La flexion transversale se produit lorsqu'une force agit sur une poutre dans une direction transversale à sa longueur.

Considérons deux options de flexion transversale : premièrement, la poutre repose sur deux supports et la charge est située sur la poutre dans les limites entre les supports et deuxièmement, la poutre est fermement encastrée à une extrémité dans le mur et la charge ; est situé à l'extrémité libre de la poutre.

Tout d'abord, découvrons quel effet le lieu d'application de la force a sur la flexion. Si nous plaçons une planche sur deux supports et la suivons du support jusqu'au milieu, la déviation de la planche augmentera continuellement à mesure que nous nous approchons du milieu. De cette expérience, nous pouvons conclure que plus la force est appliquée près du milieu, plus la déviation de la poutre sera grande. Nous observerons le même phénomène dans une expérience avec une poutre encastrée à une extrémité dans un mur, lors du déplacement d'une charge du mur vers l'extrémité de la poutre.

Dans les bâtiments et les structures, plusieurs forces peuvent agir simultanément sur une poutre, et elles peuvent également se déplacer, comme les voitures sur un pont. Déterminer l’influence de ces forces sur une poutre n’est pas aussi simple qu’avec la traction ou la compression. La dépendance n’est pas simple et il est difficile pour une personne sans formation technique supérieure de faire face à ce problème.

Comme déjà mentionné, la force peut être appliquée n’importe où dans la poutre. Une telle force ayant un point d’application est appelée concentré.

Si la force est uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre, alors une telle force est appelée uniformément réparti.

Par exemple, sur une poutre à un endroit il y a un sac de sable pesant 100 kg, ce sera une charge concentrée (force), et si la même charge est répartie uniformément sur toute la longueur de la poutre, alors ce sera un charge uniformément répartie. Dans les deux cas, l’ampleur de la force est la même, 100 kg, mais le mode de répartition est différent. En fonction de cela, la contrainte dans la poutre sera différente, à savoir, avec une charge concentrée au milieu de la poutre, la contrainte sera 2 fois plus importante qu'avec une charge uniformément répartie.

Nous savons déjà que plus la charge concentrée se rapproche du support, moins la flexion de la poutre sera importante et moins le matériau sera soumis à des contraintes. Par conséquent, si la poutre a une résistance suffisante lorsqu’une charge est placée au milieu, elle résistera certainement à cette charge si elle est située n’importe où dans la poutre.

Ensuite, il est très intéressant de savoir quelles contraintes sont obtenues dans une poutre chargée et comment elles se répartissent. Faisons l'expérience suivante : prenez une poutre et faites une coupe dessus sur la face supérieure, puis chargez-la. Nous verrons que les deux côtés de la coupe se rapprocheront. De cette expérience, nous concluons que dans la partie supérieure de la poutre, sous l’influence de la charge, une compression se produit.

Si nous effectuons maintenant une coupe dans la partie inférieure de la poutre et la chargeons à nouveau, nous verrons que les bords de la coupe ont divergé et que la coupe dans la partie inférieure est devenue très large. Nous en concluons que dans la partie inférieure de la poutre, sous l'influence de la charge, une tension se produit. Ainsi, dans la partie supérieure de la poutre ou de la poutre, sous l'influence de la charge, une compression se produit et dans la partie inférieure, une tension se produit. Mais comme cela se produit dans la même poutre au même moment, il est évident qu'il existe quelque part un endroit où la tension se transforme en compression, et vice versa. En effet, il y a une telle place dans chaque poutre. Cette ligne, ou plutôt le plan entre compression et tension, est appelée axe neutre. DANS Poutre en bois de section rectangulaire, il est situé approximativement au milieu de la hauteur.

Puisque nous connaissons maintenant la répartition des forces dans une poutre soumise à une charge, nous comprendrons très bien comment parfois une poutre fortement courbée est redressée. Pour ce faire, on la soutient et on pratique une découpe dans la partie supérieure de la poutre en y enfonçant une cale tout en la soulevant par le bas. Puisque dans une poutre entière soumise à une charge, la force de traction dans la partie inférieure est égale à la force de compression dans la partie supérieure, alors lors de l'enfoncement des cales, évidemment, la force de compression dans la partie supérieure de la poutre augmentera, et la la poutre se pliera verso, c'est-à-dire qu'il se redressera.

De plus, il n'est pas difficile de vérifier que lorsqu'une poutre est pliée, des forces de cisaillement apparaissent dans celle-ci. Pour cette expérience, prenons deux poutres de même longueur et plaçons une poutre au-dessus de l’autre. Dans un état déchargé, leurs extrémités coïncideront, comme le montre la Fig. 4a. Si nous les chargeons maintenant, les poutres fléchiront et leurs extrémités seront situées comme indiqué sur la Fig. 4b. On voit que les extrémités des poutres ne coïncident pas et que le bord inférieur de l'extrémité de la poutre supérieure dépasse de la ligne du bord supérieur de l'extrémité de la poutre inférieure. Il est évident qu'un décalage s'est produit le long du plan de contact entre les poutres, ce qui a entraîné la saillie des extrémités d'une poutre par rapport à l'autre. Si la poutre était constituée d'une seule pièce de bois, alors il est évident que nous ne remarquerions aucun changement aux extrémités de la poutre, mais il ne fait aucun doute que dans cette poutre dans le plan neutre il y aurait des forces de cisaillement, et si la résistance de l'arbre était insuffisante, alors aux extrémités de la poutre un délaminage serait révélé.

Riz. 4. Pliage d'une poutre composite

Après cette expérience, la structure des poutres composites sur touches devient bien claire. En figue. La figure 5 montre une telle poutre, constituée de trois barres, entre lesquelles sont découpées des chevilles. Évidemment, l'extrémité d'une poutre ne peut pas bouger par rapport à l'autre, puisque ce mouvement est empêché par des chevilles. Plus la connexion entre les chevilles et les poutres est solide, plus la poutre est rigide.

Continuons l'expérience précédente. Si nous dessinons à travers les deux faisceaux pour à égale distance traits au crayon, comme le montre la Fig. 4a, puis nous chargeons les barres, nous verrons que la ligne médiane des deux barres restera inchangée et que toutes les autres se déplaceront, comme le montre la Fig. 4b. Dans ce cas, la divergence des lignes sera d'autant plus grande qu'elles seront éloignées du milieu. De cette expérience nous concluons que la plus grande force de cisaillement se situe aux extrémités des poutres. C'est pourquoi, dans les poutres avec chevilles, les chevilles doivent être placées plus souvent vers les extrémités et moins souvent vers le milieu.

Ainsi, toutes les expériences réalisées nous convainquent que diverses contraintes apparaissent dans une poutre chargée.

Tirons à nouveau les leçons de l'expérience. Tout le monde sait que si vous posez une planche à plat et la chargez, elle se pliera sensiblement, mais si vous posez la même planche sur son bord et la chargez avec la même charge, la déviation sera presque imperceptible. Cette expérience nous convainc que l'ampleur de la flexion dépend principalement de la hauteur de la poutre, et non de sa largeur. Si vous prenez deux poutres carrées et les reliez avec des chevilles et des boulons, de manière à obtenir une poutre de deux carrés de haut, alors une telle poutre sera capable de résister à une charge deux fois plus importante que ces deux poutres, placé à proximité. Avec trois poutres, la charge peut être 4,5 fois plus importante, etc.

De ces expériences, il nous apparaît clairement qu'il est beaucoup plus rentable d'augmenter la hauteur de la poutre que sa largeur, mais bien sûr jusqu'à une certaine limite, puisqu'avec une poutre très haute et fine elle peut se plier sur le côté. .

Les poutres étant taillées ou sciées dans des rondins, la question se pose de savoir quel doit être le rapport entre la hauteur et la largeur de la poutre afin d'obtenir une poutre de la plus grande résistance. La mécanique des structures donne une réponse exacte à cette question, à savoir qu'il doit y avoir 7 mesures en hauteur, et seulement 5 mesures en largeur. En pratique, cela se fait comme suit. Au bout d'une bûche ronde (Fig. 6), tracez une ligne passant par le centre et divisez-la en trois parties égales. Ensuite, à partir de ces points le long du carré, des lignes sont tracées dans des directions opposées jusqu'au bord de l'extrémité. Enfin, ces points extrêmes sont reliés aux extrémités d'une ligne passant par le centre de l'extrémité, et nous obtenons un rectangle avec long côté aura 7 mesures, et la plus courte aura les mêmes 5. Dans ce sens, la bûche est limée ou taillée et la poutre rectangulaire la plus solide pouvant être fabriquée à partir d'une bûche donnée est obtenue.

Il est intéressant de noter que, bûche ronde moins résistante à la flexion qu'une bûche comportant des dalles légèrement taillées sur les faces supérieures et inférieures.

Sur la base de tout ce qui précède, nous pouvons conclure que définition précise la taille des poutres dépend de nombreuses circonstances : du nombre et de l'emplacement des charges, du type de charge, du mode de répartition (solide ou concentrée), de la forme de la poutre, de sa longueur, etc. La prise en compte de toutes ces circonstances est assez compliquée et inaccessible à un menuisier en exercice.

Lors de la détermination des dimensions des poutres, il est nécessaire, en plus de la résistance, de prendre également en compte la déflexion des poutres. Parfois, pendant la construction, les charpentiers expriment leur perplexité quant à la raison pour laquelle une poutre aussi épaisse a été installée ; Il est tout à fait vrai qu’une poutre plus fine résistera à la charge qui lui sera appliquée, mais lorsqu’ils marcheront ou danseront ensuite sur le sol sur des poutres minces, un tel sol se pliera comme une balançoire. Pour éviter une instabilité très désagréable du plancher, les poutres sont posées plus épaisses que ne l'exigent les conditions de résistance. DANS bâtiments résidentiels La déviation des poutres n'est autorisée que sur 1/250 de la portée. Si, par exemple, la portée est de 9 m, soit 900 cm, alors la flèche maximale ne doit pas dépasser 900 : 250, soit 3,6 cm.

En conclusion, une règle empirique à mentionner pour déterminer la hauteur des poutres dans les bâtiments résidentiels est que la hauteur de la poutre doit être au moins 1/24 de la longueur de la poutre. Par exemple, si la longueur de la poutre est de 8 m (800 cm), alors la hauteur doit être de 800 : 24 = 33 cm.

Pour des raisons pratiques, en plus de tout ce qui précède, vous devez vous familiariser avec les tableaux ci-joints, qui permettront de déterminer facilement et rapidement bonne taille poutres pour le cas d’une charge uniformément répartie. Ces tableaux indiquent les charges admissibles sur les poutres rectangulaires et section ronde, Pour différentes tailles poutres et pour différentes portées.

Pour une charge située au centre de la travée, sa valeur doit être deux fois inférieure à celle indiquée dans le tableau.

La tâche donne une force concentrée, on sait que cette poutre doit résister à deux fois la charge uniformément répartie, soit 1600 × 2 = 3200 kg. On recherche dans le tableau le chariot à la colonne pour une portée de 8 m. Le nombre le plus proche de 3200 dans le tableau est 3411, chiffre qui correspond à une bûche d'un diamètre de 34 cm.

Si une poutre est solidement encastrée à une extrémité dans le mur, alors elle peut supporter une charge concentrée à son extrémité libre, 8 fois inférieure à celle de la même poutre reposant sur deux supports et supportant une charge uniformément répartie.

Si la charge est répartie uniformément sur une poutre encastrée à une extrémité dans le mur, alors une telle poutre peut supporter une charge 4 fois inférieure à celle de la même poutre reposant sur deux supports.

Lors du calcul des poutres, vous pouvez être confronté à la question suivante : quelle pression les supports (murs ou colonnes) subissent-ils de la part de la poutre posée dessus avec une charge ?

Si la charge est répartie uniformément sur toute la poutre ou concentrée au milieu, alors les deux supports supportent la même charge.

Si une charge est située plus près d’un support, alors ce support supporte plus de charge que l’autre. Pour savoir lequel, vous devez multiplier la taille de la charge par la distance à l'autre support et diviser par la portée.

S'il y a plusieurs charges sur la poutre, le calcul doit être effectué pour chaque charge séparément, puis les charges résultantes sur un support doivent être additionnées.

Plier est appelée déformation dans laquelle l'axe de la tige et toutes ses fibres, c'est-à-dire les lignes longitudinales parallèles à l'axe de la tige, sont pliées sous l'action de forces extérieures. Le cas de flexion le plus simple se produit lorsque des forces extérieures se situent dans un plan passant par l'axe central de la tige et ne produisent pas de projections sur cet axe. Ce type de pliage est appelé pliage transversal. Il existe des virages plats et des virages obliques.

Courbe plate- un tel cas où l'axe courbe de la tige est situé dans le même plan dans lequel agissent les forces extérieures.

Courbure oblique (complexe)– un cas de flexion lorsque l'axe courbé de la tige ne se trouve pas dans le plan d'action des forces extérieures.

Une tige de flexion est généralement appelée faisceau.

Lors de la flexion transversale plane de poutres dans une section avec le système de coordonnées y0x, deux forces internes peuvent survenir : la force transversale Q y et le moment de flexion M x ; dans ce qui suit, nous introduisons leur notation Q Et M. S'il n'y a pas de force transversale dans une section ou une section d'une poutre (Q = 0) et que le moment de flexion n'est pas nul ou que M est const, alors une telle courbure est généralement appelée faire le ménage.

Force latérale dans n'importe quelle section de la poutre est numériquement égale somme algébrique projections sur l'axe pour toutes les forces (y compris les réactions d'appui) situées d'un côté (l'un ou l'autre) de la section dessinée.

Moment de flexion dans la section de poutre est numériquement égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces (y compris les réactions d'appui) situées d'un côté (n'importe lequel) de la section étirée par rapport au centre de gravité de cette section, plus précisément par rapport à l'axe passant perpendiculairement au plan de dessin par le centre de gravité de la section dessinée.

Forcer Q est résultant réparti sur la section transversale de l'intérieur contrainte de cisaillement, UN moment M– somme de moments autour de l'axe central de la section X interne stress normal.

Il existe une relation différentielle entre les forces internes

qui est utilisé dans la construction et la vérification des diagrammes Q et M.

Étant donné que certaines des fibres de la poutre sont étirées, d'autres sont comprimées et que la transition de la tension à la compression se fait en douceur, sans sauts, dans la partie médiane de la poutre se trouve une couche dont les fibres ne font que se plier, mais ne subissent pas non plus tension ou compression. Cette couche est appelée couche neutre. La ligne le long de laquelle la couche neutre coupe la section transversale du faisceau est appelée ligne neutre e ou axe neutre sections. Des lignes neutres sont enfilées sur l'axe du faisceau.

Les lignes tracées sur la surface latérale de la poutre perpendiculairement à l'axe restent plates lors du pliage. Ces données expérimentales permettent de fonder les conclusions des formules sur l'hypothèse de sections planes. Selon cette hypothèse, les sections de la poutre sont plates et perpendiculaires à son axe avant pliage, restent plates et s'avèrent perpendiculaires à l'axe courbe de la poutre lorsqu'elle est pliée. La section transversale de la poutre est déformée lors de la flexion. En raison de déformation transversale Les dimensions de la section transversale dans la zone comprimée de la poutre augmentent et dans la zone de tension, elles se compriment.

Hypothèses pour dériver des formules. Tensions normales

1) L'hypothèse des sections planes est vérifiée.

2) Les fibres longitudinales ne se pressent pas les unes sur les autres et, par conséquent, sous l'influence de contraintes normales, une tension ou une compression linéaire s'opère.

3) Les déformations des fibres ne dépendent pas de leur position le long de la largeur de la section transversale. Par conséquent, les contraintes normales, changeant sur la hauteur de la section, restent les mêmes sur la largeur.

4) La poutre a au moins un plan de symétrie et toutes les forces externes se situent dans ce plan.

5) Le matériau de la poutre obéit à la loi de Hooke, et le module d'élasticité en traction et en compression est le même.

6) Les relations entre les dimensions de la poutre sont telles qu'elle fonctionne dans des conditions courbure plate pas de déformation ni de curling.

En cas de flexion pure d'une poutre, seulement stress normal, déterminé par la formule :

où y est la coordonnée d'un point de coupe arbitraire, mesurée à partir de la ligne neutre - l'axe central principal x.

Les contraintes de flexion normales le long de la hauteur de la section sont réparties sur loi linéaire. Sur les fibres les plus externes, les contraintes normales atteignent valeur maximum, et au centre de gravité les sections sont égales à zéro.

La nature des diagrammes de contraintes normales pour les sections symétriques par rapport à la ligne neutre

La nature des diagrammes de contraintes normales pour les sections qui n'ont pas de symétrie par rapport à la ligne neutre

Les points dangereux sont les points les plus éloignés de la ligne neutre.

Choisissons une section

Pour n'importe quel point de la section, appelons-le un point À, la condition de résistance de la poutre pour les contraintes normales a la forme :

, où n.o. - Ce axe neutre

Ce module de section axiale par rapport à l'axe neutre. Sa dimension est cm 3, m 3. Le moment résistant caractérise l'influence de la forme et des dimensions de la section transversale sur l'ampleur des contraintes.

Condition normale de résistance à la contrainte :

La contrainte normale est égale au rapport du moment de flexion maximal au moment résistant axial de la section par rapport à l'axe neutre.

Si le matériau ne résiste pas de la même manière à la traction et à la compression, deux conditions de résistance doivent alors être utilisées : pour la zone de traction avec la contrainte de traction admissible ; pour une zone de compression avec contrainte de compression admissible.

Lors de la flexion transversale, les poutres des plates-formes dans leur section transversale agissent comme normale, donc tangentes tension.

Classification des types de pliage de tiges

Plier Ce type de déformation est appelé dans lequel des moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la tige. Une tige qui se plie est généralement appelée faisceau. Si les moments de flexion sont les seuls facteurs de force internes dans les sections transversales, alors la tige subit virage propre. Si les moments de flexion se produisent en même temps que les forces transversales, cette flexion est alors appelée transversal.

Les poutres, les essieux, les arbres et autres pièces structurelles fonctionnent pour le pliage.

Introduisons quelques concepts. Un plan passant par l'un des axes centraux principaux de la section et axe géométrique la tige s'appelle plan principal. Le plan dans lequel les charges externes agissent, provoquant la flexion de la poutre, est appelé plan de force. La ligne d'intersection du plan de force avec le plan de section transversale de la tige est appelée ligne électrique. Selon la position relative de la force et des plans principaux de la poutre, on distingue une flexion droite ou oblique. Si le plan de force coïncide avec l'un des plans principaux, alors la tige subit virage droit(Fig. 5.1, UN), si cela ne correspond pas - oblique(Fig. 5.1, b).

Riz. 5.1. Courbure de la tige : UN- droit; b- oblique

D'un point de vue géométrique, la flexion de la tige s'accompagne d'une modification de la courbure de l'axe de la tige. L'axe initialement droit de la tige devient courbé lorsqu'elle est courbée. À virage droit l'axe courbe de la tige se trouve dans le plan de la force, tandis que dans le cas d'une tige oblique, il se trouve dans un plan différent du plan de la force.

En observant la flexion d'une tige en caoutchouc, vous remarquerez qu'une partie de ses fibres longitudinales est étirée et l'autre partie est comprimée. Évidemment, entre les fibres étirées et comprimées de la tige se trouve une couche de fibres qui ne subissent ni tension ni compression - ce qu'on appelle couche neutre. La ligne d'intersection de la couche neutre de la tige avec le plan de sa section transversale est appelée ligne de section neutre.

En règle générale, les charges agissant sur une poutre peuvent être classées en trois types : forces concentrées R, moments concentrés M charges d'intensité distribuées ts(Fig. 5.2). La partie I de la poutre située entre les supports est appelée en vol, partie II de la poutre située d'un côté du support - console.

Lors de la construction diagrammes de moments fléchissantsM à constructeurs accepté : ordonnées exprimant sur une certaine échelle positif valeurs des moments fléchissants, mises de côté étiré fibres, c'est-à-dire - vers le bas, UN négatif - vers le haut de l'axe du faisceau. Par conséquent, on dit que les constructeurs construisent des diagrammes sur des fibres étirées. Chez la mécanique les valeurs positives de l'effort tranchant et du moment de flexion sont reportées en haut. Les mécaniciens dessinent des diagrammes comprimé fibres.

Principales contraintes lors de la flexion. Tensions équivalentes.

DANS cas général une flexion directe dans les sections transversales de la poutre se produit normale Et tangentestension. Ces tensions varient à la fois sur la longueur et la hauteur de la poutre.

Ainsi, dans le cas de la flexion, il y a état de contrainte plane.

Considérons un diagramme où la poutre est chargée d'une force P

La plus grande normale des tensions apparaissent dans extrême, points les plus éloignés de la ligne neutre, et Il n'y a aucune contrainte de cisaillement en eux. Ainsi, pour extrême fibres les contraintes principales non nulles sont des contraintes normales en coupe transversale.

Au niveau de la ligne neutre dans la section transversale de la poutre il y a contrainte de cisaillement la plus élevée, UN les contraintes normales sont nulles. signifie dans les fibres neutre couche les contraintes principales sont déterminées par les valeurs des contraintes tangentielles.

Dans ce schéma de conception, les fibres supérieures de la poutre seront étirées et les fibres inférieures seront comprimées. Pour déterminer les contraintes principales on utilise l'expression bien connue :

Complet analyse des contraintes Imaginons-le sur la photo.

Analyse des contraintes de flexion

Contrainte principale maximale σ 1 est situé supérieur fibres extrêmes et est égal à zéro sur les fibres inférieures les plus externes. Contrainte principale σ 3 Il a le plus élevé en valeur absolue valeur sur les fibres inférieures.

Trajectoire des principales contraintes dépend de type de charge Et méthode de fixation de la poutre.

Pour résoudre des problèmes, il suffit séparément vérifier normale Et contraintes tangentielles séparément. Cependant parfois le plus stressant s'avère être intermédiaire fibres dans lesquelles il existe à la fois des contraintes normales et des contraintes de cisaillement. Cela se produit dans les sections où simultanément, le moment de flexion et la force de cisaillement atteignent grandes valeurs - cela peut être dans l'encastrement d'une poutre en porte-à-faux, sur le support d'une poutre avec un porte-à-faux, dans des sections soumises à une force concentrée ou dans des sections dont les largeurs varient fortement. Par exemple, dans une section en I, le plus dangereux la jonction du mur et de l'étagère- il y a des contraintes normales et de cisaillement importantes.

Le matériau est dans un état de contrainte plane et est requis vérifier les tensions équivalentes.

Conditions de résistance des poutres en matières plastiques Par troisième(théorie des contraintes tangentielles maximales) Et quatrième(théorie de l'énergie des changements de forme) théories de la force.

En règle générale, dans les poutres laminées, les contraintes équivalentes ne dépassent pas les contraintes normales dans les fibres les plus externes et aucun essai spécial n'est requis. Autre chose - composite poutres métalliques, lequel le mur est plus fin que pour les profilés laminés de même hauteur. Poutres composites soudées en tôles d'acier. Calcul de la résistance de ces poutres : a) sélection de la section - hauteur, épaisseur, largeur et épaisseur des membrures de la poutre ; b) vérifier la résistance par contraintes normales et tangentielles ; c) vérifier la résistance à l'aide de contraintes équivalentes.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérons la section Je rayonne S x =96,9 cm3 ; Yx=2030 cm 4 ; Q=200kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule,où Q est l'effort tranchant dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes tangentielles sont déterminées, I x est le moment d'inertie de l'ensemble section transversale, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculons maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure:

Maintenant calculons contrainte de cisaillement :

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Considérons la section transversale d'un profil standard sous la forme Je rayonne et définir contrainte de cisaillement, agissant parallèlement à la force de cisaillement :

Calculons moments statiques chiffres simples :

Cette valeur peut être calculée et sinon, en utilisant le fait que pour les sections de poutre en I et de creux, le moment statique de la moitié de la section est donné. Pour ce faire, il faut soustraire de la valeur connue du moment statique la valeur du moment statique à la droite A 1 B 1 :

Les contraintes tangentielles à la jonction de la bride et du mur changent spasmodiquement, parce que pointu l'épaisseur de la paroi varie de t st avant b.

Les diagrammes des contraintes tangentielles dans les parois des sections en auge, rectangulaires creuses et autres ont la même forme que dans le cas d'une section en I. La formule inclut le moment statique de la partie ombrée de la section par rapport à l'axe X, et le dénominateur inclut la largeur de la section (nette) dans la couche où la contrainte de cisaillement est déterminée.

Déterminons les contraintes tangentielles pour une section circulaire.

Puisque les contraintes de cisaillement au niveau du contour de la section doivent être dirigées tangent au contour, puis aux points UN Et DANS aux extrémités de toute corde parallèle au diamètre UN B, les contraintes de cisaillement sont dirigées perpendiculaire aux rayons OA Et VO. Ainsi, directions contraintes tangentielles aux points UN, CV converger à un moment donné N sur l'axe Y.

Moment statique de la pièce coupée :

Autrement dit, les contraintes de cisaillement changent en fonction parabolique loi et sera maximum au niveau de la ligne neutre, lorsque oui 0 =0

Formule pour déterminer la contrainte de cisaillement (formule)

Considérons une section rectangulaire

À distance oui 0à partir de l'axe central, nous dessinons article 1-1 et déterminer les contraintes tangentielles. Moment statique zone partie coupée :

Il ne faut pas oublier qu'il est fondamental indifférent, prenons le moment statique de l'aire partie ombrée ou restante coupe transversale. Les deux moments statiques signe égal et opposé, donc leur somme, qui représente moment statique de l'aire de toute la section par rapport à la ligne neutre, à savoir l'axe central des x, sera égal à zéro.

Moment d'inertie d'une section rectangulaire :

Alors contrainte de cisaillement selon la formule

La variable y 0 est incluse dans la formule dans deuxième degrés, c'est-à-dire les contraintes tangentielles dans une section rectangulaire varient en fonction loi d'une parabole carrée.

Contrainte de cisaillement atteinte maximum au niveau de la ligne neutre, c'est à dire Quand oui 0 =0 :

, Où A est l'aire de toute la section.

Condition de résistance pour les contraintes tangentielles a la forme :

, Où S x 0– moment statique de la partie de la section située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, je x– moment d'inertie de toute la section transversale, b– largeur de section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée, Q-force latérale, τ - la contrainte de cisaillement, [τ] — contrainte tangentielle admissible.

Cette condition de résistance nous permet de produire trois type de calcul (trois types de problèmes lors du calcul de la résistance) :

1. Calcul de vérification ou essai de résistance basé sur les contraintes tangentielles :

2. Sélection de la largeur de section (pour une section rectangulaire) :

3. Détermination de la force latérale admissible (pour une section rectangulaire) :

Pour déterminer tangentes contraintes, considérons une poutre chargée de forces.

La tâche de déterminer les contraintes est toujours statiquement indéterminé et nécessite une implication géométrique Et physiqueéquations. Il est cependant possible d'accepter une telle hypothèses sur la nature de la répartition du stress que la tâche deviendra définissable statiquement.

Par deux sections transversales infiniment proches 1-1 et 2-2 on sélectionne élément dz, Représentons-le à grande échelle, puis dessinons une coupe longitudinale 3-3.

Dans les sections 1-1 et 2-2, contraintes normales σ 1, σ 2, qui sont déterminés par les formules bien connues :

Où M - moment de flexion en coupe transversale, dM - incrément moment de flexion en longueur dz

Force latérale dans les sections 1–1 et 2–2 est dirigé le long de l’axe central principal Y et représente évidemment la somme des composantes verticales des contraintes tangentielles internes réparties sur la section. En termes de résistance des matériaux, il est généralement pris hypothèse de leur répartition uniforme sur toute la largeur de la section.

Pour déterminer l'ampleur des contraintes de cisaillement en tout point de la section transversale situé à une distance oui 0à partir de l'axe neutre X, tracez un plan parallèle à la couche neutre (3-3) passant par ce point et retirez l'élément clipsé. Nous déterminerons la tension agissant aux bornes de la zone ABCD.

Projetons toutes les forces sur l'axe Z

La résultante des efforts longitudinaux internes le long du côté droit sera égale à :

Où A 0 – aire du bord de la façade, S x 0 – moment statique de la partie coupée par rapport à l'axe X. De même sur le côté gauche :

Les deux résultats Dirigé vers l'un l'autre, puisque l'élément est dans comprimé zone du faisceau. Leur différence est compensée par les forces tangentielles sur le bord inférieur de 3-3.

Faisons comme si contrainte de cisaillement τ réparti sur toute la largeur de la section transversale de la poutre b uniformément. Cette hypothèse est d’autant plus probable que la largeur de la section est petite par rapport à la hauteur. Alors résultante des forces tangentielles dTégale à la valeur de contrainte multipliée par la surface du visage :

Composons maintenant équation d'équilibre Σz=0 :

ou d'où

Souvenons-nous dépendances différentielles, selon lequel On obtient alors la formule :

Cette formule s'appelle formules. Cette formule a été obtenue en 1855. Ici S x 0 – moment statique d'une partie de la section transversale, situé d'un côté de la couche dans laquelle sont déterminées les contraintes de cisaillement, I x – moment d'inertie toute la section transversale, b – largeur de sectionà l'endroit où est déterminée la contrainte de cisaillement, Q - force de cisaillement en coupe transversale.

— condition de résistance à la flexion, Où

- moment maximum (modulo) du diagramme des moments fléchissants ; - moment résistant axial de la section, géométrique caractéristique; - contrainte admissible (σ adm)

- tension normale maximale.

Si le calcul est effectué selon méthode des états limites, puis au lieu de la tension admissible, nous entrons dans le calcul résistance de conception matériau R.

Types de calculs de résistance à la flexion

1. Vérifier calcul ou vérification de la résistance à l'aide de contraintes normales

2. Conception calcul ou sélection de rubrique

3. Définition permis charge (définition capacité de levage et/ou opérationnel transporteur capacités)

Lors de la dérivation de la formule de calcul des contraintes normales, nous considérons le cas de la flexion, lorsque les efforts internes dans les sections de la poutre sont réduits uniquement à moment de flexion, UN la force de cisaillement s'avère nulle. Ce cas de flexion est appelé flexion pure. Considérons la section médiane de la poutre, qui est soumise à une pure flexion.

Lorsqu'elle est chargée, la poutre se plie de sorte qu'elle Les fibres inférieures s'allongent et les fibres supérieures se raccourcissent.

Puisqu'une partie des fibres de la poutre est étirée et une partie est comprimée, et la transition de la tension à la compression se produit en douceur, sans sauts, V moyenne une partie de la poutre est située une couche dont les fibres ne font que se plier, mais ne subissent ni tension ni compression. Cette couche est appelée neutre couche. La ligne le long de laquelle la couche neutre coupe la section transversale du faisceau est appelée ligne neutre ou axe neutre sections. Des lignes neutres sont enfilées sur l'axe du faisceau. Ligne neutre est la ligne dans laquelle les contraintes normales sont nulles.

Les lignes tracées sur la surface latérale de la poutre perpendiculairement à l'axe restent plat lors de la flexion. Ces données expérimentales permettent de fonder les conclusions des formules hypothèse de sections planes (conjecture). Selon cette hypothèse, les sections de la poutre sont plates et perpendiculaires à son axe avant pliage, restent plates et s'avèrent perpendiculaires à l'axe courbe de la poutre lorsqu'elle est pliée.

Hypothèses pour dériver les formules de contrainte normale : 1) L'hypothèse des sections planes est vérifiée. 2) Les fibres longitudinales ne s'appuient pas les unes sur les autres (hypothèse de non-pression) et, par conséquent, chacune des fibres est dans un état de tension ou de compression uniaxiale. 3) Les déformations des fibres ne dépendent pas de leur position le long de la largeur de la section transversale. Par conséquent, les contraintes normales, changeant sur la hauteur de la section, restent les mêmes sur la largeur. 4) La poutre a au moins un plan de symétrie et toutes les forces externes se situent dans ce plan. 5) Le matériau de la poutre obéit à la loi de Hooke, et le module d'élasticité en traction et en compression est le même. 6) La relation entre les dimensions de la poutre est telle qu'elle fonctionne dans des conditions de flexion plane sans déformation ni torsion.

Considérons une poutre de section arbitraire, mais ayant un axe de symétrie. Moment de flexion représente moment résultant des forces normales internes, apparaissant sur des zones infiniment petites et peut être exprimé en intégral formulaire: (1), où y est le bras de la force élémentaire par rapport à l'axe x

Formule (1) exprime statique côté du problème de la flexion d'une poutre droite, mais le long de celle-ci à un moment de flexion connu Il est impossible de déterminer les contraintes normales tant que la loi de leur répartition n'est pas établie.

Sélectionnons les poutres de la section médiane et considérons section de longueur dz, sujet à la flexion. Représentons-le à une échelle agrandie.

Sections limitant la zone dz, parallèles les uns aux autres jusqu'à déformation, et après avoir appliqué la charge tourner autour de leurs lignes neutres d'un angle . La longueur du segment de fibre de couche neutre ne changera pas. et sera égal à : , où est-il rayon de courbure l'axe courbe de la poutre. Mais toute autre fibre ment inférieur ou supérieur couche neutre, va changer sa longueur. Calculons allongement relatif des fibres situées à une distance y de la couche neutre. L'allongement relatif est le rapport entre la déformation absolue et la longueur d'origine, alors :

Réduisons de et ramenons des termes similaires, nous obtenons alors : (2) Cette formule exprime géométrique côté du problème de flexion pure : Les déformations des fibres sont directement proportionnelles à leurs distances à la couche neutre.

Passons maintenant à stresse, c'est à dire. nous allons le prendre en compte physique côté de la tâche. conformément à hypothèse de non-pression on utilise des fibres sous tension-compression axiale : alors, en tenant compte de la formule (2) nous avons (3), ceux. stress normal lors d'une flexion le long de la hauteur de la section distribué linéairement. Sur les fibres les plus externes, les contraintes normales atteignent leur valeur maximale, et au centre de gravité de la section elles sont égales à zéro. Remplaçons (3) dans l'équation (1) et prenons la fraction du signe intégral comme valeur constante, alors nous avons . Mais l'expression est moment d'inertie axial de la section par rapport à l'axe x - je x. Sa dimension cm 4, m 4

Alors ,où (4), où est la courbure de l'axe incurvé de la poutre, et est la rigidité de la section de poutre pendant la flexion.

Remplaçons l'expression résultante courbure (4) en expression (3) et nous obtenons formule pour calculer les contraintes normales en tout point de la section transversale : (5)

Que. maximum des tensions surgissent aux points les plus éloignés de la ligne neutre. Attitude (6) appelé moment axial de résistance de section. Sa dimension cm 3, m 3. Le moment résistant caractérise l'influence de la forme et des dimensions de la section transversale sur l'ampleur des contraintes.

Alors tensions maximales : (7)

Condition de résistance à la flexion : (8)

En cas de flexion transversale non seulement normales, mais aussi contraintes de cisaillement, parce que disponible force de cisaillement. Contrainte de cisaillement compliquer l'image de la déformation, ils conduisent à courbure sections transversales de la poutre, ce qui entraîne l'hypothèse des sections planes est violée. Cependant, les recherches montrent que les distorsions introduites par les contraintes de cisaillement légèrement affecter les contraintes normales calculées par la formule (5) . Ainsi, lors de la détermination des contraintes normales en cas de flexion transversale La théorie de la flexion pure est tout à fait applicable.

Ligne neutre. Question sur la position de la ligne neutre.

Lors de la flexion, il n’y a pas de force longitudinale, on peut donc écrire Remplaçons ici la formule des contraintes normales (3) et nous obtenons Puisque le module d'élasticité longitudinale du matériau de la poutre n'est pas égal à zéro et que l'axe incurvé de la poutre a un rayon de courbure fini, il reste à supposer que cette intégrale est moment statique de l'aire section transversale du faisceau par rapport à l'axe de la ligne neutre x , et depuis elle est égale à zéro, alors la ligne neutre passe par le centre de gravité de la section.

La condition (absence de moment d'efforts internes par rapport à la ligne de champ) donnera ou en tenant compte (3) . Pour les mêmes raisons (voir ci-dessus) . En intégrande - le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes x et y est nul, ce qui signifie que ces axes sont principal et central et maquiller droit coin. Ainsi, La force et les lignes neutres dans un virage droit sont mutuellement perpendiculaires.

Après avoir installé position de la ligne neutre, facile à construire diagramme de contrainte normale le long de la hauteur de la section. Son linéaire le caractère est déterminé équation du premier degré.

La nature du diagramme σ pour les sections symétriques par rapport à la ligne neutre, M<0

Lors de la flexion, les tiges sont soumises à une force de cisaillement ou à un moment de flexion. La flexion est dite pure si seul un moment de flexion agit, et transversale si une charge perpendiculaire à l'axe de la tige agit. Une poutre (tige) qui se plie est généralement appelée poutre. Les poutres sont les éléments les plus courants des structures et des machines qui reçoivent des charges d'autres éléments structurels et les transfèrent aux pièces qui supportent la poutre (le plus souvent des supports).

Dans les structures de bâtiment et de construction de machines, on retrouve le plus souvent les cas de fixation de poutres suivants : en porte-à-faux - avec une extrémité pincée (avec joint rigide), poutres à deux supports - avec un support articulé-fixe et avec un support articulé- support mobile et poutres multi-supportées. Si les réactions de support peuvent être trouvées à partir des seules équations statiques, alors les poutres sont dites statiquement déterminées. Si le nombre de réactions de support inconnues est supérieur au nombre d'équations statiques, alors ces poutres sont dites statiquement indéterminées. Pour déterminer les réactions dans de telles poutres, des équations supplémentaires doivent être établies : des équations de déplacement. En flexion transversale plane, toutes les charges externes sont perpendiculaires à l'axe de la poutre.

La détermination des facteurs de force internes agissant dans les sections transversales de la poutre doit commencer par la détermination des réactions d'appui. Après cela, nous utilisons la méthode des sections, coupons mentalement la poutre en deux parties et considérons l'équilibre d'une partie. Nous remplaçons l'interaction des parties de la poutre par des facteurs internes : moment de flexion et force de cisaillement.

La force transversale dans une section est égale à la somme algébrique des projections de toutes les forces, et le moment fléchissant est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces situées d'un côté de la section. Les signes des forces et des moments agissant doivent être déterminés conformément aux règles acceptées. Il est nécessaire d'apprendre à déterminer correctement la force résultante et le moment de flexion d'une charge uniformément répartie sur la longueur de la poutre.

Il convient de garder à l'esprit que lors de la détermination des contraintes apparaissant lors de la flexion, les hypothèses suivantes sont faites : les sections plates avant pliage restent plates après flexion (hypothèse des sections plates) ; les fibres longitudinales adjacentes ne se pressent pas ; la relation entre contrainte et déformation est linéaire.

Lors de l'étude de la flexion, il convient de prêter attention à la répartition inégale des contraintes normales dans la section transversale de la poutre. Les contraintes normales varient le long de la hauteur de la section transversale proportionnellement à la distance par rapport à l'axe neutre. Vous devriez être capable de déterminer les contraintes de flexion, qui dépendent de l'ampleur du moment de flexion effectif. M.I. et moment de résistance de la section lors de la flexion W O(moment résistant axial de la section).

Condition de résistance à la flexion : σ = M I / W O £ [σ]. Signification W O dépend de la taille, de la forme et de l'emplacement de la section transversale par rapport à l'axe.

La présence d'une force transversale agissant sur une poutre est associée à l'apparition de contraintes tangentielles dans les sections transversales, et, selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles, dans les sections longitudinales. Les contraintes tangentielles sont déterminées à l'aide de la formule de D.I. Zhuravsky.

La force transversale déplace la section considérée par rapport à la section adjacente. Le moment de flexion, qui consiste en des forces normales élémentaires apparaissant dans la section transversale de la poutre, fait tourner la section par rapport à la section adjacente, ce qui provoque la courbure de l'axe de la poutre, c'est-à-dire sa flexion.

Lorsqu'une poutre subit une flexion pure, un moment de flexion d'amplitude constante agit sur toute la longueur de la poutre ou sur une section distincte de celle-ci dans chaque section, et la force transversale dans n'importe quelle section de cette section est nulle. Dans ce cas, seules des contraintes normales apparaissent dans les sections transversales de la poutre.

Afin de mieux comprendre les phénomènes physiques de flexion et la méthodologie de résolution des problèmes de calcul de résistance et de rigidité, il est nécessaire de bien comprendre les caractéristiques géométriques des sections plates, à savoir : les moments statiques des sections, les moments d'inertie des sections des plus simples forme et sections complexes, détermination du centre de gravité des figures, principaux moments d'inertie des sections et principaux axes d'inertie, moment d'inertie centrifuge, modification des moments d'inertie lors de la rotation des axes, théorèmes sur le transfert des axes.

Lors de l'étude de cette section, vous devez apprendre à construire correctement des diagrammes de moments de flexion et d'efforts tranchants, à déterminer les sections dangereuses et les contraintes qui y agissent. En plus de déterminer les contraintes, vous devez apprendre à déterminer les déplacements (déflexions des poutres) lors de la flexion. A cet effet, on utilise l'équation différentielle de l'axe courbe de la poutre (ligne élastique), écrite sous forme générale.

Pour déterminer les flèches, l'équation de la droite élastique est intégrée. Dans ce cas, il faut déterminer correctement les constantes d'intégration AVEC Et D en fonction des conditions de support de la poutre (conditions aux limites). Connaître les quantités AVEC Et D, vous pouvez déterminer l'angle de rotation et la déviation de n'importe quelle section de poutre. L'étude de la résistance complexe commence généralement par une flexion oblique.

Le phénomène de flexion oblique est particulièrement dangereux pour les sections dont les moments d'inertie principaux sont sensiblement différents ; les poutres avec une telle section fonctionnent bien pour la flexion dans le plan de plus grande rigidité, mais même à de petits angles d'inclinaison du plan des forces externes par rapport au plan de plus grande rigidité, des contraintes et déformations supplémentaires importantes apparaissent dans les poutres. Pour une poutre de section circulaire, la flexion oblique est impossible, puisque tous les axes centraux d'une telle section sont les principaux et que la couche neutre sera toujours perpendiculaire au plan des forces extérieures. La flexion oblique est également impossible pour une poutre carrée.

Lors de la détermination des contraintes en cas de traction ou de compression excentrique, il est nécessaire de connaître la position des principaux axes centraux de la section ; C'est à partir de ces axes que sont mesurées les distances du point d'application de la force et du point de détermination de la contrainte.

Une force de compression appliquée de manière excentrique peut provoquer des contraintes de traction dans la section transversale de la tige. À cet égard, la compression excentrique est particulièrement dangereuse pour les tiges constituées de matériaux fragiles qui résistent faiblement aux forces de traction.

En conclusion, il convient d'étudier le cas de la résistance complexe, lorsque le corps subit plusieurs déformations simultanément : par exemple, flexion et torsion, traction-compression et flexion, etc. Il faut garder à l'esprit que les moments de flexion agissant dans des plans différents peuvent s'additionner comme des vecteurs.