JE. Les expressions dans lesquelles des nombres, des symboles arithmétiques et des parenthèses peuvent être utilisés avec des lettres sont appelées expressions algébriques.

Exemples d'expressions algébriques :

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x ; 0,3a-b · (4a + 2b) ; un 2 – 2ab ;

Puisqu'une lettre dans une expression algébrique peut être remplacée par des nombres différents, la lettre est appelée une variable et l'expression algébrique elle-même est appelée une expression avec une variable.

II. Si dans une expression algébrique les lettres (variables) sont remplacées par leurs valeurs et que les actions spécifiées sont effectuées, alors le nombre résultant est appelé la valeur de l'expression algébrique.

Exemples.

Trouvez le sens de l’expression :

1) a + 2b -c avec a = -2 ; b = 10 ; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| à x = -8 ; y = -5 ; z = 6..

Solution

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c avec a = -2 ; b = 10 ; c = -3,5. Au lieu de variables, remplaçons leurs valeurs. On obtient : 2) |x| + |y| -|z| à x = -8 ; y = -5 ; z = 6. Remplacez les valeurs indiquées. N'oubliez pas que le module nombre négatif est égal à son opposé, et le module nombre positif

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

égal à ce nombre lui-même. On obtient : III.

Les valeurs de la lettre (variable) pour lesquelles l'expression algébrique a un sens sont appelées valeurs admissibles de la lettre (variable).

Exemples. Pour quelles valeurs de la variable l'expression n'a-t-elle aucun sens ?

Dans l'exemple 1) cette valeur est a = 0. En effet, si vous remplacez a par 0, alors vous devrez diviser le nombre 6 par 0, mais cela ne peut pas se faire. Réponse : l'expression 1) n'a pas de sens lorsque a = 0.

Dans l'exemple 2) le dénominateur de x est 4 = 0 à x = 4, donc cette valeur x = 4 ne peut pas être prise. Réponse : l'expression 2) n'a pas de sens lorsque x = 4.

Dans l'exemple 3), le dénominateur est x + 2 = 0 lorsque x = -2. Réponse : l'expression 3) n'a pas de sens lorsque x = -2.

Dans l'exemple 4), le dénominateur est 5 -|x| = 0 pour |x| = 5. Et puisque |5| = 5 et |-5| = 5, alors vous ne pouvez pas prendre x = 5 et x = -5. Réponse : l'expression 4) n'a pas de sens à x = -5 et à x = 5.
IV. Deux expressions sont dites identiquement égales si, pour toutes valeurs admissibles des variables, les valeurs correspondantes de ces expressions sont égales.

Exemple : 5 (a – b) et 5a – 5b sont également égaux, puisque l'égalité 5 (a – b) = 5a – 5b sera vraie pour toutes les valeurs de a et b. L'égalité 5 (a – b) = 5a – 5b est une identité.

Identité est une égalité qui est valable pour toutes les valeurs admissibles des variables qui y sont incluses. Des exemples d'identités que vous connaissez déjà sont, par exemple, les propriétés d'addition et de multiplication et la propriété distributive.

Le remplacement d'une expression par une autre expression identiquement égale est appelé une transformation d'identité ou simplement une transformation d'une expression. Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.

Exemples.

un) convertissez l'expression en identiquement égale en utilisant la propriété distributive de la multiplication :

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| à x = -8 ; y = -5 ; z = 6.. Rappelons la propriété distributive (loi) de la multiplication :

(a+b)c=ac+bc(loi distributive de multiplication relative à l'addition : pour multiplier la somme de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier chaque terme par ce nombre et additionner les résultats obtenus).
(a-b) c=a c-b c(loi distributive de multiplication relative à la soustraction : afin de multiplier la différence de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier la fin et soustraire par ce nombre séparément et soustraire le deuxième du premier résultat).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6h -2an +ak.

b) transformer l'expression en identiquement égale, en utilisant les propriétés commutatives et associatives (lois) de l'addition :

4) x + 4,5 +2x + 6,5 ; 5) (3a + 2,1) + 7,8 ; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Exemples. Appliquons les lois (propriétés) d'addition :

a+b=b+a(commutatif : réarranger les termes ne change pas la somme).
(une+b)+c=une+(b+c)(combinatif : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux termes, vous pouvez ajouter la somme du deuxième et du troisième au premier nombre).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Convertissez l'expression en identiquement égale en utilisant les propriétés commutatives et associatives (lois) de la multiplication :

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Exemples. Appliquons les lois (propriétés) de la multiplication :

a·b=b·a(commutatif : réarranger les facteurs ne change pas le produit).
(une b) c=une (bc)(combinatif : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, on peut multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Si une expression algébrique est donnée sous la forme d'une fraction réductible, alors en utilisant la règle de réduction d'une fraction, elle peut être simplifiée, c'est-à-dire remplacez-le par une expression identique et plus simple.

Exemples.

Exemples. Simplifiez en utilisant la réduction de fraction. Réduire une fraction signifie diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre (expression), autre que zéro. La fraction 10) sera réduite de 3b ; fraction 11) sera réduite de UN et fraction 12) sera réduit de 7n

. On obtient :

Les expressions algébriques sont utilisées pour créer des formules. Une formule est une expression algébrique écrite sous forme d’égalité et exprimant la relation entre deux ou plusieurs variables. Exemple : formule de chemin que vous connaissez s=vt

(s - distance parcourue, v - vitesse, t - temps). Rappelez-vous les autres formules que vous connaissez.

Page 1 sur 1 1 Une expression est le terme mathématique le plus large. Essentiellement, dans cette science, tout est constitué d'eux et toutes les opérations sont également effectuées sur eux. Une autre question est que, selon le type spécifique, ils sont entièrement utilisés diverses méthodes et techniques. Ainsi, travailler avec la trigonométrie, les fractions ou les logarithmes, c'est trois diverses actions

. Une expression qui n’a pas de sens peut être de deux types : numérique ou algébrique. Mais ce que signifie ce concept, à quoi ressemble son exemple et d'autres points seront discutés plus loin.

Expressions numériques

Si une expression est composée de nombres, de parenthèses, de plus et de moins et d'autres symboles d'opérations arithmétiques, elle peut être qualifiée de numérique en toute sécurité. Ce qui est assez logique : il suffit de revoir son premier composant nommé. Une expression numérique peut être n'importe quoi : l'essentiel est qu'elle ne contienne pas de lettres. Et sous "n'importe quoi" dans tout est compris : d'un simple nombre isolé, à une énorme liste d'entre eux et des signes d'opérations arithmétiques qui nécessitent un calcul ultérieur du résultat final. La fraction est aussi expression numérique, s’il n’y a pas de a, b, c, d, etc., alors c’est un type complètement différent, dont nous parlerons un peu plus tard.

Conditions pour une expression qui n'a pas de sens

Lorsqu’une tâche commence par le mot « calculer », on peut parler de transformation. Le fait est que cette action n’est pas toujours conseillée : elle n’est pas vraiment nécessaire si une expression qui n’a pas de sens apparaît. Les exemples sont infiniment étonnants : parfois, pour comprendre qu'il nous a dépassé, il faut ouvrir les parenthèses longuement et fastidieusement et compter-compter-compter...

La principale chose à retenir est qu’il n’y a aucun sens dans les expressions dont le résultat final se résume à une action interdite en mathématiques. Pour être tout à fait honnête, la transformation elle-même n'a plus de sens, mais pour le savoir, vous devez d'abord l'effectuer. Quel paradoxe !

L'interdit le plus célèbre, mais non moins important opération mathématique- c'est une division par zéro.

Voici donc par exemple une expression qui n’a aucun sens :

(17+11):(5+4-10+1).

Si, à l'aide de calculs simples, nous réduisons la deuxième tranche à un chiffre, alors elle sera nulle.

Par le même principe, un « titre honorifique » est donné à cette expression :

(5-18):(19-4-20+5).

Expressions algébriques

C'est la même expression numérique si on y ajoute des lettres interdites. Cela devient alors une algébrique à part entière. Il peut également être de toutes tailles et de toutes formes. Une expression algébrique est un concept plus large qui inclut le précédent. Mais il était logique de commencer la conversation non pas par cela, mais par un chiffre, afin qu'elle soit plus claire et plus facile à comprendre. Après tout, savoir si une expression algébrique a un sens n’est pas une question très compliquée, mais qui demande plus de précisions.

Pourquoi est-ce ainsi ?

Une expression littérale ou une expression avec des variables sont des synonymes. Le premier terme est facile à expliquer : après tout, il contient des lettres ! Le second n'est pas non plus le mystère du siècle : au lieu de lettres, vous pouvez remplacer différents numéros, à la suite de quoi le sens de l'expression changera. Il n’est pas difficile de deviner que les lettres dans ce cas sont des variables. Par analogie, les nombres sont des constantes.

Et là, nous revenons au sujet principal : cela n’a aucun sens ?

Exemples d'expressions algébriques qui n'ont aucun sens

La condition d'absurdité d'une expression algébrique est la même que pour une expression numérique, à une seule exception près, ou, plus précisément, un ajout. Lors de la conversion et du calcul du résultat final, vous devez prendre en compte les variables, la question n'est donc pas posée comme « quelle expression n'a pas de sens ? », mais « à quelle valeur de la variable cette expression n'a-t-elle pas de sens ? » et « existe-t-il une valeur de la variable à laquelle l'expression perdra son sens ? »

Par exemple, (18-3):(a+11-9).

L'expression ci-dessus n'a pas de sens lorsque a vaut -2.

Mais à propos de (a+3):(12-4-8), nous pouvons affirmer avec certitude que c'est une expression qui n'a de sens pour aucun a.

De la même manière, quel que soit le b que vous substituez dans l'expression (b - 11) : (12+1), cela aura toujours un sens.

Problèmes typiques sur le thème "Une expression qui n'a aucun sens"

La 7e année étudie ce sujet en mathématiques, entre autres, et les devoirs à ce sujet se trouvent souvent à la fois directement après la leçon correspondante et sous forme de question « piège » dans les modules et les examens.

Voici pourquoi cela vaut la peine d'y réfléchir tâches typiques et les méthodes pour les résoudre.

Exemple 1.

L'expression a-t-elle un sens :

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Il faut effectuer tous les calculs entre parenthèses et amener l'expression sous la forme :

Le résultat final contient donc l'expression n'a aucun sens.

Exemple 2.

Quelles expressions n'ont pas de sens ?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Doit être calculé valeur finale pour chacune des expressions.

Réponse : 1 ; 2.

Exemple 3.

Trouvez la plage de valeurs acceptables pour les expressions suivantes :

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

La plage de valeurs admissibles (APV) correspond à tous ces nombres, lorsqu'on les remplace expression variable aura du sens.

Autrement dit, la tâche ressemble à ceci : trouver des valeurs auxquelles il n'y aura pas de division par zéro.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), ou b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), ou b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Exemple 4.

A quelles valeurs l'expression ci-dessous n'aura-t-elle aucun sens ?

La deuxième tranche est égale à zéro lorsque le jeu est égal à -3.

Réponse : y=-3

Exemple 4.

Laquelle des expressions n’a de sens qu’à x = -14 ?

1) 14 :(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 et 3, puisque dans le premier cas, si vous remplacez x = -14, alors la deuxième parenthèse sera égale à -28, et non zéro, comme cela sonne dans la définition d'une expression dénuée de sens.

Exemple 5.

Trouvez et écrivez une expression qui n’a aucun sens.

18/(2-46+17-33+45+15).

Expressions algébriques à deux variables

Malgré le fait que toutes les expressions qui n’ont pas de sens ont la même essence, il existe différents niveaux de complexité. Ainsi, nous pouvons dire que les exemples numériques sont des exemples simples, car ils sont plus faciles que les exemples algébriques. Le nombre de variables dans ce dernier ajoute à la difficulté de résolution. Mais ils ne doivent pas se ressembler : l’essentiel est de retenir le principe général de la solution et de l’appliquer, que l’exemple soit similaire à un problème standard ou comporte des ajouts inconnus.

Par exemple, la question peut se poser de savoir comment résoudre un tel problème.

Trouvez et notez une paire de nombres invalides pour l'expression :

(x 3 - x 2 et 3 + 13x - 38 ans)/(12x 2 - oui).

Réponses possibles :

Mais en fait, cela semble seulement effrayant et encombrant, car en fait il contient ce que l'on sait depuis longtemps : la mise au carré et au cube des nombres, certaines opérations arithmétiques telles que la division, la multiplication, la soustraction et l'addition. Pour plus de commodité, en passant, vous pouvez réduire le problème à une forme fractionnaire.

Le numérateur de la fraction résultante n'est pas content : (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). C'est un fait. Mais il y a une autre raison de bonheur : vous n’avez même pas besoin d’y toucher pour résoudre la tâche ! Selon la définition évoquée précédemment, vous ne pouvez pas diviser par zéro, et ce qui sera divisé exactement par celui-ci n'a aucune importance. Par conséquent, nous laissons cette expression inchangée et substituons des paires de nombres de ces options au dénominateur. Le troisième point s’intègre déjà parfaitement, transformant une petite parenthèse en zéro. Mais s’arrêter là est une mauvaise recommandation, car autre chose pourrait convenir. En effet : le cinquième point s’intègre également bien et convient aux conditions.

Nous notons la réponse : 3 et 5.

En conclusion

Comme vous pouvez le constater, ce sujet est très intéressant et pas particulièrement compliqué. Ce ne sera pas difficile de le comprendre. Mais cela ne fait jamais de mal de mettre en pratique quelques exemples !

Une expression est le terme mathématique le plus large. Essentiellement, dans cette science, tout est constitué d'eux et toutes les opérations sont également effectuées sur eux. Une autre question est que, selon le type spécifique, des méthodes et techniques complètement différentes sont utilisées. Ainsi, travailler avec la trigonométrie, les fractions ou les logarithmes sont trois actions différentes. Une expression qui n’a pas de sens peut être de deux types : numérique ou algébrique. Mais ce que signifie ce concept, à quoi ressemble son exemple et d'autres points seront discutés plus loin.

Expressions numériques

Expressions numériques

Une expression numérique peut être n'importe quoi : l'essentiel est qu'elle ne contienne pas de lettres. Et par « n'importe quoi » dans ce cas, nous entendons tout : d'un simple nombre isolé, à une énorme liste d'entre eux et de signes d'opérations arithmétiques qui nécessitent un calcul ultérieur du résultat final. Une fraction est aussi une expression numérique si elle ne contient aucun a, b, c, d, etc., car il s'agit alors d'un type complètement différent, dont nous parlerons un peu plus tard.

Conditions pour une expression qui n'a pas de sens

Lorsqu’une tâche commence par le mot « calculer », on peut parler de transformation. Le fait est que cette action n’est pas toujours conseillée : elle n’est pas vraiment nécessaire si une expression qui n’a pas de sens apparaît. Les exemples sont infiniment étonnants : parfois, pour comprendre qu'il nous a dépassé, il faut ouvrir les parenthèses longuement et fastidieusement et compter-compter-compter...

La principale chose à retenir est qu’il n’y a aucun sens dans les expressions dont le résultat final se résume à une action interdite en mathématiques. Pour être tout à fait honnête, la transformation elle-même n'a plus de sens, mais pour le savoir, vous devez d'abord l'effectuer. Quel paradoxe !

L’opération mathématique interdite la plus célèbre, mais non moins importante, est la division par zéro.

Voici donc par exemple une expression qui n’a aucun sens :

(17+11):(5+4-10+1).

Si, à l'aide de calculs simples, nous réduisons la deuxième tranche à un chiffre, alors elle sera nulle.

Par le même principe, un « titre honorifique » est donné à cette expression :

(5-18):(19-4-20+5).

Expressions algébriques

C'est la même expression numérique si on y ajoute des lettres interdites. Cela devient alors une algébrique à part entière. Il peut également être de toutes tailles et de toutes formes. Une expression algébrique est un concept plus large qui inclut le précédent. Mais il était logique de commencer la conversation non pas par cela, mais par un chiffre, afin qu'elle soit plus claire et plus facile à comprendre. Après tout, savoir si une expression algébrique a un sens n’est pas une question très compliquée, mais qui demande plus de précisions.

Pourquoi est-ce ainsi ?

Une expression littérale ou une expression avec des variables sont des synonymes. Le premier terme est facile à expliquer : après tout, il contient des lettres ! Le second n'est pas non plus un mystère du siècle : au lieu de lettres, vous pouvez remplacer différents nombres, ce qui modifiera le sens de l'expression. Il n’est pas difficile de deviner que les lettres dans ce cas sont des variables. Par analogie, les nombres sont des constantes.

Et là, on revient au sujet principal : qu'est-ce qu'une expression qui n'a aucun sens ?

Exemples d'expressions algébriques qui n'ont aucun sens

La condition d'absurdité d'une expression algébrique est la même que pour une expression numérique, à une seule exception près, ou, plus précisément, un ajout. Lors de la conversion et du calcul du résultat final, vous devez prendre en compte les variables, la question n'est donc pas posée comme « quelle expression n'a pas de sens ? », mais « à quelle valeur de la variable cette expression n'a-t-elle pas de sens ? » et « existe-t-il une valeur de la variable à laquelle l'expression perdra son sens ? »

Par exemple, (18-3):(a+11-9).

L'expression ci-dessus n'a pas de sens lorsque a vaut -2.

Mais à propos de (a+3):(12-4-8), nous pouvons affirmer avec certitude que c'est une expression qui n'a de sens pour aucun a.

De la même manière, quel que soit le b que vous substituez dans l'expression (b - 11) : (12+1), cela aura toujours un sens.

Problèmes typiques sur le thème "Une expression qui n'a aucun sens"

La 7e année étudie ce sujet en mathématiques, entre autres, et les devoirs à ce sujet se trouvent souvent à la fois directement après la leçon correspondante et sous forme de question « piège » dans les modules et les examens.

C'est pourquoi il convient d'examiner les problèmes typiques et les méthodes permettant de les résoudre.

Exemple 1.

L'expression a-t-elle un sens :

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Il faut effectuer tous les calculs entre parenthèses et amener l'expression sous la forme :

Le résultat final contient une division par zéro, donc l’expression n’a aucun sens.

Exemple 2.

Quelles expressions n'ont pas de sens ?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Vous devez calculer la valeur finale pour chaque expression.

Réponse : 1 ; 2.

Exemple 3.

Trouvez la plage de valeurs acceptables pour les expressions suivantes :

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

La plage de valeurs admissibles (VA) comprend tous ces nombres qui, lorsqu'ils sont remplacés par des variables, l'expression aura un sens.

Autrement dit, la tâche ressemble à ceci : trouver des valeurs auxquelles il n'y aura pas de division par zéro.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), ou b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), ou b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Exemple 4.

A quelles valeurs l'expression ci-dessous n'aura-t-elle aucun sens ?

La deuxième tranche est égale à zéro lorsque le jeu est égal à -3.

Réponse : y=-3

Exemple 4.

Laquelle des expressions n’a de sens qu’à x = -14 ?

1) 14 :(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 et 3, puisque dans le premier cas, si vous remplacez x = -14, alors la deuxième parenthèse sera égale à -28, et non zéro, comme cela sonne dans la définition d'une expression dénuée de sens.

Exemple 5.

Trouvez et écrivez une expression qui n’a aucun sens.

18/(2-46+17-33+45+15).

Expressions algébriques à deux variables

Malgré le fait que toutes les expressions qui n’ont pas de sens ont la même essence, il existe différents niveaux de complexité. Ainsi, nous pouvons dire que les exemples numériques sont des exemples simples, car ils sont plus faciles que les exemples algébriques. Le nombre de variables dans ce dernier ajoute à la difficulté de résolution. Mais ils ne doivent pas prêter à confusion dans leur apparence : l'essentiel est de retenir le principe général de la solution et de l'appliquer, que l'exemple soit similaire à un problème standard ou comporte des ajouts inconnus.

Par exemple, la question peut se poser de savoir comment résoudre un tel problème.

Trouvez et notez une paire de nombres invalides pour l'expression :

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Réponses possibles :

Mais en fait, cela semble seulement effrayant et encombrant, car en fait il contient ce que l'on sait depuis longtemps : la mise au carré et au cube des nombres, certaines opérations arithmétiques telles que la division, la multiplication, la soustraction et l'addition. Pour plus de commodité, en passant, vous pouvez réduire le problème à une forme fractionnaire.

Le numérateur de la fraction résultante n'est pas content : (x3 - x2y3 + 13x - 38y). C'est un fait. Mais il y a une autre raison de bonheur : vous n’avez même pas besoin d’y toucher pour résoudre la tâche ! Selon la définition évoquée précédemment, vous ne pouvez pas diviser par zéro, et ce qui sera divisé exactement par celui-ci n'a aucune importance. Par conséquent, nous laissons cette expression inchangée et substituons des paires de nombres de ces options au dénominateur. Le troisième point s’intègre déjà parfaitement, transformant une petite parenthèse en zéro. Mais s’arrêter là est une mauvaise recommandation, car autre chose pourrait convenir. En effet : le cinquième point s’intègre également bien et convient aux conditions.

Nous notons la réponse : 3 et 5.

En conclusion

Comme vous pouvez le constater, ce sujet est très intéressant et pas particulièrement compliqué. Ce ne sera pas difficile de le comprendre. Mais cela ne fait jamais de mal de mettre en pratique quelques exemples !

Lorsque vous étudiez le sujet des expressions numériques, alphabétiques et des expressions avec des variables, vous devez faire attention au concept valeur d'expression. Dans cet article, nous répondrons à la question de savoir quelle est la valeur d'une expression numérique et comment s'appelle la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables pour les valeurs de variables sélectionnées. Pour clarifier ces définitions, nous donnons des exemples.

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Quelle est la valeur d’une expression numérique ?

La connaissance des expressions numériques commence presque dès les premiers cours de mathématiques à l'école. Presque immédiatement, le concept de « valeur d'une expression numérique » est introduit. Il fait référence à des expressions constituées de nombres reliés par des opérations arithmétiques signes (+, −, ·, :). Donnons la définition correspondante.

Définition.

Valeur d'expression numérique– c'est le nombre obtenu après avoir effectué toutes les actions dans l'expression numérique originale.

Par exemple, considérons l'expression numérique 1+2. Une fois terminé, nous obtenons le chiffre 3, qui est la valeur de l'expression numérique 1+2.

Souvent, dans l'expression « le sens d'une expression numérique », le mot « numérique » est omis et ils disent simplement « le sens de l'expression », car le sens de l'expression est toujours clair.

La définition ci-dessus du sens d'une expression s'applique également aux expressions numériques d'un type plus complexe, qui sont étudiées au lycée. Il convient de noter ici que vous pouvez rencontrer des expressions numériques dont les valeurs ne peuvent être précisées. En effet, dans certaines expressions, il n'est pas possible d'effectuer les actions enregistrées. Par exemple, c'est pourquoi nous ne pouvons pas spécifier la valeur de l'expression 3:(2−2) . De telles expressions numériques sont appelées des expressions qui n'ont pas de sens.

Souvent en pratique, ce n’est pas tant l’expression numérique qui intéresse que sa signification. C'est-à-dire qu'il s'agit de déterminer le sens d'une expression donnée. Dans ce cas, ils disent généralement qu'il faut trouver la valeur de l'expression. Cet article examine en détail le processus de recherche de la valeur d'expressions numériques de différents types et considère de nombreux exemples avec des descriptions détaillées des solutions.

Signification des expressions littérales et variables

En plus des expressions numériques, les expressions littérales sont étudiées, c'est-à-dire les expressions dans lesquelles une ou plusieurs lettres sont présentes avec des chiffres. Les lettres d'une expression littérale peuvent représenter différents nombres, et si les lettres sont remplacées par ces nombres, l'expression littérale devient une expression numérique.

Définition.

Les nombres qui remplacent les lettres dans une expression littérale sont appelés la signification de ces lettres, et la valeur de l'expression numérique résultante est appelée la valeur d'une expression littérale pour des valeurs de lettres données.

Ainsi, pour les expressions littérales, nous ne parlons pas seulement du sens de l'expression littérale, mais du sens de l'expression littérale étant donné (données, indiquées, etc.) les valeurs des lettres.

Donnons un exemple. Prenons l'expression littérale 2·a+b. Soit les valeurs des lettres a et b, par exemple a=1 et b=6. En remplaçant les lettres de l'expression originale par leurs valeurs, nous obtenons une expression numérique de la forme 2·1+6, sa valeur est 8. Ainsi, le nombre 8 est la valeur de l'expression littérale 2·a+b pour les valeurs données des lettres a=1 et b=6. Si d'autres valeurs de lettres étaient données, nous obtiendrions alors la valeur de l'expression de lettre pour ces valeurs de lettres. Par exemple, avec a=5 et b=1 nous avons la valeur 2·5+1=11.

En algèbre du secondaire, les lettres des expressions de lettres peuvent prendre des significations différentes, ces lettres sont appelées variables et les expressions de lettres sont appelées expressions avec variables. Pour ces expressions, la notion de valeur d'une expression avec des variables est introduite pour des valeurs sélectionnées des variables. Voyons ce que c'est.

Définition.

La valeur d'une expression avec des variables pour les valeurs de variables sélectionnées est la valeur d'une expression numérique obtenue après avoir remplacé les valeurs des variables sélectionnées dans l'expression d'origine.

Expliquons la définition énoncée avec un exemple. Considérons une expression avec des variables x et y de la forme 3·x·y+y. Prenons x=2 et y=4, remplaçons ces valeurs variables dans l'expression originale et obtenons l'expression numérique 3·2·4+4. Calculons la valeur de cette expression : 3·2·4+4=24+4=28. La valeur trouvée 28 est la valeur de l'expression originale avec les variables 3·x·y+y pour les valeurs sélectionnées des variables x=2 et y=4.

Si vous sélectionnez d'autres valeurs de variable, par exemple x=5 et y=0, alors ces valeurs de variable sélectionnées correspondront à la valeur de l'expression de variable égale à 3·5·0+0=0.

Il convient de noter que parfois différentes valeurs sélectionnées de variables peuvent donner lieu à des valeurs d'expression égales. Par exemple, pour x=9 et y=1, la valeur de l'expression 3 x y+y est 28 (puisque 3 9 1+1=27+1=28), et ci-dessus nous avons montré que la même valeur est l'expression avec les variables ont à x=2 et y=4 .

Les valeurs des variables peuvent être sélectionnées parmi leurs correspondantes plages de valeurs acceptables. Sinon, en remplaçant les valeurs de ces variables dans l'expression originale, vous obtiendrez une expression numérique qui n'a aucun sens. Par exemple, si vous choisissez x=0 et remplacez cette valeur dans l'expression 1/x, vous obtiendrez l'expression numérique 1/0, ce qui n'a aucun sens puisque la division par zéro n'est pas définie.

Il ne reste plus qu'à ajouter qu'il existe des expressions avec des variables dont les valeurs ne dépendent pas des valeurs des variables qui y sont incluses. Par exemple, la valeur d'une expression avec une variable x de la forme 2+x−x ne dépend pas de la valeur de cette variable ; elle est égale à 2 pour toute valeur sélectionnée de la variable x dans la plage de ses valeurs admissibles ; , qui dans ce cas est l’ensemble de tous les nombres réels.

Références.

• Mathématiques: manuel pour la 5ème année. enseignement général institutions / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2007. - 280 pp. : ill. ISBN5-346-00699-0.
• Algèbre: manuel pour la 7ème année enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.

Expression numérique– il s’agit de tout enregistrement de nombres, de symboles arithmétiques et de parenthèses. Une expression numérique peut simplement consister en un seul nombre. Rappelons que les opérations arithmétiques de base sont « l'addition », la « soustraction », la « multiplication » et la « division ». Ces actions correspondent aux signes « + », « - », « ∙ », « : ».

Bien entendu, pour obtenir une expression numérique, l’enregistrement des nombres et des symboles arithmétiques doit être significatif. Ainsi, par exemple, une telle entrée 5 : + ∙ ne peut pas être appelée une expression numérique, car il s'agit d'un ensemble aléatoire de symboles qui n'a aucune signification. Au contraire, 5 + 8 ∙ 9 est déjà une véritable expression numérique.

La valeur d'une expression numérique.

Disons tout de suite que si nous effectuons les actions indiquées dans l'expression numérique, nous obtiendrons alors un nombre. Ce numéro s'appelle la valeur d'une expression numérique.

Essayons de calculer ce que nous obtiendrons en effectuant les actions de notre exemple. Selon l'ordre dans lequel les opérations arithmétiques sont effectuées, nous effectuons d'abord l'opération de multiplication. Multipliez 8 par 9. Nous obtenons 72. Ajoutez maintenant 72 et 5. Nous obtenons 77.
Donc, 77 - signification expression numérique 5 + 8 ∙ 9.

Égalité numérique.

Vous pouvez l'écrire ainsi : 5 + 8 ∙ 9 = 77. Ici, nous avons utilisé le signe « = » (« Égal ») pour la première fois. Une telle notation dans laquelle deux expressions numériques sont séparées par le signe « = » est appelée égalité numérique. De plus, si les valeurs des côtés gauche et droit de l'égalité coïncident, alors l'égalité est appelée fidèle. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – égalité correcte.
Si on écrit 5 + 8 ∙ 9 = 100, alors ce sera déjà fausse égalité, puisque les valeurs des côtés gauche et droit de cette égalité ne coïncident plus.

Il est à noter que dans l’expression numérique on peut également utiliser des parenthèses. Les parenthèses affectent l'ordre dans lequel les actions sont exécutées. Ainsi, par exemple, modifions notre exemple en ajoutant des parenthèses : (5 + 8) ∙ 9. Maintenant, vous devez d'abord ajouter 5 et 8. Nous obtenons 13. Puis multiplions 13 par 9. Nous obtenons 117. Ainsi, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – signification expression numérique (5 + 8) ∙ 9.

Pour lire correctement une expression, vous devez déterminer quelle action est effectuée en dernier pour calculer la valeur d'une expression numérique donnée. Ainsi, si la dernière action est une soustraction, alors l’expression est appelée « différence ». En conséquence, si la dernière action est somme - « somme », division – « quotient », multiplication – « produit », exponentiation – « puissance ».

Par exemple, l'expression numérique (1+5)(10-3) se lit comme ceci : « le produit de la somme des nombres 1 et 5 et de la différence des nombres 10 et 3 ».

Exemples d'expressions numériques.

Voici un exemple d’expression numérique plus complexe :

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Entre parenthèses nous avons l'expression $\frac(1)(4)+3.75$ . Convertissez la fraction décimale 3,75 en une fraction commune.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Donc, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ensuite, au numérateur de la fraction \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] nous avons l'expression 1,25+3,47+4,75-1,47. Pour simplifier cette expression, on applique la loi commutative de l'addition, qui dit : « La somme ne change pas en changeant la place des termes. » Autrement dit, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Au dénominateur de la fraction l'expression $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Nous obtenons $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4 : \frac(8)(2)=4:4 =1$

Quand les expressions numériques n’ont-elles aucun sens ?

Regardons un autre exemple. Au dénominateur de la fraction $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ la valeur de l'expression $3\centerdot 3-9$ est 0. Et, comme on le sait, la division par zéro est impossible. Par conséquent, la fraction $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ n'a aucune signification. On dit que les expressions numériques qui n’ont aucune signification n’ont « aucune signification ».

Si nous utilisons des lettres en plus des chiffres dans une expression numérique, nous aurons alors