Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel.

Nombre un 1 appelé premier membre de la séquence , nombre un 2 — deuxième terme de la suite , nombre un 3 — troisième et ainsi de suite. Nombre un appelé nième mandat séquences , et un nombre naturel n — son numéro .

De deux membres adjacents un Et un +1 membre de séquence un +1 appelé subséquent (vers un ), UN un — précédent (vers un +1 ).

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro.

Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formules du nième terme , c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Par exemple,

une séquence de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 Et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple,

Si un 1 = 1 , UN un +1 = un + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final Et sans fin .

La séquence s'appelle ultime , s'il compte un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin , s’il compte une infinité de membres.

Par exemple,

séquence de nombres naturels à deux chiffres :

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle en augmentant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle décroissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par exemple,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour n'importe quel entier naturel n la condition est remplie :

un +1 = un + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'un terme donné progression arithmétique toujours constant :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.

Nombre d appelé différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple,

Si un 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et la différence d son n

un = un 1 + (n- 1)d.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)d,

un= un 1 + (n- 1)d,

un +1 = un 1 + sd,

alors évidemment

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

un = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ainsi,

◄

Noter que n Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (n- k)d.

Par exemple,

Pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres de cette progression arithmétique également espacés d'elle.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ un,

d'abord n termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, d, n EtS n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Où:

• Si d > 0 , alors il augmente ;
• Si d < 0 , alors il diminue ;
• Si d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel n la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Nombre q appelé dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

Si b 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q son n Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve la déclaration souhaitée. ◄

Noter que n Le ième terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

Par exemple,

Pour b 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · q k,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir du second, est égal au produit des termes équidistants de cette progression.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ n= k+ je.

Par exemple,

en progression géométrique

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , parce que

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

d'abord n membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

Par exemple,

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , bn, q, n Et S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et q> 1;

b 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et 0 < q< 1;

b 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier n les membres d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers n membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄

Les mathématiques, c'est quoiles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.

Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov

Progression géométrique.

Outre les problèmes sur les progressions arithmétiques, les problèmes liés au concept de progression géométrique sont également courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés des progressions géométriques et posséder de bonnes compétences pour les utiliser.

Cet article est consacré à la présentation des propriétés fondamentales de la progression géométrique. Des exemples de résolution de problèmes typiques sont également fournis ici., emprunté aux tâches des examens d'entrée en mathématiques.

Notons d'abord les propriétés de base de la progression géométrique et rappelons les formules et énoncés les plus importants, liés à cette notion.

Définition. Une suite de nombres est appelée progression géométrique si chaque nombre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Pour progression géométriqueles formules sont valables

, (1)

Où . La formule (1) est appelée formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) représente la propriété principale d'une progression géométrique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses termes voisins et .

Note, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression en question est dite « géométrique ».

Les formules (1) et (2) ci-dessus sont généralisées comme suit :

, (3)

Pour calculer le montant d'abord membres d'une progression géométriquela formule s'applique

Si nous notons , alors

Où . Puisque , la formule (6) est une généralisation de la formule (5).

Dans le cas où et progression géométriqueest infiniment décroissant. Pour calculer le montantde tous les termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée

. (7)

Par exemple , en utilisant la formule (7), nous pouvons montrer, Quoi

Où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) sous la condition que , (première égalité) et , (deuxième égalité).

Théorème. Si donc

Preuve. Si donc

Le théorème a été prouvé.

Passons maintenant à des exemples de résolution de problèmes sur le thème « Progression géométrique ».

Exemple 1.Étant donné : , et . Trouver .

Solution. Si nous appliquons la formule (5), alors

Répondre: .

Exemple 2. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. Puisque et , on utilise les formules (5), (6) et obtenons un système d'équations

Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, alors ou . Il en résulte que . Considérons deux cas.

1. Si, alors à partir de la première équation du système (9) on a.

2. Si , alors .

Exemple 3. Laissez , et . Trouver .

Solution. De la formule (2), il résulte que ou . Depuis , alors ou .

Par condition. Toutefois donc. Depuis et alors nous avons ici un système d'équations

Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou .

Depuis, l’équation a une racine appropriée unique. Dans ce cas, cela découle de la première équation du système.

En tenant compte de la formule (7), on obtient.

Répondre: .

Exemple 4.Étant donné : et . Trouver .

Solution. Depuis lors.

Depuis , alors ou

D'après la formule (2), nous avons . À cet égard, à partir de l’égalité (10) nous obtenons ou .

Mais par condition, donc.

Exemple 5. Il est connu que . Trouver .

Solution. D'après le théorème, nous avons deux égalités

Depuis , alors ou . Parce qu'alors .

Répondre: .

Exemple 6.Étant donné : et . Trouver .

Solution. En tenant compte de la formule (5), on obtient

Depuis lors. Depuis , et , alors .

Exemple 7. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. D'après la formule (1) on peut écrire

Nous avons donc ou . On sait que et , donc et .

Répondre: .

Exemple 8. Trouver le dénominateur d'une progression géométrique décroissante infinie si

Et .

Solution. De la formule (7) il résulte Et . De là et à partir des conditions du problème on obtient un système d'équations

Si la première équation du système est au carré, puis divisez l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient

Ou .

Répondre: .

Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la séquence , , est une progression géométrique.

Solution. Laissez , et . D'après la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, on peut écrire ou .

De là, nous obtenons l'équation quadratique, dont les racines sont Et .

Vérifions : si, puis , et ; si , alors et .

Dans le premier cas nous avons et , et dans le second – et .

Répondre: , .

Exemple 10.Résous l'équation

, (11)

où et .

Solution. Le côté gauche de l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique décroissante infinie, dans laquelle et , sous réserve de : et .

De la formule (7) il résulte, Quoi . À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou . Racine appropriée équation quadratique est

Répondre: .

Exemple 11. P. séquence de nombres positifsforme une progression arithmétique, UN - progression géométrique, qu'est-ce que cela a à voir avec . Trouver .

Solution. Parce que séquence arithmétique, Que (la propriété principale de la progression arithmétique). Parce que le, alors ou . Cela implique , que la progression géométrique a la forme. D'après la formule (2), puis nous l'écrivons .

Depuis et , alors . Dans ce cas, l'expression prend la forme ou . Par condition, donc d'après l'équation.on a seule décision problème à l'étude, c'est à dire. .

Répondre: .

Exemple 12. Calculer la somme

. (12)

Solution. Multiplions les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et obtenons

Si nous soustrayons (12) de l’expression résultante, Que

ou .

Pour calculer, nous substituons les valeurs dans la formule (7) et obtenons . Depuis lors.

Répondre: .

Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats lors de la préparation des examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la progression géométrique, peut être utilisé aides à l'enseignement de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Mir et Education, 2013. – 608 p.

2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires programme scolaire. – M. : Lénand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynski M.M. Cours complet mathématiques élémentaires dans les tâches et les exercices. Livre 2 : Séquences de nombres et progressions. – M. : Editus, 2015. – 208 p.

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Déjà là L'Egypte ancienne connaissait non seulement l'arithmétique, mais aussi la progression géométrique. Voici, par exemple, un problème tiré du papyrus Rhind : « Sept visages ont sept chats ; Chaque chat mange sept souris, chaque souris mange sept épis de maïs et chaque épi d'orge peut produire sept mesures d'orge. Quelle est la taille des nombres de cette série et leur somme ?

Riz. 1. Problème de progression géométrique de l’Égypte ancienne

Cette tâche a été répétée à plusieurs reprises avec des variations différentes selon les autres peuples à d'autres moments. Par exemple, écrit au XIIIe siècle. "Le Livre du Boulier" de Léonard de Pise (Fibonacci) présente un problème dans lequel apparaissent 7 vieilles femmes en route vers Rome (évidemment des pèlerins), chacune avec 7 mules, chacune avec 7 sacs, chacune avec contient 7 pains comportant chacun 7 couteaux dont chacun comporte 7 étuis. Le problème demande combien il y a d’objets.

La somme des n premiers termes de la progression géométrique S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Cette formule peut être prouvée, par exemple, comme ceci : S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Ajoutez le nombre b 1 q n à S n et obtenez :

De là S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), et nous obtenons la formule nécessaire.

Déjà sur l'une des tablettes d'argile de l'ancienne Babylone, datant du VIe siècle. avant JC e., contient la somme 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Certes, comme dans un certain nombre d'autres cas, nous ne savons pas comment ce fait était connu des Babyloniens .

L'augmentation rapide de la progression géométrique dans un certain nombre de cultures, notamment indiennes, est utilisée à plusieurs reprises comme symbole visuel de l'immensité de l'univers. Dans la célèbre légende sur l'apparition des échecs, le dirigeant donne à son inventeur la possibilité de choisir lui-même la récompense, et il demande le nombre de grains de blé qui seront obtenus si un est placé sur la première case de l'échiquier, deux sur le deuxième, quatre sur le troisième, huit sur le quatrième, et etc., chaque fois que le nombre double. Vladyka pensait que nous parlons de, tout au plus, environ quelques sacs, mais il a mal calculé. Il est facile de voir que pour les 64 cases de l'échiquier, l'inventeur devrait recevoir (2 64 - 1) grains, qui est exprimé sous la forme d'un nombre à 20 chiffres ; même si toute la surface de la Terre était ensemencée, il faudrait au moins 8 ans pour récolter la quantité de grains requise. Cette légende est parfois interprétée comme indiquant les possibilités pratiquement illimitées cachées dans le jeu d'échecs.

Il est facile de voir que ce numéro est en réalité composé de 20 chiffres :

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul plus précis donne 1,84∙10 19). Mais je me demande si vous pouvez savoir par quel chiffre se termine ce numéro ?

Une progression géométrique peut être croissante si le dénominateur est supérieur à 1, ou décroissante s'il est inférieur à un. Dans ce dernier cas, le nombre q n pour n suffisamment grand peut devenir arbitrairement petit. Alors que la progression géométrique croissante augmente d’une manière inattendue et rapide, la progression géométrique décroissante diminue tout aussi rapidement.

Plus n est grand, plus le nombre q n diffère de zéro et plus la somme des n termes de la progression géométrique S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) est proche du nombre S = b 1 / ( 1-q). (Par exemple, F. Viet raisonnait ainsi). Le nombre S est appelé la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante. Cependant, pendant de nombreux siècles, la question de savoir quel est le sens de la somme de la progression géométrique ENTIÈRE, avec son nombre infini de termes, n'était pas assez claire pour les mathématiciens.

Une progression géométrique décroissante peut être observée, par exemple, dans les apories de Zénon « Demi-division » et « Achille et la tortue ». Dans le premier cas, il est clairement montré que la route entière (en supposant une longueur 1) est la somme d'un nombre infini de segments 1/2, 1/4, 1/8, etc. C'est bien entendu le cas de le point de vue des idées sur une progression géométrique infinie à somme finie. Et pourtant, comment est-ce possible ?

Dans l'aporie d'Achille, la situation est un peu plus compliquée, car ici le dénominateur de la progression n'est pas 1/2, mais un autre nombre. Supposons, par exemple, qu'Achille court à la vitesse v, que la tortue se déplace à la vitesse u et que la distance initiale qui les sépare est l. Achille parcourra cette distance en temps l/v, et pendant ce temps la tortue parcourra une distance lu/v. Lorsqu'Achille parcourt ce segment, la distance entre lui et la tortue deviendra égale à l (u /v) 2, etc. Il s'avère que rattraper la tortue signifie trouver la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme l et le dénominateur u /v. Cette somme - le segment qu'Achille finira par parcourir jusqu'au lieu de rencontre avec la tortue - est égale à l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Mais, encore une fois, comment ce résultat doit-il être interprété et pourquoi a-t-il un sens ? pendant longtemps ce n'était pas très clair.

Archimède a utilisé la somme d'une progression géométrique pour déterminer l'aire d'un segment de parabole. Que ce segment de la parabole soit délimité par la corde AB et que la tangente au point D de la parabole soit parallèle à AB. Soit C le milieu de AB, E le milieu de AC, F le milieu de CB. Traçons des lignes parallèles à DC passant par les points A, E, F, B ; Laissez la tangente tracée au point D couper ces lignes aux points K, L, M, N. Dessinons également les segments AD et DB. Laissez la droite EL couper la droite AD au point G et la parabole au point H ; la ligne FM coupe la ligne DB au point Q et la parabole au point R. Selon la théorie générale des sections coniques, DC est le diamètre d'une parabole (c'est-à-dire un segment parallèle à son axe) ; lui et la tangente au point D peuvent servir d'axes de coordonnées x et y, dans lesquels l'équation de la parabole s'écrit y 2 = 2px (x est la distance de D à n'importe quel point d'un diamètre donné, y est la longueur de un segment parallèle à une tangente donnée depuis ce point de diamètre jusqu'à un point de la parabole elle-même).

En vertu de l'équation de la parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, et puisque DK = 2DL, alors KA = 4LH. Parce que KA = 2LG, LH = HG. L'aire du segment ADB d'une parabole est égale à l'aire du triangle ΔADB et aux aires des segments AHD et DRB réunies. À son tour, l'aire du segment AHD est également égale à l'aire du triangle AHD et des segments restants AH et HD, avec chacun desquels vous pouvez effectuer la même opération - diviser en un triangle (Δ) et les deux segments restants (), etc. :

L'aire du triangle ΔAHD est égale à la moitié de l'aire du triangle ΔALD (ils ont une base commune AD et les hauteurs diffèrent de 2 fois), qui, à son tour, est égale à la moitié de l'aire de ​​le triangle ΔAKD, et donc la moitié de l'aire du triangle ΔACD. Ainsi, l'aire du triangle ΔAHD est égale au quart de l'aire du triangle ΔACD. De même, l'aire du triangle ΔDRB est égale au quart de l'aire du triangle ΔDFB. Ainsi, les aires des triangles ΔAHD et ΔDRB, prises ensemble, sont égales au quart de l'aire du triangle ΔADB. Répéter cette opération lorsqu'elle est appliquée aux segments AH, HD, DR et RB en sélectionnera des triangles dont l'aire, pris ensemble, sera 4 fois inférieure à l'aire des triangles ΔAHD et ΔDRB, pris ensemble, et donc 16 fois moins, que l'aire du triangle ΔADB. Et ainsi de suite:

Ainsi, Archimède prouva que « tout segment compris entre une droite et une parabole constitue les quatre tiers d’un triangle ayant la même base et la même hauteur ».

La progression géométrique, avec l'arithmétique, est une série de nombres importante qui est étudiée dans cours scolaire algèbre en 9e année. Dans cet article, nous examinerons le dénominateur d'une progression géométrique et comment sa valeur affecte ses propriétés.

Définition de la progression géométrique

Commençons par donner la définition de cette série de nombres. Une progression géométrique est une série de nombres rationnels formés en multipliant séquentiellement son premier élément par un nombre constant appelé dénominateur.

Par exemple, les nombres de la série 3, 6, 12, 24, ... sont une progression géométrique, car si vous multipliez 3 (le premier élément) par 2, vous obtenez 6. Si vous multipliez 6 par 2, vous obtenez 12, et ainsi de suite.

Les membres de la séquence considérée sont généralement désignés par le symbole ai, où i est un nombre entier indiquant le numéro de l'élément dans la série.

La définition ci-dessus de la progression peut être écrite en langage mathématique comme suit : an = bn-1 * a1, où b est le dénominateur. Il est facile de vérifier cette formule : si n = 1, alors b1-1 = 1, et on obtient a1 = a1. Si n = 2, alors an = b * a1, et on revient à la définition de la série de nombres en question. Un raisonnement similaire peut être poursuivi pour grandes valeurs n.

Dénominateur de progression géométrique

Le nombre b détermine complètement le caractère qu’aura toute la série de nombres. Le dénominateur b peut être positif, négatif ou supérieur ou inférieur à un. Toutes les options ci-dessus conduisent à différentes séquences :

• b > 1. Il existe une série croissante de nombres rationnels. Par exemple, 1, 2, 4, 8, ... Si l'élément a1 est négatif, alors toute la séquence n'augmentera qu'en valeur absolue, mais diminuera en fonction du signe des nombres.
• b = 1. Souvent, ce cas n'est pas appelé progression, puisqu'il existe une série ordinaire de nombres rationnels identiques. Par exemple, -4, -4, -4.

Formule pour le montant

Avant de regarder tâches spécifiques En utilisant le dénominateur du type de progression considéré, une formule importante doit être donnée pour la somme de ses n premiers éléments. La formule ressemble à : Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Vous pouvez obtenir cette expression vous-même si vous considérez la séquence récursive des termes de progression. Notez également que dans la formule ci-dessus il suffit de connaître uniquement le premier élément et le dénominateur pour trouver la somme n'importe quel chiffre membres.

Séquence infiniment décroissante

Une explication a été donnée ci-dessus de ce dont il s’agit. Maintenant, connaissant la formule de Sn, appliquons-la à cette série de nombres. Puisque tout nombre dont le module ne dépasse pas 1 tend vers zéro lorsqu'il est élevé à de grandes puissances, c'est-à-dire b∞ => 0 si -1

Puisque la différence (1 - b) sera toujours positive, quelle que soit la valeur du dénominateur, le signe de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante S∞ est uniquement déterminé par le signe de son premier élément a1.

Examinons maintenant plusieurs problèmes dans lesquels nous montrerons comment appliquer les connaissances acquises sur des nombres spécifiques.

Tâche n°1. Calcul des éléments inconnus de progression et de somme

Étant donné une progression géométrique, le dénominateur de la progression est 2 et son premier élément est 3. À quoi seront égaux ses 7e et 10e termes et quelle est la somme de ses sept éléments initiaux ?

La condition du problème est assez simple et implique l’utilisation directe des formules ci-dessus. Ainsi, pour calculer le numéro d'élément n, on utilise l'expression an = bn-1 * a1. Pour le 7ème élément on a : a7 = b6 * a1, en substituant les données connues, on obtient : a7 = 26 * 3 = 192. On fait de même pour le 10ème terme : a10 = 29 * 3 = 1536.

Utilisons la formule bien connue de la somme et déterminons cette valeur pour les 7 premiers éléments de la série. On a : S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problème n°2. Déterminer la somme des éléments arbitraires d'une progression

Soit -2 égal au dénominateur de la progression géométrique bn-1 * 4, où n est un nombre entier. Il faut déterminer la somme du 5ème au 10ème élément de cette série inclus.

Le problème posé ne peut être résolu directement à l'aide de formules connues. Cela peut être résolu de 2 manières diverses méthodes. Pour compléter la présentation du sujet, nous présentons les deux.

Méthode 1. L'idée est simple : il faut calculer les deux sommes correspondantes des premiers termes, puis soustraire l'autre de l'un. On calcule le plus petit montant : S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Maintenant, nous calculons la plus grande somme : S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Notez que dans la dernière expression, seuls 4 termes ont été additionnés, puisque le 5ème est déjà inclus dans le montant qui doit être calculé en fonction des conditions du problème. Finalement, on prend la différence : S510 = S10 – S4 = -1364 – (-20) = -1344.

Méthode 2. Avant de substituer des nombres et de compter, vous pouvez obtenir une formule pour la somme entre les m et n termes de la série en question. On fait exactement la même chose que dans la méthode 1, sauf qu'on travaille d'abord avec la représentation symbolique du montant. On a : Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Vous pouvez remplacer des nombres connus dans l'expression résultante et calculer le résultat final : S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problème n°3. Quel est le dénominateur ?

Soit a1 = 2, trouvons le dénominateur de la progression géométrique, à condition que sa somme infinie soit 3, et on sait qu'il s'agit d'une série décroissante de nombres.

En fonction des conditions du problème, il n'est pas difficile de deviner quelle formule doit être utilisée pour le résoudre. Bien entendu, pour la somme de la progression infiniment décroissante. On a : S∞ = a1 / (1 - b). D'où on exprime le dénominateur : b = 1 - a1 / S∞. Il reste à substituer les valeurs connues et à obtenir le nombre requis : b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ou -0,333(3). On peut vérifier qualitativement ce résultat si l'on rappelle que pour ce type de séquence le module b ne doit pas dépasser 1. Comme on peut le voir, |-1 / 3|

Tâche n°4. Restaurer une série de nombres

Soit 2 éléments d'une série de nombres, par exemple, le 5ème est égal à 30 et le 10ème est égal à 60. Il faut reconstruire la série entière à partir de ces données, sachant qu'elle satisfait aux propriétés d'une progression géométrique.

Pour résoudre le problème, vous devez d’abord écrire l’expression correspondante à chaque terme connu. On a : a5 = b4 * a1 et a10 = b9 * a1. Divisons maintenant la deuxième expression par la première, nous obtenons : a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. À partir de là, nous déterminons le dénominateur en prenant la racine cinquième du rapport des termes connus dans l'énoncé du problème, b = 1,148698. Nous substituons le nombre résultant dans l'une des expressions de l'élément connu, nous obtenons : a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Ainsi, nous avons trouvé le dénominateur de la progression bn, et la progression géométrique bn-1 * 17,2304966 = an, où b = 1,148698.

Où sont utilisées les progressions géométriques ?

S’il n’y avait pas d’application pratique de cette série de nombres, alors son étude serait réduite à un intérêt purement théorique. Mais une telle application existe.

Ci-dessous les 3 exemples les plus connus :

• Le paradoxe de Zénon, dans lequel l'agile Achille ne peut pas rattraper la lente tortue, est résolu en utilisant le concept d'une séquence de nombres infiniment décroissante.
• Si vous placez des grains de blé sur chaque case de l'échiquier de manière à ce que sur la 1ère case vous mettiez 1 grain, sur la 2ème - 2, sur la 3ème - 3, et ainsi de suite, alors pour remplir toutes les cases de l'échiquier vous aurez besoin 18446744073709551615 grains !
• Dans le jeu "Tower of Hanoi", pour déplacer des disques d'une tige à une autre, il faut effectuer 2n - 1 opérations, c'est-à-dire que leur nombre augmente de façon exponentielle avec le nombre n de disques utilisés.

La formule du nième terme d’une progression géométrique est très simple. Tant par sa signification que par son apparence générale. Mais il y a toutes sortes de problèmes sur la formule du nième terme - du plus primitif au plus grave. Et au cours de notre connaissance, nous considérerons certainement les deux. Eh bien, faisons connaissance ?)

Donc, pour commencer, en fait formulen

Elle est là:

bn = b 1 · qn -1

La formule n’est qu’une formule, rien de surnaturel. Cela semble encore plus simple et plus compact qu'une formule similaire. La signification de la formule est aussi simple que celle des bottes en feutre.

Cette formule permet de retrouver N'IMPORTE QUEL membre d'une progression géométrique PAR SON NUMÉRO" n".

Comme vous pouvez le constater, le sens est une analogie complète avec une progression arithmétique. On connaît le nombre n - on peut aussi compter le terme sous ce nombre. Celui que nous voulons. Sans multiplier à plusieurs reprises par « q » plusieurs fois. Exactement.)

Je comprends qu'à ce niveau de travail avec les progressions, toutes les quantités incluses dans la formule devraient déjà être claires pour vous, mais je considère toujours qu'il est de mon devoir de déchiffrer chacune d'elles. Au cas où.

Alors, c'est parti :

b 1 – d'abord terme de progression géométrique;

q – ;

n- numéro de membre;

bn – nième (nème) terme d’une progression géométrique.

Cette formule relie les quatre paramètres principaux de toute progression géométrique - bn, b 1 , q Et n. Et tous les problèmes de progression tournent autour de ces quatre chiffres clés.

« Comment est-il supprimé ? »– J'entends une question curieuse... Élémentaire ! Regarder!

Qu'est-ce qui est égal à deuxième membre de la progression ? Aucun problème! Nous écrivons directement :

b 2 = b 1 ·q

Et le troisième membre ? Pas de problème non plus ! On multiplie le deuxième terme encore une fois surq.

Comme ça:

B 3 = b 2 q

Rappelons maintenant que le deuxième terme, à son tour, est égal à b 1 ·q et substituons cette expression dans notre égalité :

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

On a:

B 3 = b 1 ·q 2

Lisons maintenant notre entrée en russe : troisième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans deuxième degrés. Tu as compris? Pas encore? Bon, encore un pas.

Quel est le quatrième terme ? Tous les mêmes! Multiplier précédent(c'est-à-dire le troisième terme) sur q :

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 ·q 3

Et encore une fois, nous traduisons en russe : quatrième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans troisième degrés.

Et ainsi de suite. Alors c'est comment? Avez-vous saisi le modèle ? Oui! Pour tout terme avec n'importe quel nombre, le nombre de facteurs identiques q (c'est-à-dire le degré du dénominateur) sera toujours un de moins que le nombre du membre souhaitén.

Notre formule sera donc, sans variations :

b n =b 1 · qn -1

C'est tout.)

Eh bien, résolvons les problèmes, je suppose ?)

Résoudre les problèmes de formulenème terme d’une progression géométrique.

Commençons, comme d'habitude, par l'application directe de la formule. Voici un problème typique :

En progression géométrique, on sait que b 1 = 512 et q = -1/2. Trouvez le dixième terme de la progression.

Bien entendu, ce problème peut être résolu sans aucune formule. Directement dans le sens de progression géométrique. Mais il faut s'échauffer avec la formule du nième mandat, non ? Ici, nous nous échauffons.

Nos données pour appliquer la formule sont les suivantes.

Le premier membre est connu. Il s'agit du 512.

b 1 = 512.

Le dénominateur de la progression est également connu : q = -1/2.

Il ne reste plus qu'à déterminer quel est le nombre de membres n. Aucun problème! Sommes-nous intéressés par le dixième mandat ? Nous substituons donc dix au lieu de n dans la formule générale.

Et calculez soigneusement l'arithmétique :

Réponse 1

Comme vous pouvez le constater, le dixième terme de la progression s'est avéré négatif. Rien d'étonnant : notre dénominateur de progression est -1/2, soit négatif nombre. Et cela nous dit que les signes de notre progression alternent, oui.)

Tout est simple ici. Voici un problème similaire, mais un peu plus compliqué au niveau des calculs.

En progression géométrique, on sait que :

b 1 = 3

Trouvez le treizième terme de la progression.

Tout est pareil, mais cette fois le dénominateur de la progression est irrationnel. Racine de deux. Eh bien, ça va. La formule est une chose universelle, elle peut gérer n'importe quel nombre.

Nous travaillons directement selon la formule :

La formule, bien sûr, a fonctionné comme elle le devrait, mais... c'est là que certaines personnes restent bloquées. Que faire ensuite de la racine ? Comment élever une racine à la puissance douzième ?

Comment-comment... Vous devez comprendre que toute formule, bien sûr, est une bonne chose, mais la connaissance de toutes les mathématiques précédentes n'est pas annulée ! Comment construire? Oui, rappelez-vous les propriétés des diplômes ! Transformons la racine en degré fractionnaire et – selon la formule pour élever un diplôme à un grade.

Comme ça:

Réponse : 192

Et c'est tout.)

Quelle est la principale difficulté d’appliquer directement la formule du nième terme ? Oui! La principale difficulté est travailler avec des diplômes !À savoir, l'exponentiation nombres négatifs, fractions, racines et structures similaires. Alors, à ceux qui ont des problèmes avec cela, s'il vous plaît, répétez les diplômes et leurs propriétés ! Sinon, vous ralentirez aussi ce sujet, oui...)

Résolvons maintenant les problèmes de recherche typiques un des éléments de la formule, si tous les autres sont donnés. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, la recette est uniforme et terriblement simple - écrire la formulenle ème membre dans vue générale! Directement dans le cahier à côté de l'état. Et puis, à partir de la condition, nous déterminons ce qui nous est donné et ce qui manque. Et on exprime à partir de la formule la valeur requise. Tous!

Par exemple, un problème aussi inoffensif.

Le cinquième terme d'une progression géométrique de dénominateur 3 est 567. Trouvez le premier terme de cette progression.

Rien de compliqué. Nous travaillons directement selon le sort.

Écrivons la formule du nième terme !

bn = b 1 · qn -1

Qu'est-ce qu'on nous a donné ? Tout d’abord, le dénominateur de la progression est donné : q = 3.

De plus, on nous donne cinquième membre: b 5 = 567 .

Tous? Non! On nous a également donné le numéro n ! Cela fait cinq : n = 5.

J'espère que vous comprenez déjà ce qu'il y a dans l'enregistrement b 5 = 567 deux paramètres sont cachés à la fois - c'est le cinquième terme lui-même (567) et son nombre (5). J'en ai déjà parlé dans une leçon similaire, mais je pense que cela vaut la peine de le mentionner ici aussi.)

Maintenant, nous substituons nos données dans la formule :

567 = b 1 ·3 5-1

Nous faisons l'arithmétique, simplifions et obtenons quelque chose de simple équation linéaire:

81 b 1 = 567

On résout et on obtient :

b 1 = 7

Comme vous pouvez le constater, il n’y a aucun problème pour trouver le premier terme. Mais en cherchant le dénominateur q et des chiffres n Il peut aussi y avoir des surprises. Et il faut aussi s'y préparer (surprises), oui.)

Par exemple, ce problème :

Le cinquième terme d'une progression géométrique avec un dénominateur positif est 162, et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Cette fois, on nous donne les premier et cinquième termes et on nous demande de trouver le dénominateur de la progression. On y va.

Nous écrivons la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Nos données initiales seront les suivantes :

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Valeur manquante q. Aucun problème! Trouvons-le maintenant.) Nous substituons tout ce que nous savons dans la formule.

On a:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Une simple équation du quatrième degré. Et maintenant - soigneusement! Sur à ce stade solutions, de nombreux étudiants extraient immédiatement avec joie la racine (du quatrième degré) et obtiennent la réponse q=3 .

Comme ça:

q4 = 81

q = 3

Mais en réalité, c’est une réponse inachevée. Plus précisément, incomplet. Pourquoi? Le fait est que la réponse q = -3 convient également : (-3) 4 sera également 81 !

C'est parce que l'équation de puissance xn = un a toujours deux racines opposéesà mêmen . Avec plus et moins :

Les deux conviennent.

Par exemple, au moment de décider (c.-à-d. deuxième degrés)

x2 = 9

Pour une raison quelconque, vous n'êtes pas surpris par l'apparence deux racines x=±3 ? C'est la même chose ici. Et avec n'importe quel autre même le degré (quatrième, sixième, dixième, etc.) sera le même. Les détails sont dans le sujet sur

C'est pourquoi bonne solution sera comme ceci :

q 4 = 81

q= ±3

D'accord, nous avons trié les signes. Lequel est correct : plus ou moins ? Eh bien, relisons l'énoncé du problème à la recherche de Informations Complémentaires. Bien sûr, cela n'existe peut-être pas, mais dans ce problème, de telles informations disponible. Notre condition indique en clair qu'une progression est donnée avec dénominateur positif.

La réponse est donc évidente :

q = 3

Tout est simple ici. À votre avis, que se passerait-il si l'énoncé du problème ressemblait à ceci :

Le cinquième terme d'une progression géométrique est 162 et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quelle est la différence? Oui! À la condition Rien aucune mention n'est faite du signe du dénominateur. Ni directement ni indirectement. Et là, le problème aurait déjà deux solutions !

q = 3 Et q = -3

Oui oui! Avec un plus et un moins.) Mathématiquement, ce fait signifierait qu'il y a deux progressions, qui correspondent aux conditions du problème. Et chacun a son propre dénominateur. Juste pour vous amuser, entraînez-vous et écrivez les cinq premiers termes de chacun.)

Entraînons-nous maintenant à trouver le numéro du membre. Ce problème est le plus difficile, oui. Mais aussi plus créatif.)

Étant donné une progression géométrique :

3; 6; 12; 24; …

Quel nombre dans cette progression est le nombre 768 ?

La première étape est toujours la même : écrire la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Et maintenant, comme d'habitude, nous y substituons les données que nous connaissons. Hm... ça ne marche pas ! Où est le premier terme, où est le dénominateur, où est tout le reste ?!

Où, où... Pourquoi avons-nous besoin d'yeux ? Battre vos cils ? Cette fois la progression nous est donnée directement sous la forme séquences. Pouvons-nous voir le premier membre ? Nous voyons! C'est un triple (b 1 = 3). Et le dénominateur ? On ne le voit pas encore, mais c’est très facile à compter. Si bien sûr vous comprenez...

Alors on compte. Directement selon le sens d'une progression géométrique : on prend n'importe lequel de ses termes (sauf le premier) et on le divise par le précédent.

Au moins comme ça :

q = 24/12 = 2

Que savons-nous d'autre? On connaît aussi un terme de cette progression, égal à 768. Sous un certain nombre n :

bn = 768

Nous ne connaissons pas son numéro, mais notre tâche est précisément de le retrouver.) Nous cherchons donc. Nous avons déjà téléchargé toutes les données nécessaires à la substitution dans la formule. À votre insu.)

Ici, nous remplaçons :

768 = 3 2n -1

Faisons les élémentaires - divisons les deux côtés par trois et réécrivons l'équation sous la forme habituelle : l'inconnue est à gauche, la connue est à droite.

On a:

2 n -1 = 256

C'est une équation intéressante. Nous devons trouver "n". Quoi, inhabituel ? Oui, je ne discute pas. En fait, c'est la chose la plus simple. On l'appelle ainsi parce que l'inconnu (en dans ce cas Ce nombre n) coûte en indicateur degrés.

Au stade de l'apprentissage de la progression géométrique (c'est la neuvième année), on ne vous apprend pas à résoudre des équations exponentielles, oui... C'est un sujet pour le lycée. Mais il n'y a rien d'effrayant. Même si vous ne savez pas comment de telles équations sont résolues, essayons de trouver notre n, guidé par une logique simple et du bon sens.

Commençons à parler. A gauche nous avons un deux jusqu'à un certain point. On ne sait pas encore ce qu’est exactement ce diplôme, mais ce n’est pas effrayant. Mais on sait avec certitude que ce degré est égal à 256 ! On se souvient donc dans quelle mesure deux nous donne 256. Vous vous en souvenez ? Oui! DANS huitième degrés!

256 = 2 8

Si vous ne vous souvenez pas ou si vous avez des difficultés à reconnaître les degrés, ce n’est pas grave non plus : il suffit de successivement le carré deux, le cube, le quatrième, le cinquième, et ainsi de suite. La sélection, en fait, mais à ce niveau fonctionnera plutôt bien.

D'une manière ou d'une autre, on obtient :

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Donc 768 est neuvième membre de notre progression. Voilà, problème résolu.)

Réponse : 9

Quoi? Ennuyeux? Fatigué des trucs élémentaires ? Accepter. Et moi aussi. Passons au niveau suivant.)

Tâches plus complexes.

Résolvons maintenant des problèmes plus difficiles. Pas vraiment super cool, mais qui nécessitent un peu de travail pour trouver la réponse.

Par exemple, celui-ci.

Trouvez le deuxième terme d'une progression géométrique si son quatrième terme est -24 et son septième terme est 192.

C'est un classique du genre. Deux termes différents de la progression sont connus, mais un autre terme doit être trouvé. De plus, tous les membres ne sont PAS voisins. Ce qui est déroutant au début, oui...

Comme dans, pour résoudre de tels problèmes, nous considérerons deux méthodes. La première méthode est universelle. Algébrique. Fonctionne parfaitement avec toutes les données sources. C'est pourquoi nous commencerons par cela.)

Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Tout est exactement comme avec une progression arithmétique. Seulement cette fois, nous travaillons avec un autre formule générale. C'est tout.) Mais l'essence est la même : on prend et un par un Nous substituons nos données initiales dans la formule du nième terme. Pour chaque membre - le sien.

Pour le quatrième terme on écrit :

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Manger. Une équation est prête.

Pour le septième terme on écrit :

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Au total, nous avons deux équations pour la même évolution .

Nous en assemblons un système :

Malgré son apparence menaçante, le système est assez simple. La solution la plus évidente est la simple substitution. Nous exprimons b 1 de l'équation du haut et remplacez-la par celle du bas :

Après avoir bidouillé un peu l'équation du bas (en réduisant les puissances et en divisant par -24), nous obtenons :

q 3 = -8

D’ailleurs, cette même équation peut être obtenue de manière plus simple ! Lequel? Maintenant je vais vous montrer un autre secret, mais très beau, puissant et manière utile solutions pour de tels systèmes. De tels systèmes, dont les équations incluent ne fonctionne que. Au moins dans un. Appelé méthode de division une équation à une autre.

Nous avons donc devant nous un système :

Dans les deux équations de gauche - travail, et à droite se trouve juste un numéro. C'est très bon signe.) Prenons-le et... divisons, disons, l'équation inférieure par l'équation supérieure ! Que signifie, divisons une équation par une autre ? Très simple. Prenons-le côté gauche une équation (inférieure) et diviser elle sur côté gauche une autre équation (en haut). Le côté droit est similaire : côté droit une équation diviser sur côté droit un autre.

L'ensemble du processus de division ressemble à ceci :

Maintenant, en réduisant tout ce qui peut l'être, on obtient :

q 3 = -8

Qu'est-ce qui est bien avec cette méthode ? Oui, car dans le processus d'une telle division, tout ce qui est mauvais et gênant peut être réduit en toute sécurité et une équation totalement inoffensive subsiste ! C'est pourquoi il est si important d'avoir multiplication seulement dans au moins une des équations du système. Il n'y a pas de multiplication - il n'y a rien à réduire, oui...

En général, cette méthode (comme beaucoup d'autres méthodes non triviales de résolution de systèmes) mérite même une leçon distincte. Je vais certainement l'examiner plus en détail. Un jour…

Cependant, peu importe la manière exacte dont vous résolvez le système, dans tous les cas, nous devons maintenant résoudre l’équation résultante :

q 3 = -8

Pas de problème : extrayez la racine cubique et le tour est joué !

Veuillez noter qu'il n'est pas nécessaire de mettre un plus/moins ici lors de l'extraction. Nous avons une racine de degré impair (troisième). Et la réponse est également la même, oui.)

Ainsi, le dénominateur de la progression a été trouvé. Moins deux. Super! Le processus est en cours.)

Pour le premier terme (disons, à partir de l’équation supérieure), nous obtenons :

Super! On connaît le premier terme, on connaît le dénominateur. Et maintenant, nous avons la possibilité de retrouver n’importe quel membre de la progression. Y compris le deuxième.)

Pour le deuxième mandat tout est assez simple :

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Réponse : -6

Nous avons donc décomposé la méthode algébrique pour résoudre le problème. Difficile? Pas vraiment, je suis d'accord. Long et fastidieux ? Oui définitivement. Mais parfois, vous pouvez réduire considérablement la quantité de travail. Pour cela il y a méthode graphique. Bon vieux et familier pour nous.)

Dessinons un problème !

Oui! Exactement. Encore une fois, nous représentons notre progression sur l’axe des nombres. Il n’est pas nécessaire de suivre une règle, il n’est pas nécessaire de maintenir des intervalles égaux entre les termes (qui d’ailleurs ne seront pas les mêmes puisque la progression est géométrique !), mais simplement schématiquement Dessinons notre séquence.

Je l'ai eu comme ceci :

Maintenant, regardez l'image et comprenez-la. Combien de facteurs identiques "q" séparent quatrième Et septième membres? C'est vrai, trois !

Nous avons donc parfaitement le droit d'écrire :

-24·q 3 = 192

À partir de là, il est maintenant facile de trouver q :

q 3 = -8

q = -2

Ça tombe bien, on a déjà le dénominateur en poche. Regardons maintenant à nouveau le tableau : combien de ces dénominateurs se situent entre deuxième Et quatrième membres? Deux! Par conséquent, pour enregistrer le lien entre ces termes, nous construirons le dénominateur au carré.

Nous écrivons donc :

b 2 · q 2 = -24 , où b 2 = -24/ q 2

Nous substituons notre dénominateur trouvé dans l'expression pour b 2, comptons et obtenons :

Réponse : -6

Comme vous pouvez le constater, tout est beaucoup plus simple et rapide que via le système. De plus, ici, nous n’avons même pas eu besoin de compter le premier terme ! Du tout.)

Voici une méthode si simple et claire : la lumière. Mais cela présente aussi un sérieux inconvénient. L'avez-vous deviné ? Oui! Ce n’est bon que pour des morceaux de progression très courts. Celles où les distances entre les membres qui nous intéressent ne sont pas très grandes. Mais dans tous les autres cas, il est déjà difficile de dresser un tableau, oui... Ensuite, nous résolvons le problème de manière analytique, à travers le système.) Et les systèmes sont des choses universelles. Ils peuvent gérer n’importe quel nombre.

Un autre défi épique :

Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 de plus que le premier et le troisième terme est 30 de plus que le second. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quoi, cool ? Pas du tout! Tous les mêmes. Encore une fois, nous traduisons l’énoncé du problème en algèbre pure.

1) Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Deuxième terme : b 2 = b 1 q

Troisième terme : b 3 = b 1 q 2

2) Nous notons le lien entre les membres à partir de l'énoncé du problème.

Nous lisons la condition : "Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 plus grand que le premier." Arrêtez, c'est précieux !

Nous écrivons donc :

b 2 = b 1 +10

Et nous traduisons cette phrase en mathématiques pures :

b 3 = b 2 +30

Nous avons deux équations. Combinons-les dans un système :

Le système semble simple. Mais il y a trop d’indices différents pour les lettres. Remplaçons les deuxième et troisième termes par leurs expressions par le premier terme et le dénominateur ! Est-ce en vain que nous les avons peints ?

On a:

Mais un tel système n'est plus un cadeau, oui... Comment résoudre ce problème ? Malheureusement, il n'existe pas de sortilège secret universel pour résoudre des problèmes complexes. non linéaire Il n’existe pas de systèmes en mathématiques et il ne peut y en avoir. C'est fantastique! Mais la première chose qui devrait vous venir à l’esprit lorsque vous essayez de résoudre un problème aussi difficile est de comprendre Mais une des équations du système n’est-elle pas réductible à belle vue, permettant par exemple d'exprimer facilement une des variables par rapport à une autre ?

Voyons cela. La première équation du système est nettement plus simple que la seconde. Nous allons le torturer.) Ne devrions-nous pas essayer à partir de la première équation quelque chose exprimer à travers quelque chose? Puisque nous voulons trouver le dénominateur q, alors il serait plus avantageux pour nous d'exprimer b 1 à travers q.

Essayons donc de faire cette procédure avec la première équation, en utilisant les bonnes anciennes :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tous! Nous avons donc exprimé inutile donnez-nous la variable (b 1) via nécessaire(q). Oui, ce n’est pas l’expression la plus simple que nous ayons. Une sorte de fraction... Mais notre système est d'un niveau décent, oui.)

Typique. Nous savons quoi faire.

Nous écrivons ODZ (Nécessairement!) :

q ≠ 1

On multiplie le tout par le dénominateur (q-1) et on annule toutes les fractions :

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

On divise le tout par dix, on ouvre les parenthèses et on récupère tout par la gauche :

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nous résolvons le résultat et obtenons deux racines :

q 1 = 1

q 2 = 3

Il n'y a qu'une seule réponse finale : q = 3 .

Réponse : 3

Comme vous pouvez le constater, le chemin pour résoudre la plupart des problèmes impliquant la formule du nième terme d'une progression géométrique est toujours le même : lire attentivement condition du problème et en utilisant la formule du nième terme on traduit l'intégralité informations utiles en algèbre pure.

À savoir:

1) Nous décrivons séparément chaque terme donné dans le problème selon la formulenème membre.

2) À partir des conditions du problème, nous traduisons la connexion entre les membres sous forme mathématique. Nous composons une équation ou un système d'équations.

3) Nous résolvons l'équation ou le système d'équations résultant, trouvons les paramètres inconnus de la progression.

4) En cas de réponse ambiguë, lisez attentivement les conditions de la tâche à la recherche d'informations supplémentaires (le cas échéant). Nous vérifions également la réponse reçue avec les termes du DL (le cas échéant).

Énumérons maintenant les principaux problèmes qui conduisent le plus souvent à des erreurs dans le processus de résolution de problèmes de progression géométrique.

1. Arithmétique élémentaire. Opérations avec des fractions et des nombres négatifs.

2. S'il y a des problèmes sur au moins un de ces trois points, alors vous ferez inévitablement des erreurs sur ce sujet. Malheureusement... Alors ne soyez pas paresseux et répétez ce qui a été mentionné ci-dessus. Et suivez les liens - allez-y. Parfois, ça aide.)

Formules modifiées et récurrentes.

Examinons maintenant quelques problèmes d’examen typiques avec une présentation moins familière de la condition. Oui, oui, vous l'avez deviné ! Ce modifié Et récurrent formules du nième terme. Nous avons déjà rencontré de telles formules et travaillé sur la progression arithmétique. Tout est pareil ici. L'essence est la même.

Par exemple, ce problème de l'OGE :

La progression géométrique est donnée par la formule bn = 3 2 n . Trouvez la somme de ses premier et quatrième termes.

Cette fois, la progression n’est pas tout à fait comme d’habitude pour nous. Sous la forme d'une sorte de formule. Et alors? Cette formule est aussi une formulenle membre ! Vous et moi savons que la formule du nième terme peut s'écrire à la fois sous forme générale, en utilisant des lettres, et pour progression spécifique. AVEC spécifique premier terme et dénominateur.

Dans notre cas, on nous donne en fait une formule générale pour une progression géométrique avec les paramètres suivants :

b 1 = 6

q = 2

Allons-nous vérifier ?) Écrivons la formule du nième terme sous sa forme générale et remplaçons-la par b 1 Et q. On a:

bn = b 1 · qn -1

bn= 6 2n -1

On simplifie en utilisant la factorisation et les propriétés des puissances, et on obtient :

bn= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Comme vous pouvez le constater, tout est juste. Mais notre objectif n’est pas de démontrer la dérivation d’une formule spécifique. C'est ainsi, une digression lyrique. Uniquement pour comprendre.) Notre objectif est de résoudre le problème selon la formule qui nous est donnée dans la condition. Vous comprenez ?) Nous travaillons donc directement avec la formule modifiée.

On compte le premier terme. Remplaçons n=1 dans la formule générale :

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Comme ça. À propos, je ne serai pas paresseux et j'attirerai encore une fois votre attention sur une erreur typique dans le calcul du premier terme. À NE PAS FAIRE, en regardant la formule bn= 3 2n, dépêchez-vous immédiatement d'écrire que le premier terme est un trois ! C'est une grossière erreur, oui...)

Nous allons continuer. Remplaçons n=4 et comptez le quatrième terme :

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Et enfin, on calcule le montant requis :

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Réponse : 54

Un autre problème.

La progression géométrique est spécifiée par les conditions :

b 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Trouvez le quatrième terme de la progression.

Ici la progression est donnée par une formule récurrente. Bien, OK.) Comment travailler avec cette formule – nous le savons aussi.

Alors nous agissons. Pas à pas.

1) Comptez deux consécutif membre de la progression.

Le premier mandat nous a déjà été donné. Moins sept. Mais le deuxième terme suivant peut être facilement calculé à l'aide de la formule de récurrence. Si vous comprenez le principe de son fonctionnement, bien sûr.)

On compte donc le deuxième terme selon la première bien connue :

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Calculer le dénominateur de la progression

Pas de problème non plus. Tout droit, divisons deuxième bite sur d'abord.

On a:

q = -21/(-7) = 3

3) Écrivez la formulenème membre sous la forme habituelle et calculez le membre requis.

Nous connaissons donc le premier terme, tout comme le dénominateur. Nous écrivons donc :

bn= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Réponse : -189

Comme vous pouvez le constater, travailler avec de telles formules pour une progression géométrique n'est fondamentalement pas différent de celui pour une progression arithmétique. Il est seulement important de comprendre l'essence générale et la signification de ces formules. Eh bien, vous devez également comprendre le sens de la progression géométrique, oui.) Et puis il n'y aura pas d'erreurs stupides.

Eh bien, décidons nous-mêmes ?)

Tâches très basiques pour l'échauffement :

1. Étant donné une progression géométrique dans laquelle b 1 = 243, un q = -2/3. Trouvez le sixième terme de la progression.

2. Le terme général de la progression géométrique est donné par la formule bn = 5∙2 n +1 . Trouvez le numéro du dernier terme à trois chiffres de cette progression.

3. La progression géométrique est donnée par les conditions :

b 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Trouvez le cinquième terme de la progression.

Un peu plus compliqué :

4. Étant donné une progression géométrique :

b 1 =2048; q =-0,5

À quoi est égal le sixième terme négatif ?

Qu'est-ce qui semble super difficile ? Pas du tout. La logique et la compréhension du sens de la progression géométrique vous sauveront. Eh bien, la formule du nième terme, bien sûr.

5. Le troisième terme de la progression géométrique est -14 et le huitième terme est 112. Trouvez le dénominateur de la progression.

6. La somme des premier et deuxième termes de la progression géométrique est 75 et la somme des deuxième et troisième termes est 150. Trouvez le sixième terme de la progression.

Réponses (en désarroi) : 6 ; -3888 ; -1; 800 ; -32 ; 448.

C'est presque tout. Tout ce que nous avons à faire c'est apprendre à compter la somme des n premiers termes d'une progression géométrique oui découvrir progression géométrique infiniment décroissante et son montant. Une chose très intéressante et inhabituelle, d'ailleurs ! Nous en parlerons plus dans les prochaines leçons.)