Boom de l'information En biologie - colonies de microbes dans une boîte de Pétri Lapins en Australie Réactions en chaîne - en chimie En physique - désintégration radioactive, changement pression atmosphérique avec un changement d'altitude, refroidissement du corps. En physique - désintégration radioactive, changement de pression atmosphérique avec un changement d'altitude, refroidissement du corps. La libération d'adrénaline dans le sang et sa destruction. Ils affirment également que la quantité d'informations double tous les 10 ans.

(3/5) -1 une 1 3 1/2 (4/9) 0 une *81 (1/2) -3 une -n ​​36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Expression 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73 ; 1,732;1,73205; 1, ;… la séquence augmente 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205 ; 2 1, ;… la séquence augmente Bounded, ce qui signifie qu'elle converge vers une limite - la valeur 2 3

On peut définir π 0

10 10 18 Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 21

La quantité d'informations double tous les 10 ans Le long de l'axe du Buffle - selon la loi de la progression arithmétique : 1,2,3,4…. Le long de l'axe Oy - selon la loi progression géométrique: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Graphique d'une fonction exponentielle, on l'appelle un exposant (du latin exponere - pour se montrer)

Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est puissance d'un nombre. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se posent.

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Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons par . Pour l'avenir, disons que la définition de la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire la notation a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».

Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

A noter que dans le dernier exemple, la base de la puissance 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases de la puissance qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .

L'un des problèmes inverses à l'élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base d'une puissance à partir d'une valeur connue de la puissance et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que beaucoup nombres rationnels se compose de nombres entiers et fractionnaires, chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons donc défini le diplôme avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, pour compléter la définition du diplôme avec indicateur rationnel, vous devez donner un sens à la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons ça.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si l'on prend en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter, à condition que étant donné m, n et a, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.

Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre a dont l'exposant est , est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition ci-dessous ). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens) ; pour m négatif, le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division) ; par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie , Mais , UN .

Une fois le degré d'un nombre déterminé, il est logique de parler de propriétés du diplôme. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base de la puissance d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous fournirons des preuves de toutes les propriétés des degrés et montrerons également comment ces propriétés sont utilisées lors de la résolution d'exemples.

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Propriétés des degrés avec exposants naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, et en utilisant également propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés du degré avec exposant naturel:

1. la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n, sa généralisation ;
2. propriété des puissances quotientes de mêmes bases a m:a n =a m−n ;
3. propriété de puissance du produit (a·b) n =a n ·b n , son extension ;
4. propriété d'un quotient dans diplôme naturel(a:b) n =a n:b n ;
5. élever un degré à une puissance (a m) n = a m·n, sa généralisation (((un n 1) n 2) …) n k =un n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. comparaison du degré avec zéro :
   • si a>0, alors a n>0 pour tout nombre naturel n ;
   • si a=0, alors a n =0 ;
   • si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. si a et b sont des nombres positifs et a
8. si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors à 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

Notons immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique sous réserve des conditions spécifiées, leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m ·a n =a m+n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n =a m ·a n .

Examinons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Montrons la propriété principale du degré. Par la définition d'une puissance avec un exposant naturel, le produit de puissances ayant les mêmes bases de la forme a m ·a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de multiplication, l’expression résultante peut s’écrire , et ce produit est une puissance du nombre a avec un exposant naturel m+n, c'est-à-dire a m+n. Ceci termine la preuve.

Donnons un exemple confirmant la propriété principale du diplôme. Prenons des degrés de mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, en utilisant la propriété fondamentale des degrés on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vérifions sa validité en calculant les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5 . En effectuant une exponentiation, nous avons 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 et 2 5 =2·2·2·2·2=32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 ·2 3 =2 5 est correcte et confirme la propriété principale du degré.

La propriété fondamentale d'un degré, basée sur les propriétés de multiplication, peut être généralisée au produit de trois puissances ou plus ayant les mêmes bases et exposants naturels. Ainsi, pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2, …, n k l'égalité suivante est vraie : une n 1 ·une n 2 ·…·une n k =une n 1 +n 2 +…+n k.

Par exemple, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Nous pouvons passer à la propriété suivante des puissances avec un exposant naturel : propriété des quotients de puissances de mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m>n, l'égalité a m:a n = a m−n est vraie.

Avant de présenter la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et lorsque nous avons pris connaissance de la division, nous avons convenu qu'on ne pouvait pas diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un nombre naturel, sinon il sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m

Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n ·une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité résultante a m−n ·a n = a m et il s'ensuit que a m−n est un quotient des puissances a m et a n . Cela prouve la propriété des puissances quotientes de bases identiques.

Donnons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, l'égalité π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 correspond à la propriété considérée du degré.

Considérons maintenant propriété de puissance du produit: la puissance naturelle n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égale au produit des puissances a n et b n , c'est-à-dire (a·b) n = a n ·b n .

En effet, par la définition d'un degré à exposant naturel on a . Sur la base des propriétés de multiplication, le dernier produit peut être réécrit comme , qui est égal à a n · b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s’étend à la puissance du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pour plus de clarté, nous montrerons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété d'un quotient en nature: le quotient des nombres réels a et b, b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a:b) n = a n:b n.

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et de l'égalité (a:b) n ·b n = a n il s'ensuit que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : .

Maintenant, exprimons-le propriété d'élever une puissance à une puissance: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance n est égale à la puissance du nombre a d'exposant m·n, c'est-à-dire (a m) n = a m·n.

Par exemple, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La preuve de la propriété de puissance en degré est la chaîne d’égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des chiffres précis : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et la puissance avec un exposant naturel.

Tout d’abord, prouvons que a n >0 pour tout a>0.

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme cela ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication suggèrent que le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Ces arguments permettent d’affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En raison de la propriété prouvée 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout nombre naturel n avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0.

Passons aux bases de degré négatives.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2·m, où m est un nombre naturel. Alors . Car chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif et degré a 2·m. Donnons des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base a est un nombre négatif et l’exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. Grâce à cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des puissances de mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux puissances de mêmes exposants naturels, n est celle dont la base est la plus petite, et celle dont la base est la plus grande est la plus grande. Prouvons-le.

Inégalités et n propriétés des inégalités une inégalité prouvable de la forme a n est également vraie .

Il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. De deux puissances dont les exposants naturels et les bases positives identiques sont inférieures à une, celle dont l'exposant est le plus petit est la plus grande ; et de deux puissances à exposants naturels et à bases identiques supérieures à un, celle dont l'exposant est le plus grand est la plus grande. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 en raison de la condition initiale m>n, ce qui signifie qu'à 0

Reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1 a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir retiré a n des parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré a n est un nombre positif, et la différence a m−n −1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1 le degré a m−n est supérieur à un . Par conséquent, a m −a n >0 et a m >a n , ce qui restait à prouver. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2.

Propriétés des puissances à exposants entiers

Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels répertoriées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Nous avons défini un degré à exposant négatif entier, ainsi qu'un degré à exposant nul, de telle sorte que toutes les propriétés des degrés à exposant naturel, exprimées par des égalités, restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables aussi bien pour les exposants nuls que pour les exposants négatifs, même si, bien entendu, les bases des puissances sont différentes de zéro.

Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout entier m et n, les éléments suivants sont vrais : propriétés des puissances à exposants entiers:

1. une m ·une n =une m+n ;
2. une m:une n =une m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (une m) n =une m·n ;
6. si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b−n ;
7. si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m > a n est vraie.

Lorsque a=0, les puissances a m et a n n’ont de sens que lorsque m et n sont tous deux des entiers positifs, c’est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d’être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Prouver chacune de ces propriétés n'est pas difficile ; pour ce faire, il suffit d'utiliser les définitions des degrés à exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des opérations avec des nombres réels. À titre d’exemple, prouvons que la propriété puissance-puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et pour les entiers non positifs. Pour ce faire, vous devez montrer que si p est zéro ou un nombre naturel et q est zéro ou un nombre naturel, alors les égalités (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) et (une −p) −q =une (−p)·(−q). Faisons ça.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p·q a été prouvée dans le paragraphe précédent. Si p=0, alors nous avons (a 0) q =1 q =1 et a 0·q =a 0 =1, d'où (a 0) q =a 0·q. De même, si q=0, alors (a p) 0 =1 et a p·0 =a 0 =1, d'où (a p) 0 =a p·0. Si p=0 et q=0, alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0·0 =a 0 =1, d'où (a 0) 0 =a 0·0.

Nous prouvons maintenant que (a −p) q =a (−p)·q . Par définition d'une puissance avec un exposant entier négatif, alors . Par la propriété des quotients aux puissances on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a −(p·q), qui, grâce aux règles de multiplication, peut s'écrire a (−p)·q.

De même .

ET .

En utilisant le même principe, vous pouvez prouver toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l’avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s’attarder sur la preuve de l’inégalité a −n >b −n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a est satisfaite. . Puisque par condition un 0 . Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme le quotient des nombres positifs b n −a n et a n · b n . Par conséquent, d’où a −n >b −n , ce qui devait être prouvé.

La dernière propriété des puissances à exposants entiers se prouve de la même manière qu’une propriété similaire des puissances à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec exposants rationnels

Nous avons défini un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d’autres termes, les puissances à exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les puissances à exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons-en la preuve.

Par définition d'une puissance avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré à exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré à exposant fractionnaire, on a , et l'indicateur du diplôme obtenu peut être transformé comme suit : . Ceci termine la preuve.

La deuxième propriété des puissances à exposants fractionnaires se prouve d'une manière absolument similaire :

Les égalités restantes sont prouvées en utilisant des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditionsp<0 и p>0 dans ce cas les conditions m<0 и m>0 en conséquence. Pour m>0 et a

De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où, c'est-à-dire, et a p >b p .

Reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q, p>q en 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, même si nous obtenons des fractions ordinaires et , où m 1 et m 2 sont des nombres entiers et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2 qui en découle. Ensuite, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et exposants naturels à 0 1 – inégalité une m 1 >une m 2 . Ces inégalités dans les propriétés des racines peuvent être réécrites en conséquence comme Et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, en conséquence. De là, nous tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des puissances à exposants irrationnels

De la façon dont un degré à exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il possède toutes les propriétés des degrés à exposant rationnel. Donc, pour tout a>0, b>0 et nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai propriétés des puissances avec des exposants irrationnels:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. une p:une q =une p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p b p ;
7. pour les nombres irrationnels p et q, p>q à 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec n’importe quel exposant réel p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

Références.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Un degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tous a et n, sauf dans le cas de a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont valides :

Un m *un n =un m+n ; une m:une n =une m-n (une≠0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n *b n ; (b≠0); une 1 =une; une 0 =1 (une≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m >a n pour a>1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette section nous généraliserons la notion de puissances d'un nombre, en donnant un sens aux expressions de type 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition de telle sorte que les puissances à exposant rationnel aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la nième puissance du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est exécuté, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la nième racine) que le nombredoit être la nième racine d'un m.

Définition.

La puissance d'un nombre a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier et n est un nombre naturel (n > 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 est définie uniquement pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré c indicateur irrationnel.

Nombre irrationnelpeut être représenté sous la formelimite d'une séquence de nombres rationnels: .

Laisser . Il existe ensuite des puissances avec un exposant rationnel. On peut prouver que la séquence de ces puissances est convergente. La limite de cette suite s’appelle degré avec base et exposant irrationnel: .

Fixons un nombre positif a et attribuons-le à chaque nombre. On obtient ainsi la fonction numérique f(x) = a x , défini sur l'ensemble Q des nombres rationnels et possédant les propriétés listées précédemment. Quand a=1 fonction f(x) = a x est constant, puisque 1 x =1 pour tout x rationnel.

Traçons plusieurs points sur le graphique de la fonction y = 2 x avoir préalablement calculé la valeur 2 à l'aide d'une calculatrice x sur le segment [—2; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b). etc. nous voyons que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qui peut naturellement être considérée comme le graphique d'une fonction, définie et croissante le long de toute la droite numérique et prenant des valeursaux points rationnels(Fig. 1, c). Ayant construit suffisamment grand nombre points du graphique de fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent que les nombres 2 peuvent être définis de cette façonα et pour chaque α irrationnel, que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y=2 x augmente et la fonctiondiminue tout au long de la droite numérique.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a est déterminé α pour α irrationnel pour a>1. Nous voulons nous assurer que la fonction y = a x était en augmentation. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choisir les valeurs r 1 et r2 en approchant x, on peut remarquer que les valeurs correspondantes d'un r 1 et a r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et un seul, le nombre y, qui est plus grand que tout a. r1 pour tout r rationnel 1 et au moins un r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est par définition un α .

Par exemple, utiliser une calculatrice pour calculer la valeur 2 x aux points x n et x` n, où x n et x` n - approximations décimales des nombresnous constaterons que plus x est proche n et x`nk , moins les 2 diffèrent x n et 2 x` n .

Depuis lors

et, par conséquent,

De même, en considérant les approximations décimales suivantesselon le manque et l'excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Signification calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre a est déterminé de la même manière α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y = une x, différent de constant. Cette fonction est appelée fonction exponentielle avec socleun.

oui= un xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle oui= un xà 0< un < 1:

• Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.
• Plage de fonctions - intervalle (0; + ) .
• La fonction augmente de manière strictement monotone sur toute la droite numérique, c'est-à-dire si x 1 < x 2, alors un x 1 >un x 2 .
• À x= 0, la valeur de la fonction est 1.
• Si x> 0, puis 0< un < 1 et si x < 0, то un x > 1.
À propriétés générales fonction exponentielle à 0< a < 1, так и при a > 1 comprend :
• un x 1 un x 2 = un x 1 + x 2, pour tout le monde x 1 Et x 2.
• un −x= ( un x) − 1 = 1 unx pour n'importe qui x.
• nun x= un