Lors de l'étude de la stéréométrie, l'un des sujets principaux est le « Cylindre ». L'aire de la surface latérale est considérée, sinon la principale, alors comme une formule importante lors de la résolution de problèmes géométriques. Cependant, il est important de se rappeler des définitions qui vous aideront à naviguer dans les exemples et à prouver divers théorèmes.

Concept de cylindre

Il y a d’abord quelques définitions à considérer. Ce n'est qu'après les avoir étudiés que nous pourrons commencer à considérer la question de la formule de l'aire de la surface latérale d'un cylindre. Sur la base de cet enregistrement, d'autres expressions peuvent être calculées.

• Par surface cylindrique, on entend un plan décrit par une génératrice qui se déplace et reste parallèle à une direction donnée, glissant le long d'une courbe existante.
• Il existe également une deuxième définition : une surface cylindrique est formée par un ensemble de lignes parallèles coupant une courbe donnée.
• La génératrice est classiquement appelée hauteur du cylindre. Lorsqu'il se déplace autour d'un axe passant par le centre de la base, on obtient le corps géométrique indiqué.
• Par axe, nous entendons une droite passant par les deux bases de la figure.
• Un cylindre est un corps stéréométrique délimité par une surface latérale sécante et deux plans parallèles.

Il existe des variétés de cette figure volumétrique :

1. Par circulaire on entend un cylindre dont le guide est un cercle. Ses principales composantes sont le rayon de la base et la génératrice. Cette dernière est égale à la hauteur du personnage.
2. Il y a un cylindre droit. Il doit son nom à la perpendiculaire de la figure qui le forme par rapport aux bases.
3. Le troisième type est un cylindre biseauté. Dans les manuels scolaires, vous pouvez lui trouver un autre nom : « un cylindre circulaire avec une base biseautée ». Ce chiffre est déterminé par le rayon de la base, les hauteurs minimale et maximale.
4. Un cylindre équilatéral est compris comme un corps ayant la même hauteur et le même diamètre d'un plan circulaire.

Légende

Traditionnellement, les principaux « composants » du cylindre sont appelés ainsi :

• Le rayon de la base est R (il remplace également la valeur similaire d'une figure stéréométrique).
• Générateur - L.
• Hauteur - H.
• L'aire de la base est la base S (en d'autres termes, il faut trouver le paramètre spécifié du cercle).
• Les hauteurs du cylindre biseauté sont h 1, h 2 (minimum et maximum).
• La surface latérale est du côté S (si vous la dépliez, vous obtenez une sorte de rectangle).
• Le volume d'une figure stéréométrique est V.
• Superficie totale - S.

"Composants" d'une figure stéréométrique

Lors de l’étude d’un cylindre, la surface latérale joue un rôle important. Cela est dû au fait que cette formule est incluse dans plusieurs autres formules plus complexes. Il est donc nécessaire de bien connaître la théorie.

Les principales composantes de la figure sont :

1. Surface latérale. Comme on le sait, il est obtenu grâce au mouvement de la génératrice le long d'une courbe donnée.
2. La surface complète comprend les bases existantes et le plan latéral.
3. En règle générale, la section transversale d'un cylindre est un rectangle situé parallèlement à l'axe de la figure. Sinon, cela s'appelle un avion. Il s’avère que la longueur et la largeur sont également des composantes d’autres figures. Ainsi, classiquement, les longueurs de section sont les génératrices. Largeur - accords parallèles d'une figure stéréométrique.
4. Par section axiale, nous entendons l'emplacement du plan passant par le centre du corps.
5. Et enfin, une dernière définition. Une tangente est un plan passant par la génératrice du cylindre et situé perpendiculairement à la section axiale. Dans ce cas, une condition doit être remplie. La génératrice spécifiée doit être incluse dans le plan de la coupe axiale.

Formules de base pour travailler avec un cylindre

Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la surface d'un cylindre, il est nécessaire d'étudier les principaux « composants » d'une figure stéréométrique et les formules pour les trouver.

Ces formules diffèrent en ce que les premières expressions sont données pour un cylindre biseauté, puis pour un cylindre droit.

Exemples avec une solution démontée

Il est nécessaire de connaître l'aire de la surface latérale du cylindre. La diagonale de la section AC = 8 cm est donnée (et elle est axiale). Au contact de la génératrice il s'avère< ACD = 30°

Solution. Puisque les valeurs de diagonale et d'angle sont connues, alors dans ce cas :

• CD = AC*cos 30°.

Commentaire. Triangle ACD, en exemple spécifique, rectangulaire. Cela signifie que le quotient de CD et AC = cosinus de l'angle existant. Signification fonctions trigonométriques peut être trouvé dans un tableau spécial.

De même, vous pouvez trouver la valeur de AD :

• AD = AC*sin 30°

Vous devez maintenant calculer le résultat souhaité en utilisant la formulation suivante : l'aire de la surface latérale du cylindre est égale au double du résultat de la multiplication de « pi », du rayon de la figure et de sa hauteur. Une autre formule doit être utilisée : l'aire de la base du cylindre. Il est égal au résultat de la multiplication de « pi » par le carré du rayon. Et enfin, la dernière formule : superficie totale surfaces. Elle est égale à la somme des deux aires précédentes.

Les cylindres sont donnés. Leur volume = 128*p cm³. Quel cylindre a la plus petite surface totale ?

Solution. Vous devez d’abord utiliser les formules permettant de trouver le volume d’une figure et sa hauteur.

La surface totale du cylindre étant connue en théorie, il est nécessaire d'appliquer sa formule.

Si l'on considère la formule résultante en fonction de la surface du cylindre, alors « l'indicateur » minimum sera atteint au point extrême. Pour obtenir la dernière valeur, vous devez utiliser la différenciation.

Les formules peuvent être visualisées dans un tableau spécial pour trouver des dérivées. Par la suite, le résultat trouvé est égal à zéro et une solution à l'équation est trouvée.

Réponse : S min sera atteint à h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Une figure stéréométrique est donnée - un cylindre et une section. Cette dernière est réalisée de telle manière qu'elle se situe parallèlement à l'axe du corps stéréométrique. Le cylindre a les paramètres suivants : VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm Il faut trouver la distance entre la section et l'axe.

Puisque la section transversale d'un cylindre est comprise comme VSKM, c'est-à-dire un rectangle, alors son côté BM = h. La VMC est à prendre en compte. Un triangle est un triangle rectangle. Sur la base de cette affirmation, nous pouvons déduire l’hypothèse correcte selon laquelle MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

De là, nous pouvons conclure que MK = BC = 8 cm.

L'étape suivante consiste à tracer une coupe à travers la base de la figure. Il faut considérer le plan résultant.

AD est le diamètre d'une figure stéréométrique. Elle est parallèle à la section mentionnée dans l'énoncé du problème.

BC est une droite située sur le plan du rectangle existant.

ABCD - trapèze. Dans ce cas particulier, elle est considérée comme isocèle, puisqu’un cercle est circonscrit autour d’elle.

Si vous trouvez la hauteur du trapèze obtenu, vous pouvez obtenir la réponse donnée au début du problème. A savoir : trouver la distance entre l'axe et la section dessinée.

Pour ce faire, vous devez trouver les valeurs d'AD et du système d'exploitation.

Réponse : la section est située à 3 cm de l'axe.

Tâches pour consolider le matériel

Étant donné un cylindre. La surface latérale est utilisée dans la solution suivante. D'autres paramètres sont connus. L'aire de base est Q, l'aire de section axiale est M. Il faut trouver S. En d'autres termes, l'aire totale du cylindre.

Étant donné un cylindre. La surface de la surface latérale doit être trouvée dans l'une des étapes de résolution du problème. On sait que hauteur = 4 cm, rayon = 2 cm Il faut trouver l'aire totale de la figure stéréométrique.

Il existe un grand nombre de problèmes liés au cylindre. Vous devez y trouver le rayon et la hauteur du corps ou le type de sa section. De plus, vous devez parfois calculer l'aire d'un cylindre et son volume.

Quel corps est un cylindre ?

Au courant programme scolaire on étudie un cylindre circulaire, c'est-à-dire un à la base. Mais l’aspect elliptique de cette figure se distingue également. D'après le nom, il est clair que sa base sera une ellipse ou un ovale.

Le cylindre a deux bases. Ils sont égaux les uns aux autres et sont reliés par des segments qui combinent les points correspondants des bases. On les appelle les générateurs du cylindre. Tous les générateurs sont parallèles les uns aux autres et égaux. Ils constituent la surface latérale du corps.

DANS cas général Un cylindre est un corps incliné. Si les génératrices font un angle droit avec les bases, alors on parle de figure droite.

Il est intéressant de noter qu’un cylindre circulaire est un corps de révolution. Il est obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.

Principaux éléments du cylindre

Les principaux éléments du cylindre ressemblent à ceci.

1. Hauteur. C'est la distance la plus courte entre les bases du cylindre. Si elle est droite, alors la hauteur coïncide avec la génératrice.
2. Rayon. Coïncide avec celui qui peut être dessiné à la base.
3. Axe. Il s'agit d'une ligne droite contenant les centres des deux bases. L'axe est toujours parallèle à tous les générateurs. Dans un cylindre droit, il est perpendiculaire aux bases.
4. Section axiale. Il se forme lorsqu'un cylindre coupe un plan contenant un axe.
5. Plan tangent. Elle passe par l'une des génératrices et est perpendiculaire à la section axiale qui passe par cette génératrice.

Comment un cylindre relié à un prisme est-il inscrit ou décrit autour de lui ?

Parfois, il existe des problèmes dans lesquels vous devez calculer l'aire d'un cylindre, mais certains éléments du prisme associé sont connus. Quel est le rapport entre ces chiffres ?

Si un prisme est inscrit dans un cylindre, alors ses bases sont des polygones égaux. De plus, ils sont inscrits dans les bases correspondantes du cylindre. Les bords latéraux du prisme coïncident avec les génératrices.

Le prisme décrit possède à sa base des polygones réguliers. Ils sont décrits autour des cercles du cylindre, qui sont ses bases. Les plans qui contiennent les faces du prisme touchent le cylindre le long de leurs génératrices.

Sur la zone de la surface latérale et de la base d'un cylindre circulaire droit

Si vous déballez la surface latérale, vous obtiendrez un rectangle. Ses côtés coïncideront avec la génératrice et la circonférence de la base. Par conséquent, l'aire latérale du cylindre sera égale au produit de ces deux quantités. Si vous écrivez la formule, vous obtenez ce qui suit :

Côté S = l * n,

où n est le générateur, l est la circonférence.

De plus, le dernier paramètre est calculé à l'aide de la formule :

l = 2 π * r,

ici r est le rayon du cercle, π est le nombre « pi » égal à 3,14.

Puisque la base est un cercle, son aire est calculée à l’aide de l’expression suivante :

S principal = π * r 2 .

Sur l'aire de toute la surface d'un cylindre circulaire droit

Puisqu’il est formé de deux bases et d’une surface latérale, il faut additionner ces trois quantités. C'est-à-dire que la surface totale du cylindre sera calculée par la formule :

Étage S = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Il est souvent écrit sous une forme différente :

Étage S = 2 π * r (n + r).

Sur les aires d'un cylindre circulaire incliné

Quant aux bases, toutes les formules sont les mêmes, car ce sont toujours des cercles. Mais la surface latérale ne donne plus de rectangle.

Pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cylindre incliné, vous devrez multiplier les valeurs de la génératrice et le périmètre de la section, qui sera perpendiculaire à la génératrice sélectionnée.

La formule ressemble à ceci :

Côté S = x * P,

où x est la longueur de la génératrice du cylindre, P est le périmètre de la section.

D'ailleurs, il est préférable de choisir une section telle qu'elle forme une ellipse. Les calculs de son périmètre seront alors simplifiés. La longueur de l'ellipse est calculée à l'aide d'une formule qui donne une réponse approximative. Mais cela suffit souvent pour les tâches d'un cursus scolaire :

l = π * (une + b),

où « a » et « b » sont les demi-axes de l'ellipse, c'est-à-dire la distance entre le centre et ses points les plus proches et les plus éloignés.

L'aire de toute la surface doit être calculée à l'aide de l'expression suivante :

Étage S = 2 π * r 2 + x * R.

Quelles sont les sections d’un cylindre circulaire droit ?

Lorsqu'une section passe par un axe, son aire est déterminée comme le produit de la génératrice et du diamètre de la base. Cela s'explique par le fait qu'il a la forme d'un rectangle dont les côtés coïncident avec les éléments désignés.

Pour trouver l'aire de la section transversale d'un cylindre parallèle à celle axiale, vous aurez également besoin d'une formule pour un rectangle. Dans cette situation, l'un de ses côtés coïncidera toujours avec la hauteur et l'autre sera égal à la corde de la base. Cette dernière coïncide avec la ligne de coupe le long de la base.

Lorsque la section est perpendiculaire à l’axe, elle ressemble à un cercle. De plus, son aire est la même que celle de la base de la figure.

Il est également possible de faire une intersection selon un certain angle par rapport à l'axe. Ensuite, la section transversale donne lieu à un ovale ou à une partie de celui-ci.

Exemples de problèmes

Tâche n°1.Étant donné un cylindre droit dont l'aire de base est de 12,56 cm 2 . Il faut calculer la surface totale du cylindre si sa hauteur est de 3 cm.

Solution. Il est nécessaire d'utiliser la formule de l'aire totale d'un cylindre droit circulaire. Mais il lui manque des données, à savoir le rayon de la base. Mais l'aire du cercle est connue. Il est facile de calculer le rayon à partir de là.

Il s'avère être égal à la racine carrée du quotient, qui est obtenu en divisant l'aire de la base par pi. Après avoir divisé 12,56 par 3,14, le résultat est 4. Racine carrée sur 4, il est 2. Le rayon aura donc exactement cette valeur.

Réponse : S plancher = 50,24 cm 2.

Tâche n°2. Un cylindre d'un rayon de 5 cm est coupé par un plan parallèle à l'axe. La distance entre la section et l'axe est de 3 cm. La hauteur du cylindre est de 4 cm. Vous devez trouver l'aire de la section transversale.

Solution. La forme de la section transversale est rectangulaire. L'un de ses côtés coïncide avec la hauteur du cylindre et l'autre est égal à la corde. Si la première quantité est connue, alors la seconde doit être trouvée.

Pour ce faire, des constructions supplémentaires doivent être réalisées. A la base, nous dessinons deux segments. Ils commenceront tous les deux au centre du cercle. Le premier se terminera au centre de la corde et sera égal à la distance connue à l'axe. La seconde est à la fin de l'accord.

Vous obtiendrez un triangle rectangle. L'hypoténuse et l'une des jambes y sont connues. L'hypoténuse coïncide avec le rayon. La deuxième jambe est égale à la moitié de la corde. La jambe inconnue multipliée par 2 donnera la longueur de corde souhaitée. Calculons sa valeur.

Afin de trouver la jambe inconnue, vous devrez mettre au carré l’hypoténuse et la jambe connue, soustraire la seconde de la première et prendre la racine carrée. Les carrés sont 25 et 9. Leur différence est 16. Après avoir pris la racine carrée, il reste 4. C'est la jambe souhaitée.

L'accord sera égal à 4 * 2 = 8 (cm). Vous pouvez maintenant calculer la surface transversale : 8 * 4 = 32 (cm 2).

Réponse : La croix S est égale à 32 cm 2.

Tâche n°3. Il est nécessaire de calculer la section axiale du cylindre. On sait qu'un cube d'une arête de 10 cm y est inscrit.

Solution. La section axiale du cylindre coïncide avec un rectangle qui passe par les quatre sommets du cube et contient les diagonales de ses bases. Le côté du cube est la génératrice du cylindre et la diagonale de la base coïncide avec le diamètre. Le produit de ces deux quantités donnera l’aire que vous devez connaître dans le problème.

Pour trouver le diamètre, vous devrez savoir que la base du cube est un carré et que sa diagonale forme un équilatéral. triangle rectangle. Son hypoténuse est la diagonale souhaitée de la figure.

Pour le calculer, vous aurez besoin de la formule du théorème de Pythagore. Vous devez mettre le côté du cube au carré, le multiplier par 2 et prendre la racine carrée. Dix à la puissance deux font cent. Multiplié par 2, cela fait deux cents. La racine carrée de 200 est 10√2.

La section est à nouveau un rectangle de côtés 10 et 10√2. Sa superficie peut être facilement calculée en multipliant ces valeurs.

Répondre. Section S = 100√2 cm2.

L'aire de la surface latérale d'un cylindre est égale à l'aire d'un rectangle dont la base est 2π r, et la hauteur est égale à la hauteur du cylindre h, soit 2π RH.

La surface totale du cylindre sera : 2π r 2 + 2π RH= 2π r(r+ h).

L'aire de la surface latérale du cylindre est considérée comme étant zone de balayage sa surface latérale.

Par conséquent, l'aire de la surface latérale d'un cylindre circulaire droit est égale à l'aire du rectangle correspondant (Fig.) et est calculée par la formule

S avant JC. = 2πRH, (1)

Si l'on ajoute l'aire de ses deux bases à l'aire de la surface latérale du cylindre, on obtient la surface totale du cylindre

S plein =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Volume d'un cylindre droit

où Q est l'aire de la base et H est la hauteur du cylindre.

Puisque l'aire de la base du cylindre est Q, alors il existe des séquences de polygones circonscrits et inscrits avec des aires Q n et Q' n tel que

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Construisons une séquence de prismes dont les bases sont les polygones décrits et inscrits discutés ci-dessus, et dont les bords latéraux sont parallèles à la génératrice du cylindre donné et ont une longueur H. Ces prismes sont circonscrits et inscrits pour le cylindre donné. Leurs volumes sont trouvés par les formules

V n=Q n H et V' n= Q' n H.

Ainsi,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Conséquence.
Le volume d'un cylindre circulaire droit est calculé par la formule

V = π R 2 H

où R est le rayon de la base et H est la hauteur du cylindre.

Puisque la base d'un cylindre circulaire est un cercle de rayon R, alors Q = π R 2, et donc

Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.

Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.

Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.

Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.

2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit à une pyramide quadrangulaire régulière est-il supérieur au volume d'un cône inscrit dans cette pyramide ?

C'est simple : dessinez la vue d'en bas. On voit que le rayon cercle plus grand fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.

Un autre point important. Rappelez-vous que dans les problèmes de la partie B Options d'examen d'État unifié en mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou fini décimal. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».

Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.

Un cylindre (vient de la langue grecque, des mots « rouleau », « rouleau ») est un corps géométrique limité extérieurement par une surface dite cylindrique et deux plans. Ces plans coupent la surface de la figure et sont parallèles entre eux.

Une surface cylindrique est une surface formée par une ligne droite dans l’espace. Ces mouvements sont tels que le point sélectionné de cette droite se déplace le long d'une courbe de type plan. Une telle ligne droite est appelée génératrice et une ligne courbe est appelée guide.

Le cylindre se compose d'une paire de bases et d'un côté surface cylindrique. Il existe plusieurs types de cylindres :

1. Cylindre circulaire et droit. Un tel cylindre a une base et un guide perpendiculaires à la génératrice, et il y a

2. Cylindre incliné. Son angle entre la génératrice et la base n'est pas droit.

3. Un cylindre de forme différente. Hyperbolique, elliptique, parabolique et autres.

L'aire d'un cylindre, ainsi que la surface totale de tout cylindre, se trouve en additionnant les aires des bases de cette figure et l'aire de la surface latérale.

La formule pour calculer la surface totale du cylindre pour un cylindre circulaire et droit :

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

L'aire de la surface latérale s'avère un peu plus compliquée que l'aire du cylindre entier ; elle se calcule en multipliant la longueur de la ligne génératrice par le périmètre de la section formée par un plan perpendiculaire. à la ligne de la génératrice.

Le cylindre donné pour un cylindre circulaire et droit est reconnu par le développement de cet objet.

Un développement est un rectangle qui a une hauteur h et une longueur P égale au périmètre de la base.

Il s'ensuit que la surface latérale du cylindre est égale à la surface de balayage et peut être calculée à l'aide de cette formule :

Si nous prenons un cylindre circulaire et droit, alors pour lui :

P = 2p R et Sb = 2p Rh.

Si le cylindre est incliné, alors l'aire de la surface latérale doit être égale au produit de la longueur de sa génératrice et du périmètre de la section perpendiculaire à cette génératrice.

Malheureusement, il n'existe pas de formule simple pour exprimer la surface latérale d'un cylindre incliné en fonction de sa hauteur et des paramètres de sa base.

Pour calculer un cylindre, vous devez connaître quelques faits. Si une section avec son plan coupe les bases, alors une telle section est toujours un rectangle. Mais ces rectangles seront différents selon la position de la section. L'un des côtés de la section axiale de la figure, perpendiculaire aux bases, est égal à la hauteur, et l'autre est égal au diamètre de la base du cylindre. Et l'aire d'une telle section est donc égale au produit d'un côté du rectangle par l'autre, perpendiculaire au premier, ou au produit de la hauteur d'une figure donnée et du diamètre de sa base.

Si la section est perpendiculaire aux bases de la figure, mais ne passe pas par l'axe de rotation, alors l'aire de cette section sera égale au produit de la hauteur de ce cylindre et d'une certaine corde. Pour obtenir une corde, vous devez construire un cercle à la base du cylindre, tracer un rayon et y tracer la distance à laquelle se trouve la section. Et à partir de ce point, vous devez tracer des perpendiculaires au rayon à partir de l'intersection avec le cercle. Les points d'intersection sont connectés au centre. Et la base du triangle est celle souhaitée, qui est recherchée par des sons comme ceci : « La somme des carrés de deux pattes est égale à l'hypoténuse au carré » :

C2 = A2 + B2.

Si la section n'affecte pas la base du cylindre et que le cylindre lui-même est circulaire et droit, alors l'aire de cette section est considérée comme l'aire du cercle.

L'aire du cercle est :

S env. = 2п R2.

Pour trouver R, il faut diviser sa longueur C par 2n :

R = C\2n, où n est pi, une constante mathématique calculée pour travailler avec des données circulaires et égale à 3,14.