculatrice pour calculer la valeur 2 x aux points x n et x` n, où x n et x` n - approximations décimales des nombresnous constaterons que plus x est proche n et x`nk , moins les 2 diffèrent x n et 2 x` n .

Depuis lors

et, par conséquent,

De même, en considérant les approximations décimales suivantesselon le manque et l'excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Signification calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre a est déterminé de la même manière α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y = une x, différent de constant. Cette fonction est appelée fonction exponentielle avec socleun.

oui= un xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle oui= un xà 0< un < 1:

• Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.
• Plage de fonctions - intervalle (0; + ) .
• La fonction augmente de manière strictement monotone sur toute la droite numérique, c'est-à-dire si x 1 < x 2, alors un x 1 >un x 2 .
• À x= 0, la valeur de la fonction est 1.
• Si x> 0, puis 0< un < 1 et si x < 0, то un x > 1.
À propriétés générales fonction exponentielle à 0< a < 1, так и при a > 1 comprend :
• un x 1 un x 2 = un x 1 + x 2, pour tout le monde x 1 Et x 2.
• un −x= ( un x) − 1 = 1 unx pour n'importe qui x.
• nun x= un

Un degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tous a et n, sauf dans le cas de a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont valides :

Un m *un n =un m+n ; une m:une n =une m-n (une≠0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n *b n ; (b≠0); une 1 =une; une 0 =1 (une≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m >a n pour a>1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette section nous généraliserons la notion de puissances d'un nombre, en donnant un sens aux expressions de type 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition de telle sorte que les puissances à exposant rationnel aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la nième puissance du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est exécuté, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la nième racine) que le nombredoit être la nième racine d'un m.

Définition.

La puissance d'un nombre a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier et n est un nombre naturel (n > 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 est définie uniquement pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Diplôme avec un exposant irrationnel.

Nombre irrationnelpeut être représenté sous la formelimite d'une séquence de nombres rationnels: .

Laisser . Il existe ensuite des puissances avec un exposant rationnel. On peut prouver que la séquence de ces puissances est convergente. La limite de cette suite s’appelle degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points sur le graphique de la fonction y = 2 x avoir préalablement calculé la valeur 2 à l'aide d'une calculatrice x sur le segment [—2; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b). etc. nous voyons que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qui peut naturellement être considérée comme le graphique d'une fonction, définie et croissante le long de toute la droite numérique et prenant des valeursaux points rationnels(Fig. 1, c). Ayant construit un nombre suffisamment grand de points sur le graphique de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent que les nombres 2 peuvent être définis de cette façonα et pour chaque α irrationnel, que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y=2 x augmente et la fonctiondiminue tout au long de la droite numérique.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a est déterminé α pour α irrationnel pour a>1. Nous voulons nous assurer que la fonction y = a x était en augmentation. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choisir les valeurs r 1 et r2 en approchant x, on peut remarquer que les valeurs correspondantes d'un r 1 et a r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et un seul, le nombre y, qui est plus grand que tout a. r1 pour tout r rationnel 1 et au moins un r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est par définition un α .

Par exemple, utiliser une calculatrice pour calculer la valeur 2 x aux points x n et x` n, où x n et x` n - approximations décimales des nombresnous constaterons que plus x est proche n et x`nk , moins les 2 diffèrent x n et 2 x` n .

Depuis lors

et, par conséquent,

De même, en considérant les approximations décimales suivantesselon le manque et l'excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Signification calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre a est déterminé de la même manière α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y = une x, différent de constant. Cette fonction est appelée fonction exponentielle avec socleun.

oui= un xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle oui= un xà 0< un < 1:

• Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.
• Plage de fonctions - intervalle (0; + ) .
• La fonction augmente de manière strictement monotone sur toute la droite numérique, c'est-à-dire si x 1 < x 2, alors un x 1 >un x 2 .
• À x= 0, la valeur de la fonction est 1.
• Si x> 0, puis 0< un < 1 et si x < 0, то un x > 1.
Aux propriétés générales de la fonction exponentielle à 0< a < 1, так и при a > 1 comprend :
• un x 1 un x 2 = un x 1 + x 2, pour tout le monde x 1 Et x 2.
• un −x= ( un x) − 1 = 1 unx pour n'importe qui x.
• nun x= un

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(3/5) -1 une 1 3 1/2 (4/9) 0 une *81 (1/2) -3 une -n ​​36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Expression 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73 ; 1,732;1,73205; 1, ;… la séquence augmente 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205 ; 2 1, ;… la séquence augmente Bounded, ce qui signifie qu'elle converge vers une limite - la valeur 2 3

On peut définir π 0

10 10 18 Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 21

La quantité d'informations double tous les 10 ans Le long de l'axe du Buffle - selon la loi de la progression arithmétique : 1,2,3,4…. Le long de l'axe Oy - selon la loi progression géométrique: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Graphique d'une fonction exponentielle, on l'appelle un exposant (du latin exponere - pour se montrer)