Progression arithmétique nommer une séquence de nombres (termes d'une progression)

Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un nouveau terme, également appelé différence de pas ou de progression.

Ainsi, en précisant l'étape de progression et son premier terme, vous pouvez retrouver n'importe lequel de ses éléments grâce à la formule

Propriétés progression arithmétique

1) Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique des membres précédent et suivant de la progression

L’inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des termes impairs (pairs) adjacents d’une progression est égale au terme qui les sépare, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. En utilisant cette instruction, il est très facile de vérifier n’importe quelle séquence.

De plus, grâce à la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

Ceci est facile à vérifier si vous écrivez les termes à droite du signe égal

Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.

2) La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est calculée à l'aide de la formule

Rappelez-vous bien la formule de la somme d'une progression arithmétique ; elle est indispensable dans les calculs et se retrouve assez souvent dans des situations simples de la vie.

3) Si vous avez besoin de trouver non pas la somme entière, mais une partie de la suite à partir de son kème terme, alors la formule de somme suivante vous sera utile

4) Il est d'un intérêt pratique de trouver la somme de n termes d'une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Ceci conclut le matériel théorique et passe à la résolution de problèmes courants dans la pratique.

Exemple 1. Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4;7;...

Solution:

Selon la condition que nous avons

Déterminons l'étape de progression

A l'aide d'une formule bien connue, on trouve le quarantième terme de la progression

Exemple 2.

Solution:

Une progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième termes. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Écrivons les éléments donnés de la progression à l'aide des formules

On soustrait la première de la deuxième équation, on trouve ainsi le pas de progression

Nous substituons la valeur trouvée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

On calcule la somme des dix premiers termes de la progression

Sans recourir à des calculs complexes, nous avons trouvé toutes les quantités requises.

Solution:

Exemple 3. Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses termes. Trouver le premier terme de la progression, la somme de ses 50 termes à partir de 50 et la somme des 100 premiers.

Écrivons la formule du centième élément de la progression

et trouve le premier

A partir du premier, on retrouve le 50ème terme de la progression

Trouver la somme de la partie de la progression

et la somme des 100 premiers

Le montant de la progression est de 250.

Exemple 4.

Trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique si :

Solution:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Écrivons les équations en fonction du premier terme et de l'étape de progression et déterminons-les

Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de termes dans la somme

Nous effectuons des simplifications

et résoudre l'équation quadratique

Parmi les deux valeurs trouvées, seul le chiffre 8 correspond aux conditions problématiques. Ainsi, la somme des huit premiers termes de la progression est 111.

Exemple 5.

Résoudre l'équation

1+3+5+...+x=307.

Solution : Cette équation est la somme d’une progression arithmétique. Écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que c'est donné :

séquence de nombres 1 , séquence de nombres 2 , séquence de nombres 3 , . . . , un , . . . .

un

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel. séquence de nombres 1 Nombre appelé premier terme de la suite séquence de nombres 2 — , nombre deuxième terme de la suite séquence de nombres 3 — , nombre troisième correspondre à un nombre réel Nombre et ainsi de suite. Nombre nième mandat séquences , et un nombre naturel — n .

son numéro un De deux membres adjacents un +1 Et un +1 Nombre membre de séquence ultérieur correspondre à un nombre réel (par rapport à correspondre à un nombre réel — ), UN ultérieur un +1 ).

précédent

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro. Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formules du nième terme

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

une séquence de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 Et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Si séquence de nombres 1 = 1 , UN un +1 = un + 5

séquence de nombres 1 = 1,

séquence de nombres 2 = séquence de nombres 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

séquence de nombres 3 = séquence de nombres 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

séquence de nombres 4 = séquence de nombres 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

séquence de nombres 5 = séquence de nombres 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

séquence de nombres 6 = séquence de nombres 4 + séquence de nombres 5 = 3 + 5 = 8,

séquence de nombres 7 = séquence de nombres 5 + séquence de nombres 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final De deux membres adjacents sans fin .

La séquence s'appelle ultime , s'il compte un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin , s’il compte une infinité de membres.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

séquence de deux chiffres nombres naturels:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle croissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle décroissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

2, 4, 6, 8, . . . , 2, et un nombre naturel, . . . — séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

séquence de nombres 1 , séquence de nombres 2 , séquence de nombres 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel Si pour tout nombre naturel la condition est remplie :

un +1 = un + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - séquence de nombres 1 = un 3 - séquence de nombres 2 = . . . = un +1 - un = d.

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel. d Nombre différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Si séquence de nombres 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

séquence de nombres 5 = séquence de nombres 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme séquence de nombres 1 et la différence d son Si pour tout nombre naturel

un = un 1 + (, et un nombre naturel- 1)d.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (, et un nombre naturel- 2)d,

un= un 1 + (, et un nombre naturel- 1)d,

un +1 = séquence de nombres 1 + sd,

alors évidemment

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

un = 2, et un nombre naturel- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

un = 2, et un nombre naturel- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2, et un nombre naturel- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2, et un nombre naturel- 5.

Ainsi,

◄

Noter que Si pour tout nombre naturel Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers séquence de nombres 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (, et un nombre naturel- k)d.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Pour séquence de nombres 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres de cette progression arithmétique également espacés d'elle.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

en progression arithmétique

1) séquence de nombres 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (séquence de nombres 9 + séquence de nombres 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ un,

d'abord Si pour tout nombre naturel termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités séquence de nombres 1 , un, d, , et un nombre naturel EtS Si pour tout nombre naturel reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Dans ce cas:

• Si d > 0 , alors il augmente ;
• Si d < 0 , alors il diminue ;
• Si d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel Si pour tout nombre naturel la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel. q Nombre dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Si b 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q son Si pour tout nombre naturel Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = b 1 · qn -1 .

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve la déclaration souhaitée. ◄

Noter que Si pour tout nombre naturel Le ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Pour b 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · q k,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir du second, est égal au produit des termes équidistants de cette progression.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ , et un nombre naturel= k+ je.

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

en progression géométrique

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , parce que

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

d'abord Si pour tout nombre naturel membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , bn, q, , et un nombre naturel Et S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et q> 1;

b 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et 0 < q< 1;

b 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier Si pour tout nombre naturel les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) , et un nombre naturel / 2 .

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers Si pour tout nombre naturel membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre Si pour tout nombre naturel . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

séquence de nombres 1 , séquence de nombres 2 , séquence de nombres 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

, c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄

Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, considérons ce qu'est une suite de nombres, puisqu'une progression arithmétique est cas particulier séquence de nombres.

Une séquence de numéros est un ensemble de numéros dont chaque élément possède son propre numéro de série.. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Le cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle de son temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous forme de formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Notons encore une fois que dans une séquence, contrairement à une fonction numérique arbitraire, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents.

Par exemple, considérons la séquence ,

On peut trouver les valeurs des membres de la séquence un par un, à partir du troisième :

Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent, du mot latin récurrent- revenir.

Nous pouvons maintenant définir une progression arithmétique. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres.

Progression arithmétique est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre.

Le numéro est appelé différence de progression arithmétique. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.

Si titre="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} croissant.

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; 11;...

Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est décroissant.

Par exemple, 2 ; -1 ; -4 ; -7;...

Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est stationnaire.

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons la photo.

Nous voyons que

, et en même temps

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

.

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

De plus, puisque

, et en même temps

, Que

, et donc

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin

Nous avons formule du nième terme.

IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

Ajoutons par paires :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On obtient :

Donc, la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) Nous le voyons ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , c'est pourquoi

Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans cours scolaire algèbre. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

De quel genre de progression s’agit-il ?

Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.

Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent est appelée une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :

Ici i est le numéro de série de l'élément de la ligne a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :

un n = un 1 + d * (n - 1).

Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.

Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule

Avant de donner la formule du montant indiqué, il convient de considérer un cas particulier simple. Étant donné une progression de nombres naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Une chose à considérer chose intéressante: puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paires du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.

Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'affilée ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n , ainsi que nombre total n termes.

On pense que Gauss fut le premier à penser à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème donné. professeur d'école tâche : additionner les 100 premiers entiers.

Somme des éléments de m à n : formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire cela ?

La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer l’exemple suivant : supposons qu’il soit nécessaire de trouver la somme des termes du mois au nième. Pour résoudre le problème, vous devez présenter le segment donné de m à n de la progression sous la forme d'une nouvelle série de nombres. Dans ce m-ième représentation le terme a m sera le premier, et a n sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemple d'utilisation de formules

Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.

Ci-dessous une séquence numérique, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :

Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère :

une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;

une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Connaissant les valeurs des nombres aux extrémités de la progression algébrique considérée, ainsi que connaissant quels nombres de la série ils occupent, vous pouvez utiliser la formule de la somme obtenue dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments à l'aide de la formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments à l'aide de la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.

I.V. Yakovlev | Matériel mathématique | MathUs.ru

Progression arithmétique

La progression arithmétique est type spécial sous-séquence. Par conséquent, avant de définir une progression arithmétique (puis géométrique), nous devons discuter brièvement notion importante séquence de nombres.

Sous-séquence

Imaginez un appareil sur l'écran duquel certains chiffres s'affichent les uns après les autres. Disons 2 ; 7 ; 13 ; 1 ; 6 ; 0 ; 3 ; : : : Cet ensemble de nombres est précisément un exemple de séquence.

Définition. Une séquence de nombres est un ensemble de nombres dans lequel chaque nombre peut se voir attribuer un numéro unique (c'est-à-dire associé à un seul nombre naturel)1. Le nombre n est appelé le nième terme de la suite.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le premier nombre est 2, c'est le premier membre de la séquence, qui peut être noté a1 ; le numéro cinq a le numéro 6 est le cinquième terme de la séquence, qui peut être noté a5. Du tout, nième mandat les séquences sont désignées par un (ou bn, cn, etc.).

Une situation très pratique est celle où le nième terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule an = 2n 3 spécifie la séquence : 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; : : : La formule an = (1)n spécifie la séquence : 1; 1 ; 1 ; 1 ; : : :

Tous les ensembles de nombres ne constituent pas une séquence. Ainsi, un segment n’est pas une séquence ; il contient « trop » de numéros pour être renumérotés. L’ensemble R de tous les nombres réels n’est pas non plus une séquence. Ces faits sont prouvés au cours d’une analyse mathématique.

Progression arithmétique : définitions de base

Nous sommes maintenant prêts à définir une progression arithmétique.

Définition. Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque terme (à partir du second) est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe (appelé la différence de la progression arithmétique).

Par exemple, séquence 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; : : : est une progression arithmétique de premier terme 2 et de différence 3. Séquence 7; 2 ; 3 ; 8 ; : : : est une progression arithmétique de premier terme 7 et de différence 5. Séquence 3; 3 ; 3 ; : : : est une progression arithmétique avec une différence égale à zéro.

Définition équivalente : la suite an est appelée progression arithmétique si la différence an+1 an est une valeur constante (indépendante de n).

Une progression arithmétique est dite croissante si sa différence est positive, et décroissante si sa différence est négative.

1 Mais voici une définition plus concise : une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels. Par exemple, une séquence de nombres réels est une fonction f : N ! R.

Par défaut, les séquences sont considérées comme infinies, c'est-à-dire contenant un nombre infini de nombres. Mais personne ne nous dérange de considérer des séquences finies ; en fait, tout ensemble fini de nombres peut être appelé une séquence finie. Par exemple, la séquence de fin est 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 se compose de cinq nombres.

Formule pour le nième terme d'une progression arithmétique

Il est facile de comprendre qu'une progression arithmétique est entièrement déterminée par deux nombres : le premier terme et la différence. Dès lors, la question se pose : comment, connaissant le premier terme et la différence, trouver un terme arbitraire d'une progression arithmétique ?

Obtenir la formule requise Le nième terme d’une progression arithmétique n’est pas difficile. Laissez un

Problème 1. Dans la progression arithmétique 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; : : : trouvez la formule du nième terme et calculez le centième terme.

Solution. D'après la formule (1) on a :

une = 2 + 3(n 1) = 3n 1 :

a100 = 3 100 1 = 299 :

Propriété et signe de progression arithmétique

Propriété de progression arithmétique. En progression arithmétique et pour tout

En d'autres termes, chaque membre d'une progression arithmétique (à partir du second) est la moyenne arithmétique de ses membres voisins.

c'est ce qui était requis.

Plus généralement, la progression arithmétique an satisfait l'égalité

une n = une n k+ une n+k

pour tout n > 2 et tout k naturel< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Il s’avère que la formule (2) sert non seulement de condition nécessaire mais également de condition suffisante pour que la séquence soit une progression arithmétique.

Signe de progression arithmétique. Si l'égalité (2) est vraie pour tout n > 2, alors la séquence an est une progression arithmétique.

Preuve. Réécrivons la formule (2) comme suit :

une na n 1= une n+1une n :

On voit de là que la différence an+1 an ne dépend pas de n, et cela signifie précisément que la suite an est une progression arithmétique.

La propriété et le signe d'une progression arithmétique peuvent être formulés sous la forme d'un seul énoncé ; Pour plus de commodité, nous ferons cela pour trois nombres (c'est la situation qui se produit souvent en cas de problèmes).

Caractérisation d'une progression arithmétique. Trois nombres a, b, c forment une progression arithmétique si et seulement si 2b = a + c.

Problème 2. (MSU, Faculté d'économie, 2007) Trois nombres 8x, 3 x2 et 4 dans l'ordre indiqué forment une progression arithmétique décroissante. Trouvez x et indiquez la différence de cette progression.

Solution. Par la propriété de progression arithmétique on a :

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5 :

Si x = 1, alors nous obtenons une progression décroissante de 8, 2, 4 avec une différence de 6. Si x = 5, alors nous obtenons une progression croissante de 40, 22, 4 ; ce cas ne convient pas.

Réponse : x = 1, la différence est 6.

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

La légende raconte qu'un jour, l'enseignant a dit aux enfants de trouver la somme des nombres de 1 à 100 et s'est assis tranquillement pour lire le journal. Cependant, quelques minutes plus tard, un garçon a déclaré qu'il avait résolu le problème. Il s'agissait de Karl Friedrich Gauss, 9 ans, qui devint plus tard l'un des les plus grands mathématiciens dans l'histoire.

L'idée du petit Gauss était la suivante. Laisser

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100 :

Écrivons ce montant dans l'ordre inverse :

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

et ajoutez ces deux formules :

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) :

Chaque terme entre parenthèses est égal à 101, et il y a donc 100 termes au total.

2S = 101 100 = 10 100 ;

Nous utilisons cette idée pour dériver la formule de somme

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n : (3)

Une modification utile de la formule (3) est obtenue si nous y substituons la formule du nième terme an = a1 + (n 1)d :

Problème 3. Trouvez la somme de tous les nombres positifs à trois chiffres divisibles par 13.

Solution. Les nombres à trois chiffres multiples de 13 forment une progression arithmétique dont le premier terme est 104 et la différence est 13 ; Le nième terme de cette progression a la forme :

une = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n :

Voyons combien de termes contient notre progression. Pour ce faire, nous résolvons l’inégalité :

un 6 999 ; 91 + 13n 6 999 ;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69 :

Il y a donc 69 membres dans notre progression. En utilisant la formule (4), nous trouvons le montant requis :

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2