Lorsque vous étudiez le sujet des expressions numériques, alphabétiques et des expressions avec des variables, vous devez faire attention au concept valeur d'expression. Dans cet article, nous répondrons à la question de savoir quelle est la valeur d'une expression numérique et comment s'appelle la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables pour les valeurs de variables sélectionnées. Pour clarifier ces définitions, nous donnons des exemples.

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Quelle est la valeur d’une expression numérique ?

La connaissance des expressions numériques commence presque dès les premiers cours de mathématiques à l'école. Presque immédiatement, le concept de « valeur d'une expression numérique » est introduit. Il fait référence à des expressions constituées de nombres reliés par des opérations arithmétiques signes (+, −, ·, :). Donnons la définition correspondante.

Définition.

Valeur d'expression numérique– c’est le nombre obtenu après avoir effectué toutes les actions de l’original numériquement.

Par exemple, considérons l'expression numérique 1+2. Une fois terminé, nous obtenons le chiffre 3, qui est la valeur de l'expression numérique 1+2.

Souvent, dans l'expression « le sens d'une expression numérique », le mot « numérique » est omis et ils disent simplement « le sens de l'expression », car le sens de l'expression est toujours clair.

La définition ci-dessus de la signification d'une expression s'applique également aux expressions numériques de plus de type complexe qui sont étudiés au lycée. Il convient de noter ici que vous pouvez rencontrer des expressions numériques dont les valeurs ne peuvent être précisées. En effet, dans certaines expressions, il n'est pas possible d'effectuer les actions enregistrées. Par exemple, c'est pourquoi nous ne pouvons pas spécifier la valeur de l'expression 3:(2−2) . De telles expressions numériques sont appelées des expressions qui n'ont pas de sens.

Souvent en pratique, ce n’est pas tant l’expression numérique qui intéresse que sa signification. C'est-à-dire qu'il s'agit de déterminer le sens d'une expression donnée. Dans ce cas, ils disent généralement qu'il faut trouver la valeur de l'expression. Cet article traite en détail du processus de recherche de la valeur des expressions numériques différents types, et plein d'exemples avec descriptions détaillées décisions.

Signification des expressions littérales et variables

En plus des expressions numériques, les expressions littérales sont étudiées, c'est-à-dire les expressions dans lesquelles une ou plusieurs lettres sont présentes avec des chiffres. Les lettres d'une expression littérale peuvent représenter différents nombres, et si les lettres sont remplacées par ces nombres, l'expression littérale devient une expression numérique.

Définition.

Les nombres qui remplacent les lettres dans une expression littérale sont appelés la signification de ces lettres, et la valeur de l'expression numérique résultante est appelée la valeur d'une expression littérale pour des valeurs de lettres données.

Ainsi, pour les expressions littérales, nous ne parlons pas seulement du sens de l'expression littérale, mais du sens de l'expression littérale étant donné (données, indiquées, etc.) les valeurs des lettres.

Donnons un exemple. Prenons l'expression littérale 2·a+b. Soit les valeurs des lettres a et b, par exemple a=1 et b=6. En remplaçant les lettres de l'expression originale par leurs valeurs, nous obtenons une expression numérique de la forme 2·1+6, sa valeur est 8. Ainsi, le nombre 8 est la valeur de l'expression littérale 2·a+b pour les valeurs données des lettres a=1 et b=6. Si d'autres valeurs de lettres étaient données, nous obtiendrions alors la valeur de l'expression de lettre pour ces valeurs de lettres. Par exemple, avec a=5 et b=1 nous avons la valeur 2·5+1=11.

Au lycée, lors de l'étude de l'algèbre, les lettres dans les expressions alphabétiques sont autorisées à prendre différentes significations, ces lettres sont appelées variables et les expressions de lettres sont appelées expressions avec variables. Pour ces expressions, la notion de valeur d'une expression avec des variables est introduite pour des valeurs sélectionnées des variables. Voyons ce que c'est.

Définition.

La valeur d'une expression avec des variables pour les valeurs de variables sélectionnées est la valeur d'une expression numérique obtenue après avoir remplacé les valeurs des variables sélectionnées dans l'expression d'origine.

Expliquons la définition énoncée avec un exemple. Considérons une expression avec des variables x et y de la forme 3·x·y+y. Prenons x=2 et y=4, remplaçons ces valeurs variables dans l'expression originale et obtenons l'expression numérique 3·2·4+4. Calculons la valeur de cette expression : 3·2·4+4=24+4=28. La valeur trouvée 28 est la valeur de l'expression originale avec les variables 3·x·y+y pour les valeurs sélectionnées des variables x=2 et y=4.

Si vous sélectionnez d'autres valeurs de variable, par exemple x=5 et y=0, alors ces valeurs de variable sélectionnées correspondront à la valeur de l'expression de variable égale à 3·5·0+0=0.

Il convient de noter que parfois différentes valeurs sélectionnées de variables peuvent donner lieu à des valeurs d'expression égales. Par exemple, pour x=9 et y=1, la valeur de l'expression 3 x y+y est 28 (puisque 3 9 1+1=27+1=28), et ci-dessus nous avons montré que la même valeur est l'expression avec les variables ont à x=2 et y=4 .

Les valeurs des variables peuvent être sélectionnées parmi leurs correspondantes plages de valeurs acceptables. Sinon, en remplaçant les valeurs de ces variables dans l'expression originale, vous obtiendrez une expression numérique qui n'a aucun sens. Par exemple, si vous choisissez x=0 et remplacez cette valeur dans l'expression 1/x, vous obtiendrez l'expression numérique 1/0, ce qui n'a aucun sens puisque la division par zéro n'est pas définie.

Il ne reste plus qu'à ajouter qu'il existe des expressions avec des variables dont les valeurs ne dépendent pas des valeurs des variables qui y sont incluses. Par exemple, la valeur d'une expression avec une variable x de la forme 2+x−x ne dépend pas de la valeur de cette variable ; elle est égale à 2 pour toute valeur sélectionnée de la variable x dans la plage de ses valeurs admissibles ; , qui dans dans ce cas est l'ensemble de tous les nombres réels.

Références.

• Mathématiques: manuel pour la 5ème année. enseignement général institutions / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2007. - 280 pp. : ill. ISBN5-346-00699-0.
• Algèbre: manuel pour la 7ème année enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.

Expressions numériques et algébriques. Conversion d'expressions.

Qu'est-ce qu'une expression en mathématiques ? Pourquoi avons-nous besoin de conversions d’expressions ?

La question, comme on dit, est intéressante... Le fait est que ces concepts sont à la base de toutes les mathématiques. Toutes les mathématiques sont constituées d'expressions et de leurs transformations. Pas très clair ? Laissez-moi vous expliquer.

Disons que vous avez devant vous un mauvais exemple. Très grand et très complexe. Disons que vous êtes bon en maths et que vous n'avez peur de rien ! Pouvez-vous donner une réponse tout de suite ?

Vous devrez décider cet exemple. De manière cohérente, étape par étape, cet exemple simplifier. Selon certaines règles, bien sûr. Ceux. faire conversion d'expressions. Plus vous réussissez ces transformations, plus vous êtes fort en mathématiques. Si vous ne savez pas faire les bonnes transformations, vous ne pourrez pas les faire en mathématiques. Rien...

Pour éviter un avenir (ou un présent) aussi inconfortable, cela ne fait pas de mal de comprendre ce sujet.)

Tout d'abord, découvrons qu'est-ce qu'une expression en mathématiques. Ce qui s'est passé expression numérique et qu'est-ce que c'est expression algébrique.

Qu'est-ce qu'une expression en mathématiques ?

Expression en mathématiques- c'est un concept très large. Presque tout ce que nous traitons en mathématiques est un ensemble d’expressions mathématiques. Tous les exemples, formules, fractions, équations, etc. - tout consiste en expressions mathématiques.

3+2 est une expression mathématique. s 2 - j 2- c'est aussi une expression mathématique. Une fraction saine et même un nombre sont tous des expressions mathématiques. Par exemple, l'équation est :

5x + 2 = 12

se compose de deux expressions mathématiques reliées par un signe égal. Une expression est à gauche, l'autre à droite.

DANS vue générale terme " expression mathématique"est utilisé, le plus souvent, pour éviter de bourdonner. Ils vous demanderont par exemple ce qu'est une fraction ordinaire ? Et comment répondre ?!

Première réponse : "C'est... mmmmmm... une telle chose... dans laquelle... Puis-je mieux écrire une fraction ? Lequel veux-tu?"

Deuxième réponse : " Fraction commune- c'est (joyeux et joyeux !) expression mathématique , qui se compose d'un numérateur et d'un dénominateur !"

La deuxième option sera en quelque sorte plus impressionnante, n'est-ce pas ?)

C'est le but de l'expression " expression mathématique "très bien. A la fois correct et solide. Mais pour application pratique il faut bien connaître types spécifiques d'expressions en mathématiques .

Le type spécifique est une autre affaire. Ce C'est une tout autre affaire ! Chaque type d'expression mathématique a le mien un ensemble de règles et de techniques qui doivent être utilisées lors de la prise de décision. Pour travailler avec des fractions - un jeu. Pour travailler avec des expressions trigonométriques - la seconde. Pour travailler avec des logarithmes - le troisième. Et ainsi de suite. Quelque part ces règles coïncident, quelque part elles diffèrent fortement. Mais n'ayez pas peur de ces mots effrayants. Nous maîtriserons les logarithmes, la trigonométrie et d'autres choses mystérieuses dans les sections appropriées.

Nous allons ici maîtriser (ou - répéter, selon qui...) deux grands types d'expressions mathématiques. Expressions numériques et expressions algébriques.

Expressions numériques.

Ce qui s'est passé expression numérique? C'est un concept très simple. Le nom lui-même laisse entendre qu'il s'agit d'une expression comportant des chiffres. Oui, c'est comme ça. Une expression mathématique composée de nombres, de parenthèses et de symboles arithmétiques est appelée expression numérique.

7-3 est une expression numérique.

(8+3,2) 5,4 est aussi une expression numérique.

Et ce monstre :

aussi une expression numérique, oui...

Un nombre ordinaire, une fraction, tout exemple de calcul sans X ni autres lettres - tout cela sont des expressions numériques.

Signe principal numérique expressions - dedans pas de lettres. Aucun. Uniquement des chiffres et des symboles mathématiques (si nécessaire). C'est simple, non ?

Et que peut-on faire avec des expressions numériques ? Les expressions numériques peuvent généralement être comptées. Pour ce faire, il arrive qu'il faille ouvrir les parenthèses, changer les signes, abréger, échanger les termes - c'est-à-dire faire conversions d'expressions. Mais plus à ce sujet ci-dessous.

Ici, nous traiterons d'un cas aussi amusant où avec une expression numérique vous n'avez rien à faire. Eh bien, rien du tout ! Cette agréable opération - ne rien faire)- est exécuté lorsque l'expression ça n'a pas de sens.

Quand une expression numérique n’a-t-elle aucun sens ?

Il est clair que si nous voyons une sorte d’abracadabra devant nous, comme

alors nous ne ferons rien. Parce qu’on ne sait pas quoi faire à ce sujet. Une sorte de non-sens. Comptez peut-être le nombre d'avantages...

Mais il existe des expressions apparemment tout à fait décentes. Par exemple ceci :

(2+3) : (16 - 2 8)

Mais cette expression aussi ça n'a pas de sens! Pour la simple raison que dans les secondes parenthèses - si vous comptez - vous obtenez zéro. Mais on ne peut pas diviser par zéro ! C'est une opération interdite en mathématiques. Par conséquent, il n’est pas non plus nécessaire de faire quoi que ce soit avec cette expression. Pour toute tâche avec une telle expression, la réponse sera toujours la même : "L'expression n'a aucun sens !"

Pour donner une telle réponse, bien sûr, j'ai dû calculer ce qui serait entre parenthèses. Et parfois, il y a beaucoup de choses entre parenthèses... Eh bien, vous n'y pouvez rien.

Il n’y a pas tellement d’opérations interdites en mathématiques. Il n'y en a qu'un dans ce sujet. Division par zéro. Les restrictions supplémentaires liées aux racines et aux logarithmes sont abordées dans les rubriques correspondantes.

Alors, une idée de ce que c'est expression numérique- reçu. Concept l'expression numérique n'a pas de sens- réalisé. Passons à autre chose.

Expressions algébriques.

Si des lettres apparaissent dans une expression numérique, cette expression devient... L'expression devient... Oui ! Cela devient expression algébrique. Par exemple:

5a 2; 3x-2 ans ; 3(z-2); 3,4 m/n ; x2 +4x-4 ; (a+b)2; ...

De telles expressions sont également appelées expressions littérales. Ou expressions avec des variables. C'est pratiquement la même chose. Expression 5a +c, par exemple, à la fois littéral et algébrique, et une expression avec des variables.

Concept expression algébrique - plus large que numérique. Il comprend et toutes les expressions numériques. Ceux. une expression numérique est aussi une expression algébrique, mais sans lettres. Tout hareng est un poisson, mais tous les poissons ne sont pas un hareng...)

Pourquoi alphabétique- Il est clair. Eh bien, puisqu'il y a des lettres... Phrase expression avec des variables Ce n’est pas non plus très déroutant. Si vous comprenez que les chiffres sont cachés sous les lettres. Toutes sortes de chiffres peuvent être cachés sous des lettres... Et 5, et -18, et tout ce que vous voulez. Autrement dit, une lettre peut être remplacer sur différents numéros. C'est pourquoi les lettres s'appellent variables.

En expression y+5, Par exemple, à - quantité variable. Ou ils disent simplement " variable", sans le mot « grandeur ». Contrairement à cinq, qui est une valeur constante. Ou simplement - constante.

Terme expression algébrique signifie que pour travailler avec cette expression, vous devez utiliser des lois et des règles algèbre. Si arithmétique fonctionne avec des nombres spécifiques, alors algèbre- avec tous les numéros à la fois. Un exemple simple pour clarifier.

En arithmétique, on peut écrire que

Mais si nous écrivons une telle égalité à travers des expressions algébriques :

une + b = b + une

nous déciderons tout de suite Tous questions. Pour tous les numéros d'un seul coup. Pour tout ce qui est infini. Parce que sous les lettres UN Et b implicite Tous Nombres. Et pas seulement des nombres, mais même d'autres expressions mathématiques. C'est ainsi que fonctionne l'algèbre.

Quand une expression algébrique n’a-t-elle pas de sens ?

Tout dans l'expression numérique est clair. Ici, vous ne pouvez pas diviser par zéro. Et avec les lettres, est-il possible de savoir par quoi on divise ?!

Prenons par exemple cette expression avec des variables :

2: (UN - 5)

Est-ce que cela a du sens ? Qui sait ? UN- n'importe quel numéro...

N'importe lequel, n'importe lequel... Mais il y a un sens UN, pour lequel cette expression exactementça n'a pas de sens ! Et c'est quoi ce numéro ? Oui! C'est 5 ! Si la variable UN remplacez (on dit « remplacer ») par le chiffre 5, entre parenthèses vous obtenez zéro. Qui ne peut être divisé. Il s'avère donc que notre expression ça n'a pas de sens, Si une = 5. Mais pour d'autres valeurs UN est-ce que ça a du sens ? Pouvez-vous remplacer d'autres numéros ?

Certainement. Dans de tels cas, ils disent simplement que l'expression

2: (UN - 5)

a du sens pour toutes les valeurs UN, sauf a = 5 .

L'ensemble des nombres qui Peut la substitution dans une expression donnée est appelée plage de valeurs acceptables cette expression.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué. Regardons l'expression avec des variables et voyons : à quelle valeur de la variable l'opération interdite (division par zéro) est-elle obtenue ?

Et puis assurez-vous de regarder la question de la tâche. Que demandent-ils ?

ça n'a pas de sens, notre sens interdit sera la réponse.

Si vous demandez à quelle valeur d'une variable l'expression a du sens(ressentez la différence !), la réponse sera tous les autres numéros sauf ce qui est interdit.

Pourquoi avons-nous besoin du sens de l’expression ? Il est là, il n'est pas... Quelle est la différence ?! Le fait est que ce concept devient très important au lycée. Extrêmement important ! C'est la base de concepts aussi solides que le domaine des valeurs acceptables ou le domaine d'une fonction. Sans cela, vous ne pourrez pas du tout résoudre des équations ou des inégalités sérieuses. Comme ça.

Conversion d'expressions. Transformations identitaires.

Nous avons été initiés aux expressions numériques et algébriques. Nous avons compris ce que signifie l’expression « l’expression n’a aucun sens ». Maintenant, nous devons comprendre ce que c'est transformation des expressions. La réponse est simple, jusqu'à la honte.) Il s'agit de toute action avec une expression. C'est tout. Vous faites ces transformations depuis la première année.

Prenons l'expression numérique sympa 3+5. Comment peut-on le convertir ? Oui, très simple ! Calculer:

Ce calcul sera la transformation de l'expression. Vous pouvez écrire la même expression différemment :

Ici, nous n’avons rien compté du tout. Je viens d'écrire l'expression sous une forme différente. Ce sera aussi une transformation de l’expression. Vous pouvez l'écrire comme ceci :

Et cela aussi est une transformation d'une expression. Vous pouvez effectuer autant de transformations que vous le souhaitez.

N'importe lequel action sur l'expression n'importe lequel l’écrire sous une autre forme s’appelle transformer l’expression. Et c'est tout. C'est très simple. Mais il y a une chose ici règle très importante. Si important qu'on peut l'appeler en toute sécurité règle principale toutes les mathématiques. Briser cette règle inévitablement conduit à des erreurs. On s'y met ?)

Disons que nous avons transformé notre expression au hasard, comme ceci :

Conversion? Certainement. Nous avons écrit l’expression sous une forme différente, qu’est-ce qui ne va pas ici ?

Ce n'est pas comme ça.) Le fait est que les transformations "au hasard" ne s'intéressent pas du tout aux mathématiques.) Toutes les mathématiques sont construites sur des transformations dans lesquelles apparence, mais l'essence de l'expression ne change pas. Trois plus cinq peuvent être écrits sous n'importe quelle forme, mais il doit y avoir huit.

Transformations, des expressions qui ne changent pas l'essence sont appelés identique.

Exactement transformations identitaires et nous permettent, étape par étape, de transformer un exemple complexe en une expression simple, tout en conservant l'essence de l'exemple. Si nous faisons une erreur dans la chaîne de transformations, nous effectuons une transformation NON identique, alors nous déciderons un autre exemple. Avec d'autres réponses qui ne sont pas liées aux bonnes.)

C'est la règle principale pour résoudre n'importe quelle tâche : maintenir l'identité des transformations.

J'ai donné un exemple avec l'expression numérique 3+5 pour plus de clarté. DANS expressions algébriques Des transformations identiques sont données par des formules et des règles. Disons qu'en algèbre il existe une formule :

a(b+c) = ab + ac

Cela signifie que dans n'importe quel exemple, nous pouvons au lieu de l'expression une(b+c) n'hésitez pas à écrire une expression ab + ac. Et vice versa. Ce transformation identique. Les mathématiques nous donnent le choix entre ces deux expressions. Et lequel écrire - à partir de exemple concretça dépend.

Un autre exemple. L’une des transformations les plus importantes et les plus nécessaires est la propriété fondamentale d’une fraction. Vous pouvez regarder le lien pour plus de détails, mais ici je vais juste vous rappeler la règle : Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre ou par une expression qui n'est pas égale à zéro, la fraction ne changera pas. Voici un exemple de transformations d'identité utilisant cette propriété :

Comme vous l'avez probablement deviné, cette chaîne peut se poursuivre indéfiniment...) Une propriété très importante. C'est cela qui vous permet de transformer toutes sortes d'exemples de monstres en blancs et pelucheux.)

Il existe de nombreuses formules définissant des transformations identiques. Mais les plus importants sont en nombre tout à fait raisonnable. L'une des transformations fondamentales est la factorisation. Il est utilisé dans toutes les mathématiques, du primaire au avancé. Commençons par lui. Dans la prochaine leçon.)

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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