Comprenons ce qu'est la réduction de fractions, pourquoi et comment réduire des fractions, nous donnerons la règle de réduction des fractions et des exemples de son utilisation.

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Qu'est-ce que "réduire des fractions"

Réduire une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un facteur commun positif et différent de un.

À la suite de cette action, une fraction avec un nouveau numérateur et un nouveau dénominateur sera obtenue, égale à la fraction d'origine.

Par exemple, prenons la fraction commune 6 24 et réduisons-la. Divisez le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donne 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Dans cet exemple, nous avons réduit la fraction originale de 2.

Réduire des fractions à une forme irréductible

Dans l’exemple précédent, nous avons réduit la fraction 6 24 par 2, ce qui donne la fraction 3 12. Il est facile de voir que cette fraction peut être encore réduite. Généralement, le but de la réduction de fractions est d’aboutir à une fraction irréductible. Comment réduire une fraction à sa forme irréductible ?

Cela peut être fait en réduisant le numérateur et le dénominateur de leur plus grand facteur commun (PGCD). Alors, par la propriété du plus grand diviseur commun, le numérateur et le dénominateur auront des nombres premiers entre eux et la fraction sera irréductible.

une b = une ÷ N O D (une , b) b ÷ N O D (une , b)

Réduire une fraction à une forme irréductible

Pour réduire une fraction à une forme irréductible, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par leur pgcd.

Revenons à la fraction 6 24 du premier exemple et ramenons-la à sa forme irréductible. Le plus grand diviseur commun des nombres 6 et 24 est 6. Réduisons la fraction :

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

La réduction de fractions est pratique à utiliser pour ne pas travailler avec de grands nombres. En général, il existe une règle tacite en mathématiques : si vous pouvez simplifier une expression, alors vous devez le faire. Réduire une fraction signifie le plus souvent la réduire à une forme irréductible, et non simplement la réduire par le diviseur commun du numérateur et du dénominateur.

Règle de réduction des fractions

Pour réduire des fractions, rappelez-vous simplement la règle qui comprend deux étapes.

Règle de réduction des fractions

Pour réduire une fraction, il vous faut :

1. Trouvez le pgcd du numérateur et du dénominateur.
2. Divisez le numérateur et le dénominateur par leur pgcd.

Regardons des exemples pratiques.

Exemple 1. Réduisons la fraction.

Étant donné la fraction 182 195. Raccourcissons-le.

Trouvons le pgcd du numérateur et du dénominateur. Pour faire cela dans dans ce cas Il est plus pratique d’utiliser l’algorithme euclidien.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Divisez le numérateur et le dénominateur par 13. On obtient :

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Prêt. Nous avons obtenu une fraction irréductible égale à la fraction originale.

Sinon, comment pouvez-vous réduire des fractions ? Dans certains cas, il est pratique de factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis de supprimer tous les facteurs communs des parties supérieure et inférieure de la fraction.

Exemple 2. Réduire la fraction

Étant donné la fraction 360 2940. Raccourcissons-le.

Pour ce faire, imaginez la fraction originale sous la forme :

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Débarrassons-nous des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ce qui donne :

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Enfin, regardons une autre façon de réduire les fractions. C'est ce qu'on appelle la réduction séquentielle. En utilisant cette méthode, la réduction est effectuée en plusieurs étapes, dans chacune desquelles la fraction est réduite par un facteur commun évident.

Exemple 3. Réduire la fraction

Réduisons la fraction 2000 4400.

Il apparaît immédiatement que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun de 100. On réduit la fraction de 100 et on obtient :

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

On réduit à nouveau le résultat obtenu de 2 et on obtient une fraction irréductible :

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

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Pour comprendre comment réduire des fractions, regardons d’abord un exemple.

Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par la même chose. 360 et 420 se terminent par un chiffre, nous pouvons donc réduire cette fraction de 2. Dans la nouvelle fraction, 180 et 210 sont également divisibles par 2, nous réduisons donc cette fraction de 2. Dans les nombres 90 et 105, la somme des chiffres est divisible par 3, donc ces deux nombres sont divisibles par 3, on réduit la fraction par 3. Dans la nouvelle fraction, 30 et 35 se terminent par 0 et 5, ce qui signifie que les deux nombres sont divisibles par 5, donc on réduit la fraction par 5. La fraction résultante de six septièmes est irréductible. C'est la réponse finale.

Nous pouvons arriver à la même réponse d’une manière différente.

360 et 420 se terminent par zéro, ce qui signifie qu'ils sont divisibles par 10. Nous réduisons la fraction de 10. Dans la nouvelle fraction, le numérateur 36 et le dénominateur 42 sont divisés par 2. Nous réduisons la fraction de 2. Dans la fraction suivante, le numérateur 18 et le dénominateur 21 sont divisés par 3, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 3. Nous sommes arrivés au résultat - six septièmes.

Et encore une solution.

La prochaine fois, nous examinerons des exemples de fractions réductrices.

La calculatrice en ligne fonctionne réduction fractions algébriques conformément à la règle des fractions réductrices : remplacer la fraction d'origine par une fraction égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits, c'est-à-dire Diviser simultanément le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand facteur commun (PGCD). La calculatrice affiche également une solution détaillée qui vous aidera à comprendre la séquence de réduction.

Donné:

Solution:

Effectuer une réduction de fraction

vérifier la possibilité d'effectuer une réduction de fraction algébrique

1) Détermination du plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction

déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique

2) Réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction

réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique

3) Sélection de la partie entière d'une fraction

séparer la partie entière d'une fraction algébrique

4) Conversion d'une fraction algébrique en fraction décimale

convertir une fraction algébrique en décimal

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I. Procédure de réduction d'une fraction algébrique à l'aide d'une calculatrice en ligne :

1. Pour réduire une fraction algébrique, saisissez les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction dans les champs appropriés. Si la fraction est mixte, remplissez également le champ correspondant à la partie entière de la fraction. Si la fraction est simple, laissez le champ de la partie entière vide.
2. Pour spécifier une fraction négative, placez un signe moins sur toute la partie de la fraction.
3. En fonction de la fraction algébrique spécifiée, la séquence d'actions suivante est automatiquement effectuée :

• déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction;
• réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction par pgcd;
• mettre en évidence la partie entière d'une fraction, si le numérateur de la fraction finale est supérieur au dénominateur.
• convertir la fraction algébrique finale en fraction décimale arrondi au centième le plus proche.

II. Pour référence :

Une fraction est un nombre composé d'une ou plusieurs parties (fractions) d'une unité. Fraction commune(fraction simple) s'écrit sous la forme de deux nombres (le numérateur de la fraction et le dénominateur de la fraction) séparés par une barre horizontale (la barre de fraction) indiquant le signe de division. Le numérateur d'une fraction est le nombre situé au-dessus de la ligne de fraction. Le numérateur indique combien de parts ont été prélevées sur l'ensemble. Le dénominateur d'une fraction est le nombre situé sous la ligne de fraction. Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout est divisé. Une fraction simple est une fraction qui ne comporte pas de partie entière. Une fraction simple peut être propre ou impropre. fraction propre - une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur, donc une fraction propre est toujours inférieure à un. Exemple de fractions propres : 8/7, 11/19, 16/17.

Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, donc une fraction impropre est toujours supérieure ou égale à un. Exemple de fractions impropres : 7/6, 8/7, 13/13.

1. une fraction mixte est un nombre qui contient un nombre entier et une fraction propre, et désigne la somme de ce nombre entier et de la fraction propre. Toute fraction mixte peut être convertie en fraction impropre fraction simple , . Exemple, fractions mélangées.
2. : 1¼, 2½, 4¾. III. Note: Bloc de données source mis en surbrillance

De nombreux élèves font les mêmes erreurs lorsqu’ils travaillent avec des fractions. Et tout ça parce qu'ils oublient les règles de base arithmétique. Aujourd'hui, nous répéterons ces règles sur tâches spécifiques que je donne dans mes cours.

Voici la tâche que je propose à tous ceux qui se préparent à l'examen d'État unifié de mathématiques :

Tâche. Un marsouin mange 150 grammes de nourriture par jour. Mais elle a grandi et a commencé à manger 20 % de plus. Combien de grammes de nourriture le porc mange-t-il actuellement ?

Pas la bonne décision. Il s’agit d’un problème de pourcentage qui se résume à l’équation :

Beaucoup (très nombreux) réduisent le nombre 100 au numérateur et au dénominateur d'une fraction :

C’est l’erreur que mon élève a commise le jour même de la rédaction de cet article. Les nombres tronqués sont marqués en rouge.

Inutile de dire que la réponse était fausse. Jugez par vous-même : le cochon a mangé 150 grammes, mais a commencé à en manger 3150 grammes. L'augmentation n'est pas de 20 %, mais de 21 fois, soit de 2000%.

Pour éviter de tels malentendus, rappelez-vous la règle de base :

Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Vous ne pouvez pas réduire les délais !

Ainsi, la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Les nombres abrégés au numérateur et au dénominateur sont marqués en rouge. Comme vous pouvez le voir, le numérateur est le produit, le dénominateur est numéro ordinaire. La réduction est donc tout à fait légale.

Travailler avec les proportions

Encore une chose zone problématique — proportions. Surtout quand la variable est des deux côtés. Par exemple:

Tâche. Résolvez l'équation :

Mauvaise solution - certaines personnes ont littéralement envie de tout raccourcir de m :

Les variables réduites sont affichées en rouge. L'expression 1/4 = 1/5 s'avère être un non-sens total, ces nombres ne sont jamais égaux.

Et maintenant, la bonne décision. En gros c'est ordinaire équation linéaire . Il peut être résolu soit en déplaçant tous les éléments d’un côté, soit par la propriété fondamentale de proportion :

De nombreux lecteurs objecteront : « Où est l’erreur dans la première solution ? Eh bien, découvrons-le. Rappelons la règle pour travailler avec des équations :

N'importe quelle équation peut être divisée et multipliée par n'importe quel nombre, non nul.

Vous avez raté l'astuce ? Vous ne pouvez diviser que par des nombres non nul. En particulier, vous ne pouvez diviser par une variable m que si m != 0. Mais et si, après tout, m = 0 ? Remplaçons et vérifions :

Nous avons reçu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire m = 0 est la racine de l'équation. Pour le m != 0 restant, nous obtenons une expression de la forme 1/4 = 1/5, ce qui est naturellement incorrect. Il n’y a donc pas de racines non nulles.

Conclusions : tout mettre ensemble

Alors pour résoudre équations rationnelles fractionnaires rappelez-vous trois règles :

1. Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les ajouts ne sont pas possibles. Apprenez donc à factoriser le numérateur et le dénominateur ;
2. La propriété principale de la proportion : le produit des éléments extrêmes est égal au produit des éléments moyens ;
3. Les équations ne peuvent être multipliées et divisées que par des nombres k différents de zéro. Le cas k = 0 doit être vérifié séparément.

N'oubliez pas ces règles et ne faites pas d'erreurs.