Riz. 1.5. Déformation du faisceau

En tout point de la poutre considérée, il existe un état de contrainte identique et, par conséquent, les déformations linéaires pour tous ses points sont les mêmes. Par conséquent, la valeur e peut être définie comme le rapport de l'allongement absolu à la longueur d'origine de la poutre, c'est-à-dire

Barres de divers matériaux s'allonger différemment. Pour les cas où les contraintes dans la poutre ne dépassent pas la limite de proportionnalité, la relation suivante a été établie par l'expérience :

Où N- force longitudinale dans les sections transversales de la poutre ; F- superficie de la section transversale de la poutre ; E- coefficient en fonction de propriétés physiques matériel.

Considérant que la contrainte normale dans la section transversale de la poutre σ = N/F nous obtenons ε = σ/E. D'où σ = εE.

L'allongement absolu d'une poutre est exprimé par la formule

La formulation suivante de la loi de Hooke est plus générale : la déformation longitudinale relative est directement proportionnelle à la contrainte normale. Dans cette formulation, la loi de Hooke est utilisée non seulement dans l'étude de la traction et de la compression des poutres, mais également dans d'autres sections du cours.

Ampleur E appelé module élastique de première espèce. C'est une constante physique d'un matériau qui caractérise sa rigidité. Comment plus de valeur E, d'autant moins, toutes choses égales par ailleurs, la déformation longitudinale. Le module d'élasticité est exprimé dans les mêmes unités que la contrainte, c'est-à-dire en pascals (Pa) (acier E=2* 10 5 MPa, cuivre E= 1*10 5 MPa).

Travail E.F. est appelée rigidité de la section transversale de la poutre en traction et en compression.

En plus de la déformation longitudinale, lorsqu'une force de compression ou de traction est appliquée à la poutre, une déformation transversale est également observée. Lorsqu'une poutre est comprimée, ses dimensions transversales augmentent et lorsqu'elle est étirée, elles diminuent. Si la taille transversale de la poutre avant de lui appliquer des forces de compression R. désigner DANS, et après avoir appliqué ces forces B - ∆B, alors la valeur ∆V indiquera la déformation transversale absolue de la poutre.

Le rapport est la déformation transversale relative.

L'expérience montre qu'à des contraintes ne dépassant pas la limite élastique, la déformation transversale relative est directement proportionnelle à la déformation longitudinale relative, mais a le signe opposé :

Le coefficient de proportionnalité q dépend du matériau du bois. C'est ce qu'on appelle le coefficient de déformation transversale (ou Coefficient de Poisson ) et est le rapport entre la déformation relative transversale et la déformation longitudinale, pris en valeur absolue, c'est-à-dire Coefficient de Poisson avec module d'élasticité E caractérise les propriétés élastiques du matériau.

Le coefficient de Poisson est déterminé expérimentalement. Pour divers matériaux, il a des valeurs allant de zéro (pour le liège) à une valeur proche de 0,50 (pour le caoutchouc et la paraffine). Pour l'acier, le coefficient de Poisson est de 0,25...0,30 ; pour un certain nombre d'autres métaux (fonte, zinc, bronze, cuivre), il

Riz. 1.6. Poutre à section variable

La détermination de la valeur de la section transversale de la tige est effectuée en fonction de la condition de résistance

où [σ] est la contrainte admissible.

Définissons le déplacement longitudinal δ une points UN axe d'une poutre étirée par la force P( riz. 1.6).

Elle est égale à la déformation absolue d'une partie de la poutre annonce enfermé entre l'encastrement et la section tracée passant par le point d, ceux. la déformation longitudinale de la poutre est déterminée par la formule

Cette formule n'est applicable que lorsque, sur toute la longueur de la section, les efforts longitudinaux N et la rigidité E.F. les sections transversales de la poutre sont constantes. Dans le cas considéré, sur le site ab force longitudinale N est égal à zéro (on ne prend pas en compte le poids mort de la poutre), et dans la zone bd c'est égal R, de plus, la section transversale du bois dans la zone ca diffère de la section transversale du site CD. Par conséquent, la déformation longitudinale de la zone annonce doit être déterminé comme la somme des déformations longitudinales de trois sections ab, avant JC Et CD, pour chacun desquels les valeurs N Et E.F. constante sur toute sa longueur :

Efforts longitudinaux sur les sections considérées de la poutre

Ainsi,

De même, vous pouvez déterminer les déplacements δ de n'importe quel point sur l'axe du faisceau et utiliser leurs valeurs pour construire un diagramme mouvements longitudinaux (épureδ), c'est-à-dire un graphique illustrant l'évolution de ces mouvements le long de l'axe de la poutre.

4.2.3. Conditions de solidité. Calcul de rigidité.

Lors de la vérification des contraintes de zone transversale F et les efforts longitudinaux sont connus et le calcul consiste à calculer les contraintes σ calculées (réelles) dans les sections caractéristiques des éléments. La tension maximale obtenue est ensuite comparée à celle admissible :

Lors de la sélection des sections déterminer les zones requises [F] sections transversales de l'élément (basées sur les forces longitudinales connues N et contrainte admissible [σ]). Zones transversales acceptées F doit satisfaire à la condition de résistance exprimée comme suit :

Lors de la détermination de la capacité de charge par des valeurs connues F et contrainte admissible [σ], les valeurs admissibles [N] des forces longitudinales sont calculées :

Sur la base des valeurs obtenues [N], les valeurs admissibles des charges externes sont ensuite déterminées [ P.].

Dans ce cas, la condition de résistance a la forme

Les valeurs des facteurs de sécurité standards sont établies par des normes. Ils dépendent de la classe de l'ouvrage (capital, temporaire, etc.), de sa durée de vie prévue, de la charge (statique, cyclique, etc.), de l'éventuelle hétérogénéité dans la fabrication des matériaux (par exemple, béton) et du type de déformation (tension, compression, flexion, etc.) et autres facteurs. Dans certains cas, il est nécessaire de réduire le facteur de sécurité afin de réduire le poids de la structure, et parfois d'augmenter le facteur de sécurité - si nécessaire, prendre en compte l'usure des pièces frottantes des machines, la corrosion et la dégradation des matériel.

Les valeurs des facteurs de sécurité standards pour divers matériaux, structures et charges ont dans la plupart des cas les valeurs suivantes : - 2,5...5 et - 1,5...2,5.

Par vérifier la rigidité d'un élément structurel en état de pure traction-compression, nous entendons rechercher une réponse à la question : les valeurs des caractéristiques de rigidité de l'élément (module d'élasticité du matériau) sont-elles suffisantes ? E et surface transversale F), de sorte que le maximum de toutes les valeurs de déplacement des points d'éléments provoqué par des forces externes, u max, ne dépasse pas une certaine valeur limite spécifiée [u]. On pense que si l'inégalité u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Considérons une poutre droite de section constante de longueur l, encastrée à une extrémité et chargée à l'autre extrémité d'une force de traction P (Fig. 2.9, a). Sous l'influence de la force P, la poutre s'allonge d'une certaine quantité ?l, appelée allongement complet ou absolu (déformation longitudinale absolue).

En tout point de la poutre considérée, il existe un état de contrainte identique et, par conséquent, les déformations linéaires pour tous ses points sont les mêmes. Par conséquent, la valeur peut être définie comme le rapport de l’allongement absolu ?l à la longueur initiale de la poutre l, c’est-à-dire . La déformation linéaire lors de la traction ou de la compression des poutres est généralement appelée allongement relatif ou déformation longitudinale relative, et est désignée

Ainsi,

La déformation longitudinale relative est mesurée en unités abstraites. Nous conviendrons de considérer la déformation en allongement comme positive (Fig. 2.9, a) et la déformation en compression comme négative (Fig. 2.9, b).

Plus la force d'étirement de la poutre est grande, plus l'allongement de la poutre est grand, toutes choses étant égales par ailleurs ; comment zone plus grande section transversale de la poutre, moins l'allongement de la poutre est important. Les barres fabriquées à partir de différents matériaux s'allongent différemment. Pour les cas où les contraintes dans la poutre ne dépassent pas la limite de proportionnalité, la relation suivante a été établie par l'expérience :

Ici N est la force longitudinale dans les sections transversales de la poutre ;

F - section transversale de la poutre ;

E est un coefficient dépendant des propriétés physiques du matériau.

Considérant que la contrainte normale dans la section transversale de la poutre on obtient

L'allongement absolu d'une poutre est exprimé par la formule

ceux. la déformation longitudinale absolue est directement proportionnelle à la force longitudinale.

Pour la première fois, la loi de proportionnalité directe entre forces et déformations a été formulée par R. Hooke (en 1660).

Une formulation plus générale est la formulation suivante de la loi de Hooke : la déformation longitudinale relative est directement proportionnelle à la contrainte normale. Dans cette formulation, la loi de Hooke est utilisée non seulement dans l'étude de la traction et de la compression des poutres, mais également dans d'autres sections du cours.

La valeur E incluse dans les formules est appelée module d'élasticité longitudinal (en abrégé module d'élasticité). Cette valeur est une constante physique du matériau, caractérisant sa rigidité. Plus la valeur de E est grande, moins, toutes choses égales par ailleurs, la déformation longitudinale est importante.

Le produit EF est appelé rigidité transversale de la poutre en traction et en compression.

Si la taille transversale de la poutre avant de lui appliquer des forces de compression P est désignée b, et après l'application de ces forces b + ?b (Fig. 9.2), alors la valeur ?b indiquera la déformation transversale absolue de la poutre. Le rapport est la déformation transversale relative.

L'expérience montre qu'à des contraintes ne dépassant pas la limite élastique, la déformation transversale relative est directement proportionnelle à la déformation longitudinale relative e, mais a le signe opposé :

Le coefficient de proportionnalité dans la formule (2.16) dépend du matériau de la poutre. Il est appelé coefficient de déformation transversale, ou coefficient de Poisson, et est le rapport de la déformation transversale sur la déformation longitudinale, pris en valeur absolue, c'est-à-dire

Le coefficient de Poisson, ainsi que le module élastique E, caractérisent les propriétés élastiques du matériau.

La valeur du coefficient de Poisson est déterminée expérimentalement. Pour divers matériaux, il a des valeurs allant de zéro (pour le liège) à une valeur proche de 0,50 (pour le caoutchouc et la paraffine). Pour l'acier, le coefficient de Poisson est de 0,25 à 0,30 ; pour un certain nombre d'autres métaux (fonte, zinc, bronze, cuivre), il a des valeurs de 0,23 à 0,36.

Tableau 2.1 Valeurs du module élastique.

Tableau 2.2 Valeurs du coefficient de déformation transversale (rapport de Poisson)

Avoir une idée des déformations longitudinales et transversales et de leurs relations.

Connaître la loi de Hooke, les dépendances et les formules de calcul des contraintes et des déplacements.

Être capable d'effectuer des calculs de résistance et de rigidité de poutres déterminées statiquement en traction et en compression.

Déformations de traction et de compression

Considérons la déformation d'une poutre sous l'action d'une force longitudinale F (Fig. 21.1).

Dans la résistance des matériaux, il est d'usage de calculer les déformations en unités relatives :

Il existe une relation entre les déformations longitudinales et transversales

Où μ - coefficient de déformation transversale, ou coefficient de Poisson, - caractéristique de la plasticité du matériau.

la loi de Hooke

Dans les limites des déformations élastiques, les déformations sont directement proportionnelles à la charge :

Obtenons une dépendance

Où E- module d'élasticité, caractérise la rigidité du matériau.

Dans les limites élastiques, les contraintes normales sont proportionnelles à l'allongement.

Signification E pour les aciers dans (2 – 2,1) 10 5 MPa. Toutes choses égales par ailleurs, plus le matériau est rigide, moins il se déforme :

Formules de calcul des déplacements des sections transversales de poutre sous tension et compression

Nous utilisons des formules connues.

Élongation

On obtient ainsi la relation entre la charge, les dimensions de la poutre et la déformation résultante :

Δl- allongement absolu, mm ;

σ - contrainte normale, MPa ;

je- longueur initiale, mm ;

E - module élastique du matériau, MPa ;

N- force longitudinale, N ;

A - surface de la section transversale, mm 2 ;

Travail AE appelé rigidité des sections.

Conclusions

1. L'allongement absolu d'une poutre est directement proportionnel à l'ampleur de la force longitudinale dans la section, à la longueur de la poutre et inversement proportionnel à la surface de la section transversale et au module élastique.

2. La relation entre les déformations longitudinales et transversales dépend des propriétés du matériau, la relation est déterminée le coefficient de Poisson, appelé coefficient de déformation transversale.

Coefficient de Poisson : acier μ de 0,25 à 0,3 ; à l'embouteillage μ = 0 ; près du caoutchouc μ = 0,5.

3. Les déformations transversales sont inférieures aux déformations longitudinales et affectent rarement les performances de la pièce ; si nécessaire, la déformation transversale est calculée à l'aide de la déformation longitudinale.

Où Δа- rétrécissement transversal, mm ;

et à propos- taille transversale initiale, mm.

4. La loi de Hooke est satisfaite dans la zone de déformation élastique, qui est déterminée lors d'essais de traction à l'aide d'un diagramme de traction (Fig. 21.2).

Pendant le fonctionnement, aucune déformation plastique ne doit se produire ; les déformations élastiques sont faibles par rapport aux dimensions géométriques du corps. Les principaux calculs de résistance des matériaux sont effectués dans la zone de déformation élastique, où s'applique la loi de Hooke.

Dans le diagramme (Fig. 21.2), la loi de Hooke fonctionne à partir du point 0 au point 1 .

5. Déterminer la déformation d'une poutre sous charge et la comparer avec celle admissible (qui n'altère pas les performances de la poutre) est appelé calcul de rigidité.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Le diagramme de chargement et les dimensions de la poutre avant déformation sont donnés (Fig. 21.3). La poutre est pincée, déterminez le mouvement de l'extrémité libre.

Solution

1. La poutre est étagée, des diagrammes des forces longitudinales et des contraintes normales doivent donc être construits.

Nous divisons la poutre en zones de chargement, déterminons les forces longitudinales et construisons un diagramme des forces longitudinales.

2. Nous déterminons les valeurs des contraintes normales le long des sections, en tenant compte des changements dans la section transversale.

Nous construisons un diagramme des contraintes normales.

3. A chaque section, nous déterminons l'allongement absolu. Nous résumons les résultats algébriquement.

Note. Faisceau pincé se produit dans le patch réaction inconnue dans le support, on commence donc le calcul par gratuit fin (à droite).

1. Deux sections de chargement :

partie 1 :

étiré;

partie 2 :

Exemple 2. Pour une poutre étagée donnée (Fig. 2.9, UN) construire des diagrammes des forces longitudinales et des contraintes normales sur sa longueur, et déterminer également les déplacements de l'extrémité libre et de la section AVEC, où la force est appliquée R2. Module d'élasticité longitudinale du matériau E= 2,1 10 5 N/"mm 3.

Solution

1. La poutre donnée comporte cinq sections /, //, III, IV, V(Fig. 2.9, UN). Le diagramme des forces longitudinales est présenté sur la Fig. 2.9, b.

2. Calculons les contraintes dans les sections transversales de chaque section :

pour le premier

pour la deuxième

pour le troisième

pour le quatrième

pour le cinquième

Le diagramme de contrainte normale est présenté sur la Fig. 2.9, V.

3. Passons à la détermination des déplacements des sections transversales. Le mouvement de l’extrémité libre de la poutre est défini comme somme algébrique allongement (raccourcissement) de toutes ses sections :

Remplacement valeurs numériques, nous obtenons

4. Le déplacement de la section C, dans laquelle la force P 2 est appliquée, est défini comme la somme algébrique de l'allongement (raccourcissement) des sections ///, IV, V :

En remplaçant les valeurs du calcul précédent, on obtient

Ainsi, l'extrémité libre droite de la poutre se déplace vers la droite, et la section où la force est appliquée R2, - À gauche.

5. Les valeurs de déplacement​​calculées ci-dessus peuvent être obtenues d'une autre manière, en utilisant le principe d'indépendance de l'action des forces, c'est-à-dire en déterminant les déplacements à partir de l'action de chaque force R 1 ; R2; R3 séparément et en résumant les résultats. Nous recommandons à l'étudiant de le faire de manière autonome.

Exemple 3. Déterminer quelle contrainte se produit dans une tige d'acier de longueur je= 200 mm, si après lui avoir appliqué des forces de traction, sa longueur devient je 1 = 200,2 mm. E = 2,1*10 6 N/mm2.

Solution

Allongement absolu de la tige

Déformation longitudinale de la tige

D'après la loi de Hooke

Exemple 4. Support mural (Fig. 2.10, UN) se compose d'une tige en acier AB et d'une entretoise en bois BC. Section transversale de la tige F 1 = 1 cm 2, surface de la section transversale de la jambe de force F 2 = 25 cm 2. Déterminer les déplacements horizontaux et verticaux du point B si une charge y est suspendue Q= 20 kN. Modules d'élasticité longitudinale de l'acier E st = 2,1*10 5 N/mm 2, bois E d = 1,0*10 4 N/mm 2.

Solution

1. Pour déterminer les forces longitudinales dans les tiges AB et BC, nous découpons le nœud B. En supposant que les tiges AB et BC sont étirées, nous dirigeons les forces N 1 et N 2 qui y apparaissent à partir du nœud (Fig. 2.10, 6 ). On compose les équations d'équilibre :

L'effort N 2 s'est avéré avec un signe moins. Cela indique que l'hypothèse initiale concernant la direction de la force est incorrecte : en fait, cette tige est comprimée.

2. Calculer l'allongement de la tige d'acier Δl 1 et raccourcir la jambe de force Δl 2 :

Traction AB s'allonge de Δl 1= 2,2 mm ; se pavaner Soleil raccourci par Δl 1= 7,4 mm.

3. Pour déterminer le mouvement d'un point DANS Séparons mentalement les tiges de cette charnière et marquons leurs nouvelles longueurs. Nouvelle position des points DANS sera déterminé si les tiges déformées AB1 Et B2C rassemblez-les en les faisant pivoter autour des points UN Et AVEC(Fig. 2.10, V). Points B1 Et B2 dans ce cas, ils se déplaceront le long d'arcs qui, en raison de leur petite taille, pourront être remplacés par des segments droits V 1 V" Et V2V", respectivement perpendiculaire à AB1 Et SV2. L'intersection de ces perpendiculaires (point DANS") donne la nouvelle position du point (charnière) B.

4. Sur la fig. 2.10, G le diagramme de déplacement du point B est représenté à plus grande échelle.

5. Mouvement horizontal d'un point DANS

Verticale

où les segments composants sont déterminés à partir de la Fig. 2,10, g ;

En remplaçant les valeurs numériques, on obtient finalement

Lors du calcul des déplacements, les valeurs absolues de l'allongement (raccourcissement) des tiges sont substituées dans les formules.

Questions de test et devoirs

1. Une tige d'acier de 1,5 m de long est étirée de 3 mm sous charge. Quel est l'allongement relatif ? Qu’est-ce que la contraction relative ? ( μ = 0,25.)

2. Qu'est-ce qui caractérise le coefficient de déformation transversale ?

3. Énoncer la loi de Hooke sous sa forme moderne pour la tension et la compression.

4. Qu'est-ce qui caractérise le module élastique d'un matériau ? Quelle est l’unité du module élastique ?

5. Notez les formules pour déterminer l'allongement de la poutre. Qu'est-ce qui caractérise l'œuvre AE et comment s'appelle-t-elle ?

6. Comment est déterminé l'allongement absolu d'une poutre à gradins chargée de plusieurs forces ?

7. Répondez aux questions du test.

Le rapport entre l'allongement absolu d'une tige et sa longueur d'origine est appelé allongement relatif (- epsilon) ou déformation longitudinale. La déformation longitudinale est une quantité sans dimension. Formule de déformation sans dimension :

En traction, la déformation longitudinale est considérée comme positive et en compression, elle est considérée comme négative.
Les dimensions transversales de la tige changent également du fait de la déformation ; lorsqu'elles sont étirées, elles diminuent et lorsqu'elles sont comprimées, elles augmentent. Si le matériau est isotrope, alors ses déformations transversales sont égales :
.
Il a été établi expérimentalement qu'en traction (compression) dans les limites des déformations élastiques, le rapport des déformations transversales aux déformations longitudinales est une valeur constante pour un matériau donné. Le module du rapport des déformations transversales aux déformations longitudinales, appelé coefficient de Poisson ou coefficient de déformation transversale, est calculé par la formule :

Pour différents matériaux, le coefficient de Poisson varie dans certaines limites. Par exemple, pour le liège, pour le caoutchouc, pour l'acier, pour l'or.

la loi de Hooke
La force élastique qui apparaît dans un corps lors de sa déformation est directement proportionnelle à l'ampleur de cette déformation
Pour une tige de traction fine, la loi de Hooke a la forme :

Ici, c'est la force avec laquelle la tige est étirée (comprimée), c'est l'allongement absolu (compression) de la tige et c'est le coefficient d'élasticité (ou de rigidité).
Le coefficient d'élasticité dépend à la fois des propriétés du matériau et des dimensions de la tige. Il est possible d'isoler explicitement la dépendance aux dimensions de la tige (surface de section transversale et longueur) en écrivant le coefficient d'élasticité sous la forme

La quantité est appelée module d’élasticité de première espèce ou module d’Young et est caractéristiques mécaniques matériel.
Si vous entrez l'allongement relatif

Et la contrainte normale dans la section transversale

Alors la loi de Hooke en unités relatives s'écrira sous la forme

Sous cette forme, il est valable pour tous les petits volumes de matériel.
De plus, lors du calcul des tiges droites, la notation de la loi de Hooke sous forme relative est utilisée

Module de Young
Module d'Young (module élastique) - grandeur physique, caractérisant les propriétés d'un matériau pour résister à la tension/compression lors d'une déformation élastique.
Le module d'Young est calculé comme suit :

Où:
E - module élastique,
F - force,
S est la surface sur laquelle la force est répartie,
l est la longueur de la tige déformable,
x est le module de variation de la longueur de la tige résultant d'une déformation élastique (mesuré dans les mêmes unités que la longueur l).
A l'aide du module d'Young, la vitesse de propagation d'une onde longitudinale dans une tige mince est calculée :

Où est la densité de la substance.
Coefficient de Poisson
Coefficient de Poisson (noté ou) - valeur absolue le rapport entre la déformation relative transversale et longitudinale d'un échantillon de matériau. Ce coefficient ne dépend pas de la taille du corps, mais de la nature du matériau à partir duquel l'échantillon est constitué.
Équation
,
Où
- Coefficient de Poisson ;
- déformation dans le sens transversal (négative pour la traction axiale, positive pour la compression axiale) ;
- déformation longitudinale (positive pour la traction axiale, négative pour la compression axiale).

Les contraintes et les déformations lors de la traction et de la compression sont liées les unes aux autres par une relation linéaire, appelée la loi de Hooke , du nom du physicien anglais R. Hooke (1653-1703), qui a établi cette loi.
La loi de Hooke peut être formulée comme suit : la contrainte normale est directement proportionnelle à l'allongement ou au raccourcissement relatif .

Mathématiquement, cette dépendance s'écrit comme suit :

σ = Eε.

Ici E – le coefficient de proportionnalité, qui caractérise la rigidité du matériau bois, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation ; ils l'appellent module d'élasticité longitudinal , ou module d'élasticité du premier type .
Le module élastique, comme la contrainte, s'exprime en pascals (Pa) .

Valeurs E car divers matériaux sont établis expérimentalement, et leurs valeurs peuvent être trouvées dans les ouvrages de référence correspondants.
Ainsi, pour l'acier E = (1,96...2,16) x 105 MPa, pour le cuivre E = (1,00...1,30) x 105 MPa, etc.

Il convient de noter que la loi de Hooke n'est valable que dans certaines limites de charge.
Si l'on substitue les valeurs d'allongement relatif et de contrainte précédemment obtenues dans la formule de la loi de Hooke : ε = Δl/l ,σ = N/A , alors vous pouvez obtenir la dépendance suivante :

Δl = N l / (E A).

Produit du module élastique et de la section transversale E × UN , au dénominateur, est appelée rigidité de section en traction et en compression ; elle caractérise à la fois les propriétés physiques et mécaniques du matériau de la poutre et les dimensions géométriques de la section transversale de cette poutre.

La formule ci-dessus peut être lue comme suit : l'allongement ou le raccourcissement absolu d'une poutre est directement proportionnel à la force longitudinale et à la longueur de la poutre, et inversement proportionnel à la rigidité de la section de la poutre.
Expression EA / l appelé rigidité de la poutre en traction et compression .

Les formules ci-dessus de la loi de Hooke ne sont valables que pour les poutres et leurs sections ayant une section constante, constituées du même matériau et soumises à une force constante. Pour une poutre comportant plusieurs sections qui diffèrent par le matériau, les dimensions transversales et la force longitudinale, la variation de la longueur de la poutre entière est déterminée comme la somme algébrique de l'allongement ou du raccourcissement des sections individuelles :

Δl = Σ (Δl je)

Déformation

Déformation(Anglais) déformation) est un changement dans la forme et la taille d'un corps (ou d'une partie du corps) sous l'influence de forces externes, avec des changements de température, d'humidité, des transformations de phase et d'autres influences qui provoquent un changement dans la position des particules corporelles. À mesure que la contrainte augmente, la déformation peut entraîner une fracture. La capacité des matériaux à résister à la déformation et à la destruction sous l'influence de différents types Les charges sont caractérisées par les propriétés mécaniques de ces matériaux.

Sur l'apparition de ceci ou de cela type de déformation grande influence exerce la nature des contraintes appliquées au corps. Seul processus de déformation sont associés à l'action prédominante de la composante tangentielle de la contrainte, d'autres - à l'action de sa composante normale.

Types de déformation

Selon la nature de la charge appliquée au corps types de déformation réparti comme suit :

• Déformation de traction ;
• Contrainte de compression ;
• Déformation par cisaillement (ou cisaillement);
• Déformation en torsion ;
• Déformation en flexion.

À les types de déformation les plus simples inclure : la déformation en traction, la déformation en compression, la déformation en cisaillement. On distingue également les types de déformation suivants : déformation de compression totale, torsion, flexion, qui sont diverses combinaisons des types de déformation les plus simples (cisaillement, compression, tension), puisque la force appliquée à un corps soumis à déformation est généralement non pas perpendiculaire à sa surface, mais dirigé selon un angle, ce qui provoque à la fois des contraintes normales et des contraintes de cisaillement. Étudier les types de déformation Des sciences telles que la physique du solide, la science des matériaux et la cristallographie sont impliquées.

DANS solides, en particulier les métaux, émettent deux principaux types de déformations- déformation élastique et plastique dont l'essence physique est différente.

Le cisaillement est un type de déformation lorsque seules des forces de cisaillement se produisent dans les sections transversales.. Un tel état de contrainte correspond à l'action sur la tige de deux forces transversales égales, de directions opposées et infiniment proches (Fig. 2.13, une, b), provoquant un cisaillement selon un plan situé entre les forces.

Riz. 2.13. Contraintes de déformation et de cisaillement

Le cisaillement est précédé d'une déformation - distorsion angle droit entre deux lignes perpendiculaires entre elles. En même temps, sur les bords de l'élément sélectionné (Fig. 2.13, V) des contraintes tangentielles apparaissent. La quantité de déplacement des faces est appelée changement absolu. La valeur du décalage absolu dépend de la distance h entre les plans d'action des forces F. La déformation par cisaillement est plus complètement caractérisée par l'angle selon lequel les angles droits de l'élément changent - décalage relatif :

. (2.27)

En utilisant la méthode des sections évoquée précédemment, il est facile de vérifier que seules les forces de cisaillement apparaissent sur les faces latérales de l'élément sélectionné. Q=F, qui sont les contraintes tangentielles résultantes :

En tenant compte du fait que les contraintes de cisaillement sont réparties uniformément sur coupe transversale UN, leur valeur est déterminée par la relation :

. (2.29)

Il a été établi expérimentalement que, dans les limites des déformations élastiques, l'ampleur des contraintes tangentielles est proportionnelle au cisaillement relatif. (Loi de Hooke sous cisaillement) :

Où G– module d'élasticité sous cisaillement (module d'élasticité du deuxième type).

Il existe une relation entre l'élasticité longitudinale et les modules de cisaillement.

,

où est le coefficient de Poisson.

Valeurs approximatives du module d'élasticité en cisaillement, MPa : acier – 0,8·10 5 ; fonte - 0,45 10 5; cuivre – 0,4·10 4 ; aluminium – 0,26·10 5 ; pneus – 4.

2.4.1.1. Calculs de résistance au cisaillement

Le cisaillement pur dans des structures réelles est extrêmement difficile à mettre en œuvre, car en raison de la déformation des éléments connectés, une flexion supplémentaire de la tige se produit, même avec une distance relativement faible entre les plans d'action de la force. Cependant, dans un certain nombre de structures, les contraintes normales dans les sections sont faibles et peuvent être négligées. Dans ce cas, la condition de fiabilité de résistance de la pièce est de la forme :

, (2.31)

où sont les contraintes de cisaillement admissibles, qui sont généralement attribuées en fonction de la valeur de la contrainte de traction admissible :

- Pour matières plastiquesà charge statique =(0,5…0,6) ;

– pour les fragiles – =(0,7 ... 1,0) .

2.4.1.2. Calculs de rigidité au cisaillement

Elles se résument à limiter les déformations élastiques. En résolvant ensemble les expressions (2.27) – (2.30), l’ampleur du décalage absolu est déterminée :

, (2.32)

où est la rigidité au cisaillement.

Torsion

2.4.2.1. Construire des diagrammes de couple

2.4.2.2. Déformation en torsion

2.4.2.4. Caractéristiques géométriques des sections

2.4.2.5. Calculs de résistance et de rigidité en torsion

La torsion est un type de déformation lorsqu'un seul facteur de force apparaît dans les sections transversales - le couple.

La déformation en torsion se produit lorsqu'une poutre est chargée de paires de forces dont les plans d'action sont perpendiculaires à son axe longitudinal.

2.4.2.1. Construire des diagrammes de couple

Pour déterminer les contraintes et les déformations de la poutre, un diagramme de couple est construit montrant la répartition des couples sur la longueur de la poutre. En appliquant la méthode des sections et en considérant toute pièce en équilibre, il deviendra évident que le moment des forces élastiques internes (couple) doit équilibrer l'action des moments externes (rotatifs) de la partie de la poutre considérée. Il est d'usage de considérer un moment comme positif si l'observateur regarde la section considérée du côté de la normale externe et voit un couple T, dirigé dans le sens antihoraire. Dans la direction opposée, le moment reçoit un signe moins.

Par exemple, la condition d'équilibre pour la partie gauche de la poutre a la forme (Fig. 2.14) :

– en coupe transversale A-A :

– en coupe transversale BB:

.

Les limites des sections lors de la construction du schéma sont les plans d'action des couples.

Riz. 2.14. Schéma de calcul poutre (arbre) en torsion

2.4.2.2. Déformation de torsion

Si allumé surface latérale appliquer un maillage sur une tige de section ronde (Fig. 2.15, UN) à partir de cercles et de génératrices équidistants, et appliquer des paires de forces avec des moments aux extrémités libres T dans des plans perpendiculaires à l'axe de la tige, puis avec petite déformation (Fig. 2.15, b) peut être trouvé :

Riz. 2.15. Modèle de déformation en torsion

· les génératrices du cylindre se transforment en lignes hélicoïdales à grand pas ;

· les carrés formés par la grille se transforment en losanges, c'est-à-dire un décalage des sections transversales se produit ;

· les sections, rondes et plates avant déformation, conservent leur forme après déformation ;

· la distance entre les sections transversales ne change pratiquement pas ;

· une section tourne par rapport à une autre d'un certain angle.

Sur la base de ces observations, la théorie de la torsion des poutres repose sur les hypothèses suivantes :

· les sections transversales de la poutre, plates et normales à son axe avant déformation, restent plates et normales à l'axe après déformation ;

Les sections transversales également espacées tournent les unes par rapport aux autres de angles égaux;

· les rayons des sections transversales ne se plient pas lors de la déformation ;

· seules des contraintes de cisaillement se produisent dans les sections transversales. Les contraintes normales sont faibles. La longueur de la poutre peut être considérée comme inchangée ;

· le matériau de la poutre lors de la déformation obéit à la loi de Hooke lors du cisaillement : .

Conformément à ces hypothèses, la torsion d'une tige de section circulaire est représentée comme le résultat de cisaillements provoqués par la rotation mutuelle des sections.

Sur une tige de section circulaire de rayon r, scellé à une extrémité et chargé de couple Tà l'autre extrémité (Fig. 2.16, UN), notons la génératrice sur la surface latérale ANNONCE, qui sous l'influence du moment prendra position AD 1. A distance Zà partir de l'intégration, sélectionnez un élément avec une longueur dZ. En raison de la torsion, l'extrémité gauche de cet élément tournera d'un angle , et l'extrémité droite d'un angle (). Formatif Soleil l'élément prendra position B1C1, s'écartant de la position d'origine d'un angle. En raison de la petitesse de cet angle

Le rapport représente l'angle de torsion par unité de longueur de la tige et est appelé angle de torsion relatif. Alors

Riz. 2.16. Schéma de calcul pour déterminer les contraintes
lors de la torsion d'une tige de section circulaire

Compte tenu de (2.33), la loi de Hooke sous torsion peut être décrite par l'expression :

. (2.34)

En raison de l'hypothèse selon laquelle les rayons des sections circulaires ne se plient pas, des contraintes de cisaillement tangentielles au voisinage de tout point du corps situé à distance du centre (Fig. 2.16, b), sont égaux au produit

ceux. proportionnelle à sa distance à l'axe.

La valeur de l'angle de torsion relatif selon la formule (2.35) peut être trouvée à partir de la condition que la force circonférentielle élémentaire () sur une zone élémentaire de taille dA, situé à distance de l'axe de la poutre, crée un moment élémentaire par rapport à l'axe (Fig. 2.16, b):

La somme des moments élémentaires agissant sur toute la section transversale UN, égal au couple MZ. En supposant que :

.

L'intégrale représente purement caractéristique géométrique et s'appelle moment d'inertie polaire de la section.