Dans l'article, nous montrerons comment résoudre des fractions en utilisant des exemples simples et compréhensibles. Voyons ce qu'est une fraction et considérons résoudre des fractions!

Concept fractions est introduit dans les cours de mathématiques à partir de la 6e année du secondaire.

Les fractions ont la forme : ±X/Y, où Y est le dénominateur, il indique en combien de parties le tout a été divisé, et X est le numérateur, il indique combien de ces parties ont été prises. Pour plus de clarté, prenons un exemple avec un gâteau :

Dans le premier cas, le gâteau était coupé de manière égale et on en prenait la moitié, c'est-à-dire 1/2. Dans le deuxième cas, le gâteau a été coupé en 7 parts, dont 4 parts ont été prélevées, soit 4/7.

Si la division d’un nombre par un autre n’est pas un nombre entier, elle s’écrit sous forme de fraction.

Par exemple, l'expression 4:2 = 2 donne un entier, mais 4:7 n'est pas divisible par un tout, donc cette expression s'écrit sous la forme d'une fraction 4/7.

Autrement dit fraction est une expression qui désigne la division de deux nombres ou expressions et qui est écrite à l’aide d’une barre oblique fractionnaire.

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est propre ; si vice versa, c'est une fraction impropre. Une fraction peut contenir un nombre entier.

Par exemple, 5 entiers 3/4.

Cette entrée signifie que pour obtenir le 6 entier, il manque une partie de quatre.

Si tu veux te souvenir, comment résoudre des fractions pour la 6e année, tu dois comprendre que résoudre des fractions, en gros, revient à comprendre quelques choses simples.

• Une fraction est essentiellement une expression d’une fraction. C'est expression numérique quelle partie une valeur donnée fait d'un tout. Par exemple, la fraction 3/5 exprime que si nous divisons un tout en 5 parties et que le nombre de parts ou de parties de ce tout est de trois.
• La fraction peut être inférieure à 1, par exemple 1/2 (ou essentiellement la moitié), alors elle est correcte. Si la fraction est supérieure à 1, par exemple 3/2 (trois moitiés ou une et demie), alors c'est incorrect et pour simplifier la solution, il vaut mieux que nous sélectionnions la partie entière 3/2 = 1 entier 1 /2.
• Les fractions sont les mêmes nombres que 1, 3, 10 et même 100, sauf que les nombres ne sont pas des nombres entiers mais des fractions. Vous pouvez effectuer avec eux toutes les mêmes opérations qu'avec les nombres. Compter des fractions n'est pas plus difficile, et plus loin exemples spécifiques nous allons le montrer.

Comment résoudre des fractions. Exemples.

Une grande variété d’opérations arithmétiques sont applicables aux fractions.

Réduire une fraction à un dénominateur commun

Par exemple, vous devez comparer les fractions 3/4 et 4/5.

Pour résoudre le problème, nous trouvons d’abord le plus petit dénominateur commun, c’est-à-dire le plus petit nombre, qui est divisible sans reste par chacun des dénominateurs des fractions

Plus petit dénominateur commun (4,5) = 20

Ensuite, le dénominateur des deux fractions est réduit au plus petit dénominateur commun

Réponse : 15/20

Additionner et soustraire des fractions

S'il est nécessaire de calculer la somme de deux fractions, elles sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés, tandis que le dénominateur reste inchangé. La différence entre les fractions est calculée de la même manière, la seule différence est que les numérateurs sont soustraits.

Par exemple, vous devez trouver la somme des fractions 1/2 et 1/3

Trouvons maintenant la différence entre les fractions 1/2 et 1/4

Multiplier et diviser des fractions

Ici, résoudre des fractions n'est pas difficile, tout est assez simple ici :

• Multiplication - les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont multipliés ensemble ;
• Division - nous obtenons d'abord la fraction inverse de la deuxième fraction, c'est-à-dire Nous échangeons son numérateur et son dénominateur, après quoi nous multiplions les fractions résultantes.

Par exemple:

C'est à peu près tout comment résoudre des fractions, Tous. Si vous avez encore des questions sur résoudre des fractions, si quelque chose n'est pas clair, écrivez dans les commentaires et nous vous répondrons certainement.

Si vous êtes enseignant, il est alors possible de télécharger la présentation pour école primaire(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vous sera utile.

Fraction- une forme de représentation d'un nombre en mathématiques. La barre de fraction indique l’opération de division. Numérateur la fraction est appelée le dividende, et dénominateur- diviseur. Par exemple, dans une fraction, le numérateur est 5 et le dénominateur est 7.

Correct On appelle une fraction dans laquelle le module du numérateur est supérieur au module du dénominateur. Si une fraction est propre, alors le module de sa valeur est toujours inférieur à 1. Toutes les autres fractions sont faux.

La fraction s'appelle mixte, s'il s'écrit sous forme d'entier et de fraction. C'est la même chose que la somme de ce nombre et de la fraction :

La propriété principale d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre, alors la valeur de la fraction ne changera pas, c'est-à-dire par exemple :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Pour amener deux fractions à un dénominateur commun, il vous faut :

1. Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde
2. Multipliez le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première
3. Remplacez les dénominateurs des deux fractions par leur produit

Opérations avec des fractions

Ajout. Pour ajouter deux fractions dont vous avez besoin

1. Ajoutez les nouveaux numérateurs des deux fractions et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Soustraction. Pour soustraire une fraction d’une autre, il faut

1. Réduire les fractions à un dénominateur commun
2. Soustrayez le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Multiplication. Pour multiplier une fraction par une autre, multipliez leurs numérateurs et dénominateurs :

Division. Pour diviser une fraction par une autre, multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et multipliez le dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde :

Les fractions sont communes et décimales. Lorsqu'un écolier apprend l'existence de cette dernière, il commence, à chaque occasion, à traduire tout ce qui est possible en forme décimale, même si cela n'est pas obligatoire.

Curieusement, les préférences changent parmi les étudiants du secondaire et du collégial, car il est plus facile d'effectuer de nombreuses opérations arithmétiques avec des fractions ordinaires. Et parfois, il est tout simplement impossible de convertir les valeurs traitées par les diplômés sous forme décimale sans perte. En conséquence, les deux types de fractions s'avèrent, d'une manière ou d'une autre, adaptées à la tâche et présentent leurs propres avantages et inconvénients. Voyons comment travailler avec eux.

Définition

Les fractions sont les mêmes que les actions. S’il y a dix segments dans une orange et qu’on vous en donne un, alors vous avez 1/10 du fruit dans votre main. Lorsqu’elle est écrite comme dans la phrase précédente, la fraction sera appelée fraction ordinaire. Si vous écrivez la même chose que 0,1 - décimal. Les deux options sont égales, mais ont leurs avantages. La première option est plus pratique pour la multiplication et la division, la seconde pour l'addition, la soustraction et dans plusieurs autres cas.

Comment convertir une fraction en une autre forme

Disons que vous avez une fraction et que vous souhaitez la convertir en nombre décimal. Que faut-il faire pour cela ?

À propos, vous devez décider à l'avance que tous les nombres ne peuvent pas être écrits sous forme décimale sans problème. Parfois, il faut arrondir le résultat, en perdant un certain nombre de décimales, et dans de nombreux domaines - par exemple dans les sciences exactes - c'est un luxe totalement inabordable. Parallèlement, les opérations avec les décimales et les fractions ordinaires en 5e permettent de réaliser un tel transfert d'un type à un autre sans interférence, au moins à titre d'entraînement.

Si une valeur multiple de 10 peut être obtenue à partir du dénominateur en multipliant ou en divisant par un nombre entier, la traduction se déroulera sans aucune difficulté : ¾ se transforme en 0,75, 13/20 en 0,65.

La procédure inverse est encore plus simple, puisque vous pouvez toujours obtenir une fraction ordinaire à partir d’une fraction décimale sans perte de précision. Par exemple, 0,2 devient 1/5 et 0,08 devient 4/25.

Transformations internes

Avant d'effectuer des opérations conjointes avec des fractions ordinaires, vous devez préparer des nombres pour d'éventuelles opérations mathématiques.

Tout d'abord, vous devez réduire toutes les fractions de l'exemple à une seule. aspect général. Ils doivent être soit ordinaires, soit décimaux. Faisons immédiatement une réserve sur le fait qu'il est plus pratique d'effectuer une multiplication et une division avec la première.

Une règle connue et utilisée à la fois dans les premières années d'étude de la matière et dans les mathématiques supérieures, étudiées dans les universités, vous aidera à préparer des chiffres pour des actions ultérieures.

Propriétés des fractions

Disons que vous avez une certaine valeur. Disons 2/3. Qu'est-ce qui change si vous multipliez le numérateur et le dénominateur par 3 ? Il s'avérera que ce sera le 6/9. Et si c'était un million ? 2000000/3000000. Mais attendez, le nombre ne change pas du tout qualitativement - 2/3 reste égal à 2 000 000/3 000 000. Seule la forme change, mais pas le contenu. La même chose se produit lorsque les deux côtés sont divisés par la même valeur. C'est la propriété principale des fractions, qui vous aidera à plusieurs reprises à effectuer des opérations avec des décimales et des fractions ordinaires lors de tests et d'examens.

La multiplication du numérateur et du dénominateur par le même nombre s'appelle l'expansion d'une fraction, et la division s'appelle la réduction. Il faut dire que rayer des nombres identiques en haut et en bas lors de la multiplication et de la division de fractions est une procédure étonnamment agréable (dans le cadre d'un cours de mathématiques, bien sûr). Il semble que la réponse soit déjà proche et que l’exemple soit pratiquement résolu.

Fractions impropres

Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. En d’autres termes, si une partie entière peut être isolée, elle relève de cette définition.

Si un tel nombre (supérieur ou égal à un) est présenté comme une fraction ordinaire, on l’appellera une fraction impropre. Et si le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est correct. Les deux types sont également pratiques pour effectuer des actions possibles avec des fractions ordinaires. Ils peuvent être facilement multipliés et divisés, ajoutés et soustraits.

Si en même temps sélectionné partie entière et il y a un reste sous forme de fraction, le nombre résultant sera appelé mixte. Dans le futur, vous rencontrerez de diverses manières combinaisons de telles structures avec des variables, ainsi que la résolution d'équations où cette connaissance est requise.

Opérations arithmétiques

Si tout est clair avec la propriété fondamentale d'une fraction, alors comment se comporter lors de la multiplication de fractions ? Les opérations avec des fractions ordinaires en 5e année impliquent tous les types d'opérations arithmétiques, qui sont effectuées de deux manières différentes.

La multiplication et la division sont très simples. Dans le premier cas, les numérateurs et dénominateurs de deux fractions sont simplement multipliés. Dans le second - la même chose, seulement en travers. Ainsi, le numérateur de la première fraction est multiplié par le dénominateur de la seconde, et vice versa.

Pour effectuer une addition et une soustraction, vous devez effectuer une action supplémentaire : ramener tous les composants de l'expression à un dénominateur commun. Cela signifie que les parties inférieures des fractions doivent être remplacées par la même valeur - un nombre qui est un multiple des deux dénominateurs existants. Par exemple, pour 2 et 5 ce sera 10. Pour 3 et 6 - 6. Mais alors que faire de partie supérieure? Nous ne pouvons pas le laisser pareil si nous avons modifié celui du bas. Selon la propriété fondamentale d’une fraction, on multipliera le numérateur par le même nombre que le dénominateur. Cette opération doit être effectuée avec chacun des nombres que l'on va ajouter ou soustraire. Cependant, de telles actions avec des fractions ordinaires en 6e sont déjà effectuées « automatiquement », et des difficultés ne surviennent que lorsque étape initialeétudier le sujet.

Comparaison

Si deux fractions même dénominateur, alors celui dont le numérateur est le plus grand sera le plus grand. Si les parties supérieures sont les mêmes, alors celle avec plus petit dénominateur. Il convient de garder à l’esprit que de telles situations de comparaison réussies se présentent rarement. Très probablement, les parties supérieure et inférieure des expressions ne correspondront pas. Ensuite, vous devrez vous souvenir des actions possibles avec des fractions ordinaires et utiliser la technique utilisée pour l'addition et la soustraction. N'oubliez pas non plus que si nous parlons de nombres négatifs, alors une fraction avec un module plus grand se révélera plus petite.

Avantages des fractions communes

Il arrive que les enseignants disent aux enfants une phrase dont le contenu peut s'exprimer ainsi : plus il y a d'informations données lors de la formulation de la tâche, plus la solution sera facile. Pensez-vous que cela semble étrange ? Mais vraiment : avec un grand nombre de quantités connues, vous pouvez utiliser presque toutes les formules, mais si seulement quelques nombres sont fournis, des réflexions supplémentaires peuvent être nécessaires, vous devrez vous souvenir et prouver des théorèmes, donner des arguments en faveur de votre justesse. ...

Pourquoi faisons-nous cela ? De plus, les fractions ordinaires, malgré toute leur lourdeur, peuvent grandement simplifier la vie d'un étudiant, lui permettant de raccourcir des rangées entières de valeurs lors de la multiplication et de la division, et lors du calcul de sommes et de différences, de présenter des arguments généraux et, encore une fois, de les raccourcir.

Lorsqu'il est nécessaire de mener des actions communes avec les organisations ordinaires et décimales, les transformations s'effectuent en faveur du premier : comment convertir 3/17 sous forme décimale ? Seulement avec perte d'informations, pas autrement. Mais 0,1 peut être représenté par 1/10, puis par 17/170. Et puis les deux nombres résultants peuvent être ajoutés ou soustraits : 30/170 + 17/170 = 47/170.

Pourquoi les décimales sont-elles utiles ?

Bien que les opérations avec des fractions ordinaires soient plus pratiques, tout écrire en les utilisant est extrêmement gênant. Les décimales présentent ici un avantage significatif. Comparez : 1748/10000 et 0,1748. C'est la même valeur représentée dans deux diverses options. Bien sûr, la deuxième méthode est plus simple !

De plus, les décimales sont plus faciles à représenter car toutes les données ont une base commune qui ne diffère que par ordres de grandeur. Disons que nous comprenons facilement une remise de 30 % et l'évaluons même comme significative. Comprendrez-vous immédiatement ce qu'il y a de plus - 30 % ou 137/379 ? Ainsi, les fractions décimales assurent la normalisation des calculs.

Au lycée, les élèves décident équations quadratiques. Effectuer ici des opérations avec des fractions ordinaires est déjà extrêmement problématique, puisque la formule de calcul des valeurs d'une variable contient racine carrée du montant. S’il existe une fraction qui ne peut être réduite à une valeur décimale, la solution devient si compliquée qu’il devient presque impossible de calculer la réponse exacte sans calculatrice.

Ainsi, chaque manière de représenter les fractions a ses propres avantages dans le contexte approprié.

Formulaires d'enregistrement

Il existe deux manières d'écrire des actions avec des fractions ordinaires : via une ligne horizontale, en deux « niveaux » et via une barre oblique (alias « barre oblique ») - dans une ligne. Lorsqu'un élève écrit dans un cahier, la première option est généralement plus pratique et donc plus courante. La répartition des nombres dans des cellules consécutives permet de développer l'attention lors des calculs et des transformations. Lorsque vous écrivez dans une chaîne, vous pouvez par inadvertance confondre l'ordre des actions, perdre certaines données, c'est-à-dire commettre une erreur.

De nos jours, il est très souvent nécessaire d’imprimer des chiffres sur un ordinateur. Vous pouvez séparer les fractions à l'aide d'une ligne horizontale traditionnelle à l'aide de la fonction de Microsoft Word 2010 et versions ultérieures. Le fait est que dans ces versions du logiciel, il existe une option appelée « formule ». Il affiche un champ transformable rectangulaire sur l'écran, dans lequel vous pouvez combiner n'importe quel symbole mathématique et créer des fractions à deux et « quatre étages ». Vous pouvez utiliser des parenthèses et des signes d'opération au dénominateur et au numérateur. En conséquence, vous pourrez écrire toutes les actions conjointes avec des fractions ordinaires et décimales sous la forme traditionnelle, c'est-à-dire comme on vous apprend à le faire à l'école.

Si vous utilisez l'éditeur de texte standard Notepad, toutes les expressions fractionnaires devront être écrites avec une barre oblique. Malheureusement, il n'y a pas d'autre moyen ici.

Conclusion

Nous avons donc examiné toutes les actions de base avec des fractions ordinaires, dont il s'avère qu'il n'y en a pas beaucoup.

Si au début, cela peut sembler qu'il s'agit d'une section difficile des mathématiques, alors ce n'est qu'une impression temporaire - rappelez-vous, vous avez déjà pensé de cette façon à propos de la table de multiplication, et même plus tôt - à propos des cahiers ordinaires et du comptage de un à dix.

Il est important de comprendre que les fractions sont utilisées dans la vie quotidienne partout. Vous traiterez de l'argent et des calculs d'ingénierie, informatique et l'alphabétisation musicale, et partout - partout ! - nombres fractionnaires apparaîtra. Par conséquent, ne soyez pas paresseux et étudiez ce sujet à fond - d'autant plus qu'il n'est pas si compliqué.