Le dénominateur de la fraction arithmétique a/b est le nombre b, qui montre la taille des fractions d'une unité à partir de laquelle la fraction est composée. Le dénominateur de la fraction algébrique A/B s'appelle expression algébrique B. Pour effectuer des calculs avec des fractions, il faut les réduire à leur plus petit dénominateur commun.

Vous aurez besoin

• Pour travailler avec des fractions algébriques et trouver le plus petit dénominateur commun, vous devez savoir factoriser les polynômes.

Instructions

Considérons la réduction de deux fractions arithmétiques n/m et s/t au plus petit dénominateur commun, où n, m, s, t sont des nombres entiers. Il est clair que ces deux fractions peuvent être réduites à n’importe quel dénominateur divisible par m et t. Mais ils essaient de le ramener au plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs m et t des fractions données. Le plus petit multiple (LMK) d'un nombre est le plus petit divisible par tous les nombres donnés en même temps. Ceux. dans notre cas, nous devons trouver le plus petit commun multiple des nombres m et t. Noté LCM (m, t). Ensuite, les fractions sont multipliées par celles correspondantes : (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Trouvons le plus petit dénominateur commun de trois fractions : 4/5, 7/8, 11/14. Tout d'abord, développons les dénominateurs 5, 8, 14 : 5 ​​= 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ensuite, calculez le LCM (5, 8, 14) en multipliant tous les nombres inclus dans au moins une des extensions. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Notez que si un facteur apparaît dans le développement de plusieurs nombres (facteur 2 dans le développement des dénominateurs 8 et 14), alors nous prenons le facteur pour un plus grand degré (2 ^ 3 dans notre cas).

Ainsi, le général est reçu. Il est égal à 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. On obtient ici les nombres par lesquels il faut multiplier les fractions avec les dénominateurs correspondants afin de les ramener au plus petit dénominateur commun. On obtient 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

La réduction des fractions algébriques au plus petit dénominateur commun s'effectue par analogie avec les fractions arithmétiques. Pour plus de clarté, examinons le problème à l'aide d'un exemple. Soit deux fractions (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) et (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Factorisons les deux dénominateurs. Notez que le dénominateur de la première fraction est un carré parfait : 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pour

Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .

Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.

Multiples communs plusieurs nombres est le nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, en dans ce cas c'est 90. Ce numéro s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).

Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).

Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Donc, Fonction Chebyshev. Et aussi :

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Recherche du plus petit commun multiple (LCM).

CNP ( une, b) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :

2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

Où p 1 ,...,pk- divers nombres premiers, UN d 1 ,...,dk Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres une, b, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :

Règle. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;

— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par le facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre, qui est divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.

Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Autre possibilité :

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;

5) multiplier ces pouvoirs.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

La plupart des opérations avec des fractions algébriques, telles que l'addition et la soustraction, nécessitent d'abord de convertir ces fractions en mêmes dénominateurs. De tels dénominateurs sont également souvent désignés par l'expression « dénominateur commun" Dans ce sujet, nous examinerons la définition des concepts « dénominateur commun des fractions algébriques » et « plus petit dénominateur commun des fractions algébriques (LCD) », considérerons l'algorithme pour trouver le dénominateur commun point par point et résoudrons plusieurs problèmes sur le sujet.

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Dénominateur commun des fractions algébriques

Si nous parlons de fractions ordinaires, alors le dénominateur commun est un nombre divisible par l'un des dénominateurs des fractions originales. Pour fractions ordinaires 1 2 Et 5 9 le nombre 36 peut être un dénominateur commun, puisqu'il est divisible par 2 et 9 sans reste.

Le dénominateur commun des fractions algébriques est déterminé de la même manière, seuls les polynômes sont utilisés à la place des nombres, puisqu'ils sont les numérateurs et dénominateurs de la fraction algébrique.

Définition 1

Dénominateur commun d'une fraction algébrique est un polynôme divisible par le dénominateur de n'importe quelle fraction.

En raison des particularités des fractions algébriques, qui seront discutées ci-dessous, nous traiterons souvent de dénominateurs communs représentés comme un produit plutôt que comme un polynôme standard.

Exemple 1

Polynôme écrit sous forme de produit 3x2 (x + 1), correspond à un polynôme de la forme standard 3x3 + 3x2. Ce polynôme peut être le dénominateur commun des fractions algébriques 2 x, - 3 x y x 2 et y + 3 x + 1, du fait qu'il est divisible par x, sur x2 et sur x+1. Des informations sur la divisibilité des polynômes sont disponibles dans la rubrique correspondante de notre ressource.

Plus petit dénominateur commun (LCD)

Pour des fractions algébriques données, le nombre de dénominateurs communs peut être infini.

Exemple 2

Prenons comme exemple les fractions 1 2 x et x + 1 x 2 + 3. Leur dénominateur commun est 2x (x2 + 3), ainsi que − 2x (x2 + 3), ainsi que x (x2 + 3), ainsi que 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), ainsi que − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etc.

Lorsque vous résolvez des problèmes, vous pouvez faciliter votre travail en utilisant un dénominateur commun, qui a la forme la plus simple parmi l'ensemble des dénominateurs. Ce dénominateur est souvent appelé le plus petit dénominateur commun.

Définition 2

Plus petit dénominateur commun des fractions algébriques est le dénominateur commun des fractions algébriques, qui a la forme la plus simple.

Soit dit en passant, le terme « plus petit dénominateur commun » n'est généralement pas accepté, il est donc préférable de se limiter au terme « dénominateur commun ». Et voici pourquoi.

Plus tôt, nous avons attiré votre attention sur l'expression « le dénominateur du plus type simple" Le sens principal de cette phrase est le suivant : le dénominateur de la forme la plus simple doit être divisé sans reste par tout autre dénominateur commun des données dans la condition du problème des fractions algébriques. Dans ce cas, dans le produit, qui est le dénominateur commun des fractions, divers coefficients numériques peuvent être utilisés.

Exemple 3

Prenons les fractions 1 2 · x et x + 1 x 2 + 3 . Nous avons déjà découvert qu'il nous sera plus simple de travailler avec un dénominateur commun de la forme 2 x x (x 2 + 3). De plus, le dénominateur commun de ces deux fractions peut être x (x2 + 3), qui ne contient pas de coefficient numérique. La question est de savoir lequel de ces deux dénominateurs communs est considéré comme le plus petit dénominateur commun des fractions. Il n'y a pas de réponse définitive, il est donc plus correct de simplement parler du dénominateur commun et de travailler avec l'option avec laquelle il sera le plus pratique de travailler. Nous pouvons donc utiliser des dénominateurs communs tels que x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ou − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 qui a plus aspect complexe, mais il peut être plus difficile d'agir avec eux.

Trouver le dénominateur commun des fractions algébriques : algorithme d'actions

Supposons que nous ayons plusieurs fractions algébriques pour lesquelles nous devons trouver un dénominateur commun. Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l’algorithme d’actions suivant. Nous devons d’abord factoriser les dénominateurs des fractions originales. Ensuite, nous composons une œuvre dans laquelle nous incluons séquentiellement :

• tous les facteurs du dénominateur de la première fraction ainsi que les puissances ;
• tous les facteurs présents au dénominateur de la deuxième fraction, mais qui ne sont pas dans le produit écrit ou dont le degré est insuffisant ;
• tous les facteurs manquants du dénominateur de la troisième fraction, et ainsi de suite.

Le produit résultant sera le dénominateur commun des fractions algébriques.

Comme facteurs du produit, nous pouvons prendre tous les dénominateurs des fractions données dans l'énoncé du problème. Cependant, le multiplicateur que nous obtiendrons au final sera loin d’avoir un sens comparable à celui des MNT et son utilisation sera irrationnelle.

Exemple 4

Déterminez le dénominateur commun des fractions 1 x 2 y, 5 x + 1 et y - 3 x 5 y.

Solution

Dans ce cas, nous n’avons pas besoin de factoriser les dénominateurs des fractions originales. Par conséquent, nous commencerons à appliquer l’algorithme en composant l’œuvre.

Du dénominateur de la première fraction on prend le multiplicateur x 2 ans, du dénominateur de la deuxième fraction le multiplicateur x+1. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1).

Le dénominateur de la troisième fraction peut nous donner un multiplicateur x 5 ans, cependant, le produit que nous avons compilé plus tôt comporte déjà des facteurs x2 Et oui. On ajoute donc plus x 5 − 2 = x 3. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1) x 3, que l'on peut réduire à la forme x 5 ans (x + 1). Ce sera notre NOZ de fractions algébriques.

Répondre: x 5 · y · (x + 1) .

Examinons maintenant des exemples de problèmes dans lesquels les dénominateurs de fractions algébriques contiennent des facteurs numériques entiers. Dans de tels cas, nous suivons également l’algorithme, après avoir décomposé les facteurs numériques entiers en facteurs simples.

Exemple 5

Trouvez le dénominateur commun des fractions 1 12 x et 1 90 x 2.

Solution

En divisant les nombres aux dénominateurs des fractions en facteurs premiers, nous obtenons 1 2 2 3 x et 1 2 3 2 5 x 2. Nous pouvons maintenant passer à l’élaboration d’un dénominateur commun. Pour ce faire, du dénominateur de la première fraction on prend le produit 2 2 3x et ajoutez-y les facteurs 3, 5 et x du dénominateur de la deuxième fraction. Nous obtenons 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. C'est notre dénominateur commun.

Répondre: 180x2.

Si vous regardez attentivement les résultats des deux exemples analysés, vous remarquerez que les dénominateurs communs des fractions contiennent tous les facteurs présents dans les développements des dénominateurs, et si un certain facteur est présent dans plusieurs dénominateurs, alors il est pris avec le plus grand exposant disponible. Et si les dénominateurs ont des coefficients entiers, alors le dénominateur commun contient un facteur numérique égal au plus petit commun multiple de ces coefficients numériques.

Exemple 6

Les dénominateurs des deux fractions algébriques 1 12 x et 1 90 x 2 ont un facteur x. Dans le deuxième cas, le facteur x est au carré. Pour créer un dénominateur commun, nous devons prendre ce facteur au maximum, c'est-à-dire x2. Il n'y a pas d'autres multiplicateurs avec des variables. Coefficients numériques entiers des fractions originales 12 Et 90 , et leur plus petit commun multiple est 180 . Il s'avère que le dénominateur commun souhaité a la forme 180x2.

Nous pouvons maintenant écrire un autre algorithme pour trouver le facteur commun des fractions algébriques. Pour cela nous :

• factoriser les dénominateurs de toutes les fractions ;
• on compose le produit de tous les facteurs de lettre (s'il y a un facteur dans plusieurs développements, on prend l'option avec le plus grand exposant) ;
• on ajoute le LCM des coefficients numériques des développements au produit résultant.

Les algorithmes donnés sont équivalents, donc n’importe lequel d’entre eux peut être utilisé pour résoudre des problèmes. Il est important de prêter attention aux détails.

Il existe des cas où les facteurs communs aux dénominateurs des fractions peuvent être invisibles derrière les coefficients numériques. Ici, il convient de mettre d'abord entre parenthèses les coefficients numériques aux puissances supérieures des variables dans chacun des facteurs présents dans le dénominateur.

Exemple 7

Quel dénominateur commun ont les fractions 3 5 - x et 5 - x · y 2 2 · x - 10 ?

Solution

Dans le premier cas, le moins un doit être retiré des parenthèses. Nous obtenons 3-x-5. On multiplie le numérateur et le dénominateur par - 1 afin de supprimer le moins au dénominateur : - 3 x - 5.

Dans le deuxième cas, nous mettons les deux entre parenthèses. Cela nous permet d'obtenir la fraction 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Il est évident que le dénominateur commun de ces fractions algébriques - 3 x - 5 et 5 - x · y 2 2 · x - 5 est 2 (x-5).

Répondre:2 (x-5).

Les données dans la condition problématique de fraction peuvent avoir des coefficients fractionnaires. Dans ces cas, vous devez d'abord vous débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain nombre.

Exemple 8

Simplifier fractions algébriques 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 et - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , puis déterminez leur dénominateur commun.

Solution

Débarrassons-nous des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur dans le premier cas par 14, dans le second cas par 3. On obtient :

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Après les transformations, il devient clair que le dénominateur commun est 2 (x2 + 2).

Répondre: 2 (x2 + 2).

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Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre divisible par chaque nombre du groupe sans laisser de reste. Pour trouver le plus petit commun multiple, vous devez trouver les facteurs premiers de nombres donnés. Le LCM peut également être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes qui s'appliquent à des groupes de deux nombres ou plus.

Mesures

Série de multiples

Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant inférieur à 10. Si des nombres plus grands sont donnés, utilisez une méthode différente.

• Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 8. Ce sont de petits nombres, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

1. Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Les multiples peuvent être trouvés dans la table de multiplication.

   • Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Écrivez une série de nombres multiples du premier nombre. Faites cela sous des multiples du premier nombre pour comparer deux ensembles de nombres.

   • Par exemple, les nombres multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.

3. Trouvez le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver nombre total. Le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples est le plus petit commun multiple.

   • Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans la série des multiples de 5 et 8 est le nombre 40. Par conséquent, 40 est le plus petit commun multiple de 5 et 8.

   Factorisation première

   1. Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant supérieur à 10. Si des nombres plus petits sont donnés, utilisez une méthode différente.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

   2. Factorisez le premier nombre en facteurs premiers. Autrement dit, vous devez trouver des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront un nombre donné. Une fois que vous avez trouvé les facteurs premiers, écrivez-les sous forme d’égalités.

      • Par exemple, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 10=20) Et 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Ainsi, facteurs simples les nombres 20 sont les nombres 2, 2 et 5. Écrivez-les sous forme d'expression : .

   3. Factorisez le deuxième nombre en facteurs premiers. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront le nombre donné.

      • Par exemple, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\times 6=42) Et 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 84 sont les nombres 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous forme d'expression : .

   4. Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez des facteurs tels qu’une opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent les factorisations de nombres en facteurs premiers).

      • Par exemple, les deux nombres ont un facteur commun de 2, alors écrivez 2 × (\displaystyle 2\times) et rayez le 2 dans les deux expressions.
      • Ce que les deux nombres ont en commun est un autre facteur de 2, alors écrivez 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.

   5. Ajoutez les facteurs restants à l’opération de multiplication. Il s’agit de facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c’est-à-dire qui ne sont pas communs aux deux nombres.

      • Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Les deux deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • En expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) les deux deux (2) sont également barrés. Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculez le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication écrite.

      • Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Le plus petit commun multiple de 20 et 84 est donc 420.

   Trouver des facteurs communs

   1. Dessinez une grille comme pour un jeu de tic-tac-toe. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se croisent (à angle droit) avec deux autres lignes parallèles. Cela vous donnera trois lignes et trois colonnes (la grille ressemble beaucoup à l'icône #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 18 et 30. Écrivez le nombre 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez le nombre 30 dans la première ligne et la troisième colonne.

   2. Trouvez le diviseur commun aux deux nombres. Notez-le dans la première ligne et la première colonne. Il est préférable de rechercher des facteurs premiers, mais ce n'est pas une obligation.

      • Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, leur facteur commun est donc 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.

   3. Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écrivez chaque quotient sous le numéro approprié. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres.

      • Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), alors écrivez 9 sous 18 ans.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), alors notez 15 sous 30.

   4. Trouvez le diviseur commun aux deux quotients. S'il n'existe pas de diviseur de ce type, ignorez les deux étapes suivantes. Sinon, écrivez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.

      • Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.

   5. Divisez chaque quotient par son deuxième diviseur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.

      • Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), alors écrivez 3 sous 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), alors écrivez 5 sous 15.

   6. Si nécessaire, ajoutez des cellules supplémentaires à la grille. Répétez les étapes décrites jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.

   7. Encerclez les nombres dans la première colonne et la dernière ligne de la grille.Écrivez ensuite les nombres sélectionnés sous forme d’opération de multiplication.

      • Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne, et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Trouvez le résultat de la multiplication de nombres. Cela calculera le plus petit commun multiple de deux nombres donnés.

      • Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Le plus petit commun multiple de 18 et 30 est donc 90.

   L'algorithme d'Euclide

   1. N'oubliez pas la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre par lequel on divise. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres. Un reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.

      • Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3 :
        15 est le dividende
        6 est un diviseur
        2 est le quotient
        3 est le reste.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.

Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.

L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :

$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :

1. Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=2\cdot 11=22$

Exemple 2

Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ce faire :

Factorisons les nombres en facteurs premiers

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=3\cdot 3=9$

Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.

Solution:

Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. Le plus grand élément dans ensemble donné le numéro sera de 12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.

Définition du NPL

Définition 3

Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.

Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :

1. Factoriser les nombres en facteurs premiers
2. Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça

Factoriser les nombres en facteurs premiers

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Notez les facteurs inclus dans le premier

ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.

Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b

En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.

Propriétés de GCD et LCM

1. Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , alors К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ et $m$ est un nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$

Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est le multiple commun de $a$ et $b$

Pour tout nombre naturel $a$ et $b$, l'égalité est vraie

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Tout diviseur commun des nombres $a$ et $b$ est un diviseur du nombre $D(a;b)$