Décimal fraction- variété fractions, qui a un nombre « rond » au dénominateur : 10, 100, 1000, etc., Par exemple, fraction 5/10 a une notation décimale de 0,5. Partant de ce principe, fraction peut être représenté dans formulaire décimal fractions.

Instructions

Disons que nous devons imaginer dans formulaire décimal fraction 18/25.
Vous devez d'abord vous assurer que l'un des nombres « ronds » apparaît au dénominateur : 100, 1000, etc. Pour ce faire, vous devez multiplier le dénominateur par 4. Mais vous devrez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par 4.

Multiplier le numérateur et le dénominateur fractions 18/25 par 4, il s'avère 72/100. Ceci est enregistré fraction en décimal formulaire donc : 0,72.

En mathématiques, une fraction est un nombre rationnel égal à une ou plusieurs parties en lesquelles l'unité est divisée. Dans ce cas, l'enregistrement de la fraction doit contenir l'indication de deux nombres : l'un d'eux indique exactement en combien d'actions la part a été divisée lors de la création de cette fraction, et l'autre indique combien de ces actions comprend la fraction. Si ces deux nombres s’écrivent sous la forme d’un numérateur et d’un dénominateur séparés par une ligne, alors ce format d’enregistrement est appelé fraction « commune ». Il existe cependant un autre format pour écrire des fractions appelé « décimal ».

La forme d'écriture des nombres à trois étages, dans laquelle le dénominateur est situé au-dessus du numérateur et il y a également une ligne de démarcation entre eux, n'est pas toujours pratique. Cet inconvénient a surtout commencé à se manifester avec la diffusion massive des ordinateurs personnels. La forme décimale de représentation des fractions n'a pas cet inconvénient - elle ne nécessite pas de préciser le numérateur, puisque par définition il est toujours égal à dix à la puissance négative. Par conséquent, un nombre fractionnaire peut être écrit sur une seule ligne, bien que sa longueur soit dans la plupart des cas beaucoup plus grande que la longueur de la fraction ordinaire correspondante.

Un autre avantage de l’écriture des nombres sous forme décimale est qu’ils sont beaucoup plus faciles à comparer. Étant donné que le dénominateur de chaque chiffre de deux de ces nombres est le même, il suffit de comparer seulement deux chiffres des chiffres correspondants, tandis que lors de la comparaison de fractions ordinaires, il est nécessaire de prendre en compte à la fois le numérateur et le dénominateur de chacun d'eux. Cet avantage est important non seulement pour les humains, mais aussi pour les ordinateurs : comparer des nombres au format décimal est assez simple à programmer.

Il existe des règles séculaires pour l'addition, la multiplication et d'autres opérations mathématiques qui vous permettent d'effectuer des calculs sur papier ou de tête avec des nombres au format décimal. C'est un autre avantage de ce format par rapport aux fractions ordinaires. Cependant, avec le développement de la technologie informatique, même les montres disposent d'une calculatrice, cela devient de moins en moins visible.

Les avantages décrits du format décimal pour l'enregistrement des nombres fractionnaires montrent que son objectif principal est de simplifier le travail avec des quantités mathématiques. Ce format présente également des inconvénients - par exemple, pour écrire des fractions périodiques dans une fraction décimale, vous devez également ajouter un nombre entre parenthèses, et les nombres non rationnels au format décimal ont toujours une valeur approximative. Cependant, au niveau actuel de développement des personnes et de leurs technologies, il est beaucoup plus pratique à utiliser que le format habituel pour écrire des fractions.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance naturelle de 10. C'est par exemple la fraction. Cette fraction peut s'écrire sous la forme suivante : écrivez les chiffres du numérateur sur une ligne et séparez autant de avec une virgule à droite car il y a des zéros au dénominateur, à savoir :

Dans une telle notation, les nombres à gauche de la décimale forment la partie entière et les nombres à droite de la décimale forment la partie fractionnaire de la fraction décimale donnée.

Soit p/q un nombre rationnel positif. En arithmétique, le processus de division est bien connu, vous permettant de représenter un nombre sous forme de fraction décimale. L’essence du processus de division est de trouver d’abord le plus grand nombre entier de fois où q est contenu dans p ; si p est un multiple de q, alors c'est là que se termine le processus de division. Sinon, un reste apparaît. Ensuite, ils trouvent combien de dixièmes de q ce résidu contient, et à cette étape le processus peut se terminer, ou un nouveau résidu apparaîtra. Dans ce dernier cas, trouvez combien de centièmes de q il contient, etc.

Si le dénominateur q n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 ou 5, alors après un nombre fini d'étapes, le reste sera égal à zéro, le processus de division se terminera et la fraction ordinaire donnée se transformera en une fraction décimale finale. En fait, dans ce cas, il est toujours possible de sélectionner un nombre entier tel qu'après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée par celui-ci, on obtienne une fraction égale, dans laquelle le dénominateur représentera une puissance naturelle de dix. Par exemple, c'est la fraction

qui peut être représenté ainsi :

Cependant, sans effectuer ces transformations, en divisant le numérateur par le dénominateur, le lecteur obtiendra le même résultat :

Si le dénominateur d'une fraction irréductible a au moins un diviseur premier autre que 2 ou 5, alors le processus de division par q ne se terminera jamais (aucun des restes suivants n'ira à zéro).

Après avoir effectué la division, nous trouvons

Pour écrire le résultat obtenu dans cet exemple, les nombres 0 et 6 répétitifs périodiquement sont mis entre parenthèses et écrits :

Dans cet exemple et d’autres cas similaires, l’action de division n’aboutit pas à un résultat final sous forme décimale. Il est possible, en généralisant la notion de fraction décimale, de dire encore que le quotient 965/132 est représenté par une fraction périodique infinie. Les nombres répétitifs 06 sont appelés la période de cette fraction, et leur nombre, égal dans notre exemple, est la durée de la période.

Pour comprendre la raison du phénomène de périodicité d'une fraction, examinons, par exemple, le processus de division par 7. Si la division n'est pas complètement effectuée, alors un reste apparaît, qui ne peut avoir qu'une des valeurs suivantes : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Et à chacune des étapes suivantes, le reste aura à nouveau l'une de ces six valeurs. Par conséquent, au plus tard à la septième étape, nous rencontrerons inévitablement l'une des valeurs restantes déjà apparues auparavant. À partir de ce point, le processus de division deviendra périodique. Les valeurs des soldes et les nombres du quotient seront répétés périodiquement. Le même raisonnement s'applique à tout autre diviseur.

Ainsi, chaque fraction ordinaire est représentée comme une fraction décimale périodique finie ou infinie. Il est remarquable qu’à l’inverse, toute fraction décimale périodique puisse être représentée comme une fraction ordinaire. Montrons comment cette action est effectuée. Dans ce cas, la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est utilisée (article 92).

peut être compris de cette façon :

ici les termes du côté droit, en partant du second, forment une progression géométrique infinie avec le dénominateur et le premier terme

En utilisant la formule (92.2) :

Il est clair que le même processus permettra de représenter toute fraction périodique infinie donnée sous la forme d'une fraction ordinaire (et, comme on peut le montrer, précisément celle à partir de laquelle, en cours de division, la fraction périodique infinie donnée en le tour est obtenu). Il y a cependant une exception ici. Considérons la fraction

et appliquez le processus de conversion en une fraction commune :

Nous sommes arrivés au nombre 1/2, qui semble être une fraction décimale finie

Un résultat similaire sera obtenu chaque fois que la période d'une fraction infinie donnée a la forme (9). On identifie donc des paires de nombres comme, par exemple,

Parfois, il est utile d'autoriser également les enregistrements sous la forme

représentant formellement les fractions décimales finies comme infinies avec une période (0).

Tout ce qui a été dit sur la conversion d'une fraction ordinaire en une fraction décimale périodique et vice versa s'appliquait aux nombres rationnels positifs. Dans le cas d’un nombre négatif, vous pouvez procéder de deux manières.

1) Prenez le nombre positif en face du nombre négatif donné, convertissez-le en décimal, puis placez un signe moins devant lui. Par exemple, pour - 5/3 on obtient

2) Présentez un nombre rationnel négatif donné comme la somme de sa partie entière (négative) et de sa partie fractionnaire (non négative), puis convertissez uniquement cette partie fractionnaire du nombre en une fraction décimale. Par exemple:

Pour écrire des nombres présentés comme la somme de leur partie entière négative et d'une fraction décimale finie ou infinie, la notation suivante est acceptée (une forme artificielle d'écriture d'un nombre négatif) :

Ici, le signe moins n'est pas placé devant la fraction entière, mais au-dessus de sa partie entière, pour souligner que seule la partie entière est négative et que la partie fractionnaire qui suit la virgule décimale est positive.

Cette notation crée une uniformité dans la notation des fractions décimales positives et négatives et sera utilisée à l'avenir dans la théorie des logarithmes décimaux (section 28). Pour la pratique, nous invitons le lecteur à vérifier le passage d'un enregistrement à l'autre dans les exemples :

Nous pouvons maintenant formuler la conclusion finale : tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction périodique décimale infinie et, à l'inverse, chacune de ces fractions spécifie un nombre rationnel. La fraction décimale finie permet également deux formes d'écriture sous forme de fraction décimale infinie : avec un point (0) et avec un point (9).

Déjà à l'école primaire, les élèves sont exposés aux fractions. Et puis ils apparaissent dans tous les sujets. Vous ne pouvez pas oublier les actions avec ces chiffres. Par conséquent, vous devez connaître toutes les informations sur les fractions ordinaires et décimales. Ces notions ne sont pas compliquées, l'essentiel est de tout comprendre dans l'ordre.

Pourquoi les fractions sont-elles nécessaires ?

Le monde qui nous entoure est constitué d’objets entiers. Il n’est donc pas nécessaire d’avoir des actions. Mais la vie quotidienne pousse constamment les gens à travailler avec des parties d'objets et de choses.

Par exemple, le chocolat est composé de plusieurs morceaux. Considérons une situation où sa tuile est formée de douze rectangles. Si vous le divisez en deux, vous obtenez 6 parties. On peut facilement le diviser en trois. Mais il ne sera pas possible de donner à cinq personnes un nombre entier de tranches de chocolat.

D’ailleurs, ces tranches sont déjà des fractions. Et leur division ultérieure conduit à l'apparition de nombres plus complexes.

Qu'est-ce qu'une « fraction » ?

Il s'agit d'un nombre composé de parties d'une unité. Extérieurement, cela ressemble à deux nombres séparés par une barre horizontale ou une barre oblique. Cette fonctionnalité est appelée fractionnaire. Le nombre écrit en haut (à gauche) s’appelle le numérateur. Ce qui se trouve en bas (à droite) est le dénominateur.

Essentiellement, la barre oblique s’avère être un signe de division. Autrement dit, le numérateur peut être appelé dividende et le dénominateur, diviseur.

Quelles fractions existe-t-il ?

En mathématiques, il n’en existe que deux types : les fractions ordinaires et décimales. Les écoliers font la connaissance des premiers à l’école primaire, les appelant simplement « fractions ». Cette dernière sera apprise en 5ème année. C'est alors que ces noms apparaissent.

Les fractions communes sont toutes celles qui s'écrivent sous la forme de deux nombres séparés par une ligne. Par exemple, 4/7. Un nombre décimal est un nombre dans lequel la partie fractionnaire a une notation positionnelle et est séparée du nombre entier par une virgule. Par exemple, 4.7. Les élèves doivent clairement comprendre que les deux exemples donnés sont des nombres complètement différents.

Chaque fraction simple peut être écrite sous forme décimale. Cette affirmation est presque toujours vraie à l’envers. Il existe des règles qui permettent d'écrire une fraction décimale comme une fraction commune.

Quels sous-types ont ces types de fractions ?

Il est préférable de commencer par ordre chronologique, au fur et à mesure qu'ils sont étudiés. Les fractions communes viennent en premier. Parmi elles, on distingue 5 sous-espèces.

Correct. Son numérateur est toujours inférieur à son dénominateur.

Faux. Son numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.

Réductible/irréductible. Cela peut s’avérer soit juste, soit faux. Une autre chose importante est de savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs. S'il y en a, il est alors nécessaire de diviser les deux parties de la fraction par elles, c'est-à-dire de la réduire.

Mixte. Un entier est affecté à sa partie fractionnaire régulière (irrégulière) habituelle. De plus, il est toujours à gauche.

Composite. Il est formé de deux fractions divisées l’une par l’autre. Autrement dit, il contient trois lignes fractionnaires à la fois.

Les fractions décimales n'ont que deux sous-types :

fini, c'est-à-dire celui dont la partie fractionnaire est limitée (a une fin) ;

infini - un nombre dont les chiffres après la virgule ne se terminent pas (ils peuvent être écrits à l'infini).

Comment convertir une fraction décimale en fraction commune ?

S'il s'agit d'un nombre fini, alors une association est appliquée sur la base de la règle - comme j'entends, c'est ainsi que j'écris. Autrement dit, vous devez le lire correctement et l'écrire, mais sans virgule, mais avec une barre fractionnaire.

À titre indicatif sur le dénominateur requis, vous devez vous rappeler qu'il s'agit toujours d'un et de plusieurs zéros. Il faut en écrire autant qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre en question.

Comment convertir des fractions décimales en fractions ordinaires si leur partie entière est manquante, c'est-à-dire égale à zéro ? Par exemple, 0,9 ou 0,05. Après avoir appliqué la règle spécifiée, il s'avère que vous devez écrire des entiers nuls. Mais ce n’est pas indiqué. Il ne reste plus qu'à noter les parties fractionnaires. Le premier nombre aura un dénominateur de 10, le second aura un dénominateur de 100. C'est-à-dire que les exemples donnés auront les nombres suivants comme réponses : 9/10, 5/100. De plus, il s'avère que ce dernier peut être réduit de 5. Par conséquent, le résultat doit être écrit sous la forme 1/20.

Comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire si sa partie entière est différente de zéro ? Par exemple, 5.23 ou 13.00108. Dans les deux exemples, la partie entière est lue et sa valeur est écrite. Dans le premier cas c'est 5, dans le second c'est 13. Il faut ensuite passer à la partie fractionnaire. La même opération est censée être réalisée avec eux. Le premier nombre apparaît 23/100, le second - 108/100000. La deuxième valeur doit être à nouveau réduite. La réponse donne les fractions mixtes suivantes : 5 23/100 et 13 27/25000.

Comment convertir une fraction décimale infinie en fraction ordinaire ?

Si elle n’est pas périodique, une telle opération ne sera pas possible. Ce fait est dû au fait que chaque fraction décimale est toujours convertie en fraction finie ou périodique.

La seule chose que l’on puisse faire avec une telle fraction est de l’arrondir. Mais alors la décimale sera approximativement égale à cet infini. Il peut déjà être transformé en un appareil ordinaire. Mais le processus inverse : la conversion en décimal ne donnera jamais la valeur initiale. Autrement dit, les fractions infinies non périodiques ne sont pas converties en fractions ordinaires. Il faut s'en souvenir.

Comment écrire une fraction périodique infinie comme une fraction ordinaire ?

Dans ces nombres, il y a toujours un ou plusieurs chiffres après la virgule qui sont répétés. On les appelle une période. Par exemple, 0,3(3). Ici, "3" est dans le point. Elles sont classées comme rationnelles car elles peuvent être converties en fractions ordinaires.

Ceux qui ont rencontré les fractions périodiques savent qu'elles peuvent être pures ou mélangées. Dans le premier cas, le point commence immédiatement à partir de la virgule. Dans la seconde, la partie fractionnaire commence par quelques chiffres, puis la répétition commence.

La règle par laquelle vous devez écrire une décimale infinie sous forme de fraction commune sera différente pour les deux types de nombres indiqués. Il est assez simple d’écrire des fractions périodiques pures sous forme de fractions ordinaires. Comme pour les finis, il faut les convertir : notez le point au numérateur, et le dénominateur sera le nombre 9, répété autant de fois que le nombre de chiffres que contient le point.

Par exemple, 0,(5). Le nombre n'a pas de partie entière, vous devez donc commencer immédiatement par la partie fractionnaire. Écrivez 5 comme numérateur et 9 comme dénominateur. Autrement dit, la réponse sera la fraction 5/9.

La règle sur la façon d’écrire une fraction périodique décimale ordinaire qui est mixte.

Regardez la durée de la période. C'est le nombre de 9 que le dénominateur aura.

Notez le dénominateur : d'abord neuf, puis des zéros.

Pour déterminer le numérateur, vous devez noter la différence entre deux nombres. Tous les nombres après la virgule seront réduits, ainsi que le point. Franchise - c'est sans période.

Par exemple, 0,5(8) - écrivez la fraction décimale périodique sous forme de fraction commune. La partie fractionnaire avant le point contient un chiffre. Il y aura donc un zéro. Il n'y a également qu'un seul chiffre dans la période - 8. Autrement dit, il n'y a qu'un seul neuf. Autrement dit, vous devez écrire 90 au dénominateur.

Pour déterminer le numérateur, vous devez soustraire 5 de 58. Vous obtenez 53. Par exemple, vous devrez écrire la réponse sous la forme 53/90.

Comment les fractions sont-elles converties en décimales ?

L'option la plus simple est un nombre dont le dénominateur est le nombre 10, 100, etc. Ensuite, le dénominateur est simplement supprimé et une virgule est placée entre les parties fractionnaire et entière.

Il existe des situations où le dénominateur se transforme facilement en 10, 100, etc. Par exemple, les nombres 5, 20, 25. Il suffit de les multiplier respectivement par 2, 5 et 4. Il vous suffit de multiplier non seulement le dénominateur, mais aussi le numérateur par le même nombre.

Pour tous les autres cas, une règle simple est utile : diviser le numérateur par le dénominateur. Dans ce cas, vous pouvez obtenir deux réponses possibles : une fraction décimale finie ou périodique.

Opérations avec des fractions ordinaires

Addition et soustraction

Les étudiants les connaissent plus tôt que les autres. De plus, au début les fractions ont les mêmes dénominateurs, puis elles en ont des différents. Les règles générales peuvent être réduites à ce plan.

Trouvez le plus petit commun multiple des dénominateurs.

Écrivez des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ordinaires.

Multipliez les numérateurs et les dénominateurs par les facteurs qui leur sont spécifiés.

Ajoutez (soustrayez) les numérateurs des fractions et laissez le dénominateur commun inchangé.

Si le numérateur du minuend est inférieur au sous-trahend, alors nous devons savoir si nous avons un nombre fractionnaire ou une fraction propre.

Dans le premier cas, il faut en emprunter un sur la pièce entière. Ajoutez le dénominateur au numérateur de la fraction. Et puis faites la soustraction.

Dans le second, il faut appliquer la règle de soustraire un plus grand nombre à un plus petit nombre. Autrement dit, du module du soustrahend, soustrayez le module du minuend et, en réponse, mettez le signe «-».

Regardez attentivement le résultat de l'addition (soustraction). Si vous obtenez une fraction impropre, vous devez alors sélectionner la partie entière. Autrement dit, divisez le numérateur par le dénominateur.

Multiplication et division

Pour les réaliser, les fractions n'ont pas besoin d'être réduites à un dénominateur commun. Cela facilite l'exécution d'actions. Mais ils exigent quand même que vous suiviez les règles.

Lorsque vous multipliez des fractions, vous devez examiner les nombres aux numérateurs et aux dénominateurs. Si un numérateur et un dénominateur ont un facteur commun, ils peuvent alors être réduits.

Multipliez les numérateurs.

Multipliez les dénominateurs.

Si le résultat est une fraction réductible, il faut alors la simplifier à nouveau.

Lors de la division, vous devez d'abord remplacer la division par la multiplication, et le diviseur (deuxième fraction) par la fraction réciproque (intervertir le numérateur et le dénominateur).

Procédez ensuite comme pour la multiplication (en partant du point 1).

Dans les tâches où vous devez multiplier (diviser) par un nombre entier, ce dernier doit être écrit sous forme de fraction impropre. C'est-à-dire avec un dénominateur de 1. Ensuite, agissez comme décrit ci-dessus.



Opérations avec des décimales

Addition et soustraction

Bien entendu, vous pouvez toujours convertir un nombre décimal en fraction. Et agissez selon le plan déjà décrit. Mais il est parfois plus pratique d’agir sans cette traduction. Ensuite, les règles pour leur addition et leur soustraction seront exactement les mêmes.

Égalisez le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre, c'est-à-dire après la virgule décimale. Ajoutez-y le nombre de zéros manquants.

Écrivez les fractions de manière à ce que la virgule soit en dessous de la virgule.

Additionnez (soustrayez) comme des nombres naturels.

Supprimez la virgule.

Multiplication et division

Il est important que vous n'ayez pas besoin d'ajouter des zéros ici. Les fractions doivent être laissées telles qu’elles sont données dans l’exemple. Et puis procédez comme prévu.

Pour multiplier, vous devez écrire les fractions les unes en dessous des autres, en ignorant les virgules.

Multipliez comme des nombres naturels.

Placez une virgule dans la réponse, en comptant à partir de l’extrémité droite de la réponse autant de chiffres qu’il y en a dans les parties fractionnaires des deux facteurs.

Pour diviser, il faut d’abord transformer le diviseur : en faire un nombre naturel. Autrement dit, multipliez-le par 10, 100, etc., en fonction du nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du diviseur.

Multipliez le dividende par le même nombre.

Divisez une fraction décimale par un nombre naturel.

Placez une virgule dans votre réponse au moment où se termine la division de la partie entière.



Et si un exemple contenait les deux types de fractions ?

Oui, en mathématiques, il existe souvent des exemples dans lesquels vous devez effectuer des opérations sur des fractions ordinaires et décimales. Dans de telles tâches, il existe deux solutions possibles. Vous devez peser objectivement les chiffres et choisir le chiffre optimal.

Première façon : représenter des décimales ordinaires

Cela convient si la division ou la traduction aboutit à des fractions finies. Si au moins un nombre donne une partie périodique, alors cette technique est interdite. Par conséquent, même si vous n’aimez pas travailler avec des fractions ordinaires, vous devrez les compter.

Deuxième façon : écrire les fractions décimales comme d'habitude

Cette technique s'avère pratique si la partie après la virgule décimale contient 1 à 2 chiffres. S'il y en a plus, vous risquez de vous retrouver avec une fraction commune très grande et la notation décimale rendra la tâche plus rapide et plus facile à calculer. Par conséquent, vous devez toujours évaluer sobrement la tâche et choisir la méthode de solution la plus simple.

Dans cet article, nous verrons comment convertir des fractions en décimales, et considérons également le processus inverse : convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Ici, nous décrirons les règles de conversion des fractions et fournirons des solutions détaillées à des exemples typiques.

Navigation dans les pages.

Conversion de fractions en décimales

Désignons l'ordre dans lequel nous traiterons convertir des fractions en décimales.

Tout d’abord, nous verrons comment représenter les fractions avec des dénominateurs 10, 100, 1 000,… sous forme de décimales. Cela s'explique par le fait que les fractions décimales sont essentiellement une forme compacte d'écriture de fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, ....

Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment écrire n'importe quelle fraction ordinaire (pas seulement celles dont les dénominateurs sont 10, 100, ...) sous forme de fraction décimale. Lorsque les fractions ordinaires sont traitées de cette manière, on obtient à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.

Parlons maintenant de tout dans l'ordre.

Conversion de fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales

Certaines fractions appropriées nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, la fraction commune 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, mais la fraction 9/10 ne nécessite aucune préparation.

La « préparation préliminaire » des fractions ordinaires appropriées pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter autant de zéros à gauche du numérateur que le nombre total de chiffres y soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, une fraction après avoir ajouté des zéros ressemblera à .

Une fois que vous avez préparé une fraction appropriée, vous pouvez commencer à la convertir en décimal.

Donne moi règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1 000, ... en une fraction décimale. Il se compose de trois étapes :

• écrivez 0 ;
• après cela, nous mettons un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les ajoutons).

Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Convertissez la fraction appropriée 37/100 en un nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre 100, qui comporte deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, sa notation comporte deux chiffres, cette fraction n'a donc pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et écrivons le nombre 37 à partir du numérateur, et nous obtenons la fraction décimale 0,37.

Répondre:

0,37 .

Pour renforcer les compétences de conversion de fractions ordinaires appropriées avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction appropriée 107/10 000 000 sous forme décimale.

Solution.

Le nombre de chiffres au numérateur est 3 et le nombre de zéros au dénominateur est 7, cette fraction commune doit donc être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3=4 zéros à gauche du numérateur pour que le nombre total de chiffres soit égal au nombre de zéros au dénominateur. On a.

Il ne reste plus qu'à créer la fraction décimale requise. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros 0000107, nous obtenons ainsi une fraction décimale 0,0000107.

Répondre:

0,0000107 .

Les fractions incorrectes ne nécessitent aucune préparation lors de la conversion en décimales. Ce qui suit doit être respecté règles pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales:

• notez le nombre à partir du numérateur ;
• Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Regardons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction impropre 56 888 038 009/100 000 en décimale.

Solution.

Premièrement, nous notons le nombre à partir du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons les 5 chiffres de droite par un point décimal, puisque le dénominateur de la fraction originale a 5 zéros. En conséquence, nous avons la fraction décimale 568880,38009.

Répondre:

568 880,38009 .

Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre fractionnaire en une fraction ordinaire impropre, puis convertir le résultat obtenu. fraction en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec un dénominateur fractionnaire de 10, ou 100, ou 1 000, ... en fractions décimales:

• si nécessaire, nous effectuons une « préparation préliminaire » de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire original en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche au numérateur ;
• notez la partie entière du nombre mixte original ;
• mettre un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple dans lequel nous effectuons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.

Exemple.

Convertissez le nombre fractionné en nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur de la partie fractionnaire a 4 zéros et le numérateur contient le nombre 17, composé de 2 chiffres, nous devons donc ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal au nombre de des zéros au dénominateur. Ceci fait, le numérateur sera 0017.

Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons la décimale souhaitée. fraction 23,0017.

Écrivons brièvement toute la solution : .

Bien entendu, il était possible de représenter d’abord le nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction impropre, puis de le convertir en fraction décimale. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci : .

Répondre:

23,0017 .

Conversion de fractions en décimales périodiques finies et infinies

Vous pouvez convertir non seulement des fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, ... en fraction décimale, mais également des fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs. Voyons maintenant comment cela se fait.

Dans certains cas, la fraction ordinaire originale est facilement réduite à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1 000, ... (voir amener une fraction ordinaire à un nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter la fraction résultante comme fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction de dénominateur 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, qui, selon le règles discutées dans le paragraphe précédent, est facilement convertie en fraction décimale 0, 4 .

Dans d'autres cas, vous devez utiliser une autre méthode de conversion d'une fraction ordinaire en décimal, que nous passons maintenant à l'examen.

Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est d'abord remplacé par une fraction décimale égale avec n'importe quel nombre de zéros après la virgule décimale (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division s'effectue de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient une virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions aux exemples donnés ci-dessous.

Exemple.

Convertissez la fraction 621/4 en décimal.

Solution.

Représentons le nombre au numérateur 621 sous la forme d'une fraction décimale, en ajoutant un point décimal et plusieurs zéros après. Tout d'abord, ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter d'autres zéros. Nous avons donc 621,00.

Divisons maintenant le nombre 621 000 par 4 avec une colonne. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division de nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante :

C’est ainsi qu’on arrive à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, on met un point décimal dans le quotient et on continue à diviser en colonne, sans faire attention aux virgules :

Ceci termine la division et nous obtenons ainsi la fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.

Répondre:

155,25 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction 21/800 en décimal.

Solution.

Pour convertir cette fraction commune en décimale, on divise avec une colonne de la fraction décimale 21 000... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division :

Finalement, nous avons obtenu le reste 0, ceci achève la conversion de la fraction commune 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.

Répondre:

0,02625 .

Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas un reste de 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes commencent à se répéter périodiquement et les nombres du quotient se répètent également. Cela signifie que la fraction originale est convertie en une fraction décimale périodique infinie. Montrons cela avec un exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction 19/44 sous forme décimale.

Solution.

Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, effectuez une division par colonne :

Il est déjà clair que lors de la division, les résidus 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 se répètent. Ainsi, la fraction commune originale 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818...=0,43(18).

Répondre:

0,43(18) .

Pour conclure ce point, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finies, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en fractions périodiques.

Ayons devant nous une fraction ordinaire irréductible (si la fraction est réductible, alors nous réduisons d'abord la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - finie ou périodique.

Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. Toutes les fractions ordinaires ne sont pas données. Seules les fractions dont les dénominateurs sont au moins un des nombres 10, 100,... peuvent être réduites à de tels dénominateurs. Et quels nombres peuvent être diviseurs de 10, 100,... ? Les nombres 10, 100, ... vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Il s'ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. Il ne peut y avoir que des nombres dont les décompositions en facteurs premiers contiennent uniquement les nombres 2 et (ou) 5.

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion de fractions ordinaires en décimales :

• si dans la décomposition du dénominateur en facteurs premiers seuls les nombres 2 et (ou) 5 sont présents, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
• si, en plus des deux et des cinq, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.

Exemple.

Sans convertir des fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en une fraction périodique.

Solution.

Le dénominateur de la fraction 47/20 est factorisé en facteurs premiers comme 20=2·2·5. Dans cette expansion, il n'y a que deux et cinq, donc cette fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), donc peut être convertie en une décimale finale fraction.

La décomposition du dénominateur de la fraction 7/12 en facteurs premiers a la forme 12=2·2·3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3, différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une décimale finie, mais peut être convertie en une décimale périodique.

Fraction 21/56 – contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, donc la fraction commune 3/8, et donc la fraction égale 21/56, peut être convertie en une fraction décimale finale.

Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, donc cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.

Répondre:

47/20 et 21/56 peuvent être convertis en fraction décimale finie, mais 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en fraction périodique.

Les fractions ordinaires ne sont pas converties en décimales infinies non périodiques

Les informations du paragraphe précédent soulèvent la question : « La division du numérateur d’une fraction par le dénominateur peut-elle donner une fraction infinie non périodique ?

Réponse : non. Lors de la conversion d’une fraction commune, le résultat peut être soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

D'après le théorème sur la divisibilité avec un reste, il est clair que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2 , ..., q−1. Il s'ensuit qu'une fois que la colonne a fini de diviser la partie entière du numérateur d'une fraction ordinaire par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :

• soit nous obtiendrons un reste de 0, cela mettra fin à la division et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
• ou nous obtiendrons un reste qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisqu'en divisant des nombres égaux par q, on obtient des restes égaux, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), ce se traduira par une fraction décimale périodique infinie.

Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.

Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la durée de la période d'une fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions ordinaires. Après cela, nous considérerons une méthode pour inverser des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons de l'impossibilité de convertir des fractions décimales infinies non périodiques en fractions ordinaires.

Conversion de décimales finales en fractions

Obtenir une fraction écrite sous forme décimale finale est assez simple. La règle pour convertir une fraction décimale finale en une fraction commune se compose de trois étapes :

• tout d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir préalablement supprimé le point décimal et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
• deuxièmement, écrivez-en un dans le dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• troisièmement, si nécessaire, réduisez la fraction résultante.

Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Convertissez le nombre décimal 3,025 en fraction.

Solution.

Si nous supprimons le point décimal de la fraction décimale d’origine, nous obtenons le nombre 3 025. Il n’y a pas de zéros à gauche que nous rejetterions. Ainsi, on écrit 3 025 au numérateur de la fraction souhaitée.

Nous écrivons le nombre 1 au dénominateur et ajoutons 3 zéros à sa droite, car dans la fraction décimale originale, il y a 3 chiffres après la virgule décimale.

Nous avons donc obtenu la fraction commune 3 025/1 000. Cette fraction peut être réduite de 25, on obtient .

Répondre:

.

Exemple.

Convertissez la fraction décimale 0,0017 en fraction.

Solution.

Sans point décimal, la fraction décimale originale ressemble à 00017, en ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.

Nous écrivons un avec quatre zéros au dénominateur, puisque la fraction décimale originale a 4 chiffres après la virgule décimale.

En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10 000. Cette fraction est irréductible et la conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire est terminée.

Répondre:

.

Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale originale est différente de zéro, elle peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire, en contournant la fraction commune. Donne moi règle pour convertir une fraction décimale finale en un nombre fractionnaire:

• le nombre avant la virgule décimale doit être écrit comme une partie entière du nombre fractionnaire souhaité ;
• au numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale originale après avoir supprimé tous les zéros à gauche ;
• au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre 1, auquel ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre fractionnaire obtenu.

Regardons un exemple de conversion d'une fraction décimale en nombre fractionnaire.

Exemple.

Exprimer la fraction décimale 152,06005 sous forme de nombre fractionnaire

Pour écrire un nombre rationnel m/n sous forme de fraction décimale, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Dans ce cas, le quotient s’écrit sous forme de fraction décimale finie ou infinie.

Écrivez ce nombre sous forme de fraction décimale.

Solution. Divisez le numérateur de chaque fraction dans une colonne par son dénominateur : UN) divisez 6 par 25 ; b) diviser 2 par 3 ; V) divisez 1 par 2, puis ajoutez la fraction résultante à un - la partie entière de ce nombre fractionnaire.

Fractions ordinaires irréductibles dont les dénominateurs ne contiennent pas de facteurs premiers autres que 2 Et 5 , sont écrits sous forme de fraction décimale finale.

DANS Exemple 1 quand UN) dénominateur 25=5,5; quand V) le dénominateur est 2, nous obtenons donc les décimales finales de 0,24 et 1,5. Quand b) le dénominateur est 3, donc le résultat ne peut pas être écrit sous forme décimale finie.

Est-il possible, sans division longue, de convertir en fraction décimale une telle fraction ordinaire dont le dénominateur ne contient pas d'autres diviseurs que 2 et 5 ? Voyons cela ! Quelle fraction est appelée décimale et s'écrit sans barre de fraction ? Réponse : fraction de dénominateur 10 ; 100 ; 1000, etc Et chacun de ces nombres est un produit égal nombre de deux et cinq. En fait : 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 etc.

Par conséquent, le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductible devra être représenté comme le produit de « deux » et « cinq », puis multiplié par 2 et (ou) 5 pour que les « deux » et « cinq » deviennent égaux. Alors le dénominateur de la fraction sera égal à 10 ou 100 ou 1000, etc. Pour garantir que la valeur de la fraction ne change pas, nous multiplions le numérateur de la fraction par le même nombre par lequel nous avons multiplié le dénominateur.

Exprimez les fractions courantes suivantes sous forme décimale :

Solution. Chacune de ces fractions est irréductible. Factorisons le dénominateur de chaque fraction en facteurs premiers.

20=2·2·5. Conclusion : il manque un « A ».

8=2·2·2. Conclusion : il manque trois « A ».

25=5·5. Conclusion : il manque deux « deux ».

Commentaire. En pratique, ils n'utilisent souvent pas la factorisation du dénominateur, mais posent simplement la question : de combien faut-il multiplier le dénominateur pour que le résultat soit un avec des zéros (10 ou 100 ou 1000, etc.). Et puis le numérateur est multiplié par le même nombre.

Alors, au cas où UN)(exemple 2) à partir du nombre 20, vous pouvez obtenir 100 en multipliant par 5, vous devez donc multiplier le numérateur et le dénominateur par 5.

Quand b)(exemple 2) à partir du nombre 8, le nombre 100 ne sera pas obtenu, mais le nombre 1000 sera obtenu en multipliant par 125. Le numérateur (3) et le dénominateur (8) de la fraction sont multipliés par 125.

Quand V)(exemple 2) à partir de 25 vous obtenez 100 si vous multipliez par 4. Cela signifie que le numérateur 8 doit être multiplié par 4.

Une fraction décimale infinie dans laquelle un ou plusieurs chiffres se répètent invariablement dans la même séquence est appelée périodique sous forme décimale. L’ensemble des chiffres répétitifs est appelé la période de cette fraction. Par souci de concision, la période d’une fraction est écrite une seule fois, entre parenthèses.

Quand b)(exemple 1) il n'y a qu'un seul chiffre répétitif et est égal à 6. Par conséquent, notre résultat 0,66... ​​​​​​s'écrira ainsi : 0,(6) . Ils lisent : zéro point, six en période.

S'il y a un ou plusieurs chiffres non répétitifs entre la virgule décimale et le premier point, alors une telle fraction périodique est appelée fraction périodique mixte.

Une fraction commune irréductible dont le dénominateur est avec d'autres le multiplicateur contient un multiplicateur 2 ou 5 , devient mixte fraction périodique.

Écrivez les nombres sous forme décimale.