Multiplication entrecroisée

Méthode du diviseur commun

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée.

Dénominateur commun des fractions

Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Voir aussi :

Au départ, je voulais inclure des méthodes de conversion dénominateur commun dans la section « Addition et soustraction de fractions ». Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Disons donc que nous avons deux fractions avec différents dénominateurs. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

Le plus simple et manière fiable, ce qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Jetez un oeil :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Comment trouver le plus petit dénominateur commun

Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ?

Dénominateur commun, concept et définition.

Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Jetez un oeil :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine.

Jetez un oeil :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Jetez un oeil :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Pour résoudre des exemples avec des fractions, vous devez être capable de trouver le plus petit dénominateur commun. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun - concept

Plus petit dénominateur commun (LCD) en mots simples– c'est le nombre minimum divisible par les dénominateurs de toutes les fractions cet exemple. En d’autres termes, on l’appelle le plus petit commun multiple (LCM). NOS n'est utilisé que si les dénominateurs des fractions sont différents.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun – exemples

Examinons des exemples de recherche de CNO.

Calculez : 3/5 + 2/15.

Solution (séquence d'actions) :

• Nous regardons les dénominateurs des fractions, veillons à ce qu'ils soient différents et que les expressions soient les plus abrégées possible.
• Nous trouvons le plus petit nombre, qui est divisible par 5 et par 15. Ce nombre sera 15. Ainsi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Nous avons trouvé le dénominateur. Que contiendra le numérateur ? Un multiplicateur supplémentaire nous aidera à comprendre cela. Un facteur supplémentaire est le nombre obtenu en divisant le NZ par le dénominateur d'une fraction particulière. Pour 3/5, le facteur supplémentaire est 3, puisque 15/5 = 3. Pour la deuxième fraction, le facteur supplémentaire est 1, puisque 15/15 = 1.
• Après avoir découvert le facteur supplémentaire, nous le multiplions par les numérateurs des fractions et additionnons les valeurs résultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Réponse : 3/5 + 2/15 = 11/15.

Si dans l'exemple, non pas 2, mais 3 fractions ou plus sont ajoutées ou soustraites, alors le NCD doit être recherché pour autant de fractions qu'indiqué.

Calculer : 1/2 – 5/12 + 3/6

Solution (séquence d'actions) :

• Trouver le plus petit dénominateur commun. Le nombre minimum divisible par 2, 12 et 6 est 12.
• On obtient : 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Nous recherchons des multiplicateurs supplémentaires. Pour 1/2 – 6 ; pour 5/12 – 1 ; pour 3/6 – 2.
• Nous multiplions par les numérateurs et attribuons les signes correspondants : 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Réponse : 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Comment trouver le LCM (le plus petit commun multiple)

Le plus petit commun multiple de deux entiers est le plus petit de tous les entiers divisible par les deux nombres donnés sans laisser de reste.

Méthode 1. Vous pouvez trouver le LCM, tour à tour, pour chacun des nombres donnés, en écrivant par ordre croissant tous les nombres obtenus en les multipliant par 1, 2, 3, 4, et ainsi de suite.

Exemple pour les numéros 6 et 9.
Nous multiplions le nombre 6, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 6, 12, 18 , 24, 30
Nous multiplions le nombre 9, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 9, 18 , 27, 36, 45
Comme vous pouvez le constater, le LCM des nombres 6 et 9 sera égal à 18.

Cette méthode est pratique lorsque les deux nombres sont petits et qu’il est facile de les multiplier par une séquence d’entiers. Cependant, il existe des cas où vous devez trouver le LCM pour des nombres à deux ou trois chiffres, ainsi que lorsqu'il y a trois nombres initiaux ou même plus.

Méthode 2. Vous pouvez trouver le LCM en décomposant les nombres d'origine en facteurs premiers.
Après décomposition, il est nécessaire de rayer les nombres identiques de la série de facteurs premiers résultante. Les nombres restants du premier nombre seront un multiplicateur pour le second, et les nombres restants du second seront un multiplicateur pour le premier.

Exemple pour les numéros 75 et 60.
Le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs simples :
75 = 3 * 5 * 5, un
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Comme vous pouvez le constater, les facteurs 3 et 5 apparaissent dans les deux lignes. Mentalement, nous les « rayons ».
Écrivons les facteurs restants inclus dans le développement de chacun de ces nombres. En décomposant le nombre 75, on se retrouve avec le chiffre 5, et en décomposant le nombre 60, on se retrouve avec 2 * 2
Cela signifie que pour déterminer le LCM pour les nombres 75 et 60, nous devons multiplier les nombres restants de l'expansion de 75 (c'est 5) par 60, et multiplier les nombres restants de l'expansion de 60 (c'est 2). * 2) par 75. Autrement dit, pour faciliter la compréhension, on dit que l'on multiplie "en travers".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
C'est ainsi que nous avons trouvé le LCM pour les nombres 60 et 75. Il s'agit du nombre 300.

Exemple. Déterminez le LCM pour les nombres 12, 16, 24
Dans ce cas, nos actions seront un peu plus compliquées. Mais d’abord, comme toujours, factorisons tous les nombres
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pour déterminer correctement le LCM, nous sélectionnons le plus petit de tous les nombres (c'est le nombre 12) et parcourons séquentiellement ses facteurs, en les barrant si dans au moins une des autres lignes de nombres nous rencontrons le même facteur qui n'a pas encore été barré.

Étape 1. Nous voyons que 2 * 2 apparaît dans toutes les séries de nombres. Rayons-les.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Étape 2. Dans les facteurs premiers du nombre 12, seul le chiffre 3 reste mais il est présent dans les facteurs premiers du nombre 24. On raye le chiffre 3 des deux lignes, alors qu'aucune action n'est attendue pour le chiffre 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Comme vous pouvez le voir, lors de la décomposition du nombre 12, nous avons « barré » tous les nombres. Cela signifie que la recherche du LOC est terminée. Il ne reste plus qu'à calculer sa valeur.
Pour le nombre 12, prenez les facteurs restants du nombre 16 (suivant par ordre croissant)
12 * 2 * 2 = 48
C'est le CNO

Comme vous pouvez le constater, dans ce cas, trouver le LCM était un peu plus difficile, mais lorsque vous devez le trouver pour trois nombres ou plus, cette méthode vous permet de le faire plus rapidement. Cependant, les deux méthodes pour trouver le LCM sont correctes.

Cet article explique comment trouver le plus petit dénominateur commun Et comment réduire des fractions à un dénominateur commun. Tout d'abord, les définitions du dénominateur commun des fractions et du plus petit dénominateur commun sont données, et il est montré comment trouver le dénominateur commun des fractions. Vous trouverez ci-dessous une règle pour réduire les fractions à un dénominateur commun et des exemples d'application de cette règle sont considérés. En conclusion, des exemples de mise en place de trois et plus fractions à un dénominateur commun.

Navigation dans les pages.

Qu’appelle-t-on réduire des fractions à un dénominateur commun ?

Nous pouvons maintenant dire ce que signifie réduire des fractions à un dénominateur commun. Réduire les fractions à un dénominateur commun- Il s'agit de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs de fractions données par des facteurs supplémentaires tels que le résultat est des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Dénominateur commun, définition, exemples

Il est maintenant temps de définir le dénominateur commun des fractions.

En d'autres termes, le dénominateur commun d'un certain ensemble de fractions ordinaires est tout nombre naturel divisible par tous les dénominateurs de ces fractions.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un ensemble donné de fractions a une infinité de dénominateurs communs, puisqu'il existe un nombre infini de multiples communs de tous les dénominateurs de l'ensemble original de fractions.

Déterminer le dénominateur commun des fractions permet de trouver les dénominateurs communs de fractions données. Supposons, par exemple, que les fractions 1/4 et 5/6 aient pour dénominateurs 4 et 6, respectivement. Les multiples communs positifs des nombres 4 et 6 sont les nombres 12, 24, 36, 48, ... N'importe lequel de ces nombres est un dénominateur commun des fractions 1/4 et 5/6.

Pour consolider le matériel, considérons la solution de l’exemple suivant.

Exemple.

Les fractions 2/3, 23/6 et 7/12 peuvent-elles être réduites à un dénominateur commun de 150 ?

Solution.

Pour répondre à la question posée, il faut savoir si le nombre 150 est un commun multiple des dénominateurs 3, 6 et 12. Pour cela, vérifions si 150 est divisible par chacun de ces nombres (voir si nécessaire les règles et exemples de division des nombres naturels, ainsi que les règles et exemples de division des nombres naturels avec un reste) : 150:3=50 , 150 : 6=25, 150 : 12=12 (6 restants) .

Donc, 150 n'est pas divisible également par 12, donc 150 n'est pas un multiple commun de 3, 6 et 12. Le nombre 150 ne peut donc pas être le dénominateur commun des fractions originales.

Répondre:

C'est interdit.

Plus petit dénominateur commun, comment le trouver ?

Dans l’ensemble des nombres qui sont les dénominateurs communs de fractions données, il existe un plus petit nombre naturel, appelé plus petit dénominateur commun. Formulons la définition du plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Définition.

Plus petit dénominateur commun est le plus petit nombre de tous les dénominateurs communs de ces fractions.

Reste à résoudre la question de savoir comment trouver le plus petit diviseur commun.

Puisqu'il s'agit du diviseur commun le moins positif d'un ensemble de nombres donné, le LCM des dénominateurs des fractions données représente le plus petit dénominateur commun des fractions données.

Ainsi, trouver le plus petit dénominateur commun des fractions revient aux dénominateurs de ces fractions. Regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions 3/10 et 277/28.

Solution.

Les dénominateurs de ces fractions sont 10 et 28. Le plus petit dénominateur commun souhaité est le LCM des nombres 10 et 28. Dans notre cas c'est simple : puisque 10=2·5, et 28=2·2·7, alors LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Répondre:

140 .

Comment réduire des fractions à un dénominateur commun ? Règle, exemples, solutions

Généralement fractions communes conduire au plus petit dénominateur commun. Nous allons maintenant écrire une règle qui explique comment réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun.

Règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun se compose de trois étapes :

• Tout d’abord, trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.
• Deuxièmement, un facteur supplémentaire est calculé pour chaque fraction en divisant le plus petit dénominateur commun par le dénominateur de chaque fraction.
• Troisièmement, le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par son facteur supplémentaire.

Appliquons la règle énoncée pour résoudre l’exemple suivant.

Exemple.

Réduisez les fractions 5/14 et 7/18 à leur plus petit dénominateur commun.

Solution.

Effectuons toutes les étapes de l'algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.

On trouve d’abord le plus petit dénominateur commun, qui est égal au plus petit commun multiple des nombres 14 et 18. Puisque 14=2·7 et 18=2·3·3, alors LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nous calculons maintenant des facteurs supplémentaires à l'aide desquels les fractions 5/14 et 7/18 seront réduites au dénominateur 126. Pour la fraction 5/14, le facteur supplémentaire est 126:14=9, et pour la fraction 7/18, le facteur supplémentaire est 126:18=7.

Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions 5/14 et 7/18 par des facteurs supplémentaires 9 et 7, respectivement. Nous avons et .

Ainsi, la réduction des fractions 5/14 et 7/18 au plus petit dénominateur commun est terminée. Les fractions résultantes étaient 45/126 et 49/126.

Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».

Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.

Il peut y avoir des diviseurs d'un nombre spécifique quantité limitée, mais il existe un nombre infini de multiples.

Commun multiple nombres naturels- un nombre qui est divisible par eux sans reste.

Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.

Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.

Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.

Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :

LCM(4, 6) = 24

Si les nombres sont grands, trouvez le commun multiple de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode de calcul du LCM.

Pour terminer la tâche, vous devez factoriser les nombres donnés en facteurs premiers.

Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand nombre sur une ligne, et en dessous - le reste.

La décomposition de chaque nombre peut contenir un nombre différent de facteurs.

Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.

Dans l'expansion du plus petit nombre, vous devez mettre en évidence les facteurs qui manquent dans l'expansion du premier plus grand nombre, puis les y ajouter. Dans l’exemple présenté, il manque un deux.

Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Ainsi, le produit des facteurs premiers du plus grand nombre et des facteurs du deuxième nombre qui n'ont pas été inclus dans le développement du plus grand nombre sera le plus petit commun multiple.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, vous devez tous les factoriser en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.

A titre d'exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Ainsi, seuls deux deux du développement de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans le développement de vingt-quatre).

Il faut donc les ajouter à l’expansion d’un plus grand nombre.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Il existe des cas particuliers pour déterminer le plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit commun multiple.

Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre est vingt-quatre.

Si vous avez besoin de trouver le plus petit commun multiple les uns des autres nombres premiers, qui n'ont pas de diviseurs identiques, alors leur LCM sera égal à leur produit.

Par exemple, LCM (10, 11) = 110.