Comment convertir des fractions en dénominateur commun

Si tu fractions ordinaires ont les mêmes dénominateurs, alors ils disent que ces les fractions sont réduites à un dénominateur commun.

Exemple 1

Par exemple, les fractions $\frac(3)(18)$ et $\frac(20)(18)$ ont les mêmes dénominateurs. On dit qu’ils ont un dénominateur commun de 18$. Les fractions $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ et $\frac(100)(29)$ ont également les mêmes dénominateurs. On dit qu’ils ont un dénominateur commun de 29$.

Si les fractions ont des dénominateurs différents, elles peuvent être réduites à un dénominateur commun. Pour ce faire, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs par certains facteurs supplémentaires.

Exemple 2

Comment réduire deux fractions $\frac(6)(11)$ et $\frac(2)(7)$ à un dénominateur commun.

Solution.

Multiplions les fractions $\frac(6)(11)$ et $\frac(2)(7)$ par des facteurs supplémentaires $7$ et $11$, respectivement, et ramenons-les à un dénominateur commun $77$ :

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

Ainsi, réduire des fractions à un dénominateur commun est la multiplication du numérateur et du dénominateur de fractions données par des facteurs supplémentaires, qui donnent des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Dénominateur commun

Définition 1

Tout multiple commun positif de tous les dénominateurs d’un ensemble de fractions est appelé dénominateur commun.

En d’autres termes, le dénominateur commun des fractions ordinaires données est n’importe quel nombre naturel, qui peut être divisé en tous les dénominateurs des fractions données.

La définition implique un nombre infini de dénominateurs communs pour un ensemble donné de fractions.

Exemple 3

Trouvez les dénominateurs communs des fractions $\frac(3)(7)$ et $\frac(2)(13)$.

Solution.

Ces fractions ont des dénominateurs égaux respectivement à 7$ et 13$. Les multiples communs positifs de 2$ et 5$ sont 91$, 182, 273, 364$, etc.

N'importe lequel de ces nombres peut être utilisé comme dénominateur commun des fractions $\frac(3)(7)$ et $\frac(2)(13)$.

Exemple 4

Déterminez si les fractions $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ et $\frac(11)(9)$ peuvent être réduites à un dénominateur commun $252$.

Solution.

Pour déterminer comment convertir une fraction au dénominateur commun 252$, vous devez vérifier si le nombre 252$ est un multiple commun des dénominateurs 2$, 7$ et 9$. Pour ce faire, divisez le nombre $252$ par chacun des dénominateurs :

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Le nombre $252$ est divisible par tous les dénominateurs, c'est-à-dire : est un multiple commun de 2$, 7$ et 9$. Cela signifie que les fractions données $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ et $\frac(11)(9)$ peuvent être réduites à un dénominateur commun $252$.

Réponse : vous pouvez.

Plus petit dénominateur commun

Définition 2

Parmi tous les dénominateurs communs de fractions données, on peut distinguer le plus petit nombre naturel, appelé plus petit dénominateur commun.

Parce que LOC – plus petit positif diviseur commun ensemble de nombres donné, alors le LCM des dénominateurs des fractions données est le plus petit dénominateur commun des fractions données.

Par conséquent, pour trouver le plus petit dénominateur commun des fractions, vous devez trouver le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Exemple 5

Les fractions données sont $\frac(4)(15)$ et $\frac(37)(18)$. Trouvez leur plus petit dénominateur commun.

Solution.

Les dénominateurs de ces fractions sont 15$ et 18$. Trouvons le plus petit dénominateur commun comme le LCM des nombres 15$ et 18$. Pour cela on utilise la décomposition des nombres en facteurs premiers:

15$=3\cdot 5$, 18$=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Réponse : 90$.

Règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun

Le plus souvent lors de la résolution de problèmes d'algèbre, de géométrie, de physique, etc. Il est d'usage de réduire les fractions communes au plus petit dénominateur commun plutôt qu'à n'importe quel dénominateur commun.

Algorithme:

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun en utilisant le LCM des dénominateurs des fractions données.
2. 2.Calculez le facteur supplémentaire pour les fractions données. Pour ce faire, le plus petit dénominateur commun trouvé doit être divisé par le dénominateur de chaque fraction. Le nombre résultant sera un facteur supplémentaire de cette fraction.
3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur supplémentaire trouvé.

Exemple 6

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions $\frac(4)(16)$ et $\frac(3)(22)$ et réduisez-y les deux fractions.

Solution.

Utilisons un algorithme pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun.

Calculons le plus petit commun multiple des nombres $16$ et $22$ :

Factorisons les dénominateurs en facteurs simples : 16 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, 22 $ = 2 \ cdot 11 $.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Calculons des facteurs supplémentaires pour chaque fraction :

$176\div 16=11$ – pour la fraction $\frac(4)(16)$ ;

$176\div 22=8$ – pour la fraction $\frac(3)(22)$.

Multiplions les numérateurs et les dénominateurs des fractions $\frac(4)(16)$ et $\frac(3)(22)$ par des facteurs supplémentaires $11$ et $8$, respectivement. On obtient :

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Les deux fractions sont réduites au plus petit dénominateur commun 176$.

Réponse : $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Parfois, trouver le plus petit dénominateur commun nécessite une série de calculs fastidieux, qui peuvent ne pas justifier l'objectif de résoudre le problème. Dans ce cas, vous pouvez utiliser le plus manière simple– réduire les fractions à un dénominateur commun, qui est le produit des dénominateurs de ces fractions.

Pour réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, vous devez : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données, ce sera le plus petit dénominateur commun. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction en divisant le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

Exemples. Réduisez les fractions suivantes à leur plus petit dénominateur commun.

On trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs : LCM(5; 4) = 20, puisque 20 est le plus petit nombre divisible par 5 et 4. Trouvez pour la 1ère fraction un facteur supplémentaire 4 (20 : 5=4). Pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est 5 (20 : 4=5). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 4, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 20 ).

Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est le nombre 8, puisque 8 est divisible par 4 et par lui-même. Il n'y aura pas de facteur supplémentaire pour la 1ère fraction (ou on peut dire qu'il est égal à un), pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est de 2 (8 : 4=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 2. On a réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 8 ).

Ces fractions ne sont pas irréductibles.

Réduisons la 1ère fraction de 4, et réduisons la 2ème fraction de 2. ( voir des exemples de réduction de fractions ordinaires : Plan du site → 5.4.2. Exemples de réduction de fractions communes). Trouver le LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Le multiplicateur supplémentaire pour la 1ère fraction est de 5 (80 : 16=5). Le facteur supplémentaire pour la 2ème fraction est 4 (80 : 20=4). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 5, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 4. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 80 ).

Nous trouvons le plus petit dénominateur commun NCD(5 ; 6 et 15)=NOK(5 ; 6 et 15)=30. Le facteur supplémentaire à la 1ère fraction est 6 (30 : 5=6), le facteur supplémentaire à la 2ème fraction est 5 (30 : 6=5), le facteur supplémentaire à la 3ème fraction est 2 (30 : 15=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 6, le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5, le numérateur et le dénominateur de la 3ème fraction par 2. Nous avons réduit ces fractions au plus petit commun dénominateur ( 30 ).

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Dans cette leçon, nous examinerons la réduction des fractions à un dénominateur commun et résoudrons des problèmes sur ce sujet. Définissons la notion de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, rappelons la mutuelle nombres premiers. Définissons le concept de plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.

Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun

Répétition. La propriété principale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale.

Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons la fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, on dit que l'on a réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le chiffre 2 est appelé facteur supplémentaire.

Conclusion. Une fraction peut être réduite à n’importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Pour amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.

1. Réduisez la fraction au dénominateur 35.

Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cela signifie que cette transformation est possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez 35 par 7. Nous obtenons 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.

2. Réduisez la fraction au dénominateur 18.

Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par celui d'origine. On obtient 3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.

3. Réduisez la fraction à un dénominateur de 60.

Diviser 60 par 15 donne un facteur supplémentaire. Il est égal à 4. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 4.

4. Réduisez la fraction au dénominateur 24

Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur s'effectue mentalement. Il est seulement d'usage d'indiquer le facteur supplémentaire derrière une parenthèse légèrement à droite et au-dessus de la fraction originale.

Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont également un dénominateur commun de 15.

Le dénominateur commun des fractions peut être n’importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Par souci de simplicité, les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.

Exemple. Réduire au plus petit dénominateur commun de la fraction et .

Tout d'abord, trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, divisez 12 par 4 et 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction et deux pour la seconde. Ramenons les fractions au dénominateur 12.

Nous avons ramené les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions égales qui ont le même dénominateur.

Règle. Pour réduire des fractions à leur plus petit dénominateur commun, il faut

Trouvez d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera leur plus petit commun dénominateur ;

Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.

Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 24.

b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 45. Diviser 45 par 9 par 15 donne respectivement 5 et 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 45.

c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.

Parfois, il peut être difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple des dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés à l'aide de la factorisation première.

Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Factorisons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multiplions 60 par 14 et obtenons un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Ramenons les fractions à un dénominateur commun de 840.

Références

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques, 5e et 6e années. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. et autres Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les classes 5-6. lycée. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.

Vous pouvez télécharger les livres spécifiés à la clause 1.2. de cette leçon.

Devoirs

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemosyne, 2012. (lien voir 1.2)

Devoirs : n°297, n°298, n°300.

Autres tâches : n° 270, n° 290

Dans cette leçon, nous examinerons la réduction des fractions à un dénominateur commun et résoudrons des problèmes sur ce sujet. Définissons le concept de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, et rappelons-nous les nombres relativement premiers. Définissons le concept de plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.

Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun

Répétition. La propriété principale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale.

Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons la fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, on dit que l'on a réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le chiffre 2 est appelé facteur supplémentaire.

Conclusion. Une fraction peut être réduite à n’importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Pour amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.

1. Réduisez la fraction au dénominateur 35.

Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cela signifie que cette transformation est possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez 35 par 7. Nous obtenons 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.

2. Réduisez la fraction au dénominateur 18.

Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par celui d'origine. On obtient 3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.

3. Réduisez la fraction à un dénominateur de 60.

Diviser 60 par 15 donne un facteur supplémentaire. Il est égal à 4. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 4.

4. Réduisez la fraction au dénominateur 24

Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur s'effectue mentalement. Il est seulement d'usage d'indiquer le facteur supplémentaire derrière une parenthèse légèrement à droite et au-dessus de la fraction originale.

Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont également un dénominateur commun de 15.

Le dénominateur commun des fractions peut être n’importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Par souci de simplicité, les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.

Exemple. Réduire au plus petit dénominateur commun de la fraction et .

Tout d'abord, trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, divisez 12 par 4 et 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction et deux pour la seconde. Ramenons les fractions au dénominateur 12.

Nous avons ramené les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions égales qui ont le même dénominateur.

Règle. Pour réduire des fractions à leur plus petit dénominateur commun, il faut

Trouvez d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera leur plus petit commun dénominateur ;

Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.

Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 24.

b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 45. Diviser 45 par 9 par 15 donne respectivement 5 et 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 45.

c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.

Parfois, il peut être difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple des dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés à l'aide de la factorisation première.

Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Factorisons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multiplions 60 par 14 et obtenons un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Ramenons les fractions à un dénominateur commun de 840.

Références

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques, 5e et 6e années. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. et autres Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du secondaire. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.

Vous pouvez télécharger les livres spécifiés à la clause 1.2. de cette leçon.

Devoirs

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemosyne, 2012. (lien voir 1.2)

Devoirs : n°297, n°298, n°300.

Autres tâches : n° 270, n° 290