Comment additionner des fractions avec une règle de dénominateurs différents. Divisez un entier par un entier. Fractions ordinaires. Division avec reste

Votre enfant a apporté devoirs de l'école et tu ne sais pas comment le résoudre ? Alors cette mini-leçon est faite pour vous !

Comment ajouter des décimales

Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour effectuer une addition décimales, vous devez respecter une règle simple :

• Le lieu doit être sous le lieu, la virgule sous la virgule.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont situées les unes sous les autres, les chiffres des dixièmes et des centièmes sont situés les uns sous les autres. Maintenant, nous additionnons les nombres en ignorant la virgule. Que faire de la virgule ? La virgule est déplacée à l'endroit où elle se trouvait dans la catégorie des nombres entiers.

Additionner des fractions avec des dénominateurs égaux

Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction qui sera la somme totale.

Addition de fractions avec différents dénominateurs en utilisant la méthode multiple commune

La première chose à laquelle vous devez faire attention, ce sont les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, que l'un soit divisible par l'autre ou qu'il s'agisse de nombres premiers. Vous devez d’abord le ramener à un dénominateur commun. Il existe plusieurs façons de procéder :

• 1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b – LCM (a;b). DANS dans cet exemple LCM (3 ; 4) = 12. On vérifie : 12:3=4 ; 12:4=3.
• Nous multiplions les facteurs et additionnons les nombres résultants, nous obtenons 13/12 - une fraction impropre.

• Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, divisez le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.

Addition de fractions à l'aide de la méthode de multiplication croisée

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il existe une autre méthode utilisant la formule « cross to cross ». C'est un moyen garanti d'égaliser les dénominateurs ; pour ce faire, vous devez multiplier les numérateurs par le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si tu es juste là étape initiale en étudiant les fractions, cette méthode est le moyen le plus simple et le plus précis d'obtenir le résultat correct lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Au Ve siècle avant JC philosophe grec ancien Zénon d'Élée a formulé ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question. ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce que je veux souligner attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a différentes quantités la saleté, la structure cristalline et la disposition atomique de chaque pièce sont uniques...

Et maintenant j'ai le plus question intéressante: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamans, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qu'est-ce qui est correct ? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les chiffres sont symboles graphiques, à l'aide duquel nous écrivons des nombres et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : "Trouver la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre." Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait ? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Découpez une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue l'action.

Il ouvre la porte et dit :

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme ! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : signe moins, chiffre quatre, désignation du degré). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

Faites attention! Avant d’écrire votre réponse finale, voyez si vous pouvez raccourcir la fraction que vous avez reçue.

Soustraire des fractions de même dénominateur, exemples :

,

,

Soustraire une fraction propre d'une.

S'il est nécessaire de soustraire une fraction d'une unité propre, l'unité est convertie sous la forme d'une fraction impropre, son dénominateur est égal au dénominateur de la fraction soustraite.

Un exemple de soustraction d'une fraction propre à une :

Dénominateur de la fraction à soustraire = 7 , c'est-à-dire que nous en représentons une comme une fraction impropre 7/7 et la soustrayons selon la règle de soustraction de fractions de dénominateurs similaires.

Soustraire une fraction propre d'un nombre entier.

Règles pour soustraire des fractions - corriger à partir d'un nombre entier (entier naturel):

• Nous convertissons les fractions données contenant une partie entière en fractions impropres. Nous obtenons des termes normaux (peu importe s'ils ont des dénominateurs différents), que nous calculons selon les règles données ci-dessus ;
• Ensuite, nous calculons la différence entre les fractions que nous avons reçues. En conséquence, nous trouverons presque la réponse ;
• Nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire que nous nous débarrassons de la fraction impropre - nous sélectionnons la partie entière de la fraction.

Soustrayez une fraction propre d'un nombre entier : représentez l'entier naturel comme un nombre fractionnaire. Ceux. Nous prenons une unité dans un nombre naturel et la convertissons sous la forme d’une fraction impropre, le dénominateur étant le même que celui de la fraction soustraite.

Exemple de soustraction de fractions :

Dans l'exemple, nous avons remplacé un par la fraction impropre 7/7 et au lieu de 3 nous avons écrit nombre mixte et une fraction a été soustraite de la partie fractionnaire.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

Ou, pour le dire autrement, soustraire différentes fractions.

Règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents. Afin de soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord réduire ces fractions au plus petit dénominateur commun (LCD), et seulement après cela, effectuer la soustraction comme pour les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Le dénominateur commun de plusieurs fractions est LCM (plus petit commun multiple) nombres naturels, qui sont les dénominateurs de ces fractions.

Attention! Si dans fraction finale le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, alors la fraction doit être réduite. Une fraction impropre est mieux représentée comme une fraction mixte. Laisser le résultat de la soustraction sans réduire la fraction lorsque cela est possible est une solution incomplète à l'exemple !

Procédure pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

• trouver le LCM pour tous les dénominateurs ;
• mettre des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ;
• multiplier tous les numérateurs par un facteur supplémentaire ;
• Nous écrivons les produits résultants au numérateur, en signant le dénominateur commun sous toutes les fractions ;
• soustraire les numérateurs des fractions en signant le dénominateur commun sous la différence.

De la même manière, l'addition et la soustraction de fractions sont effectuées s'il y a des lettres au numérateur.

Soustraire des fractions, exemples :

Soustraire des fractions mixtes.

À soustraction fractions mélangées(Nombres) séparément, la partie entière est soustraite de la partie entière et la partie fractionnaire est soustraite de la partie fractionnaire.

La première option pour soustraire des fractions mixtes.

Si les parties fractionnaires identique dénominateurs et numérateur de la partie fractionnaire du minuend (on le soustrait) ≥ numérateur de la partie fractionnaire du soustrahend (on le soustrait).

Par exemple:

La deuxième option pour soustraire des fractions mixtes.

Lorsque les parties fractionnaires différent dénominateurs. Pour commencer, nous ramenons les parties fractionnaires à un dénominateur commun, puis nous soustrayons la partie entière de la partie entière et la partie fractionnaire de la partie fractionnaire.

Par exemple:

La troisième option pour soustraire des fractions mixtes.

La partie fractionnaire du minuend est inférieure à la partie fractionnaire du sous-trahend.

Exemple:

Parce que Les parties fractionnaires ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que, comme dans la deuxième option, nous ramenons d'abord les fractions ordinaires à un dénominateur commun.

Le numérateur de la partie fractionnaire du minuend est inférieur au numérateur de la partie fractionnaire du sous-trahend.3 < 14. Cela signifie que nous prenons une unité de la partie entière et réduisons cette unité à la forme d'une fraction impropre avec même dénominateur et numérateur = 18.

Au numérateur du côté droit, nous écrivons la somme des numérateurs, puis nous ouvrons les parenthèses dans le numérateur du côté droit, c'est-à-dire que nous multiplions tout et donnons des valeurs similaires. On n'ouvre pas les parenthèses au dénominateur. Il est d'usage de laisser le produit dans les dénominateurs. On obtient :

Les mathématiques sont l’une des sciences les plus importantes, dont les applications peuvent être constatées dans des disciplines telles que la chimie, la physique et même la biologie. L'étude de cette science permet de développer certaines qualités mentales et d'améliorer sa capacité de concentration. L'un des sujets qui méritent une attention particulière dans le cours de mathématiques est l'addition et la soustraction de fractions. De nombreux étudiants ont du mal à étudier. Peut-être que notre article vous aidera à mieux comprendre ce sujet. Comment soustraire des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes Les fractions sont les mêmes nombres avec lesquels vous pouvez produire diverses actions. Leur différence avec les nombres entiers réside dans la présence d'un dénominateur. C'est pourquoi, lorsque vous effectuez des opérations avec des fractions, vous devez étudier certaines de leurs caractéristiques et règles. Le cas le plus simple est la soustraction de fractions ordinaires dont les dénominateurs sont représentés par le même nombre. Réaliser cette action ne sera pas difficile si vous connaissez une règle simple : Afin de soustraire une seconde à une fraction, il est nécessaire de soustraire le numérateur de la fraction soustraite du numérateur de la fraction à réduire. Nous écrivons ce nombre au numérateur de la différence et laissons le même dénominateur : k/m - b/m = (k-b)/m. Exemples de soustraction de fractions dont les dénominateurs sont les mêmes 7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19. Du numérateur de la fraction « 7 » on soustrait le numérateur de la fraction « 3 » à soustraire, on obtient « 4 ». Nous écrivons ce nombre au numérateur de la réponse et au dénominateur nous mettons le même nombre qui était dans les dénominateurs des première et deuxième fractions - "19". L'image ci-dessous montre plusieurs autres exemples similaires. Considérons un exemple plus complexe où des fractions avec des dénominateurs similaires sont soustraites : 29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47. Du numérateur de la fraction "29" étant réduit en soustrayant tour à tour les numérateurs de toutes les fractions suivantes - "3", "8", "2", "7". En conséquence, nous obtenons le résultat "9", que nous notons au numérateur de la réponse, et au dénominateur nous notons le nombre qui est au dénominateur de toutes ces fractions - "47". Additionner des fractions qui ont le même dénominateur L'addition et la soustraction de fractions ordinaires suivent le même principe. Afin d'additionner des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes, vous devez additionner les numérateurs. Le nombre résultant est le numérateur de la somme, et le dénominateur restera le même : k/m + b/m = (k + b)/m. Voyons à quoi cela ressemble à l'aide d'un exemple : 1/4 + 2/4 = 3/4. Au numérateur du premier terme de la fraction - "1" - ajoutez le numérateur du deuxième terme de la fraction - "2". Le résultat - "3" - est écrit au numérateur de la somme, et le dénominateur reste le même que celui présent dans les fractions - "4". Fractions avec différents dénominateurs et leur soustraction Nous avons déjà considéré l'opération avec des fractions ayant le même dénominateur. Comme nous le voyons, sachant règles simples, résoudre de tels exemples est assez simple. Mais que se passe-t-il si vous devez effectuer une opération avec des fractions qui ont des dénominateurs différents ? De nombreux élèves du secondaire sont déconcertés par de tels exemples. Mais même ici, si vous connaissez le principe de la solution, les exemples ne vous seront plus difficiles. Il existe également ici une règle sans laquelle la résolution de telles fractions est tout simplement impossible. Pour soustraire des fractions de différents dénominateurs, il faut les réduire au même plus petit dénominateur. Nous parlerons plus en détail de la façon de procéder. Propriété d'une fraction Afin de ramener plusieurs fractions au même dénominateur, vous devez utiliser la propriété principale d'une fraction dans la solution : après avoir divisé ou multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous obtenez une fraction égale à celle donnée. Ainsi, par exemple, la fraction 2/3 peut avoir des dénominateurs tels que « 6 », « 9 », « 12 », etc., c'est-à-dire qu'elle peut avoir la forme de n'importe quel nombre multiple de « 3 ». Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par « 2 », nous obtenons la fraction 4/6. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par « 3 », nous obtenons 6/9, et si nous effectuons une opération similaire avec le nombre « 4 », nous obtenons 8/12. Une égalité peut s'écrire comme suit : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12… Comment convertir plusieurs fractions au même dénominateur Voyons comment réduire plusieurs fractions au même dénominateur. Par exemple, prenons les fractions présentées dans l'image ci-dessous. Vous devez d’abord déterminer quel nombre peut devenir le dénominateur pour chacun d’eux. Pour faciliter les choses, factorisons les dénominateurs existants. Le dénominateur de la fraction 1/2 et de la fraction 2/3 ne peut pas être factorisé. Le dénominateur 7/9 a deux facteurs 7/9 = 7/(3 x 3), le dénominateur de la fraction 5/6 = 5/(2 x 3). Nous devons maintenant déterminer quels facteurs seront les plus petits pour ces quatre fractions. Puisque la première fraction a le chiffre « 2 » au dénominateur, cela signifie qu'elle doit être présente dans tous les dénominateurs ; dans la fraction 7/9, il y a deux triplets, ce qui signifie que les deux doivent également être présents au dénominateur. Compte tenu de ce qui précède, nous déterminons que le dénominateur est composé de trois facteurs : 3, 2, 3 et est égal à 3 x 2 x 3 = 18. Considérons la première fraction - 1/2. Il y a un « 2 » dans son dénominateur, mais il n'y a pas un seul chiffre « 3 », mais il devrait y en avoir deux. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur par deux triplets, mais, selon la propriété d'une fraction, il faut multiplier le numérateur par deux triplets : 1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18. Nous effectuons les mêmes opérations avec les fractions restantes. 2/3 - il manque un trois et un deux au dénominateur : 2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. 7/9 ou 7/(3 x 3) - il manque un deux au dénominateur : 7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. 5/6 ou 5/(2 x 3) - il manque un trois au dénominateur : 5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. Dans l'ensemble, cela ressemble à ceci : Comment soustraire et additionner des fractions qui ont des dénominateurs différents Comme mentionné ci-dessus, pour additionner ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur, puis utiliser les règles de soustraction de fractions ayant le même dénominateur, qui ont déjà été évoquées. Regardons ceci à titre d'exemple : 4/18 - 3/15. Trouver le multiple des nombres 18 et 15 : Le nombre 18 est composé de 3 x 2 x 3. Le nombre 15 est composé de 5 x 3. Le commun multiple sera les facteurs suivants : 5 x 3 x 3 x 2 = 90. Une fois le dénominateur trouvé, il est nécessaire de calculer le facteur qui sera différent pour chaque fraction, c'est-à-dire le nombre par lequel non seulement le dénominateur, mais aussi le numérateur devront être multipliés. Pour ce faire, nous divisons le nombre que nous avons trouvé (le commun multiple) par le dénominateur de la fraction pour laquelle nous devons déterminer des facteurs supplémentaires. 90 divisé par 15. Le nombre résultant « 6 » sera un multiplicateur de 3/15. 90 divisé par 18. Le nombre résultant « 5 » sera un multiplicateur de 4/18. La prochaine étape de notre solution consiste à réduire chaque fraction au dénominateur « 90 ». Nous avons déjà parlé de la façon dont cela se fait. Voyons comment cela s'écrit dans un exemple : (4x5)/(18x5) - (3x6)/(15x6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45. Si les fractions ont de petits nombres, vous pouvez alors déterminer le dénominateur commun, comme dans l'exemple présenté dans l'image ci-dessous. Il en va de même pour ceux qui ont des dénominateurs différents. Soustraction et avoir des parties entières Nous avons déjà discuté en détail de la soustraction de fractions et de leur addition. Mais comment soustraire si la fraction a partie entière? Encore une fois, utilisons quelques règles : Convertissez toutes les fractions qui ont une partie entière en fractions impropres. Parlant en mots simples, retirez toute la pièce. Pour ce faire, multipliez le nombre de la partie entière par le dénominateur de la fraction et ajoutez le produit obtenu au numérateur. Le nombre qui sort après ces actions est le numérateur de la fraction impropre. Le dénominateur reste inchangé. Si les fractions ont des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même dénominateur. Effectuez une addition ou une soustraction avec les mêmes dénominateurs. Lorsque vous recevez une fraction impropre, sélectionnez la partie entière. Il existe une autre manière d’ajouter et de soustraire des fractions avec des parties entières. Pour ce faire, les actions sont effectuées séparément avec des parties entières et les actions avec des fractions séparément, et les résultats sont enregistrés ensemble. L'exemple donné est constitué de fractions qui ont le même dénominateur. Dans le cas où les dénominateurs sont différents, ils doivent être ramenés à la même valeur, puis effectuer les actions comme indiqué dans l'exemple. Soustraire des fractions de nombres entiers Un autre type d'action avec des fractions est le cas où la fraction doit être soustraite de À première vue exemple similaire semble difficile à résoudre. Cependant, tout est assez simple ici. Pour le résoudre, vous devez convertir l'entier en fraction, et avec le même dénominateur que celui de la fraction soustraite. Ensuite, nous effectuons une soustraction similaire à la soustraction avec des dénominateurs identiques. Dans un exemple, cela ressemble à ceci : 7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9. La soustraction de fractions (6e année) présentée dans cet article constitue la base pour résoudre des exemples plus complexes qui seront abordés dans les années suivantes. La connaissance de ce sujet est ensuite utilisée pour résoudre des fonctions, des dérivées, etc. Par conséquent, il est très important de comprendre et de comprendre les opérations avec les fractions évoquées ci-dessus. Actions avec des fractions. Attention! Il y a des supplémentaires matériaux dans la section spéciale 555. Pour ceux qui sont très "pas très..." Et pour ceux qui « beaucoup… ») Alors, que sont les fractions, les types de fractions, les transformations - nous nous en sommes souvenus. Venons-en au problème principal. Que peut-on faire avec les fractions ? Oui, tout est comme avec les nombres ordinaires. Additionner, soustraire, multiplier, diviser. Toutes ces actions avec décimal travailler avec des fractions n'est pas différent de travailler avec des nombres entiers. En fait, c’est ce qui est bien avec eux, les décimaux. La seule chose est que vous devez mettre la virgule correctement. Numéros mixtes, comme je l'ai déjà dit, sont de peu d'utilité pour la plupart des actions. Ils doivent encore être convertis en fractions ordinaires. Mais les actions avec fractions ordinaires ils seront plus rusés. Et bien plus important ! Laissez-moi vous rappeler : toutes les actions avec des expressions fractionnaires avec des lettres, des sinus, des inconnues, etc., etc. ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires! Les opérations avec des fractions ordinaires sont la base de toute algèbre. C’est pour cette raison que nous analyserons ici en détail toute cette arithmétique. Additionner et soustraire des fractions. Tout le monde peut additionner (soustraire) des fractions avec les mêmes dénominateurs (j'espère vraiment !). Eh bien, permettez-moi de rappeler à ceux qui oublient complètement : lors de l'addition (soustraction), le dénominateur ne change pas. Les numérateurs sont ajoutés (soustraits) pour donner le numérateur du résultat. Taper: Bref, dans vue générale: Et si les dénominateurs sont différents ? Ensuite, en utilisant la propriété de base d’une fraction (là encore, c’est pratique !), nous rendons les dénominateurs identiques ! Par exemple: Ici, nous avons dû faire la fraction 4/10 à partir de la fraction 2/5. Dans le seul but de rendre les dénominateurs identiques. Permettez-moi de noter, juste au cas où, que 2/5 et 4/10 sont la même fraction! Seulement 2/5 sont inconfortables pour nous, et 4/10 sont vraiment bien. Soit dit en passant, c’est l’essence même de la résolution de tout problème mathématique. Quand nous venons de inconfortable nous faisons des expressions la même chose, mais plus pratique pour résoudre. Autre exemple : La situation est similaire. Ici on fait 48 à partir de 16. Par simple multiplication par 3. Tout est clair. Mais nous sommes tombés sur quelque chose comme : Comment être ?! C'est difficile de faire un neuf sur sept ! Mais nous sommes intelligents, nous connaissons les règles ! Transformons-nous chaque fraction pour que les dénominateurs soient les mêmes. C'est ce qu'on appelle "menons à dénominateur commun»: Ouah! Comment ai-je su pour 63 ? Très simple ! 63 est un nombre divisible par 7 et 9 à la fois. Un tel nombre peut toujours être obtenu en multipliant les dénominateurs. Si l’on multiplie un nombre par 7 par exemple, alors le résultat sera certainement divisible par 7 ! Si vous devez additionner (soustraire) plusieurs fractions, il n’est pas nécessaire de le faire par paires, étape par étape. Il suffit de trouver le dénominateur commun à toutes les fractions et de réduire chaque fraction à ce même dénominateur. Par exemple: Et quel sera le dénominateur commun ? Vous pouvez bien sûr multiplier 2, 4, 8 et 16. Nous obtenons 1024. Cauchemar. Il est plus facile d’estimer que le nombre 16 est parfaitement divisible par 2, 4 et 8. Par conséquent, à partir de ces nombres, il est facile d’obtenir 16. Ce nombre sera le dénominateur commun. Transformons 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, et ainsi de suite. D'ailleurs, si vous prenez 1024 comme dénominateur commun, tout s'arrangera, à la fin tout sera réduit. Mais tout le monde n’y parviendra pas, à cause des calculs… Complétez l'exemple vous-même. Pas une sorte de logarithme... Cela devrait être 29/16. Alors, l'addition (soustraction) de fractions est claire, j'espère ? Bien entendu, il est plus simple de travailler dans une version raccourcie, avec des multiplicateurs supplémentaires. Mais ce plaisir est accessible à ceux qui ont travaillé honnêtement classes juniors...Et je n'ai rien oublié. Et maintenant nous allons faire les mêmes actions, mais pas avec des fractions, mais avec expressions fractionnaires. Un nouveau rake sera révélé ici, oui... Nous devons donc ajouter deux expressions fractionnaires : Nous devons rendre les dénominateurs identiques. Et seulement avec l'aide multiplication! C’est ce que dicte la propriété principale d’une fraction. Par conséquent, je ne peux pas ajouter un à X dans la première fraction du dénominateur. (ce serait bien !). Mais si vous multipliez les dénominateurs, vous voyez, tout grandit ensemble ! On note donc la ligne de la fraction, on laisse un espace vide en haut, puis on l'ajoute, et on écrit le produit des dénominateurs ci-dessous, pour ne pas oublier : Et bien sûr, on ne multiplie rien du côté droit, on n’ouvre pas les parenthèses ! Et maintenant, en regardant le dénominateur commun du côté droit, on se rend compte : pour obtenir le dénominateur x(x+1) dans la première fraction, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par (x+1) . Et dans la deuxième fraction - à x. Voici ce que vous obtenez : Faites attention! Voici les parenthèses ! C’est le râteau sur lequel beaucoup de gens marchent. Pas les parenthèses, bien sûr, mais leur absence. Les parenthèses apparaissent car on multiplie tous numérateur et tous dénominateur! Et pas leurs pièces individuelles... Au numérateur du côté droit on écrit la somme des numérateurs, tout est comme dans les fractions numériques, puis on ouvre les parenthèses au numérateur du côté droit, c'est-à-dire Nous multiplions tout et donnons des semblables. Il n’est pas nécessaire d’ouvrir les parenthèses dans les dénominateurs ni de multiplier quoi que ce soit ! En général, en dénominateurs (n'importe lesquels) le produit est toujours plus agréable ! On obtient : Nous avons donc eu la réponse. Le processus semble long et difficile, mais cela dépend de la pratique. Une fois que vous aurez résolu les exemples, habituez-vous, tout deviendra simple. Ceux qui ont maîtrisé les fractions en temps voulu font toutes ces opérations avec une seule main gauche, automatiquement ! Et encore une remarque. Beaucoup gèrent intelligemment les fractions, mais restent bloqués sur des exemples avec entier Nombres. Comme : 2 + 1/2 + 3/4= ? Où fixer le deux pièces ? Vous n'avez pas besoin de le fixer n'importe où, vous devez faire une fraction sur deux. Ce n'est pas facile, mais très simple ! 2=2/1. Comme ça. Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction. Le numérateur est le nombre lui-même, le dénominateur est un. 7 est 7/1, 3 est 3/1 et ainsi de suite. C'est la même chose avec les lettres. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Et puis nous travaillons avec ces fractions selon toutes les règles. Eh bien, les connaissances sur l’addition et la soustraction de fractions ont été rafraîchies. La conversion des fractions d'un type à un autre a été répétée. Vous pouvez également vous faire contrôler. On peut régler ça un peu ?) Calculer: Réponses (en désarroi) : 71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6 Multiplication/division de fractions - dans la prochaine leçon. Il existe également des tâches pour toutes les opérations avec des fractions. Si vous aimez ce site... Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.) Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !) Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

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