Dans les cours du collège et du lycée, les élèves ont abordé le thème « Fractions ». Cependant, ce concept est beaucoup plus large que ce qui est donné dans le processus d'apprentissage. Aujourd'hui, le concept de fraction est rencontré assez souvent et tout le monde ne peut pas calculer une expression, par exemple multiplier des fractions.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Historiquement, les nombres fractionnaires sont nés du besoin de mesurer. Comme le montre la pratique, il existe souvent des exemples de détermination de la longueur d'un segment et du volume d'un rectangle rectangulaire.

Dans un premier temps, les étudiants sont initiés à la notion de partage. Par exemple, si vous divisez une pastèque en 8 parties, chaque personne recevra un huitième de la pastèque. Cette partie de huit s’appelle une part.

Une part égale à la moitié d’une valeur quelconque est appelée moitié ; ⅓ - tiers ; ¼ - un quart. Les enregistrements de la forme 5/8, 4/5, 2/4 sont appelés fractions ordinaires. Une fraction commune est divisée en un numérateur et un dénominateur. Entre eux se trouve la barre de fraction, ou barre de fraction. La ligne fractionnaire peut être tracée sous forme de ligne horizontale ou oblique. DANS dans ce cas il représente le signe de division.

Le dénominateur représente le nombre de parties égales en lesquelles la quantité ou l'objet est divisé ; et le numérateur est le nombre d'actions identiques prises. Le numérateur est écrit au-dessus de la ligne de fraction, le dénominateur est écrit en dessous.

Il est plus pratique de représenter les fractions ordinaires sur un rayon de coordonnées. Si un segment unitaire est divisé en 4 parties égales, étiquetez chaque partie Lettre latine, le résultat peut alors être une excellente aide visuelle. Ainsi, le point A montre une part égale à 1/4 de l'ensemble du segment unitaire, et le point B marque 2/8 d'un segment donné.

Types de fractions

Les fractions peuvent être des nombres ordinaires, décimaux et mixtes. De plus, les fractions peuvent être divisées en fractions appropriées et impropres. Cette classification est plus adaptée aux fractions ordinaires.

Une fraction propre est un nombre dont le numérateur est inférieur au dénominateur. En conséquence, une fraction impropre est un nombre dont le numérateur est supérieur à son dénominateur. Le deuxième type est généralement écrit sous forme de nombre mixte. Cette expression est constituée d'un entier et d'une partie fractionnaire. Par exemple, 1½. 1 - partie entière, ½ - fractionnaire. Cependant, si vous devez effectuer quelques manipulations avec l'expression (diviser ou multiplier des fractions, les réduire ou les convertir), le nombre fractionnaire est converti en fraction impropre.

Une expression fractionnaire correcte est toujours inférieure à un et une expression incorrecte est toujours supérieure ou égale à 1.

Quant à cette expression, nous entendons un enregistrement dans lequel est représenté n'importe quel nombre, dont le dénominateur de l'expression fractionnaire peut être exprimé par un avec plusieurs zéros. Si la fraction est propre, alors la partie entière en notation décimale sera égale à zéro.

Pour écrire une fraction décimale, vous devez d'abord écrire la partie entière, la séparer de la fraction par une virgule, puis écrire l'expression de la fraction. Il ne faut pas oublier qu'après la virgule décimale, le numérateur doit contenir autant de caractères numériques qu'il y a de zéros au dénominateur.

Exemple. Exprimez la fraction 7 21 / 1000 en notation décimale.

Algorithme de conversion d'une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice versa

Il est incorrect d'écrire une fraction impropre dans la réponse à un problème, elle doit donc être convertie en un nombre fractionnaire :

• divisez le numérateur par le dénominateur existant ;
• V exemple spécifique quotient incomplet - entier ;
• et le reste est le numérateur de la partie fractionnaire, le dénominateur restant inchangé.

Exemple. Convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire : 47 / 5.

Solution. 47 : 5. Le quotient partiel est 9, le reste = 2. Donc 47 / 5 = 9 2 / 5.

Parfois, vous devez représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Ensuite, vous devez utiliser l'algorithme suivant :

• la partie entière est multipliée par le dénominateur de l'expression fractionnaire ;
• le produit résultant est ajouté au numérateur ;
• le résultat est écrit au numérateur, le dénominateur reste inchangé.

Exemple. Présentez le nombre sous forme mixte comme une fraction impropre : 9 8 / 10.

Solution. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 est le numérateur.

Répondre: 98 / 10.

Multiplier des fractions

Diverses opérations algébriques peuvent être effectuées sur des fractions ordinaires. Pour multiplier deux nombres, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. De plus, multiplier des fractions avec des dénominateurs différents n'est pas différent du produit nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs.

Il arrive qu'après avoir trouvé le résultat, vous deviez réduire la fraction. Il est impératif de simplifier au maximum l'expression résultante. Bien sûr, on ne peut pas dire qu’une fraction impropre dans une réponse est une erreur, mais il est également difficile de la qualifier de réponse correcte.

Exemple. Trouvez le produit de deux fractions ordinaires : ½ et 20/18.

Comme le montre l'exemple, après avoir trouvé le produit, une notation fractionnaire réductible a été obtenue. Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur sont divisés par 4 et le résultat est la réponse 5/9.

Multiplier des fractions décimales

Travail décimales tout à fait différent des œuvres ordinaires en principe. Ainsi, multiplier des fractions est la suivante :

• deux fractions décimales doivent être écrites l'une sous l'autre de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient l'un sous l'autre ;
• vous devez multiplier les nombres écrits, malgré les virgules, c'est-à-dire sous forme de nombres naturels ;
• compter le nombre de chiffres après la virgule dans chaque nombre ;
• dans le résultat obtenu après multiplication, il faut compter à partir de la droite autant de symboles numériques qu'il y a dans la somme des deux facteurs après la virgule décimale, et mettre un signe de séparation ;
• s'il y a moins de nombres dans le produit, vous devez alors écrire autant de zéros devant eux pour couvrir ce nombre, mettre une virgule et ajouter la partie entière égale à zéro.

Exemple. Calculez le produit de deux fractions décimales : 2,25 et 3,6.

Solution.

Multiplier des fractions mixtes

Pour calculer le produit de deux fractions mixtes, vous devez utiliser la règle de multiplication des fractions :

• convertir des nombres fractionnaires en fractions impropres ;
• trouver le produit des numérateurs ;
• trouver le produit des dénominateurs ;
• notez le résultat;
• simplifier l'expression autant que possible.

Exemple. Trouvez le produit de 4½ et 6 2/5.

Multiplier un nombre par une fraction (fractions par un nombre)

En plus de trouver le produit de deux fractions et de nombres fractionnaires, il existe des tâches dans lesquelles vous devez multiplier par une fraction.

Ainsi, pour trouver le produit d'une fraction décimale et d'un nombre naturel, il vous faut :

• écrivez le nombre sous la fraction de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient les uns au-dessus des autres ;
• trouver le produit malgré la virgule ;
• dans le résultat obtenu, séparez la partie entière de la partie fractionnaire à l'aide d'une virgule, en comptant à partir de la droite le nombre de chiffres situés après la virgule décimale dans la fraction.

Pour multiplier une fraction commune par un nombre, vous devez trouver le produit du numérateur et du facteur naturel. Si la réponse produit une fraction pouvant être réduite, elle doit être convertie.

Exemple. Calculez le produit de 5/8 et 12.

Solution. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Répondre: 7 1 / 2.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple précédent, il était nécessaire de réduire le résultat obtenu et de convertir l'expression fractionnaire incorrecte en un nombre fractionnaire.

La multiplication de fractions consiste aussi à trouver le produit d'un nombre sous forme mixte et d'un facteur naturel. Pour multiplier ces deux nombres, vous devez multiplier la partie entière du facteur mixte par le nombre, multiplier le numérateur par la même valeur et laisser le dénominateur inchangé. Si nécessaire, vous devez simplifier autant que possible le résultat obtenu.

Exemple. Trouvez le produit de 9 5 / 6 et 9.

Solution. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Répondre: 88 1 / 2.

Multiplication par facteurs de 10, 100, 1000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001

La règle suivante découle du paragraphe précédent. Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, 10 000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur après celui.

Exemple 1. Trouvez le produit de 0,065 et 1000.

Solution. 0,065 x 1 000 = 0065 = 65.

Répondre: 65.

Exemple 2. Trouvez le produit de 3,9 et 1000.

Solution. 3,9 x 1 000 = 3,900 x 1 000 = 3 900.

Répondre: 3900.

Si vous devez multiplier un nombre naturel par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001, etc., vous devez déplacer la virgule dans le produit résultant vers la gauche d'autant de caractères numériques qu'il y a de zéros avant un. Si nécessaire, un nombre suffisant de zéros est écrit avant l'entier naturel.

Exemple 1. Trouvez le produit de 56 et 0,01.

Solution. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Répondre: 0,56.

Exemple 2. Trouvez le produit de 4 et 0,001.

Solution. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Répondre: 0,004.

Ainsi, trouver le produit de différentes fractions ne devrait pas poser de difficultés, sauf peut-être calculer le résultat ; dans ce cas, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer d'une calculatrice.

La décimale est utilisée lorsque vous devez effectuer des opérations sur des nombres non entiers. Cela peut paraître irrationnel. Mais ce type de nombres simplifie grandement les opérations mathématiques qui doivent être effectuées avec eux. Cette compréhension vient avec le temps, lorsque leur écriture devient familière, que leur lecture ne pose pas de difficultés et que les règles des fractions décimales sont maîtrisées. De plus, toutes les actions répètent celles déjà connues, qui ont été apprises avec des nombres naturels. Vous avez juste besoin de vous rappeler certaines fonctionnalités.

Définition décimale

Un nombre décimal est une représentation spéciale d'un nombre non entier avec un dénominateur divisible par 10, donnant la réponse comme un et éventuellement des zéros. En d’autres termes, si le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc., il est alors plus pratique de réécrire le nombre à l’aide d’une virgule. Ensuite, la partie entière sera située devant elle, puis la partie fractionnaire. De plus, l'enregistrement de la seconde moitié du nombre dépendra du dénominateur. Le nombre de chiffres de la partie fractionnaire doit être égal au chiffre du dénominateur.

Ce qui précède peut être illustré par ces chiffres :

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Raisons d'utiliser les décimales

Les mathématiciens avaient besoin de décimales pour plusieurs raisons :

Simplification de l'enregistrement. Une telle fraction est située le long d'une ligne sans tiret entre le dénominateur et le numérateur, alors que la clarté n'en souffre pas.

La simplicité en comparaison. Il suffit simplement de corréler les nombres qui se trouvent dans les mêmes positions, alors qu'avec des fractions ordinaires, il faudrait les réduire à un dénominateur commun.

Simplifiez les calculs.

Les calculatrices ne sont pas conçues pour accepter les fractions ; elles utilisent la notation décimale pour toutes les opérations.

Comment lire correctement de tels chiffres ?

La réponse est simple : tout comme un nombre fractionnaire ordinaire avec un dénominateur multiple de 10. La seule exception concerne les fractions sans valeur entière, alors lors de la lecture, vous devez prononcer « zéro entier ».

Par exemple, 45/1000 doit être prononcé comme quarante-cinq millièmes, en même temps 0,045 ressemblera à zéro virgule quarante-cinq millièmes.

Un nombre fractionnaire avec une partie entière de 7 et une fraction de 17/100, qui s'écrirait 7,17, se lirait dans les deux cas comme sept virgule dix-sept.

Le rôle des chiffres dans l'écriture des fractions

Marquer correctement le rang est ce qu'exigent les mathématiques. Les décimales et leur signification peuvent changer considérablement si vous écrivez le chiffre au mauvais endroit. Cependant, c'était vrai auparavant.

Pour lire les chiffres de la partie entière d'une fraction décimale, il suffit d'utiliser les règles connues pour nombres naturels. Et sur le côté droit, ils sont reflétés et lus différemment. Si la partie entière sonnait « dizaines », alors après la virgule décimale, ce serait « dixièmes ».

Cela se voit clairement dans ce tableau.

Comment écrire correctement un nombre fractionnaire sous forme décimale ?

Si le dénominateur contient un nombre égal à 10 ou 100, et autres, alors la question de savoir comment convertir une fraction en nombre décimal n'est pas difficile. Pour ce faire, il suffit de réécrire différemment tous ses composants. Les points suivants vous y aideront :

écrivez le numérateur de la fraction un peu à côté, à ce moment le point décimal est situé à droite, après le dernier chiffre ;

déplacez la virgule vers la gauche, le plus important ici est de compter les nombres correctement - vous devez la déplacer d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le dénominateur ;

s'il n'y en a pas assez, alors il devrait y avoir des zéros dans les positions vides ;

les zéros qui se trouvaient à la fin du numérateur ne sont désormais plus nécessaires et peuvent être barrés ;

Avant la virgule, ajoutez la partie entière ; si elle n'était pas là, alors il y aura également zéro ici.

Attention. Vous ne pouvez pas rayer les zéros entourés d’autres nombres.

Vous pouvez lire ci-dessous ce qu'il faut faire dans une situation où le dénominateur a un nombre non seulement composé de uns et de zéros, et comment convertir une fraction en nombre décimal. Ce informations importantes, ce qui vaut vraiment le détour.

Comment convertir une fraction en nombre décimal si le dénominateur est un nombre arbitraire ?

Il y a deux options ici :

Lorsque le dénominateur peut être représenté par un nombre égal à dix à n’importe quelle puissance.

Si une telle opération ne peut être effectuée.

Comment puis-je vérifier cela ? Vous devez prendre en compte le dénominateur. Si seulement 2 et 5 sont présents dans le produit, alors tout va bien et la fraction est facilement convertie en décimale finale. Sinon, si 3, 7 et d'autres nombres premiers apparaissent, le résultat sera infini. Une telle fraction décimale pour faciliter son utilisation dans opérations mathématiques Il est d'usage d'arrondir. Ceci sera discuté un peu plus bas.

Explore comment les décimales sont faites, 5e année. Les exemples ici seront très utiles.

Soit les dénominateurs les nombres : 40, 24 et 75. Décomposition en facteurs premiers pour eux, ce sera comme ça :

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

Dans ces exemples, seule la première fraction peut être représentée comme fraction finale.

Algorithme pour convertir une fraction commune en une décimale finale

Vérifiez la factorisation du dénominateur en facteurs premiers et assurez-vous qu'il sera composé de 2 et 5.

Ajoutez autant de 2 et de 5 à ces nombres pour qu'ils soient en nombre égal. Ils donneront la valeur du multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le dénominateur et le numérateur par ce nombre. Le résultat sera une fraction ordinaire, sous la ligne de laquelle il y a 10 dans une certaine mesure.

Si dans une tâche ces actions sont effectuées avec nombre mixte, alors il doit d’abord être représenté comme une fraction impropre. Et alors seulement, agissez selon le scénario décrit.

Représenter une fraction sous forme de décimale arrondie

Cette méthode de conversion d’une fraction en nombre décimal peut sembler encore plus simple à certains. Parce qu'il n'y a pas beaucoup d'action. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Tout nombre avec une partie décimale à droite du point décimal peut se voir attribuer un nombre infini de zéros. Cette propriété est ce dont vous devez profiter.

Tout d’abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule après. Si la fraction est correcte, écrivez zéro.

Ensuite, il faut diviser le numérateur par le dénominateur. Pour qu'ils aient le même nombre de chiffres. Autrement dit, ajoutez à droite du numérateur quantité requise des zéros.

Effectuez une division longue jusqu'à ce que le nombre de chiffres requis soit atteint. Par exemple, si vous devez arrondir aux centièmes, la réponse devrait être 3. En général, il devrait y avoir un nombre de plus que ce dont vous avez besoin à la fin.

Notez la réponse intermédiaire après la virgule et arrondissez selon les règles. Si le dernier chiffre est compris entre 0 et 4, il vous suffit de le supprimer. Et lorsqu'il est égal à 5-9, alors celui qui le précède doit être augmenté de un, en écartant le dernier.

Retour d'une fraction décimale à une fraction commune

En mathématiques, il existe des problèmes lorsqu'il est plus pratique de représenter des fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires, dans lesquelles se trouve un numérateur avec un dénominateur. Vous pouvez pousser un soupir de soulagement : cette opération est toujours possible.

Pour cette procédure, vous devez procéder comme suit :

notez la partie entière, si elle est égale à zéro, alors il n'est pas nécessaire d'écrire quoi que ce soit ;

tracez une ligne de fraction ;

au-dessus, notez les chiffres du côté droit ; si les zéros viennent en premier, ils doivent être barrés ;

Sous la ligne, écrivez une unité avec autant de zéros qu’il y a de chiffres après la virgule dans la fraction originale.

C'est tout ce que vous devez faire pour convertir un nombre décimal en fraction.

Que peut-on faire avec les décimales ?

En mathématiques, il s'agira de certaines opérations avec des décimales qui étaient auparavant effectuées pour d'autres nombres.

Ils sont:

comparaison;

addition et soustraction;

multiplication et division.

La première action, la comparaison, est similaire à celle utilisée pour les nombres naturels. Pour déterminer lequel est le plus grand, vous devez comparer les chiffres de la pièce entière. S'ils s'avèrent égaux, ils passent alors au fractionnaire et les comparent également par chiffres. Le nombre avec le chiffre le plus grand dans le chiffre le plus significatif sera la réponse.

Additionner et soustraire des décimales

Ce sont peut-être les plus étapes simples. Parce qu'ils sont réalisés selon les règles des nombres naturels.



Ainsi, pour additionner des fractions décimales, elles doivent être écrites les unes en dessous des autres, en plaçant des virgules dans une colonne. Avec cette notation, les parties entières apparaissent à gauche des virgules et les parties fractionnaires à droite. Et maintenant, vous devez additionner les nombres petit à petit, comme c'est le cas avec les nombres naturels, en déplaçant la virgule vers le bas. Vous devez commencer à additionner à partir du plus petit chiffre de la partie fractionnaire du nombre. S'il n'y a pas assez de chiffres dans la moitié droite, des zéros sont ajoutés.

La même chose s'applique à la soustraction. Et ici, il y a une règle qui décrit la possibilité de prendre une unité du rang le plus élevé. Si la fraction à réduire a moins de chiffres après la virgule que la fraction à soustraire, alors des zéros y sont simplement ajoutés.

La situation est un peu plus compliquée avec les tâches où vous devez multiplier et diviser des fractions décimales.

Comment multiplier une fraction décimale dans différents exemples ?

La règle pour multiplier des fractions décimales par un nombre naturel est :

écrivez-les dans une colonne, en ignorant la virgule ;

multipliez-vous comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans la partie fractionnaire du nombre d'origine.

Un cas particulier est l’exemple dans lequel un nombre naturel est égal à 10 à n’importe quelle puissance. Ensuite, pour obtenir la réponse, il vous suffit de déplacer la virgule décimale vers la droite d’autant de positions qu’il y a de zéros dans l’autre facteur. En d'autres termes, multiplié par 10, la virgule décimale se déplace d'un chiffre, de 100 - il y en aura déjà deux, et ainsi de suite. S'il n'y a pas assez de nombres dans la partie fractionnaire, vous devez alors écrire des zéros dans les positions vides.

La règle utilisée lorsqu'une tâche nécessite de multiplier des fractions décimales par un autre même nombre :

écrivez-les l'un après l'autre, sans faire attention aux virgules ;

multipliez-les comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu’il y avait dans les parties fractionnaires des deux fractions originales ensemble.

Un cas particulier sont les exemples dans lesquels l'un des multiplicateurs est égal à 0,1 ou 0,01 et ainsi de suite. Dans ceux-ci, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de chiffres dans les facteurs présentés. Autrement dit, s'il est multiplié par 0,1, le point décimal est décalé d'une position.

Comment diviser une fraction décimale en différentes tâches ?

La division de fractions décimales par un nombre naturel s'effectue selon la règle suivante :

notez-les pour les diviser dans une colonne comme s'ils étaient naturels ;

diviser selon la règle habituelle jusqu'à ce que toute la partie soit terminée ;

mettez une virgule dans la réponse ;

continuez à diviser la composante fractionnaire jusqu'à ce que le reste soit nul ;

si nécessaire, vous pouvez ajouter le nombre de zéros requis.

Si la partie entière est égale à zéro, elle ne figurera pas non plus dans la réponse.

Séparément, il existe une division en nombres égaux à dix, cent, etc. Dans de tels problèmes, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de zéros dans le diviseur. Il arrive qu'il n'y ait pas assez de nombres dans une partie entière, alors des zéros sont utilisés à la place. Vous pouvez voir que cette opération est similaire à la multiplication par 0,1 et par des nombres similaires.

Pour diviser des décimales, vous devez utiliser cette règle :

transformez le diviseur en un nombre naturel, et pour ce faire, déplacez la virgule vers la droite jusqu'à la fin ;

déplacer la virgule décimale du dividende du même nombre de chiffres ;

agir selon le scénario précédent.

La division par 0,1 est mise en évidence ; 0,01 et autres nombres similaires. Dans de tels exemples, le point décimal est décalé vers la droite du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. S'ils sont épuisés, vous devez alors ajouter le nombre de zéros manquant. Il convient de noter que cette action répète la division par 10 et des nombres similaires.



Conclusion : tout est une question de pratique

Rien dans l’apprentissage n’est facile ou sans effort. Maîtriser de manière fiable un nouveau matériel demande du temps et de la pratique. Les mathématiques ne font pas exception.

Pour vous assurer que le sujet sur les fractions décimales ne pose pas de difficultés, vous devez résoudre autant d'exemples que possible avec elles. Après tout, il fut un temps où l’addition de nombres naturels était une impasse. Et maintenant tout va bien.

Ainsi, pour paraphraser une phrase bien connue : décider, décider et décider encore. Ensuite, les tâches avec de tels nombres seront accomplies facilement et naturellement, comme un autre puzzle.

À propos, les énigmes sont difficiles à résoudre au début, et vous devez ensuite effectuer les mouvements habituels. C'est pareil dans les exemples mathématiques : après avoir parcouru plusieurs fois le même chemin, alors vous ne penserez plus où donner de la tête.

Passons à l'étude de la prochaine action avec des fractions décimales, nous allons maintenant examiner en détail multiplier des décimales. Parlons d'abord principes généraux multiplier des fractions décimales. Après cela, nous passerons à la multiplication d'une fraction décimale par une fraction décimale, nous montrerons comment multiplier des fractions décimales par une colonne et nous examinerons des solutions à des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier des fractions décimales par des nombres naturels, notamment par 10, 100, etc. Enfin, parlons de la multiplication de nombres décimaux par des fractions et des nombres fractionnaires.

Disons tout de suite que dans cet article nous ne parlerons que de la multiplication de fractions décimales positives (voir nombres positifs et négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles multiplication des nombres rationnels et multiplier des nombres réels.

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Principes généraux de multiplication de décimales

Discutons des principes généraux à suivre lors de la multiplication avec des décimales.

Puisque les décimales finies et les fractions périodiques infinies sont la forme décimale des fractions communes, multiplier ces décimales revient essentiellement à multiplier des fractions communes. Autrement dit, multiplier des nombres décimaux finis, multiplier des fractions décimales finies et périodiques, et aussi multiplier des décimales périodiques revient à multiplier des fractions ordinaires après avoir converti les fractions décimales en fractions ordinaires.

Regardons des exemples d'application du principe énoncé de multiplication de fractions décimales.

Exemple.

Multipliez les décimales par 1,5 et 0,75.

Solution.

Remplaçons les fractions décimales multipliées par les fractions ordinaires correspondantes. Puisque 1,5=15/10 et 0,75=75/100, alors . Vous pouvez réduire la fraction, puis isoler la partie entière de la fraction impropre, et il est plus pratique d'écrire la fraction ordinaire résultante 1 125/1 000 sous forme de fraction décimale 1,125.

Répondre:

1,5·0,75=1,125.

Il convient de noter qu'il est pratique de multiplier les fractions décimales finales dans une colonne ; nous parlerons de cette méthode de multiplication des fractions décimales dans.

Regardons un exemple de multiplication de fractions décimales périodiques.

Exemple.

Calculez le produit des fractions décimales périodiques 0,(3) et 2,(36) .

Solution.

Convertissons les fractions décimales périodiques en fractions ordinaires :

Alors . Vous pouvez convertir la fraction ordinaire résultante en fraction décimale :

Répondre:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Si parmi les fractions décimales multipliées, il y en a une infinie non périodique, alors toutes les fractions multipliées, y compris les fractions finies et périodiques, doivent être arrondies à un certain chiffre (voir nombres arrondis), puis multipliez les fractions décimales finales obtenues après arrondi.

Exemple.

Multipliez les décimales 5,382... et 0,2.

Solution.

Tout d'abord, arrondissons une fraction décimale non périodique infinie, l'arrondi peut être fait au centième, nous avons 5,382...≈5,38. La fraction décimale finale 0,2 n'a pas besoin d'être arrondie au centième le plus proche. Ainsi, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Il reste à calculer le produit des fractions décimales finales : 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076.

Répondre:

5,382…·0,2≈1,076.

Multiplier des fractions décimales par colonne

La multiplication de fractions décimales finies peut être effectuée dans une colonne, de la même manière que la multiplication de nombres naturels dans une colonne.

Formulons règle pour multiplier les fractions décimales par colonne. Pour multiplier des fractions décimales par colonne, vous devez :

• sans faire attention aux virgules, effectuez la multiplication selon toutes les règles de multiplication avec une colonne de nombres naturels ;
• dans le nombre obtenu, séparez par un point décimal autant de chiffres à droite qu'il y a de décimales dans les deux facteurs ensemble, et s'il n'y a pas assez de chiffres dans le produit, alors le nombre requis de zéros doit être ajouté à gauche.

Regardons des exemples de multiplication de fractions décimales par colonnes.

Exemple.

Multipliez les décimales 63,37 et 0,12.

Solution.

Multiplions les fractions décimales dans une colonne. Tout d'abord, nous multiplions les nombres, en ignorant les virgules :

Il ne reste plus qu'à ajouter une virgule au produit résultant. Elle doit séparer 4 chiffres vers la droite, puisque les facteurs ont un total de quatre décimales (deux dans la fraction 3,37 et deux dans la fraction 0,12). Il y a suffisamment de chiffres pour que vous n’ayez pas besoin d’ajouter des zéros à gauche. Terminons l'enregistrement :

En conséquence, nous avons 3,37·0,12=7,6044.

Répondre:

3,37·0,12=7,6044.

Exemple.

Calculez le produit des décimales 3,2601 et 0,0254.

Solution.

Après avoir effectué une multiplication dans une colonne sans tenir compte des virgules, nous obtenons l'image suivante :

Maintenant, dans le produit, vous devez séparer les 8 chiffres de droite par une virgule, car le nombre total de décimales des fractions multipliées est de huit. Mais il n'y a que 7 chiffres dans le produit, vous devez donc ajouter autant de zéros à gauche pour pouvoir séparer 8 chiffres par une virgule. Dans notre cas, nous devons attribuer deux zéros :

Ceci termine la multiplication des fractions décimales par colonne.

Répondre:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01, etc.

Très souvent, vous devez multiplier des fractions décimales par 0,1, 0,01, etc. Par conséquent, il est conseillé de formuler une règle pour multiplier une fraction décimale par ces nombres, qui découle des principes de multiplication des fractions décimales évoqués ci-dessus.

Donc, multiplier une décimale donnée par 0,1, 0,01, 0,001, et ainsi de suite donne une fraction obtenue à partir de l'original si dans sa notation la virgule est déplacée vers la gauche de 1, 2, 3 et ainsi de suite chiffres, respectivement, et s'il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule, alors vous devez ajoutez le nombre requis de zéros à gauche.

Par exemple, pour multiplier la fraction décimale 54,34 par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale de la fraction 54,34 vers la gauche d'un chiffre, ce qui vous donnera la fraction 5,434, c'est-à-dire 54,34·0,1=5,434. Donnons un autre exemple. Multipliez la fraction décimale 9,3 par 0,0001. Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la gauche dans la fraction décimale multipliée 9,3, mais la notation de la fraction 9,3 ne contient pas autant de chiffres. Par conséquent, nous devons attribuer autant de zéros à gauche de la fraction 9,3 afin de pouvoir facilement déplacer la virgule décimale à 4 chiffres, nous avons 9,3·0,0001=0,00093.

Notez que la règle indiquée pour multiplier une fraction décimale par 0,1, 0,01, ... est également valable pour les fractions décimales infinies. Par exemple, 0.(18)·0.01=0.00(18) ou 93.938…·0.1=9.3938… .

Multiplier un nombre décimal par un nombre naturel

À la base multiplier des nombres décimaux par des nombres naturels ce n'est pas différent de multiplier une décimale par une décimale.

Il est plus pratique de multiplier une fraction décimale finale par un nombre naturel dans une colonne ; dans ce cas, vous devez respecter les règles de multiplication des fractions décimales dans une colonne, abordées dans l'un des paragraphes précédents.

Exemple.

Calculez le produit 15·2.27.

Solution.

Multiplions un nombre naturel par une fraction décimale dans une colonne :

Répondre:

15·2,27=34,05.

Lors de la multiplication d'une fraction décimale périodique par un nombre naturel, la fraction périodique doit être remplacée par une fraction ordinaire.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0.(42) par l'entier naturel 22.

Solution.

Tout d’abord, convertissons la fraction décimale périodique en une fraction ordinaire :

Faisons maintenant la multiplication : . Ce résultat sous forme décimale est 9,(3) .

Répondre:

0,(42)·22=9,(3) .

Et lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par un nombre naturel, vous devez d'abord effectuer un arrondi.

Exemple.

Multipliez 4·2,145….

Solution.

Après avoir arrondi la fraction décimale infinie originale aux centièmes, nous arrivons à la multiplication d’un nombre naturel et d’une fraction décimale finale. Nous avons 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Répondre:

4·2,145…≈8,60.

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, ...

Assez souvent, il faut multiplier des fractions décimales par 10, 100, ... Il est donc conseillé de s'attarder sur ces cas en détail.

Exprimons-le règle pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc. Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, ... dans sa notation, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite jusqu'à 1, 2, 3, ... chiffres, respectivement, et supprimer les zéros supplémentaires à gauche ; Si la notation de la fraction multipliée ne comporte pas suffisamment de chiffres pour déplacer la virgule décimale, vous devez alors ajouter le nombre requis de zéros vers la droite.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0,0783 par 100.

Solution.

Déplaçons la fraction 0,0783 de deux chiffres vers la droite et nous obtenons 007,83. En supprimant les deux zéros à gauche, on obtient la fraction décimale 7,38. Ainsi, 0,0783·100=7,83.

Répondre:

0,0783·100=7,83.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Solution.

Pour multiplier 0,02 par 10 000, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la droite. Évidemment, dans la notation de la fraction 0,02, il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule décimale de 4 chiffres, nous allons donc ajouter quelques zéros à droite pour que la virgule décimale puisse être déplacée. Dans notre exemple, il suffit d'ajouter trois zéros, nous avons 0,02000. Après avoir déplacé la virgule, nous obtenons l'entrée 00200.0. En ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 200,0, qui est égal à l’entier naturel 200, qui est le résultat de la multiplication de la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Multiplier des décimales se déroule en trois étapes.

Les fractions décimales sont écrites dans une colonne et multipliées comme des nombres ordinaires.

On compte le nombre de décimales pour la première fraction décimale et la seconde. Nous additionnons leur nombre.

Dans le résultat obtenu, nous comptons de droite à gauche le même nombre de nombres que celui obtenu dans le paragraphe ci-dessus et mettons une virgule.

Comment multiplier des décimales

Nous écrivons les fractions décimales dans une colonne et les multiplions sous forme de nombres naturels, en ignorant les virgules. Autrement dit, nous considérons 3,11 comme 311 et 0,01 comme 1.

Nous en avons reçu 311. Maintenant, nous comptons le nombre de signes (chiffres) après la virgule pour les deux fractions. La première décimale comporte deux chiffres et la seconde, deux. Nombre total de décimales :

On compte de droite à gauche 4 signes (chiffres) du nombre obtenu. Le résultat obtenu contient moins de nombres qu’il n’est nécessaire de les séparer par une virgule. Dans ce cas, vous avez besoin gauche ajoutez le nombre de zéros manquant.

Il nous manque un chiffre, nous ajoutons donc un zéro à gauche.

Lors de la multiplication d'une fraction décimaleà 10 heures ; 100 ; 1000, etc Le point décimal se déplace vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros après celui.

Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche d'autant de places qu'il y a de zéros avant celui.

On compte même zéro !

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule décimale. Ainsi, nous obtenons la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule décimale à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention à la virgule, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après la virgule décimale que dans les deux facteurs réunis - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Et quelques autres exemples de multiplication de fractions décimales :

www.for6cl.uznateshe.ru

Multiplication de nombres décimaux, règles, exemples, solutions.

Passons à l'étude prochaine action avec les fractions décimales, nous allons maintenant jeter un œil complet multiplier des décimales. Tout d’abord, discutons des principes généraux de la multiplication des nombres décimaux. Après cela, nous passerons à la multiplication d'une fraction décimale par une fraction décimale, nous montrerons comment multiplier des fractions décimales par une colonne et nous examinerons des solutions à des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier des fractions décimales par des nombres naturels, notamment par 10, 100, etc. Enfin, parlons de la multiplication de nombres décimaux par des fractions et des nombres fractionnaires.

Disons tout de suite que dans cet article nous ne parlerons que de la multiplication de fractions décimales positives (voir positives et nombres négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles multiplication des nombres rationnels et multiplier des nombres réels.

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Principes généraux de multiplication de décimales

Discutons des principes généraux à suivre lors de la multiplication avec des décimales.

Puisque les décimales finies et les fractions périodiques infinies sont la forme décimale des fractions communes, multiplier ces décimales revient essentiellement à multiplier des fractions communes. Autrement dit, multiplier des nombres décimaux finis, multiplier des fractions décimales finies et périodiques, et aussi multiplier des décimales périodiques revient à multiplier des fractions ordinaires après avoir converti les fractions décimales en fractions ordinaires.

Regardons des exemples d'application du principe énoncé de multiplication de fractions décimales.

Multipliez les décimales par 1,5 et 0,75.

Remplaçons les fractions décimales multipliées par les fractions ordinaires correspondantes. Puisque 1,5=15/10 et 0,75=75/100, alors. Vous pouvez réduire la fraction, puis isoler la partie entière de la fraction impropre, et il est plus pratique d'écrire la fraction ordinaire résultante 1 125/1 000 sous forme de fraction décimale 1,125.

Il est à noter qu'il est pratique de multiplier les fractions décimales finales dans une colonne ; nous parlerons de cette méthode de multiplication des fractions décimales dans le paragraphe suivant.

Regardons un exemple de multiplication de fractions décimales périodiques.

Calculez le produit des fractions décimales périodiques 0,(3) et 2,(36) .

Convertissons les fractions décimales périodiques en fractions ordinaires :

Alors. Vous pouvez convertir la fraction ordinaire résultante en fraction décimale :


Si parmi les fractions décimales multipliées, il y en a une infinie non périodique, alors toutes les fractions multipliées, y compris les fractions finies et périodiques, doivent être arrondies à un certain chiffre (voir nombres arrondis), puis multipliez les fractions décimales finales obtenues après arrondi.

Multipliez les décimales 5,382... et 0,2.

Tout d'abord, arrondissons une fraction décimale non périodique infinie, l'arrondi peut être fait au centième, nous avons 5,382...≈5,38. La fraction décimale finale 0,2 n'a pas besoin d'être arrondie au centième le plus proche. Ainsi, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Il reste à calculer le produit des fractions décimales finales : 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076.

Multiplier des fractions décimales par colonne

La multiplication de fractions décimales finies peut être effectuée dans une colonne, de la même manière que la multiplication de nombres naturels dans une colonne.

Formulons règle pour multiplier les fractions décimales par colonne. Pour multiplier des fractions décimales par colonne, vous devez :

• sans faire attention aux virgules, effectuez la multiplication selon toutes les règles de multiplication avec une colonne de nombres naturels ;
• dans le nombre obtenu, séparez par un point décimal autant de chiffres à droite qu'il y a de décimales dans les deux facteurs ensemble, et s'il n'y a pas assez de chiffres dans le produit, alors le nombre requis de zéros doit être ajouté à gauche.

Regardons des exemples de multiplication de fractions décimales par colonnes.

Multipliez les décimales 63,37 et 0,12.

Multiplions les fractions décimales dans une colonne. Tout d'abord, nous multiplions les nombres, en ignorant les virgules :


Il ne reste plus qu'à ajouter une virgule au produit résultant. Elle doit séparer 4 chiffres vers la droite car les facteurs ont un total de quatre décimales (deux dans la fraction 3,37 et deux dans la fraction 0,12). Il y a suffisamment de chiffres pour que vous n’ayez pas besoin d’ajouter des zéros à gauche. Terminons l'enregistrement :


En conséquence, nous avons 3,37·0,12=7,6044.

Calculez le produit des décimales 3,2601 et 0,0254.

Après avoir effectué une multiplication dans une colonne sans tenir compte des virgules, nous obtenons l'image suivante :


Maintenant, dans le produit, vous devez séparer les 8 chiffres de droite par une virgule, car le nombre total de décimales des fractions multipliées est de huit. Mais il n'y a que 7 chiffres dans le produit, vous devez donc ajouter autant de zéros à gauche pour pouvoir séparer 8 chiffres par une virgule. Dans notre cas, nous devons attribuer deux zéros :


Ceci termine la multiplication des fractions décimales par colonne.

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01, etc.

Très souvent, vous devez multiplier des fractions décimales par 0,1, 0,01, etc. Par conséquent, il est conseillé de formuler une règle pour multiplier une fraction décimale par ces nombres, qui découle des principes de multiplication des fractions décimales évoqués ci-dessus.

Donc, multiplier une décimale donnée par 0,1, 0,01, 0,001, et ainsi de suite donne une fraction obtenue à partir de l'original si dans sa notation la virgule est déplacée vers la gauche de 1, 2, 3 et ainsi de suite chiffres, respectivement, et s'il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule, alors vous devez ajoutez le nombre requis de zéros à gauche.

Par exemple, pour multiplier la fraction décimale 54,34 par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale de la fraction 54,34 vers la gauche d'un chiffre, ce qui vous donnera la fraction 5,434, c'est-à-dire 54,34·0,1=5,434. Donnons un autre exemple. Multipliez la fraction décimale 9,3 par 0,0001. Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la gauche dans la fraction décimale multipliée 9,3, mais la notation de la fraction 9,3 ne contient pas autant de chiffres. Par conséquent, nous devons attribuer autant de zéros à gauche de la fraction 9,3 afin de pouvoir facilement déplacer la virgule décimale sur 4 chiffres, nous avons 9,3·0,0001=0,00093.

Notez que la règle indiquée pour multiplier une fraction décimale par 0,1, 0,01, ... est également valable pour les fractions décimales infinies. Par exemple, 0.(18)·0.01=0.00(18) ou 93.938…·0.1=9.3938… .

Multiplier un nombre décimal par un nombre naturel

À la base multiplier des nombres décimaux par des nombres naturels ce n'est pas différent de multiplier une décimale par une décimale.

Il est plus pratique de multiplier une fraction décimale finale par un nombre naturel dans une colonne ; dans ce cas, vous devez respecter les règles de multiplication des fractions décimales dans une colonne, abordées dans l'un des paragraphes précédents.

Calculez le produit 15·2.27.

Multiplions un nombre naturel par une fraction décimale dans une colonne :


Lors de la multiplication d'une fraction décimale périodique par un nombre naturel, la fraction périodique doit être remplacée par une fraction ordinaire.

Multipliez la fraction décimale 0.(42) par l'entier naturel 22.

Tout d’abord, convertissons la fraction décimale périodique en une fraction ordinaire :

Faisons maintenant la multiplication : . Ce résultat sous forme décimale est 9,(3) .

Et lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par un nombre naturel, vous devez d'abord effectuer un arrondi.

Multipliez 4·2,145….

Après avoir arrondi la fraction décimale infinie originale aux centièmes, nous arrivons à la multiplication d’un nombre naturel et d’une fraction décimale finale. Nous avons 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, ...

Assez souvent, il faut multiplier des fractions décimales par 10, 100, ... Il est donc conseillé de s'attarder sur ces cas en détail.

Exprimons-le règle pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc. Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, ... dans sa notation, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite jusqu'à 1, 2, 3, ... chiffres, respectivement, et supprimer les zéros supplémentaires à gauche ; Si la notation de la fraction multipliée ne comporte pas suffisamment de chiffres pour déplacer la virgule décimale, vous devez alors ajouter le nombre requis de zéros vers la droite.

Multipliez la fraction décimale 0,0783 par 100.

Déplaçons la fraction 0,0783 de deux chiffres vers la droite et nous obtenons 007,83. En supprimant les deux zéros à gauche, on obtient la fraction décimale 7,38. Ainsi, 0,0783·100=7,83.

Multipliez la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Pour multiplier 0,02 par 10 000, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la droite. Évidemment, dans la notation de la fraction 0,02, il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule décimale de 4 chiffres, nous allons donc ajouter quelques zéros à droite pour que la virgule décimale puisse être déplacée. Dans notre exemple, il suffit d'ajouter trois zéros, nous avons 0,02000. Après avoir déplacé la virgule, nous obtenons l'entrée 00200.0. En ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 200,0, qui est égal à l’entier naturel 200, qui est le résultat de la multiplication de la fraction décimale 0,02 par 10 000.

La règle indiquée est également vraie pour multiplier des fractions décimales infinies par 10, 100, ... Lorsque vous multipliez des fractions décimales périodiques, vous devez faire attention à la période de la fraction qui est le résultat de la multiplication.

Multipliez la fraction décimale périodique 5,32 (672) par 1 000.

Avant de multiplier, écrivons la fraction décimale périodique sous la forme 5,32672672672..., cela nous permettra d'éviter les erreurs. Déplacez maintenant la virgule vers la droite de 3 places, nous avons 5 326.726726…. Ainsi, après multiplication, la fraction décimale périodique 5 326,(726) est obtenue.

5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

Lorsque vous multipliez des fractions infinies non périodiques par 10, 100, ..., vous devez d'abord arrondir la fraction infinie à un certain chiffre, puis effectuer la multiplication.

Multiplier un nombre décimal par une fraction ou un nombre fractionnaire

Pour multiplier une fraction décimale finie ou une fraction décimale périodique infinie par une fraction commune ou un nombre fractionnaire, vous devez représenter la fraction décimale sous la forme fraction commune, puis effectuez la multiplication.

Multipliez la fraction décimale 0,4 par un nombre fractionnaire.

Puisque 0,4=4/10=2/5 et puis. Le nombre résultant peut être écrit sous forme de fraction décimale périodique 1,5(3).

Lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par une fraction ou un nombre fractionnaire, remplacez la fraction ou le nombre fractionnaire par une fraction décimale, puis arrondissez les fractions multipliées et terminez le calcul.

Puisque 2/3=0,6666..., alors. Après avoir arrondi les fractions multipliées aux millièmes, on arrive au produit de deux fractions décimales finales 3,568 et 0,667. Faisons une multiplication en colonnes :


Le résultat obtenu doit être arrondi au millième le plus proche, puisque les fractions multipliées ont été prises au millième près, nous avons 2,379856≈2,380.

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29. Multiplier des décimales. Règles




Trouver l'aire d'un rectangle de côtés égaux
1,4 dm et 0,3 dm. Convertissons les décimètres en centimètres :

1,4 millimètres = 14 cm ; 0,3 dm = 3 cm.

Calculons maintenant la superficie en centimètres.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Convertir des centimètres carrés en centimètres carrés
décimètres :

ré m 2 = 0,42 ré m 2.

Cela signifie S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

La multiplication de deux fractions décimales se fait comme ceci :
1) les nombres sont multipliés sans tenir compte des virgules.
2) la virgule dans le produit est placée de manière à la séparer à droite
le même nombre de signes qui sont séparés dans les deux facteurs
combiné. Par exemple:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Exemples de multiplication de fractions décimales dans une colonne :



Au lieu de multiplier n’importe quel nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
vous pouvez diviser ce nombre par 10 ; 100 ; ou 1000 respectivement.
Par exemple:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Lorsqu’on multiplie une fraction décimale par un nombre naturel, il faut :

1) multiplier les nombres sans faire attention à la virgule ;

2) dans le produit obtenu, placez une virgule de sorte qu'à droite
elle avait le même nombre de chiffres qu'une fraction décimale.

Trouvons le produit 3.12 10. Selon la règle ci-dessus
Nous multiplions d’abord 312 par 10. On obtient : 312 10 = 3120.
Maintenant, nous séparons les deux chiffres de droite par une virgule et obtenons :

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Cela signifie qu'en multipliant 3,12 par 10, nous avons déplacé la virgule décimale d'une
numéro à droite. Si on multiplie 3,12 par 100, on obtient 312, soit
La virgule a été déplacée de deux chiffres vers la droite.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, 1000, etc., vous avez besoin
dans cette fraction déplacer la virgule vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros
vaut le multiplicateur. Par exemple:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Problèmes sur le thème « Multiplication de nombres décimaux »

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Additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres décimaux

L'ajout et la soustraction de nombres décimaux sont similaires à l'ajout et à la soustraction de nombres naturels, mais sous certaines conditions.

Règle. est effectué par les chiffres des parties entières et fractionnaires sous forme de nombres naturels.

Par écrit ajouter et soustraire des décimales la virgule séparant la partie entière de la partie fractionnaire doit être située aux additions et à la somme ou à la fin, à la sous-transcription et à la différence dans une colonne (une virgule sous la virgule depuis l'écriture de la condition jusqu'à la fin du calcul).

Additionner et soustraire des décimalesà la ligne :

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Additionner et soustraire des décimales dans une colonne :

L'ajout de décimales nécessite une ligne supérieure supplémentaire pour enregistrer les nombres lorsque la somme des valeurs de position dépasse dix. La soustraction de décimales nécessite une ligne supérieure supplémentaire pour marquer l'endroit où le 1 est emprunté.

S'il n'y a pas assez de chiffres de la partie fractionnaire à droite de l'addition ou du minuend, alors à droite dans la partie fractionnaire, vous pouvez ajouter autant de zéros (augmenter le chiffre de la partie fractionnaire) qu'il y a de chiffres dans l'autre addition. ou le menu.

Multiplier des décimales s'effectue de la même manière que la multiplication d'entiers naturels, selon les mêmes règles, mais dans le produit une virgule est placée en fonction de la somme des chiffres des facteurs de la partie fractionnaire, en comptant de droite à gauche (la somme des chiffres des multiplicateurs est le nombre de chiffres après la virgule des facteurs pris ensemble).

À multiplier des décimales dans une colonne, le premier chiffre significatif à droite est signé sous le premier chiffre significatif à droite, comme dans les nombres naturels :

Enregistrer multiplier des décimales dans une colonne :

Enregistrer division des décimales dans une colonne :

Les caractères soulignés sont les caractères suivis d'une virgule car le diviseur doit être un nombre entier.

Règle. À diviser des fractions Le diviseur décimal est augmenté d'autant de chiffres qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire. Pour garantir que la fraction ne change pas, le dividende est augmenté du même nombre de chiffres (dans le dividende et le diviseur, la virgule décimale est déplacée vers le même nombre de chiffres). Une virgule est placée dans le quotient à ce stade de la division où toute la partie de la fraction est divisée.

Pour les fractions décimales, comme pour les nombres naturels, la règle reste : Vous ne pouvez pas diviser une fraction décimale par zéro !

Ajouter des décimales revient à ajouter des nombres entiers. Voyons cela avec des exemples.

1) 0,132 + 2,354. Étiquetons les termes les uns en dessous des autres.

Ici, ajouter 2 millièmes à 4 millièmes donnait 6 millièmes ;
en additionnant 3 centièmes avec 5 centièmes, le résultat est 8 centièmes ;
d'ajouter 1 dixième avec 3 dixièmes -4 dixièmes et
de l'ajout de 0 entiers avec 2 entiers - 2 entiers.

2) 5,065 + 7,83.

Il n’y a pas de millièmes dans le deuxième terme, il est donc important de ne pas commettre d’erreur en étiquetant les termes les uns après les autres.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Ici, en additionnant les millièmes, le résultat est 21 millièmes ; nous avons écrit 1 sous les millièmes, et ajouté 2 aux centièmes, donc à la place des centièmes nous avons obtenu les termes suivants : 2 + 3 + 6 + 8 + 0 ; au total ils donnent 19 centièmes, nous avons signé 9 sous centièmes, et compté 1 comme dixièmes, etc.

Ainsi, lors de l'addition de fractions décimales, l'ordre suivant doit être respecté : signez les fractions les unes sous les autres de manière à ce que dans tous les termes les mêmes chiffres soient situés les uns sous les autres et que toutes les virgules soient dans la même colonne verticale ; À droite des décimales de certains termes, un tel nombre de zéros est ajouté, au moins mentalement, afin que tous les termes après la virgule décimale aient le même nombre de chiffres. Ensuite, ils effectuent une addition par chiffres, en commençant par le côté droit, et dans la somme résultante, ils mettent une virgule dans la même colonne verticale dans laquelle elle se trouve dans ces termes.

§ 108. Soustraction de fractions décimales.

La soustraction de nombres décimaux fonctionne de la même manière que la soustraction de nombres entiers. Montrons cela avec des exemples.

1) 9,87 - 7,32. Signons le sous-titre sous le menu afin que les unités du même chiffre soient les unes sous les autres :

2) 16h29 - 16h75. Signons le sous-trahend sous le menuend, comme dans le premier exemple :

Pour soustraire des dixièmes, il fallait prendre une unité entière de 6 et la diviser en dixièmes.

3) 14.0213-5.350712. Signons le sous-trahend sous le menu :

La soustraction a été effectuée comme suit : comme on ne peut pas soustraire 2 millionièmes de 0, il faut se tourner vers le chiffre le plus proche à gauche, c'est-à-dire cent millièmes, mais à la place des cent millièmes il y a aussi zéro, donc on prend 1 dix millième de 3 dix millièmes et On le divise en cent millièmes, on obtient 10 cent millièmes, dont on laisse 9 cent millièmes dans la catégorie des cent millièmes, et on divise 1 cent millième en millionièmes, on obtient 10 millionièmes. Ainsi, dans les trois derniers chiffres nous avons obtenu : millionièmes 10, cent millièmes 9, dix millièmes 2. Pour plus de clarté et de commodité (afin de ne pas oublier), ces nombres sont écrits au-dessus des chiffres fractionnaires correspondants du menu. Vous pouvez maintenant commencer à soustraire. De 10 millionièmes on soustrait 2 millionièmes, on obtient 8 millionièmes ; de 9 cent millièmes on soustrait 1 cent millième, on obtient 8 cent millièmes, etc.

Ainsi, lors de la soustraction de fractions décimales, l'ordre suivant est observé : signez la soustraction sous la fin du menu afin que les mêmes chiffres soient situés les uns sous les autres et que toutes les virgules soient dans la même colonne verticale ; à droite, ils ajoutent, au moins mentalement, autant de zéros dans le menu ou soustraient pour qu'ils aient le même nombre de chiffres, puis ils soustraient par chiffres, en commençant par le côté droit, et dans la différence résultante, ils mettent une virgule dans la même colonne verticale dans laquelle il se trouve en diminué et soustrait.

§ 109. Multiplication de fractions décimales.

Regardons quelques exemples de multiplication de fractions décimales.

Pour trouver le produit de ces nombres, on peut raisonner ainsi : si le facteur est multiplié par 10, alors les deux facteurs seront des nombres entiers et on pourra alors les multiplier selon les règles de multiplication des nombres entiers. Mais nous savons que lorsqu’un des facteurs augmente plusieurs fois, le produit augmente du même montant. Cela signifie que le nombre obtenu en multipliant les facteurs entiers, c'est-à-dire 28 par 23, est 10 fois supérieur au vrai produit, et pour obtenir le vrai produit, le produit trouvé doit être réduit de 10 fois. Par conséquent, ici, vous devrez multiplier par 10 une fois et diviser par 10 une fois, mais multiplier et diviser par 10 se fait en déplaçant la virgule décimale vers la droite et la gauche d'une place. Par conséquent, vous devez faire ceci : dans le facteur, déplacez la virgule vers la droite, cela la rendra égale à 23, puis vous devez multiplier les entiers résultants :

Ce produit est 10 fois plus grand que le vrai. Par conséquent, il doit être réduit de 10 fois, pour lequel nous déplaçons la virgule d'une place vers la gauche. Ainsi, nous obtenons

28 2,3 = 64,4.

À des fins de vérification, vous pouvez écrire une fraction décimale avec un dénominateur et effectuer l'action selon la règle de multiplication des fractions ordinaires, c'est-à-dire

2) 12,27 0,021.

La différence entre cet exemple et le précédent est qu’ici les deux facteurs sont représentés sous forme de fractions décimales. Mais ici, dans le processus de multiplication, nous ne ferons pas attention aux virgules, c'est-à-dire nous augmenterons temporairement le multiplicande de 100 fois, et le multiplicateur de 1 000 fois, ce qui augmentera le produit de 100 000 fois. Ainsi, en multipliant 1 227 par 21, on obtient :

1 227 21 = 25 767.

Considérant que le produit résultant est 100 000 fois plus grand que le produit réel, il faut maintenant le réduire de 100 000 fois en y plaçant correctement une virgule, on obtient alors :

32,27 0,021 = 0,25767.

Vérifions :

Ainsi, pour multiplier deux fractions décimales, il suffit, sans faire attention aux virgules, de les multiplier sous forme de nombres entiers et dans le produit de séparer autant de décimales par une virgule à droite qu'il y en avait dans le multiplicande et dans le multiplicateur ensemble.

Le dernier exemple a abouti à un produit avec cinq décimales. Si une telle précision n’est pas requise, la fraction décimale est arrondie. Lors de l'arrondi, vous devez utiliser la même règle que celle indiquée pour les nombres entiers.

§ 110. Multiplication à l'aide de tables.

La multiplication de nombres décimaux peut parfois être effectuée à l'aide de tableaux. À cette fin, vous pouvez, par exemple, utiliser ces tables de multiplication pour nombres à deux chiffres, dont la description a été donnée précédemment.

1) Multipliez 53 par 1,5.

Nous allons multiplier 53 par 15. Dans le tableau, ce produit est égal à 795. Nous avons trouvé le produit 53 par 15, mais notre deuxième facteur était 10 fois plus petit, ce qui signifie que le produit doit être réduit de 10 fois, c'est-à-dire

53 1,5 = 79,5.

2) Multipliez 5,3 par 4,7.

Premièrement, nous trouvons dans le tableau le produit de 53 par 47, ce sera 2 491. Mais comme nous avons augmenté le multiplicande et le multiplicateur d'un total de 100 fois, le produit résultant est 100 fois plus grand qu'il ne devrait l'être ; il faut donc réduire ce produit de 100 fois :

5,3 4,7 = 24,91.

3) Multipliez 0,53 par 7,4.

Tout d'abord, on retrouve dans le tableau le produit 53 par 74 ; ce sera 3 922. Mais comme nous avons augmenté le multiplicande de 100 fois et le multiplicateur de 10 fois, le produit a augmenté de 1 000 fois ; nous devons donc maintenant le réduire de 1 000 fois :

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Division des fractions décimales.

Nous allons diviser des fractions décimales dans cet ordre :

1. Diviser une fraction décimale par entier,

1. Divisez une fraction décimale par un nombre entier.

1) Divisez 2,46 par 2.

On a divisé par 2 d'abord le tout, puis les dixièmes et enfin les centièmes.

2) Divisez 32,46 par 3.

32,46: 3 = 10,82.

Nous avons divisé 3 dizaines par 3, puis avons commencé à diviser 2 unités par 3 ; puisque le nombre d'unités du dividende est (2) inférieur au diviseur(3), alors j'ai dû mettre 0 dans le quotient ; de plus, pour le reste, nous avons pris 4 dixièmes et divisé 24 dixièmes par 3 ; reçu 8 dixièmes dans le quotient et finalement divisé 6 centièmes.

3) Divisez 1,2345 par 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Ici, dans le quotient, la première place est zéro entier, puisqu'un entier n'est pas divisible par 5.

4) Divisez 13,58 par 4.

La particularité de cet exemple est que lorsqu'on a reçu 9 centièmes dans le quotient, on a découvert un reste égal à 2 centièmes, on a divisé ce reste en millièmes, on a obtenu 20 millièmes et on a complété la division.

Règle. La division d'une fraction décimale par un nombre entier s'effectue de la même manière que la division d'entiers, et les restes résultants sont convertis en fractions décimales, de plus en plus petites ; La division continue jusqu'à ce que le reste soit nul.

2. Divisez une décimale par une décimale.

1) Divisez 2,46 par 0,2.

Nous savons déjà comment diviser une fraction décimale par un nombre entier. Réfléchissons : est-il possible de réduire ce nouveau cas de division au précédent ? À une époque, nous considérions la propriété remarquable d'un quotient, qui consiste dans le fait qu'il reste inchangé lorsque le dividende et le diviseur augmentent ou diminuent simultanément du même nombre de fois. Nous pourrions facilement diviser les nombres qui nous sont donnés si le diviseur était un nombre entier. Pour ce faire, il suffit de l'augmenter de 10 fois, et pour obtenir le bon quotient, il faut augmenter le dividende du même montant, soit 10 fois. Alors la division de ces nombres sera remplacée par la division des nombres suivants :

De plus, il ne sera plus nécessaire d'apporter des modifications aux données.

Faisons cette division :

Donc 2,46 : 0,2 = 12,3.

2) Divisez 1,25 par 1,6.

On augmente le diviseur (1,6) de 10 fois ; pour que le quotient ne change pas, on augmente le dividende de 10 fois ; 12 entiers ne sont pas divisibles par 16, donc on écrit dans le quotient 0 et on divise 125 dixièmes par 16, on obtient 7 dixièmes dans le quotient et le reste est 13. On divise 13 dixièmes en centièmes en attribuant zéro et on divise 130 centièmes par 16 , etc. Veuillez noter ce qui suit :

a) lorsqu'il n'y a pas d'entiers dans un particulier, alors des entiers nuls sont écrits à leur place ;

b) lorsque, après avoir ajouté le chiffre du dividende au reste, on obtient un nombre qui n'est pas divisible par le diviseur, alors zéro est écrit dans le quotient ;

c) lorsque, après avoir supprimé le dernier chiffre du dividende, la division ne se termine pas, alors, en ajoutant des zéros au reste, la division continue ;

d) si le dividende est un nombre entier, alors lorsqu'il est divisé par une fraction décimale, il est augmenté en y ajoutant des zéros.

Ainsi, pour diviser un nombre par une fraction décimale, vous devez supprimer la virgule dans le diviseur, puis augmenter le dividende autant de fois que le diviseur a augmenté en supprimant la virgule, puis effectuer la division selon la règle pour diviser une fraction décimale par un nombre entier.

§ 112. Quotients approximatifs.

Dans le paragraphe précédent, nous avons examiné la division de fractions décimales et dans tous les exemples que nous avons résolus, la division était terminée, c'est-à-dire qu'un quotient exact était obtenu. Cependant, dans la plupart des cas, un quotient exact ne peut pas être obtenu, quelle que soit la longueur de la division. En voici un exemple : divisez 53 par 101.

Nous avons déjà reçu cinq chiffres dans le quotient, mais la division n'est pas encore terminée et il n'y a aucun espoir qu'elle se termine un jour, puisque dans le reste nous commençons à avoir des nombres déjà rencontrés auparavant. Dans le quotient, les nombres seront également répétés : il est évident qu'après le chiffre 7 apparaîtra le chiffre 5, puis 2, etc. à l'infini. Dans de tels cas, la division est interrompue et limitée aux premiers chiffres du quotient. Ce quotient s'appelle les proches. Nous montrerons avec des exemples comment effectuer une division.

Disons que nous devons diviser 25 par 3. Évidemment, un quotient exact, exprimé sous forme d'entier ou de fraction décimale, ne peut être obtenu à partir d'une telle division. On cherchera donc un quotient approximatif :

25 : 3 = 8 et reste 1

Le quotient approximatif est de 8 ; il est bien entendu inférieur au quotient exact, car il y a un reste 1. Pour obtenir le quotient exact, il faut ajouter la fraction obtenue en divisant le reste égal à 1 par 3 au quotient approximatif trouvé, c'est-à-dire , à 8 ; ce sera une fraction 1/3. Cela signifie que le quotient exact sera exprimé sous la forme d'un nombre fractionnaire 8 1/3. Puisque 1/3 est une fraction propre, c'est-à-dire une fraction, moins d'un, alors, en le rejetant, nous autoriserons erreur, lequel moins d'un. Le quotient 8 sera Quotient approximatif jusqu'à l'unité avec un désavantage. Si au lieu de 8 nous prenons 9 dans le quotient, alors nous autoriserons également une erreur inférieure à un, puisque nous n'ajouterons pas l'unité entière, mais 2/3. Une telle volonté privée Quotient approximatif à un près avec excès.

Prenons maintenant un autre exemple. Disons que nous devons diviser 27 par 8. Comme nous n’obtiendrons pas ici un quotient exact exprimé sous forme d’entier, nous chercherons un quotient approximatif :

27 : 8 = 3 et reste 3.

Ici, l'erreur est égale à 3/8, elle est inférieure à un, ce qui signifie que le quotient approximatif (3) s'est avéré précis à un avec un désavantage. Continuons la division : divisons les 3 restes en dixièmes, nous obtenons 30 dixièmes ; divisez-les par 8.

Nous avons obtenu 3 dans le quotient à la place des dixièmes et 6 dixièmes dans le reste. Si nous nous limitons au nombre 3,3 et écartons le reste 6, alors nous autoriserons une erreur inférieure à un dixième. Pourquoi? Parce que le quotient exact serait obtenu en ajoutant à 3,3 le résultat de la division de 6 dixièmes par 8 ; cette division donnerait 6/80, soit moins d'un dixième. (Vérifiez !) Ainsi, si dans le quotient on se limite aux dixièmes, alors on peut dire que l'on a trouvé le quotient précis au dixième près(avec un inconvénient).

Continuons la division pour trouver une autre décimale. Pour ce faire, on divise 6 dixièmes en centièmes et on obtient 60 centièmes ; divisez-les par 8.

Dans le quotient à la troisième place, il s'est avéré être 7 et le reste 4 centièmes ; si nous les écartons, nous autoriserons une erreur inférieure à un centième, car 4 centièmes divisés par 8 sont inférieurs à un centième. Dans de tels cas, on dit que le quotient a été trouvé précis au centième(avec un inconvénient).

Dans l’exemple que nous examinons maintenant, nous pouvons obtenir le quotient exact exprimé sous forme de fraction décimale. Pour ce faire, il suffit de diviser le dernier reste, 4 centièmes, en millièmes et de diviser par 8.

Cependant, dans la grande majorité des cas, il est impossible d’obtenir un quotient exact et il faut se limiter à ses valeurs approximatives. Nous allons maintenant regarder cet exemple :

40: 7 = 5,71428571...

Les points placés à la fin du nombre indiquent que la division n'est pas terminée, c'est à dire que l'égalité est approximative. Habituellement, l'égalité approximative s'écrit comme suit :

40: 7 = 5,71428571.

Nous avons pris le quotient avec huit décimales. Mais si une telle précision n'est pas requise, on peut se limiter à la seule partie entière du quotient, c'est-à-dire le nombre 5 (plus précisément 6) ; pour plus de précision, on pourrait prendre en compte les dixièmes et prendre le quotient égal à 5,7 ; si, pour une raison quelconque, cette précision est insuffisante, vous pouvez alors vous arrêter aux centièmes et prendre 5,71, etc. Écrivons les quotients individuels et nommons-les.

Le premier quotient approximatif précis à un 6.

Seconde » » » au dixième 5.7.

Troisième » » » au centième 5,71.

Quatrième » » » au millième 5,714.

Ainsi, afin de trouver un quotient approximatif précis à certains près, par exemple à la 3ème décimale (c'est-à-dire jusqu'au millième), arrêtez la division dès que ce signe est trouvé. Dans ce cas, vous devez rappeler la règle énoncée au § 40.

§ 113. Les problèmes les plus simples impliquant des pourcentages.

Après avoir appris les nombres décimaux, nous ferons quelques problèmes supplémentaires en pourcentage.

Ces problèmes sont similaires à ceux que nous avons résolus dans le département des fractions ; mais maintenant nous allons écrire les centièmes sous forme de fractions décimales, c'est-à-dire sans dénominateur explicitement désigné.

Tout d'abord, vous devez pouvoir passer facilement d'une fraction ordinaire à une fraction décimale avec un dénominateur de 100. Pour ce faire, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur :

Le tableau ci-dessous montre comment un nombre avec un symbole % (pourcentage) est remplacé par une fraction décimale avec un dénominateur de 100 :

Considérons maintenant plusieurs problèmes.

1. Trouver le pourcentage d'un nombre donné.

Tâche 1. Seulement 1 600 personnes vivent dans un seul village. Nombre d'enfants âge scolaire représente 25% du nombre total de résidents. Combien d’enfants en âge scolaire y a-t-il dans ce village ?

Dans ce problème, vous devez trouver 25 %, ou 0,25, de 1 600. Le problème est résolu en multipliant :

1 600 0,25 = 400 (enfants).

Par conséquent, 25 % de 1 600 équivaut à 400.

Pour bien comprendre cette tâche, il est utile de rappeler que pour cent de la population, il y a 25 enfants en âge scolaire. Par conséquent, pour trouver le nombre de tous les enfants d’âge scolaire, vous pouvez d’abord déterminer combien de centaines il y a dans le nombre 1 600 (16), puis multiplier 25 par le nombre de centaines (25 x 16 = 400). De cette façon, vous pouvez vérifier la validité de la solution.

Tâche 2. Les caisses d'épargne offrent aux déposants un rendement annuel de 2 %. Quel revenu un déposant recevra-t-il par an s'il met à la caisse : a) 200 roubles ? b) 500 roubles ? c) 750 roubles ? d) 1000 roubles.?

Dans les quatre cas, pour résoudre le problème, vous devrez calculer 0,02 des montants indiqués, c'est-à-dire chacun de ces nombres devra être multiplié par 0,02. Faisons ceci :

a) 200 0,02 = 4 (frotter),

b) 500 0,02 = 10 (frotter),

c) 750 0,02 = 15 (frotter),

d) 1 000 0,02 = 20 (frottement).

Chacun de ces cas peut être vérifié par les considérations suivantes. Les caisses d'épargne accordent aux déposants 2% de revenus, soit 0,02 du montant déposé en épargne. Si le montant était de 100 roubles, alors 0,02 de ce montant équivaudrait à 2 roubles. Cela signifie que chaque centaine rapporte à l'investisseur 2 roubles. revenu. Par conséquent, dans chacun des cas considérés, il suffit de déterminer combien de centaines il y a dans un nombre donné et de multiplier 2 roubles par ce nombre de centaines. Dans l'exemple a) il y a 2 centaines, ce qui signifie

2 2 = 4 (frotter.).

Dans l'exemple d) il y a 10 centaines, ce qui signifie

2 10 = 20 (frotter.).

2. Trouver un nombre par son pourcentage.

Tâche 1. L'école a diplômé 54 étudiants au printemps, ce qui représente 6 % de ses effectifs totaux. Combien d’élèves y avait-il dans l’école l’année dernière ? année académique?

Précisons d'abord le sens de cette tâche. L'école a diplômé 54 élèves, soit 6 % du nombre total d'élèves, soit, en d'autres termes, 6 centièmes (0,06) de tous les élèves de l'école. Cela signifie que nous connaissons la part des élèves exprimée par le nombre (54) et la fraction (0,06), et à partir de cette fraction nous devons trouver le nombre entier. Ainsi, devant nous tâche ordinaire trouver un nombre à partir de sa fraction (§90 p.6). Les problèmes de ce type sont résolus par division :

Cela signifie qu'il n'y avait que 900 élèves dans l'école.

Il est utile de vérifier de tels problèmes en résolvant le problème inverse, c'est-à-dire qu'après avoir résolu le problème, vous devez, au moins dans votre tête, résoudre un problème du premier type (trouver le pourcentage d'un nombre donné) : prendre le nombre trouvé ( 900) tel que donné et trouvez le pourcentage indiqué dans le problème résolu, à savoir :

900 0,06 = 54.

Tâche 2. La famille dépense 780 roubles par mois en nourriture, ce qui représente 65 % des revenus mensuels du père. Déterminez son revenu mensuel.

Cette tâche a la même signification que la précédente. Il donne une partie du salaire mensuel, exprimée en roubles (780 roubles), et indique que cette partie représente 65 %, soit 0,65, du salaire total. Et ce que vous recherchez, ce sont tous les gains :

780: 0,65 = 1 200.

Par conséquent, le revenu requis est de 1 200 roubles.

3. Trouver le pourcentage de nombres.

Tâche 1. DANS bibliothèque scolaire seulement 6 000 livres. Parmi eux figurent 1 200 livres de mathématiques. Quel pourcentage de livres de mathématiques représentent le nombre total de livres de la bibliothèque ?

Nous avons déjà considéré (§97) des problèmes de ce genre et sommes arrivés à la conclusion que pour calculer le pourcentage de deux nombres, il faut trouver le rapport de ces nombres et le multiplier par 100.

Dans notre problème, nous devons trouver le rapport en pourcentage des nombres 1 200 et 6 000.

Trouvons d'abord leur rapport, puis multiplions-le par 100 :

Ainsi, le pourcentage des nombres 1 200 et 6 000 est de 20. En d’autres termes, les livres de mathématiques représentent 20 % du nombre total de tous les livres.

Pour vérifier, résolvons le problème inverse : trouvons 20 % de 6 000 :

6 000 0,2 = 1 200.

Tâche 2. L'usine devrait recevoir 200 tonnes de charbon. 80 tonnes ont déjà été livrées. Quel pourcentage de charbon a été livré à l'usine ?

Ce problème demande quel pourcentage représente un nombre (80) par rapport à un autre (200). Le rapport de ces chiffres sera de 80/200. Multiplions-le par 100 :

Cela signifie que 40 % du charbon a été livré.