Publié sur notre site Web. Prendre la racine d'un nombre est souvent utilisé dans divers calculs, et notre calculatrice est un excellent outil pour de tels calculs mathématiques.

Un calculateur en ligne avec racines vous permettra d'effectuer rapidement et facilement tous les calculs impliquant l'extraction de racines. La troisième racine peut être calculée aussi facilement que Racine carréeà partir d'un nombre, racine de nombre négatif, racine d'un nombre complexe, racine de pi, etc.

Le calcul de la racine d'un nombre est possible manuellement. S’il est possible de calculer la racine entière d’un nombre, alors on trouve simplement la valeur de l’expression radicale à l’aide de la table des racines. Dans d'autres cas, le calcul approximatif des racines revient à décomposer l'expression radicale en un produit de facteurs plus simples, qui sont des puissances et peuvent être supprimés par le signe de la racine, simplifiant au maximum l'expression sous la racine.

Mais vous ne devriez pas utiliser cette solution racine. Et c'est pourquoi. Premièrement, vous devrez consacrer beaucoup de temps à de tels calculs. Les nombres à la racine, ou plus précisément les expressions, peuvent être assez complexes, et le degré n'est pas nécessairement quadratique ou cubique. Deuxièmement, la précision de ces calculs n’est pas toujours satisfaisante. Et troisièmement, il existe un calculateur de racine en ligne qui effectuera toute extraction de racine pour vous en quelques secondes.

Extraire une racine d'un nombre signifie trouver un nombre qui, lorsqu'il est élevé à la puissance n, sera égal à la valeur de l'expression radicale, où n est la puissance de la racine, et le nombre lui-même est la base du racine. La racine du 2ème degré est dite simple ou carrée, et la racine du troisième degré est dite cubique, en omettant l'indication du degré dans les deux cas.

Résoudre les racines dans calculateur en ligne revient à simplement écrire une expression mathématique dans la ligne de saisie. L'extraction d'une racine dans la calculatrice est désignée par sqrt et s'effectue à l'aide de trois clés : racine carrée sqrt(x), racine cubique sqrt3(x) et nième racine sqrt(x,y). Des informations plus détaillées sur le panneau de commande sont présentées sur la page.

Racine carrée

Cliquer sur ce bouton insérera l'entrée racine carrée dans la ligne de saisie : sqrt(x), il vous suffit de saisir l'expression radicale et de fermer la parenthèse.

Exemple de solution racines carrées dans la calculatrice :

Si la racine est un nombre négatif et que le degré de la racine est pair, alors la réponse sera représentée comme un nombre complexe d’unité imaginaire i.

Racine carrée d'un nombre négatif :

Troisième racine

Utilisez cette clé lorsque vous devez prendre la racine cubique. Il insère l'entrée sqrt3(x) dans la ligne d'entrée.

Racine du 3ème degré :

Racine du degré n

Naturellement, le calculateur de racines en ligne permet d'extraire non seulement les racines carrées et cubiques d'un nombre, mais également la racine du degré n. Cliquer sur ce bouton affichera une entrée comme sqrt(x x,y).

4ème racine :

Une nième racine exacte d’un nombre ne peut être extraite que si le nombre lui-même est une nième racine exacte. Sinon, le calcul s’avérera approximatif, bien que très proche de l’idéal, puisque la précision des calculs du calculateur en ligne atteint 14 décimales.

Racine 5 avec résultat approximatif :

Racine d'une fraction

La calculatrice peut calculer la racine à partir de divers nombres et expressions. Trouver la racine d'une fraction revient à extraire séparément la racine du numérateur et du dénominateur.

Racine carrée d'une fraction :

Racine de la racine

Dans les cas où la racine de l'expression est sous la racine, selon les propriétés des racines, elles peuvent être remplacées par une racine dont le degré sera égal au produit des degrés des deux. En termes simples, pour extraire une racine d'une racine, il suffit de multiplier les indicateurs des racines. Dans l'exemple présenté sur la figure, l'expression racine du troisième degré de la racine du deuxième degré peut être remplacée par une racine du 6e degré. Spécifiez l'expression comme vous le souhaitez. Dans tous les cas, la calculatrice calculera tout correctement.

Un exemple de comment extraire une racine d'une racine :

Diplôme à la racine

Le calculateur de racine du degré vous permet de calculer en une seule étape, sans réduire au préalable les indicateurs de racine et de degré.

Racine carrée d'un degré :

Toutes les fonctions de notre calculatrice gratuite sont rassemblées dans une seule section.

Résoudre les racines dans une calculatrice en ligne a été modifié pour la dernière fois : 3 mars 2016 par Administrateur

Il est temps de faire le tri méthodes d'extraction de racines. Ils reposent sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, qui est vraie pour tout nombre b non négatif.

Ci-dessous, nous examinerons les principales méthodes d'extraction des racines une par une.

Commençons par le cas le plus simple : extraire des racines de nombres naturels à l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Si des tableaux de carrés, cubes, etc. Si vous ne l’avez pas sous la main, il est logique d’utiliser la méthode d’extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers.

Il convient de mentionner spécialement ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui nous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur racine.

Commençons.

Utiliser un tableau de carrés, un tableau de cubes, etc.

Dans les cas les plus simples, des tableaux de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés d'entiers de 0 à 99 inclus (illustré ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur fond gris ; en sélectionnant une ligne spécifique et une colonne spécifique, elle permet de composer un nombre de 0 à 99. Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chaque cellule est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99. À l’intersection de la ligne de 8 dizaines choisie et de la colonne 3 de unités, il y a une cellule avec le nombre 6 889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes de nombres de 0 à 99, etc. sont similaires aux tables de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tableaux de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. vous permettent d'extraire des racines carrées, des racines cubiques, des quatrièmes racines, etc. en conséquence à partir des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur utilisation lors de l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la nième racine du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes puissances. En utilisant ce tableau, nous trouvons le nombre b tel que a=b n. Alors , par conséquent, le nombre b sera la racine souhaitée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment utiliser une table cubique pour extraire la racine cubique de 19 683. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est le cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de puissances nièmes sont très pratiques pour extraire des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas disponibles et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tableaux correspondants. Dans ces cas, vous devez recourir à d’autres méthodes d’extraction de racines.

Factoriser un nombre radical en facteurs premiers

Un moyen assez pratique d'extraire la racine d'un nombre naturel (si, bien sûr, la racine est extraite) consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers. Son le point est le suivant: après il est assez simple de le représenter comme une puissance avec l'exposant souhaité, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Précisons ce point.

Supposons que la racine nième d'un nombre naturel a soit prise et que sa valeur soit égale à b. Dans ce cas, l’égalité a=b n est vraie. Numéro b comme n'importe quel autre entier naturel peut être représenté comme le produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , …, p m sous la forme p 1 · p 2 · … · p m , et le nombre radical a dans ce cas est représenté par (p 1 · p 2 · … · p m) n. La décomposition d'un nombre en facteurs premiers étant unique, la décomposition du nombre radical a en facteurs premiers aura la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme.

Notez que si la décomposition en facteurs premiers d'un nombre radical a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, alors la nième racine d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Voyons cela en résolvant des exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144.

Solution.

Si vous regardez le tableau des carrés donné dans le paragraphe précédent, vous voyez clairement que 144 = 12 2, d'où il ressort clairement que la racine carrée de 144 est égale à 12.

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la manière dont la racine est extraite en décomposant le nombre radical 144 en facteurs premiers. Regardons cette solution.

Décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2·2·2·2·3·3. Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés des degrés et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de la racine.

Solution.

La factorisation première du nombre radical 243 a la forme 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur racine est-elle un entier ?

Solution.

Pour répondre à cette question, factorisons le nombre radical en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme le cube d'un nombre entier.

Nous avons 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Le développement résultant n’est pas représenté comme un cube d’un entier, puisque le degré le premier facteur 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 ne peut pas être extraite complètement.

Répondre:

Non.

Extraire les racines des nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment extraire la racine de nombre fractionnaire. Laissez le nombre radical fractionnaire s’écrire p/q. D’après la propriété de la racine d’un quotient, l’égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle pour extraire la racine d'une fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de fraction commune 25/169 .

Solution.

En utilisant le tableau des carrés, on constate que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est égale à 5, et la racine carrée du dénominateur est égale à 13. Alors . Ceci termine l'extraction de la racine de la fraction commune 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres radicaux par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la fraction décimale 474,552.

Solution.

Imaginons l'original décimal comme fraction commune : 474,552=474552/1000. Alors . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Parce que 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000 = 10 3, alors Et . Il ne reste plus qu'à terminer les calculs .

Répondre:

.

Prendre la racine d'un nombre négatif

Il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. En étudiant les racines, nous avons dit que lorsque l’exposant racine est un nombre impair, alors il peut y avoir un nombre négatif sous le signe racine. Nous avons donné à ces entrées la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, . Cette égalité donne règle pour extraire les racines impaires des nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut prendre la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur de la racine.

Solution.

Transformons l'expression originale pour qu'il y ait un nombre positif sous le signe racine : . Maintenant nombre mixte remplacez-le par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Voici un bref résumé de la solution : .

Répondre:

.

Détermination au niveau du bit de la valeur racine

DANS cas général sous la racine se trouve un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la nième puissance d'un nombre quelconque. Mais dans ce cas, il est nécessaire de connaître la signification d'une racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui permet d'obtenir systématiquement quantité suffisante valeurs des chiffres du nombre requis.

La première étape de cet algorithme consiste à déterminer quel est le bit le plus significatif de la valeur racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à l'obtention du moment où un nombre dépasse le nombre radical. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera le chiffre le plus significatif correspondant.

Par exemple, considérons cette étape de l’algorithme lors de l’extraction de la racine carrée de cinq. Prenez les nombres 0, 10, 100, ... et mettez-les au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5. Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera celui des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les valeurs inférieures, seront retrouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à clarifier séquentiellement la valeur de la racine en trouvant les valeurs des bits suivants de la valeur souhaitée de la racine, en commençant par la plus élevée et en passant aux plus basses. Par exemple, la valeur de la racine au premier pas s'avère être 2, au deuxième – 2,2, au troisième – 2,23, et ainsi de suite 2,236067977…. Décrivons comment sont trouvées les valeurs des chiffres.

Les chiffres se trouvent en recherchant leurs valeurs possibles 0, 1, 2, ..., 9. Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle et comparées au nombre radical. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée et la transition vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine est effectuée si cela ne se produit pas ; alors la valeur de ce chiffre est 9.

Expliquons ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Nous trouvons d’abord la valeur du chiffre des unités. Nous allons parcourir les valeurs 0, 1, 2, ..., 9, en calculant respectivement 0 2, 1 2, ..., 9 2, jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5. Il convient de présenter tous ces calculs sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (puisque 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Passons à la recherche de la valeur des dixièmes de place. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs obtenues avec le nombre radical 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, alors la valeur de la dixième place est 2. Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur des centièmes :

Donc trouvé valeur suivante racine de cinq, elle est égale à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Nous déterminons d’abord le chiffre le plus significatif. Pour ce faire, on cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151 186. Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Déterminons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, alors la valeur de la place des dizaines est 1. Passons aux unités.

Ainsi, la valeur du chiffre des unités est 2. Passons aux dixièmes.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186, alors la valeur de la dixième place est 9. Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme ; elle nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine se trouve précise au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu’il existe de nombreuses autres façons d’extraire les racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus suffisent.

Bibliographie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Calculateur d'ingénierie en ligne

Nous sommes heureux de présenter à tous une calculatrice d’ingénierie gratuite. Avec son aide, tout étudiant peut effectuer rapidement et, surtout, facilement divers types de calculs mathématiques en ligne.

Une calculatrice d'ingénierie simple et facile à utiliser avec une interface discrète et intuitive sera vraiment utile à un large éventail d'utilisateurs Internet. Désormais, chaque fois que vous avez besoin d'une calculatrice, accédez à notre site Web et utilisez la calculatrice d'ingénierie gratuite.

Une calculatrice technique peut effectuer à la fois des opérations arithmétiques simples et des calculs mathématiques assez complexes.

Web20calc est une calculatrice d'ingénierie qui possède un grand nombre de fonctions, par exemple comment calculer toutes les fonctions élémentaires. La calculatrice prend également en charge les fonctions trigonométriques, les matrices, les logarithmes et même les graphiques.

Sans aucun doute, Web20calc intéressera ce groupe de personnes qui, à la recherche de solutions simples, tapent dans les moteurs de recherche la requête : calculatrice mathématique en ligne. Une application Web gratuite vous aidera à calculer instantanément le résultat d'une expression mathématique, par exemple soustraire, additionner, diviser, extraire la racine, élever à une puissance, etc.

Dans l'expression, vous pouvez utiliser les opérations d'exponentiation, d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de pourcentage et la constante PI. Pour les calculs complexes, les parenthèses doivent être incluses.

Caractéristiques du calculateur d'ingénierie :

1. opérations arithmétiques de base ;
2. travailler avec des nombres sous une forme standard ;
3. calcul de racines trigonométriques, fonctions, logarithmes, exponentiation ;
4. calculs statistiques : addition, moyenne arithmétique ou écart type ;
5. utilisation de cellules mémoire et fonctions personnalisées de 2 variables ;
6. travailler avec des angles en radians et en degrés.

La calculatrice d'ingénierie permet d'utiliser une variété de fonctions mathématiques :

Extraction de racines (racine carrée, cubique et nième) ;
ex (e à la puissance x), exponentiel ;
fonctions trigonométriques : sinus - sin, cosinus - cos, tangente - tan ;
fonctions trigonométriques inverses : arc sinus - sin-1, arc cosinus - cos-1, arc tangente - tan-1 ;
fonctions hyperboliques : sinus - sinh, cosinus - cosh, tangente - tanh ;
logarithmes : logarithme binaire en base deux - log2x, logarithme décimal en base dix - log, logarithme naturel - ln.

Cette calculatrice d'ingénierie comprend également un calculateur de quantités avec la capacité de convertir des quantités physiques pour divers systèmes de mesure : unités informatiques, distance, poids, temps, etc. Grâce à cette fonction, vous pouvez convertir instantanément des miles en kilomètres, des livres en kilogrammes, des secondes en heures, etc.

Pour effectuer des calculs mathématiques, saisissez d'abord une séquence d'expressions mathématiques dans le champ approprié, puis cliquez sur le signe égal et voyez le résultat. Vous pouvez saisir des valeurs directement depuis le clavier (pour cela, la zone calculatrice doit être active, il serait donc utile de placer le curseur dans le champ de saisie). Entre autres choses, les données peuvent être saisies à l'aide des boutons de la calculatrice elle-même.

Pour construire des graphiques, vous devez écrire la fonction dans le champ de saisie comme indiqué dans le champ des exemples ou utiliser la barre d'outils spécialement conçue à cet effet (pour y accéder, cliquez sur le bouton avec l'icône du graphique). Pour convertir des valeurs, cliquez sur Unité ; pour travailler avec des matrices, cliquez sur Matrice.

Si vous avez une calculatrice à portée de main, extraire la racine cubique de n'importe quel nombre ne posera aucun problème. Mais si vous n'avez pas de calculatrice ou si vous voulez simplement impressionner les autres, trouvez la racine cubique à la main. La plupart des gens trouveront le processus décrit ici assez compliqué, mais avec de la pratique, extraire les racines cubiques deviendra beaucoup plus facile. Avant de commencer à lire cet article, rappelez-vous les opérations mathématiques de base et les calculs avec des nombres au cube.

Pas

Partie 1

Notez la tâche. Prendre des racines cubiques à la main est similaire à une longue division, mais avec quelques nuances. Tout d’abord, notez la tâche sous une forme spécifique.

• Notez le nombre à partir duquel vous souhaitez prendre la racine cubique. Divisez le nombre en groupes de trois chiffres, en commençant par le point décimal. Par exemple, vous devez prendre la racine cubique de 10. Écrivez ce nombre comme ceci : 10 000 000. Les zéros supplémentaires sont destinés à augmenter la précision du résultat.
• Dessinez un signe racine à côté et au-dessus du nombre. Considérez-le comme les lignes horizontales et verticales que vous tracez lors de la division. La seule différence réside dans la forme des deux panneaux.
• Placez un point décimal au-dessus de la ligne horizontale. Faites-le directement au-dessus du point décimal du nombre d'origine.

1. Rappelez-vous les résultats des entiers au cube. Ils seront utilisés dans les calculs.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Trouvez le premier chiffre de la réponse. Choisissez le cube de l'entier le plus proche mais plus petit que le premier groupe de trois chiffres.

   • Dans notre exemple, le premier groupe de trois chiffres est le nombre 10. Trouvez le plus grand cube inférieur à 10. Ce cube vaut 8 et la racine cubique de 8 est 2.
   • Au dessus de la ligne horizontale au dessus du chiffre 10, écrivez le chiffre 2. Notez ensuite la valeur de l'opération 2 3 (\style d'affichage 2^(3))= 8 sous 10. Tracez une ligne et soustrayez 8 de 10 (comme pour une division longue régulière). Le résultat est 2 (c'est le premier reste).
   • Ainsi, vous avez trouvé le premier chiffre de la réponse. Déterminez si le résultat donné est suffisamment précis. Dans la plupart des cas, ce sera une réponse très approximative. Cubez le résultat pour savoir à quel point il est proche du nombre d'origine. Dans notre exemple : 2 3 (\style d'affichage 2^(3))= 8, ce qui n'est pas très proche de 10, il faut donc poursuivre les calculs.

3. Trouvez le chiffre suivant de la réponse. Ajoutez un deuxième groupe de trois chiffres au premier reste et tracez une ligne verticale à gauche du nombre obtenu. En utilisant le nombre obtenu, vous trouverez le deuxième chiffre de la réponse. Dans notre exemple, nous devons ajouter un deuxième groupe de trois chiffres (000) au premier reste (2) pour obtenir le nombre 2000.

   • À gauche de la ligne verticale, vous écrirez trois nombres dont la somme est égale à un certain premier facteur. Laissez des espaces vides pour ces nombres et placez des signes plus entre eux.

4. Trouvez le premier terme (sur trois). Dans le premier espace vide, écrivez le résultat de la multiplication du nombre 300 par le carré du premier chiffre de la réponse (il est écrit au-dessus du signe racine). Dans notre exemple, le premier chiffre de la réponse est 2, donc 300*(2^2) = 300*4 = 1 200. Écrivez 1 200 dans le premier espace vide. Le premier terme est le nombre 1200 (plus deux autres nombres à trouver).

   Trouvez le deuxième chiffre de la réponse. Découvrez par quel nombre vous devez multiplier 1200 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 2000. Ce nombre ne peut être que 1, puisque 2 * 1200 = 2400, ce qui est supérieur à 2000. Écrivez 1 (le deuxième chiffre de la réponse) après 2 et le point décimal au-dessus du signe racine.

   Trouvez les deuxième et troisième termes (sur trois). Le multiplicateur se compose de trois nombres (termes), dont vous avez déjà trouvé le premier (1200). Nous devons maintenant trouver les deux termes restants.

   • Multipliez 3 par 10 et par chaque chiffre de la réponse (ils sont écrits au dessus du signe racine). Dans notre exemple : 3*10*2*1 = 60. Ajoutez ce résultat à 1200 et obtenez 1260.
   • Enfin, mettez au carré le dernier chiffre de votre réponse. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 1, donc 1^2 = 1. Ainsi, le premier facteur est égal à la somme des nombres suivants : 1200 + 60 + 1 = 1261. Écrivez ce nombre à gauche de la barre verticale.

5. Multipliez et soustrayez. Multipliez le dernier chiffre de la réponse (dans notre exemple c'est 1) par le facteur trouvé (1261) : 1*1261 = 1261. Écrivez ce nombre sous 2000 et soustrayez-le de 2000. Vous obtiendrez 739 (c'est le deuxième reste ).

6. Déterminez si la réponse que vous recevez est suffisamment précise. Faites cela chaque fois que vous effectuez une autre soustraction. Après la première soustraction, la réponse était 2, ce qui n’est pas un résultat précis. Après la deuxième soustraction, la réponse est 2,1.

   • Pour vérifier l'exactitude de votre réponse, divisez-la : 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Si vous pensez que la réponse est suffisamment précise, vous n’êtes pas obligé de poursuivre les calculs ; sinon, faites une autre soustraction.

7. Trouvez le deuxième facteur. Pour pratiquer vos calculs et obtenir un résultat plus précis, répétez les étapes ci-dessus.

   • Au deuxième reste (739), ajoutez le troisième groupe de trois chiffres (000). Vous obtiendrez le numéro 739000.
   • Multipliez 300 par le carré du nombre inscrit au dessus du signe racine (21) : 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Trouvez le troisième chiffre de la réponse. Découvrez par quel nombre vous devez multiplier 132300 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 739000. Ce nombre est 5 : 5 * 132200 = 661500. Écrivez 5 (le troisième chiffre de la réponse) après le 1 au-dessus du signe racine.
   • Multipliez 3 par 10 par 21 et par le dernier chiffre de la réponse (ils sont écrits au-dessus du signe racine). Dans notre exemple : 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Enfin, mettez au carré le dernier chiffre de votre réponse. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 5, donc 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Ainsi, le deuxième multiplicateur est : 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Multipliez le dernier chiffre de la réponse par le deuxième facteur. Une fois que vous avez trouvé le deuxième facteur et le troisième chiffre de la réponse, procédez comme suit :

   • Multipliez le dernier chiffre de la réponse par le facteur trouvé : 135475*5 = 677375.
   • Soustraire : 739000-677375 = 61625.
   • Déterminez si la réponse que vous recevez est suffisamment précise. Pour ce faire, cubez-le : 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Écrivez votre réponse. Le résultat, écrit au-dessus du signe racine, est la réponse précise à deux décimales près. Dans notre exemple, la racine cubique de 10 est 2,15. Vérifiez votre réponse en la coupant au cube : 2,15^3 = 9,94, soit environ 10. Si vous avez besoin de plus de précision, poursuivez le calcul (comme décrit ci-dessus).

   Partie 2

   Extraire la racine cubique à l'aide de la méthode d'estimation

   1. Utilisez des cubes numériques pour déterminer les limites supérieure et inférieure. Si vous devez prendre la racine cubique de presque n’importe quel nombre, trouvez les cubes (de certains nombres) proches du nombre donné.

      • Par exemple, vous devez prendre la racine cubique de 600. Puisque 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Et 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), alors la valeur de la racine cubique de 600 se situe entre 8 et 9. Par conséquent, utilisez les nombres 512 et 729 comme limites supérieure et inférieure de la réponse.

   2. Estimez le deuxième nombre. Vous avez trouvé le premier nombre grâce à votre connaissance des cubes d'entiers. Transformez maintenant l'entier en fraction décimale en y ajoutant (après la virgule) un certain nombre de 0 à 9. Vous devez trouver une fraction décimale dont le cube est proche, mais inférieur, au nombre d'origine.

      • Dans notre exemple, le nombre 600 se situe entre les nombres 512 et 729. Par exemple, ajoutez le chiffre 5 au premier chiffre trouvé (8). Le nombre obtenu est 8,5.
   3. • Dans notre exemple : 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre obtenu est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'estimer le nombre le plus petit. Si le cube du nombre obtenu est beaucoup plus petit que le nombre d'origine, évaluez les nombres plus grands jusqu'à ce que le cube de l'un d'eux dépasse le nombre d'origine.

      • Dans notre exemple : 8 , 5 3 (\style d'affichage 8,5^(3))> 600. Évaluez donc le plus petit nombre à 8,4. Cubez ce nombre et comparez-le avec le nombre d'origine : 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7). Ce résultat est inférieur au nombre d'origine. Ainsi, la valeur de la racine cubique de 600 se situe entre 8,4 et 8,5.

   5. Estimez le nombre suivant pour améliorer la précision de votre réponse. Pour chaque nombre que vous avez estimé en dernier, ajoutez un nombre de 0 à 9 jusqu'à obtenir la réponse exacte. À chaque cycle d’évaluation, vous devez trouver les limites supérieure et inférieure entre lesquelles se situe le nombre d’origine.

      • Dans notre exemple : 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7) Et 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). Le nombre d'origine 600 est plus proche de 592 que de 614. Par conséquent, au dernier nombre que vous avez estimé, attribuez un chiffre plus proche de 0 que de 9. Par exemple, un tel nombre est 4. Par conséquent, cubez le nombre 8,44.

   6. Si nécessaire, estimez un nombre différent. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre obtenu est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'estimer le nombre le plus petit. En bref, vous devez trouver deux nombres dont les cubes sont légèrement plus grands et légèrement plus petits que le nombre d'origine.

      • Dans notre exemple 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). C'est légèrement plus grand que le nombre d'origine, alors estimez un autre nombre (plus petit), tel que 8,43 : 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07). Ainsi, la valeur de la racine cubique de 600 se situe entre 8,43 et 8,44.

   7. Suivez le processus décrit jusqu'à ce que vous obteniez une réponse qui vous convient. Estimez le nombre suivant, comparez-le avec l'original, puis, si nécessaire, estimez un autre nombre, et ainsi de suite. Veuillez noter que chaque chiffre supplémentaire après la virgule décimale augmente la précision de la réponse.

      • Dans notre exemple, le cube de 8,43 est inférieur de 1 au nombre d'origine. Si vous avez besoin de plus de précision, obtenez le cube 8,434 : 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), c'est-à-dire que le résultat est inférieur de 0,1 au nombre d'origine.