Chaque surface d'un de ses côtés peut être dirigée vers l'observateur et alors ce côté sera visible. Dans le cas contraire, le côté de la surface ne sera pas visible depuis le point d'observation. Il peut arriver que seule une partie d’un côté de la surface soit visible. Dans ce cas, une ligne peut être tracée sur la surface divisant les surfaces visibles et invisibles. Une ligne d'esquisse est une ligne sur une surface séparant la partie visible d'une surface ou d'une face de sa partie invisible.

Riz. 9.5.1. Projections des lignes de contour de surface

Riz. 9.5.2. Projections d'une grille de polygones et de lignes d'esquisse

Sur la fig. 9.5.1 montre les lignes de contour de la surface. Sur la fig. 9.5.2 montre les lignes d'esquisse avec le maillage de surface.

Lorsqu'elle passe par la ligne d'esquisse, la normale à la surface change de direction par rapport à la ligne de visée. Aux points de la ligne d’esquisse, la normale à la surface est orthogonale à la ligne de visée. En général, il peut y avoir plusieurs lignes de contour sur la surface. Chaque ligne d'une esquisse est une courbe spatiale. Il est soit fermé, soit se termine aux bords de la surface. Différentes directions de visualisation ont leur propre ensemble de lignes de contour, donc lorsque la surface est pivotée, les lignes de contour doivent être reconstruites.

Projections parallèles.

Pour certaines surfaces, par exemple, une sphère, un cylindre, un cône, des lignes de contour sont construites tout simplement. Considérons le cas général de la construction de lignes de contour de surface.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver les lignes de contour d'une surface décrite par un rayon vecteur. Chaque point de la ligne de contour pour une projection parallèle sur le plan (9.2.1) doit satisfaire l'équation.

où est la normale à la surface pour laquelle la ligne d'esquisse est construite. Pour une surface décrite par un rayon vecteur, la normale est également fonction des paramètres et . L'équation scalaire (9.5.1) contient deux paramètres souhaités u, v. Si vous définissez l'un des paramètres, l'autre peut être trouvé à partir de l'équation (9.5.1), c'est-à-dire que l'un des paramètres est fonction de l'autre. Pour garantir l'égalité des paramètres, ils peuvent être représentés comme des fonctions d'un paramètre commun

Le résultat de la résolution de l’équation (9.5.1) est une droite bidimensionnelle

sur la surface Cette ligne est la ligne de contour de la surface.

Nous allons construire une ligne d'esquisse à partir d'un ensemble ordonné de points qui satisfont à l'équation (9.5.1). Nous appelons points une paire de paramètres de surface, qui sont les coordonnées de points bidimensionnels sur un plan paramétrique. Ayant des points individuels de la ligne d'esquisse, situés dans l'ordre dans lequel ils se suivent et à une certaine distance les uns des autres, vous pouvez toujours trouver n'importe quel autre point sur la ligne. Par exemple, pour trouver un point situé entre deux points adjacents donnés d'une ligne d'esquisse, nous traçons un plan perpendiculaire au segment reliant les points adjacents et trouvons un point commun pour la surface et le plan en résolvant trois équations d'intersection scalaire avec l'équation (9.5.1). La position du plan sur le segment peut être spécifiée par le paramètre line. Sur la base des points extrêmes du segment, l'approximation zéro du point souhaité est déterminée. Ainsi, l'ensemble des points bidimensionnels individuels de la ligne de contour de la surface sert en quelque sorte d'approximation zéro de cette ligne, à partir de laquelle on peut toujours trouver la position exacte du point en utilisant l'une des méthodes numériques. L'algorithme de construction des lignes de contour de surface peut être divisé en deux étapes.

Dans un premier temps, on trouvera au moins un point sur chaque ligne du croquis. Pour ce faire, en parcourant la surface et en examinant le signe du produit scalaire aux points voisins, nous trouverons des paires de points de la surface auxquels le signe change. En prenant les valeurs moyennes des paramètres de ces points comme approximation nulle, nous trouverons les paramètres du point de la ligne d'esquisse en utilisant l'une des méthodes numériques. Supposons, par exemple, que le signe change en passant d'un point à un point proche. Ensuite, en utilisant le processus itératif de la méthode de Newton

ou processus itératif

Trouvons les paramètres de l'un des points de la ligne d'esquisse. Les normales dérivées sont déterminées par les formules de Weingarten (1.7.26), (1.7.28). De cette façon, nous obtenons un ensemble de points des lignes de contour. Les points de l'ensemble obtenu lors de la première étape ne sont en aucun cas liés les uns aux autres et peuvent appartenir à des lignes différentes du croquis. Il est seulement important qu'à partir de chaque ligne du croquis, il y ait au moins un point dans l'ensemble.

Dans la deuxième étape, nous prenons n'importe quel point de l'ensemble existant et, en nous déplaçant d'un certain pas, d'abord dans un sens puis dans l'autre, nous trouvons, point par point, l'ensemble de points souhaité sur la ligne d'esquisse. La direction du mouvement est donnée par le vecteur

où - dérivées partielles des dérivées partielles normales du rayon vecteur de la surface par rapport aux paramètres .

Le signe devant le terme coïncide avec le signe du produit scalaire. Nous calculons le pas de mouvement en fonction de la courbure des surfaces au point courant à l'aide de la formule (9.4.7) ou de la formule (9.4.8). Si

puis en utilisant la formule (9.4.7) nous donnerons un incrément au paramètre u et en utilisant la formule (9.5.4) nous trouverons le paramètre v correspondant de la surface. Sinon, en utilisant la formule (9.4.8), nous augmenterons le paramètre et et en utilisant la formule (9.5.5) nous trouverons le paramètre et la surface correspondants. Nous terminerons notre déplacement le long de la courbe lorsque nous atteindrons le bord d'une des surfaces ou lorsque la ligne se fermera (le nouveau point sera à la distance du pas actuel du point de départ).

Pendant le déplacement, nous vérifierons si les points de l'ensemble obtenu lors de la première étape se trouvent à proximité de l'itinéraire. Pour ce faire, le long du chemin, nous calculerons la distance entre le point actuel de la courbe de contour et chaque point de l'ensemble obtenu lors de la première étape. Si la distance calculée jusqu'à n'importe quel point de l'ensemble est proportionnelle à l'étape de mouvement actuelle, alors ce point sera supprimé de l'ensemble car il n'est plus nécessaire. De cette façon, nous obtenons un ensemble de points individuels d’une ligne d’esquisse. Dans ce cas, l'ensemble des points obtenus lors de la première étape ne contiendra pas un seul point de cette droite. S'il reste encore des points dans l'ensemble, alors cette surface possède au moins une ligne de contour supplémentaire.

Riz. 9.5.3. Lignes de contour du corps

Riz. 9.5.4. Corps de révolution

Nous trouverons l'ensemble de ses points en prenant n'importe quel point de l'ensemble et en répétant la deuxième étape de construction. Nous terminerons de construire des lignes lorsqu’il ne restera plus un seul point dans l’ensemble. En utilisant la méthode décrite, nous construirons les lignes de contour de toutes les faces du modèle.

Les lignes de contour des faces sont les lignes de contour de leurs surfaces. La ligne de contour du corps sera visible si elle n’est pas recouverte par un visage plus proche du point d’observation. Sur la fig. 9.5.3 montre le contour du corps de rotation montré à la Fig. 9.5.4. La projection de la ligne d'esquisse peut présenter des cassures et des cuspides, mais la ligne d'esquisse elle-même est lisse.

Les points de rupture dans la projection se produisent là où la ligne tangente du contour est colinéaire au vecteur

Pour construire la projection de la ligne d'esquisse, nous construirons son polygone dont nous prendrons la projection comme la projection de la ligne d'esquisse.

Projections centrales.

Les lignes d'esquisse dans les projections centrales satisfont à l'équation

(9.5.7)

où - normale à la surface - rayon vecteur du point d'observation. La ligne d'esquisse pour la projection centrale diffère de la ligne d'esquisse pour la projection parallèle, bien que les algorithmes de construction soient similaires. Au lieu d'un vecteur constant dans (9.5.7), il existe un vecteur dont la direction dépend du point projeté. La ligne d'esquisse pour la projection centrale représente également une certaine courbe sur la surface, décrite par les dépendances (9.5.3), et est une courbe spatiale. Cette ligne doit être projetée sur le plan selon les règles de construction de la projection centrale de la ligne spatiale.

Sur la fig. 9.5.5 montre une projection parallèle des lignes de contour du tore, et sur la Fig. À titre de comparaison, la figure 9.5.6 montre la projection centrale des lignes de contour du tore. Comme vous pouvez le constater, ces projections sont différentes.

Riz. 9.5.5. Projection parallèle des lignes de contour du tore

Riz. 9.5.6. Projection centrale des lignes de contour du tore

L'algorithme de construction de lignes d'esquisse pour la projection centrale d'une surface décrite par un rayon vecteur diffère de l'algorithme de construction de lignes d'esquisse pour une projection parallèle de cette surface en ce sens que dans un premier temps nous rechercherons les points de surface auxquels le produit scalaire change de signe. Pour déterminer ces points, au lieu des formules (9.5.4) et (9.5.5), les formules doivent être utilisées

et formules

respectivement. Sinon, l'algorithme de construction de lignes de contour pour la projection centrale d'une surface ne diffère pas de l'algorithme de construction de lignes de contour pour une projection parallèle.

Objectif du travail :

1. Acquérir des compétences de représentation spatiale qui permettent, le long d'un guide et d'un axe donnés, de construire le contour d'une surface de révolution.

2. Acquérir des compétences pour trouver des projections de points appartenant à une surface.

1. Sur la base du déterminant (guide) donné de la surface, construisez des croquis de la surface.

2. Définissez indépendamment les données initiales pour l'une des projections de six points appartenant à la surface construite. Afficher différents cas : les points appartiennent aux lignes d'esquisse et aux surfaces dans le cas général.

3. Construisez les projections manquantes de chacun des six points appartenant à la surface et étiquetez-les.

Les options de tâche sont présentées dans le tableau 1, pages 8 à 12. Le numéro de l’option de devoir correspond au numéro d’ordre du nom de famille de l’étudiant dans la liste du groupe.

Surface de rotation est une surface formée par la rotation d'une certaine ligne (générateur) autour d'un axe.

Algorithme de construction d'une esquisse d'une surface de révolution :

1. Sur la génératrice, sélectionnez une série discrète de points.

2. Nous construisons des parallèles passant par les points sélectionnés.

3. Reliez les positions extrêmes des points sur les parallèles avec une ligne courbe lisse.

Un exemple de construction d'une esquisse d'une surface de révolution.

1. Nous construisons un col parallèle passant par le point 1, qui est le plus proche de l'axe i. Les points 1' et 1'' occuperont des positions extrêmes lorsque le point 1 tourne autour de l'axe.

2. Sélectionnez les points 2 et 3 et construisez les parallèles qui les traversent. Vous pouvez également sélectionner le point 4 sur la génératrice, auquel les lignes de contour toucheront la génératrice.

3. Sur la projection frontale, le contour d'un hyperboloïde à feuille unique est l'hyperbole, et sur la projection horizontale, le cou et les plus grandes parallèles sont les parallèles.

4. Nous construisons des points situés à la surface à l'aide de parallèles. Par exemple, sur une projection horizontale, le point A (A 1) est spécifié. Il faut construire sa projection frontale, à condition que le point A appartienne à la surface de révolution. On construit une parallèle passant par le point A sur la projection horizontale et sa projection frontale. A l'aide de la ligne de connexion de projection, on retrouve la projection frontale du point A (A 2).

Tableau 1 Options pour la tâche « Construire une esquisse d'une surface » :

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

Tableau 1 (suite)

THÈME 2 CONSTRUCTION DE VUES

Objectif du travail :

1. Étude et application pratique des règles de représentation des objets - construction de vues conformément à GOST 2.305-68.

2. Acquérir des compétences de représentation spatiale qui permettent d'imaginer sa forme, la position relative des pièces et son orientation par rapport aux plans de projection à partir d'une image axonométrique d'un objet.

3. Acquérir des compétences en représentation axonométrique de la construction de trois grands types d'objets.

4. Développement de compétences en dimensionnement de pièces selon GOST 2.307–68.

RÈGLES GÉNÉRALES D'ENREGISTREMENT DES DESSINS

Formats

Les désignations et dimensions des formats sont déterminées par les dimensions du cadre extérieur et doivent être conformes à la norme (tableau 2).

Tableau 2

Tous les formats sauf A4 peuvent être positionnés aussi bien verticalement qu'horizontalement. Le format A4 se trouve vertical uniquement .

Chaque dessin possède un cadre interne qui limite le champ de dessin et est dessiné avec une ligne principale continue d'une épaisseur de S = 0,8 - 1 mm. Le champ situé à gauche du format est destiné au classement et à la reliure des dessins (Fig. 2).

Inscription principale

Sur les dessins, il est nécessaire de faire une inscription principale contenant des informations sur le produit représenté et des informations sur l'auteur de ce dessin. L'inscription principale est placée dans le coin inférieur droit.

1 - nom du produit ou nom du sujet étudié.

2 - la désignation du document ;

3 - échelle;

4 - numéro d'ordre de la feuille (la colonne n'est pas renseignée sur les documents établis sur une seule feuille) ;

5 - le nombre total de feuilles du document (la colonne est remplie sur la première feuille) ;

6 - lettre documentaire ;

7 - les noms de famille ;

8 - les signatures ;

9 - date de signature du document ;

10 - nom, indice de l'entreprise ;

11 – désignation du matériau (remplie sur les plans des pièces).

Toutes les colonnes, à l'exception des signatures et des dates, ainsi que les colonnes de la page de titre, sont remplies au crayon dans une police standard (clause 2.1.5 « Polices de dessin »). Il faut faire attention au fait que l'image de l'inscription principale contient des lignes principales et fines.

Échelle

L'échelle des images et leur désignation sur les dessins fixent la norme.

Échelle est le rapport entre les dimensions linéaires de l'image d'un objet dans le dessin et les véritables dimensions linéaires de l'objet.

Selon la complexité de l'objet représenté, ses images dans les dessins peuvent être réalisées soit en taille réelle, soit réduites ou agrandies (tableau 3).

Tableau 3

Lignes

Les styles, épaisseurs et objectifs principaux des neuf types de lignes utilisés dans les dessins sont établis par la norme. Il existe six types de lignes les plus couramment utilisées dans les dessins pédagogiques.

Principal épais et solide.Épaisseur s ≈ 0,5 ... 1,4 mm. Objectif : image des lignes de contour visibles, cadre de dessin interne, etc.

Ligne fine et solide.Épaisseur de s/3 à s/2. Objectif : image des lignes de contour de la section superposée, des lignes de cote et d'extension, des lignes de hachures, etc.

Ligne fine en pointillés.Épaisseur de s/3 à s/2. Objectif : image des lignes axiales et centrales, etc.

Ligne pointillée. Épaisseur du trait de s/3 à s/2. Objectif : image de lignes d'un contour invisible.

Ligne ondulée solide.Épaisseur du trait de s/3 à s/2. Objectif : image des lignes de rupture, des lignes de démarcation des vues et des coupes.

Ligne ouverte.Épaisseur de trait de s à 1,5 s. Objectif : représenter les positions des plans de coupe de coupes et de sections simples et complexes.

Notez que les lignes pointillées utilisées comme lignes centrales doivent se croiser avec de longs traits. Il est recommandé de remplacer la ligne pointillée utilisée comme ligne médiane d'un cercle d'un diamètre inférieur à 12 mm par une ligne fine et continue.

Polices de dessin

La taille de la police est déterminée par la hauteur des lettres majuscules. Les tailles de police suivantes sont définies : 2,5 ; 3,5 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14. La largeur d'une lettre est déterminée par rapport à la taille de la police ou par rapport à l'épaisseur du trait. d(Fig. 4).

La norme spécifie les types de polices suivants :

type A sans inclinaison ( j=h/14);

type A avec une inclinaison d'environ 75˚ ( j=h/14);

type B sans inclinaison ( d=h/10);

type B avec des pentes d'environ 75˚ ( d=h/10).

La forme et le dessin des chiffres arabes en police de type B avec une inclinaison sont illustrés à la Fig. 5.

La forme des lettres majuscules avec une inclinaison de l'alphabet russe (alphabet cyrillique) est représentée sur la Fig. 6. La largeur d’une lettre dépend non seulement de la taille de la police, mais également du design de la lettre elle-même.

La forme et le dessin des lettres minuscules de l'alphabet russe de type B avec inclinaison sont illustrés sur la Fig. 7.

VUES DU BÂTIMENT

Lignes directrices pour la mise en œuvre :

Les images d'objets doivent être réalisées en utilisant la méthode de projection rectangulaire. Dans ce cas, l'objet est supposé être situé entre l'observateur et le plan de projection correspondant (Fig. 9).

L'image sur le plan frontal des projections, plan 1, est prise dans le dessin comme vue principale (Fig. 10).

Les noms suivants des vues obtenues sur les principaux plans de projection sont établis ( principaux types , riz. 9 et 10) :

L'objet est positionné par rapport au plan frontal des projections P2 de manière à ce que l'image dessus donne l'idée la plus complète de la forme et de la taille de l'objet.

Toutes les vues (projections d'un objet) sont dans une connexion de projection (7 – lignes de communication (Fig. 9 et 10)). Dans ce cas, les noms des types ne doivent pas être inscrits sur les dessins. Si les vues d'en haut, de gauche, de droite, d'en bas, d'arrière sont décalées par rapport à l'image principale (représentée sur le plan frontal des projections), alors elles doivent être marquées sur le dessin avec une inscription de type « A » (Fig. 11). ).

La direction de la vue doit être indiquée par une flèche indiquée par une lettre majuscule (Fig. 12).

Tableau 4. Options pour la tâche « Construire des vues » :

Tableau 4 (suite)

Tableau 4 (suite)

Notion de surface

SURFACES

En géométrie descriptive, les surfaces sont considérées comme un ensemble de positions successives d'une ligne se déplaçant dans l'espace selon une certaine loi. Cette méthode de formation de surface est appelée cinématique.

Une ligne (courbe ou droite) se déplace dans l'espace selon une certaine loi et crée une surface. C'est ce qu'on appelle un générateur. Lors de la formation d'une surface, celle-ci peut rester inchangée ou changer de forme. La loi du mouvement de la génératrice est donnée sous la forme d'un ensemble de lignes et d'instructions sur la nature du mouvement de la génératrice. Ces lignes sont appelées guides.

En plus de la méthode cinématique, la surface peut être spécifiée

· analytiquement, c'est-à-dire décrit par une expression mathématique ;

· méthode filaire, utilisée lors de la définition de surfaces complexes ; le cadre d'une surface est un ensemble ordonné de points ou de lignes appartenant à la surface.

Pour définir une surface dans un dessin complexe, il suffit d'avoir sur elle de tels éléments de surface qui permettent de construire chacun de ses points. L’ensemble de ces éléments est appelé déterminant de la surface.

Le déterminant de surface se compose de deux parties :

· partie géométrique, comprenant des éléments géométriques permanents (points, lignes) qui participent à la formation de la surface ;

· la partie algorithmique, qui précise la loi de mouvement de la génératrice et la nature du changement de forme.

Sous forme symbolique, le déterminant de la surface F peut s'écrire sous la forme : F(Г)[A], où Г est la partie géométrique du déterminant, A est la partie algorithmique.

Pour isoler un déterminant à proximité d'une surface, il faut partir de la méthode cinématique de sa formation. Mais comme de nombreuses surfaces identiques peuvent être obtenues de différentes manières, elles auront des déterminants différents. Nous examinerons ci-dessous les surfaces les plus courantes conformément aux critères de classification adoptés au cours de la géométrie descriptive.

Pour définir une surface dans un dessin complexe, il suffit d'indiquer les projections non pas de l'ensemble des points et lignes appartenant à la surface, mais uniquement des figures géométriques qui font partie de son déterminant. Cette méthode de définition d'une surface vous permet de construire des projections de n'importe lequel de ses points. Spécifier une surface par projections de son déterminant n'apporte pas de clarté, ce qui rend le dessin difficile à lire. Pour améliorer la clarté, si possible, des lignes d'esquisse (contours) de la surface sont indiquées dans le dessin.

Lorsqu'une surface W est projetée parallèlement au plan de projection S, alors les lignes projetées tangentes à la surface W , former une surface cylindrique (Fig. 11.1). Ces lignes projetées touchent la surface W en des points formant une certaine ligne m, appelée ligne de contour.

La projection de la ligne de niveau m sur le plan S – m / est appelée le contour de la surface. Le contour de la surface sépare la projection de la surface du reste du plan de projection.

La ligne de contour de la surface est utilisée pour déterminer la visibilité des points par rapport au plan de projection. Ainsi, sur la Fig. 11.1, les projections des points sur la surface W situées à gauche du contour m sur le plan S seront visibles. Les projections des autres points de la surface seront invisibles.

Essais

Lors de la spécification de projeter un objet avec des bords incurvés, en plus de définir un ensemble de points, d'arêtes et de faces de l'objet de projection, il est nécessaire de définir un ensemble de contours pour ses bords incurvés.

Les contours d'une surface courbe sont des lignes sur cette surface courbe qui divisent cette surface en parties non visibles et parties visibles sur le plan de projection. Dans ce cas, nous parlons de la projection de la seule surface courbe considérée et l'éventuel ombrage de cette surface par d'autres surfaces de premier plan n'est pas pris en compte.

Les parties dans lesquelles une surface courbe est divisée en contours sont appelées compartiments.

La position des contours des faces curvilignes est déterminée par les paramètres de projection, les contours doivent donc être déterminés une fois la transition vers le système de coordonnées de vue terminée.

Déterminer le contour d’une surface courbe, dans le cas général, est une tâche relativement difficile. Par conséquent, en règle générale, une surface courbe donnée est approximée en utilisant l'une des surfaces courbes typiques, qui comprennent :

Surface cylindrique ;

Surface sphérique ;

Surface conique.

Envisageons de trouver des contours pour ces types de surfaces courbes.

Trouver croquis d'une surface sphérique illustré sur la fig. 6.6‑7.

Les désignations suivantes sont utilisées dans la figure :

O - centre de la sphère ;

O p – projection du centre de la sphère ;

GM – méridien principal d'une sphère donnée ;

Pl1 est un plan passant par le centre de la sphère, parallèle au plan de projection ;

X in , Y in , Z in – axes de coordonnées du système de coordonnées de la vue ;

X p , Y p – axes de coordonnées sur le plan de projection.

Pour trouver un élément sur la surface d'une sphère, il est nécessaire de tracer un plan passant par le centre de la sphère (pl1 sur la Fig. 6.6-7), parallèle au plan de projection. La ligne d'intersection de cette surface et de la sphère, qui a la forme d'un cercle, est appelée méridien principal (PM) de la surface sphérique. Ce méridien principal constitue le contour recherché.

La projection de cet essai sera un cercle de même rayon. Le centre de ce cercle est la projection du centre de la sphère d'origine sur le plan de projection (O p sur la Fig. 6.7-1).

Riz.6.7 ‑ 1

Pour déterminer contour d'une surface cylindrique, passant par l'axe d'un cylindre donné o 1 o 2 (Fig. 6.7-2) un plan Pl1 est tracé, perpendiculaire au plan de projection. Ensuite, le plan Pl2 est tracé passant par l'axe du cylindre, perpendiculaire au plan Pl1. Ses intersections avec la surface cylindrique forment deux lignes droites o ch 1 o ch 2 et o ch 3 o ch 4, qui sont les contours de la surface cylindrique. La projection de ces croquis sont des lignes droites o h 1p och 2p et o h 3p o h 4p illustrées sur la Fig. 6.7‑2.

Construction d'essais surface conique illustré sur la fig. 6.7‑3.

Les désignations suivantes sont utilisées sur la figure :

O - sommet du cône ;

OO 1 - axe du cône ;

X in , Y in , Z in – système de coordonnées des espèces ;

PP – plan de projection ;

X p , Y p , – système de coordonnées du plan de projection ;

Lp – lignes de projection ;

O 1 - centre d'une sphère inscrite dans un cône ;

O 2 – cercle tangent à la sphère inscrite, ayant un centre au point O 1 et la surface conique d'origine ;

O ch 1, O ch 1 – points situés sur les contours de la surface conique ;

O ch 1p, O ch 1p - points par lesquels passent les lignes, correspondant aux projections des contours de la surface conique.

La surface conique présente deux contours en forme de lignes droites. Il est évident que ces lignes passent par les sommets du cône - point O. Pour définir sans ambiguïté le contour, il faut donc trouver un point pour chaque contour.

Pour construire les contours d'une surface conique, effectuez les étapes suivantes.

Une sphère s'inscrit dans une surface conique donnée (par exemple, avec un centre au point O 1) et la tangente de cette sphère à la surface conique est déterminée. Dans le cas considéré sur la figure, la ligne de tangence aura la forme d'un cercle dont le centre est le point O 2 situé sur l'axe du cône.

Bien évidemment, de tous les points de la surface sphérique, les points appartenant aux contours ne peuvent être que des points appartenant au cercle tangent. En revanche, ces points doivent être situés sur la circonférence du premier méridien de la sphère inscrite.

Par conséquent, les points recherchés seront les points d’intersection du cercle du méridien origine de la sphère inscrite et du cercle tangent. Ces points peuvent être définis comme les points d'intersection du cercle tangent et du plan passant par le centre de la sphère inscrite O 1, parallèle au plan de projection. Ces points dans la figure ci-dessus sont O ch 1 et O ch 2.

Pour construire des projections de croquis, il suffit de trouver les points O ch 1p et O ch 2p, qui sont des projections des points trouvés O ch 1 et O ch 2 sur le plan de projection, et, à l'aide de ces points et du point O p de la projection du sommet du cône, construire deux droites correspondant aux projections des contours d'une surface conique donnée (voir Fig. 6.7-3).

Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie

Université technique d'État de Saratov

SURFACES

Lignes directrices pour accomplir la tâche 2

pour les étudiants de spécialités
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Approuvé

conseil de rédaction et d'édition

État de Saratov

université technique

Saratov 2003

INTRODUCTION

Dans la pratique du génie mécanique, les pièces à surfaces cylindriques, coniques, sphériques, toriques et hélicoïdales sont très répandues. Les formes techniques des produits sont souvent une combinaison de surfaces de révolution avec des axes coïncidents, se croisant et se croisant. Lors de la réalisation de dessins de tels produits, il devient nécessaire de représenter les lignes d'intersection des surfaces, également appelées lignes de transition.

Une façon courante de construire des lignes d'intersection consiste à trouver les points de cette ligne à l'aide de plans ou de surfaces de coupe auxiliaires, parfois appelés « intermédiaires ».

Ces lignes directrices traitent des cas généraux et particuliers de construction de lignes d'intersection de deux surfaces et des méthodes de construction d'aménagements de surface.

1. DISPOSITIONS DE BASE.

En géométrie descriptive, une surface est considérée comme un ensemble de positions successives d'une ligne se déplaçant dans l'espace, appelée génératrice.

Si l'une des lignes de surface est prise comme guide q et déplacez la génératrice le long de celle-ci selon une certaine loi je, nous obtenons une famille de générateurs de surface qui définissent la surface (Fig. 1).

Pour spécifier une surface dans un dessin, la notion de déterminant de surface a été introduite.

Un déterminant est un ensemble de conditions nécessaires et suffisantes pour définir de manière unique une surface.

Le déterminant est constitué d'une partie géométrique contenant des figures géométriques et la loi de formation des surfaces. Par exemple, la partie géométrique de la figure déterminante un(je,q) sur la figure 1 sont le générateur je et guider q, dont la position est précisée sur le dessin. Droit de l'Éducation : Direct je, se déplaçant dans l'espace, touche toujours q, restant parallèle à la direction S. Ces conditions définissent de manière unique une surface cylindrique. Pour n'importe quel point de l'espace, vous pouvez résoudre la question de savoir si sa surface appartient à (UNÎ un, dansÏ un).

Partie géométrique du déterminant d'une surface conique b(q,S) se compose d'un guide q et des sommets S(Fig.2). Loi de formation d'une surface conique : droite génératrice je q, passe toujours par le sommet S, formant un ensemble continu de lignes droites de la surface conique.

Les surfaces obtenues par mouvement continu sont dites cinématiques. De telles surfaces sont précises et régulières, par opposition à irrégulières ou aléatoires.

Les surfaces formées par le mouvement d’une ligne droite sont dites réglées, tandis que les surfaces formées par une ligne courbe sont dites non réglées.

Selon la loi du mouvement de la génératrice, on distingue les surfaces avec mouvement de translation de la génératrice, avec mouvement de rotation de la génératrice - surfaces de rotation, avec mouvement hélicoïdal de la génératrice - surfaces hélicoïdales.

Les surfaces peuvent être définies par un cadre. Un wireframe est une surface définie par un certain nombre de lignes appartenant à une telle surface (Fig. 3).

Connaissant les coordonnées des points d'intersection des lignes, vous pouvez construire un dessin de la surface du cadre.

1.2. Surfaces de rotation.

Parmi les surfaces courbes, les surfaces de rotation sont très répandues. Une surface de révolution est une surface obtenue en faisant tourner n'importe quelle génératrice autour d'une ligne droite fixe - l'axe de la surface.

Une surface de révolution peut être formée par la rotation d'une ligne courbe (sphère, tore, paraboloïde, ellipsoïde, hyperboloïde, etc.) et la rotation d'une droite (cylindre de révolution, cône de révolution, hyperboloïde de révolution à feuille unique ).

De la définition d'une surface de révolution il résulte que la partie géométrique du déterminant un(je,l) surfaces de révolution un doit être constitué d'un axe de rotation je et former je. Loi de formation de surface, rotation je autour je permet de construire un ensemble continu de positions séquentielles de la génératrice de la surface de révolution.

Parmi les nombreuses lignes qui peuvent être tracées sur les surfaces de révolution, les parallèles (équateur) et les méridiens (méridien principal) occupent une position particulière. L'utilisation de ces lignes simplifie grandement la solution des problèmes de position. Regardons ces lignes.

Chaque point de la génératrice je(Fig. 4) décrit autour de l'axe je un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Ce cercle peut être représenté comme la ligne d'intersection d'une surface avec un certain plan (b), perpendiculaire à l'axe de la surface de rotation. De tels cercles sont appelés parallèles (P). Le plus grand des parallèles s'appelle l'équateur, le plus petit - la gorge.

Riz. 5 Fig. 6

Sur la fig. 5ème parallèle RA points UN– équateur, parallèle VR points R.-surface de la gorge.

Si l'axe de la surface je est perpendiculaire au plan de projection, alors la parallèle est projetée sur ce plan par un cercle à la vraie valeur (P1A), et sur le plan de projection parallèle à l'axe - une ligne droite (P2A), égal au diamètre du parallèle. Dans ce cas, la solution des problèmes de position est simplifiée. En reliant n'importe quel point de la surface (par exemple AVEC) avec un parallèle, vous pouvez facilement trouver la position des projections du parallèle et le point sur celui-ci. Sur la fig. 5 par projection C2 points AVEC, appartenant à la surface un, en utilisant parallèle RS projection horizontale trouvée C1.

Le plan passant par l'axe de rotation est appelé méridional. Sur la fig. 4 est un avion g. La ligne d'intersection de la surface de rotation avec le plan méridional est appelée méridien de la surface. Le méridien situé dans un plan parallèle au plan des projections est appelé le méridien principal ( m0 sur la fig. 4.5). Dans cette position, le méridien est projeté sur le plan P2 sans distorsion, mais sur P1– droite parallèle à l’axe X12. Pour un cylindre et un cône, les méridiens sont des lignes droites.

Équateur P2(Fig. 6) et méridiens principaux (m) délimiter la surface en parties visibles et invisibles.

Sur la fig. 6 équateur de surface un obtenu en coupant la surface avec un rabot ré(P=une∩d), et le méridien principal est un avion g(m=une∩g).

1.3. Croquis de la surface.

La surface de projection entourant celle donnée coupe le plan de projection le long d'une ligne appelée contour de la surface de projection. Autrement dit, le contour de la surface est la ligne qui délimite la projection de la figure du reste de l’espace de dessin. Pour construire un essai, il est nécessaire de construire les générateurs de contours des limites extrêmes. Les générateurs de contour se trouvent dans un plan parallèle au plan de projection.

N'importe quel méridien de la surface de révolution peut être pris comme génératrice. La construction de l'essai sera simplifiée si l'on prend le méridien principal comme générateur, puisque le méridien principal est une courbe plate (ligne droite) parallèle au plan de projection et projetée sur celui-ci sans distorsion.

Exemple 1 : Cylindre un un(je,l). Construisez un croquis de la surface (Fig. 7).

Avec cette disposition des axes je le contour horizontal représente un cercle de rayon R(R=i1l1). Traçons par l'axe je plan méridien b||P2. Pour construire un contour frontal, on trouve des projections horizontales des contours des génératrices qui se situent dans le plan du méridien principal (l1',l1") et à partir d'eux nous déterminons les projections frontales l2' Et l2".

Projection frontale du méridien principal des contours du cylindre l2' Et l2". Un rectangle est le contour frontal d'une surface.

Exemple 2. Cône un donné par la partie géométrique du déterminant un(je,l). Construisez un croquis de la surface (Fig. 8).

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De la position des figures géométriques je, je sur la fig. 9, il est clair que la surface donnée est un hyperboloïde de révolution à feuille unique. Chaque point de la génératrice (A, B, C etc. ) lors d'une rotation autour d'un axe je décrit un cercle (parallèle). À je ^ P1à l'avion P1 les parallèles sont projetés sous forme de cercles de rayon égal à la vraie valeur du rayon parallèle. Point AVEC sur la génératrice je décrit le plus petit parallèle - le parallèle de la gorge. C'est la distance la plus courte entre l'axe de rotation et la génératrice je. Pour trouver RC tracer une perpendiculaire à partir de jeÀ l1. i1C1=RC– rayon de la gorge superficielle.

La projection horizontale d'un hyperboloïde sera constituée de trois cercles concentriques.

Le contour frontal de la surface doit avoir le contour de son méridien principal.

Traçons par l'axe je plan méridional principal b et construire des projections horizontales de parallèles de points A, B, C. Les parallèles coupent un plan b aux points A′, B′, C′ appartenant au méridien principal de la surface. Un ensemble continu de ces parallèles forme le cadre de la surface et les points d'intersection avec le plan. b– méridien principal m0 surfaces. Le méridien principal peut être construit comme le tracé des points d'intersection de parallèles avec un plan. b. La figure montre la construction d'un point AVEC Et D.

Exemple 4. Esquisse d'un cylindre incliné un(je,m). Générateur du cylindre je, en suivant le guide m, reste parallèle à lui-même. Le contour de la surface est montré sur la Fig. 10. Tout point de la surface d'un cylindre est déterminé en traçant une génératrice à travers lui (« reliant » le point à la génératrice). Sur la fig. 10a selon la projection frontale du point A2, appartenant à la surface, on retrouve sa projection horizontale A1.

1.4. Surfaces réglées avec un plan de parallélisme.

Des surfaces réglées avec un plan de parallélisme sont formées en déplaçant une génératrice rectiligne le long de deux guides. Dans ce cas, la génératrice dans toutes ses positions maintient le parallélisme par rapport à un certain plan donné, appelé plan de parallélisme.

Partie géométrique du déterminant un(moi,n,b) une telle surface un contient deux guides et un plan de parallélisme. Selon la forme des guides, ces surfaces sont divisées en : cylindres - les deux courbes de guidage ; conoïdes – un guide est droit, un autre est courbé ; plan oblique - les deux guides sont droits.

Exemple : construire un cadre de surface un(moi,n,b)(Fig. 10b).

Dans ce cas, le plan horizontal des projections est pris comme plan de parallélisme. Générer une ligne, couper la courbe m et direct n, dans n'importe quelle position reste parallèle au plan P1.

Tout plan parallèle au plan de parallélisme coupe ces surfaces en ligne droite. Par conséquent, si vous souhaitez construire une génératrice d’une surface, vous devez couper la surface avec un plan (par exemple b), parallèlement au plan de parallélisme, trouver les points d'intersection des lignes directrices de surface avec ce plan (b∩n = 1 ;b∩m = 2 ; riz. 10b) et tracez une ligne droite passant par ces points.

Pour construire le conoïde de la Fig. 10b, on peut se passer de plans de coupe auxiliaires, puisque les projections frontales des génératrices doivent être parallèles à l'axe X12. La densité des lignes de cadre sur la projection frontale est définie arbitrairement. Nous construisons des projections horizontales de générateurs donnés le long de la ligne de communication en utilisant la propriété d'appartenance.

Si vous avez besoin de trouver la projection d'un point UN, donné par la projection A2, il faut couper la surface avec un rabot g, en passant par le point UN et parallèle au plan de parallélisme (sur la figure 10b g//P1), trouver la génératrice comme ligne d'intersection du plan g avec surface un(une∩g=3, 4),à l'aide de la projection frontale 32, 42, trouver l'horizontale 31, 41 et déterminer dessus A1.

1.5. Construire le point de rencontre d'une ligne avec une surface.

Trouver le point de rencontre de la courbe je avec surface une(P,S).

Solution 1. Conclure la courbe je(Fig. 11) dans la surface de projection auxiliaire b^P1. Projection b1 coïncide avec la projection l1. 2. Construire une ligne d'intersection UN surface α avec surface b′, (αÇ b = e). Projection horizontale de cette ligne a1 connu, cela coïncide avec b1. Projection horizontale a1 construire une projection frontale a2(Fig. 1 Déterminez le point souhaité à l'intersection de la courbe je avec surface une..K=jeÇ un il y a un point de rendez-vous je Et un. D'un côté je Et UN appartenir b Et jeÇ a = k. D'autre part UNÌ un, ainsi ÀÌ α , c'est À il y a des points de rencontre je avec surface α .

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1.6. Construire une ligne d'intersection de surfaces.

Lors de la résolution du problème de la construction d'une ligne d'intersection d'une surface avec une autre, la méthode des sections est utilisée - la principale méthode de résolution des problèmes de position. Dans ce cas, les surfaces données sont disséquées par des plans auxiliaires ou des surfaces courbes (par exemple des sphères).

Les surfaces de coupe auxiliaires sont parfois appelées « intermédiaires ».

1.5.1. Cas général.

Dans le cas général, pour résoudre le problème de détermination de la ligne d'intersection de deux surfaces, on peut spécifier une famille de générateurs sur l'une des surfaces (Fig. 12), trouver le point de rencontre de ces générateurs avec la deuxième surface à l'aide de l'outil algorithme pour résoudre le problème de la Fig. 11, puis tracez les points de rendez-vous.

En utilisant cette méthode pour construire des lignes d’intersection de deux surfaces courbes, nous pouvons utiliser des plans auxiliaires ou des surfaces courbes comme « intermédiaires » sécants.

Si possible, vous devez choisir des surfaces auxiliaires qui, lorsqu'elles se croisent avec celles données, donnent des lignes faciles à construire (lignes droites ou cercles).

1.5.2. Les axes des surfaces de rotation coïncident
(surfaces coaxiales).

Sur la fig. 13 surfaces un Et b spécifié par un axe commun je et méridiens principaux m0m0'.

Les principaux méridiens se croisent au point UNE(B). Point UNE(B) l'intersection des méridiens lors de la rotation autour d'un axe décrira un parallèle R., qui appartiendra aux deux surfaces, sera donc leur ligne d’interception.

Ainsi, deux surfaces de révolution coaxiales se coupent selon des parallèles qui décrivent les points d'intersection de leurs méridiens. Sur la fig. 13 axes de surface sont parallèles P2. Sur le plan de projection auquel les axes des surfaces sont parallèles, la ligne d'intersection P2 une ligne droite est projetée dont la position est déterminée par les points d'intersection des méridiens principaux UN Et DANS.

1.5.3. Méthode du plan de coupe.

Dans le cas où les axes des surfaces de révolution sont parallèles, les constructions les plus simples sont obtenues en utilisant des plans de coupe comme intermédiaires. Dans ce cas, les plans de coupe auxiliaires sont sélectionnés de manière à couper les deux surfaces le long des cercles.

Sur la fig. 14 sont donnés par des croquis de la projection de deux surfaces de révolution α Et b, leurs axes je Et j parallèle. Dans ce cas, l'utilisation de plans de coupe perpendiculaires aux axes des surfaces apporte une solution simple au problème. Les lignes d'intersection des surfaces résultantes seront des parallèles dont les projections frontales sont des lignes droites égales au diamètre du parallèle, et les projections horizontales sont des cercles grandeur nature.

Lors de la construction de points de lignes d'intersection, vous devez d'abord trouver des points de référence et caractéristiques. Les points de référence sont ceux qui se situent sur le méridien principal (3) et l'équateur (4, 5). La recherche de ces points n'est pas associée à des constructions supplémentaires et repose sur l'utilisation de propriétés d'appartenance.

Spécifié sur la fig. 14 surfaces ont un plan commun du méridien principal, leurs axes ^ P1, les bases se trouvent dans l'avion P1. Les points de référence de la ligne d'intersection sont le point 3 de l'intersection des méridiens principaux et les points 4 et 5 de l'intersection des parallèles des bases des surfaces. En utilisant les propriétés d'appartenance, en utilisant les projections connues 32, 41 et 51, on trouve 31, 42 et 52.

Nous trouvons les points d'intersection restants à l'aide de plans de coupe auxiliaires. Découpons les surfaces α Et b plan horizontal g. Parce que g^ axes je Et j, alors les surfaces α Et b croiser un avion g, selon des parallèles Râ Et R.b. Et puisque les axes je Et j^P1, alors ces parallèles sont projetés sur P1 cercles Râ, R.bà la vraie valeur, et à P2 droit P2a, P2bégal au diamètre du parallèle.

Les points d'intersection des parallèles 1 et 2 sont ceux souhaités. En effet, d'un côté du parallèle Râ Et R.b appartiennent au même plan g et se croisent aux points 2 et 1. D'autre part, Râ Et R.b appartiennent à différentes surfaces α Et b. Les points 2 et 1 appartiennent donc simultanément aux surfaces UN Et b, c'est-à-dire que ce sont les points de la ligne d'intersection des surfaces. Les projections horizontales 21 et 11 de ces points sont à l'intersection P1a, P1b, et nous construisons ceux de devant en utilisant la propriété d'adhésion.

En répétant cette technique, nous obtenons le nombre de points requis. Les plans de coupe sont répartis uniformément dans l'intervalle allant du point de montée la plus élevée de la courbe 32 jusqu'à la figure principale.

Le nombre de points de la ligne d'intersection, et donc des plans de coupe, est déterminé par la précision requise des constructions graphiques. Les projections de la ligne d'intersection sont construites comme les contours des projections de ses points. Sur la fig. 14 lignes aux points 4, 1, 3, 2, 5.

L'exemple considéré de résolution de problèmes s'appelle la méthode des plans de coupe.

1.5.4. Méthode des sphères.

Cette technique est utilisée lorsque les axes des surfaces de révolution se croisent. Il est basé sur celui présenté dans la Fig. 13 cas d'intersection de surfaces coaxiales.

Sur la fig. 15 montre un cône et un cylindre avec des axes sécants je Et j. Leurs axes sont parallèles au plan P2. Le plan du méridien principal est commun aux deux surfaces.

) . La construction est simplifiée du fait que le plan du méridien principal est commun. Cercles le long desquels une sphère coupe simultanément deux surfaces ( Ra, R.bPb"), est projeté sur l'avion P2 sous forme de lignes droites ( P2a, P2b, P2b") égal aux diamètres des parallèles.

L'intersection de ces cercles produit des points (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), communs aux deux surfaces et appartenant donc à la ligne d'intersection. En effet des parallèles Ra, R.b, Pb", d'une part, appartiennent à une surface - la sphère et ont des points communs (5, 6, 7, 8), d'autre part, ils appartiennent à des surfaces différentes UN Et b. C'est-à-dire que les points 5, 6, 7, 8 appartiennent aux deux surfaces ou à la ligne d'intersection des surfaces.

Pour obtenir suffisamment de points pour tracer la ligne d'intersection souhaitée, plusieurs sphères sont dessinées.

Rayon de la plus grande sphère ( Rmax) est égale à la distance du centre O2 jusqu'au point d'intersection le plus éloigné des génératrices de contour (en l'occurrence les points 32 et 42, Rmax= 0232=0242. Dans ce cas, les deux lignes d'intersection des surfaces avec la sphère ( Râ Et R.b) se croiseront aux points 3 et 4 avec un plus grand rayon de la sphère, il n'y aura pas d'intersection.

Rayon de la plus petite sphère ( Rmin) est égale à la distance du centre 02 au générateur de contour le plus éloigné ( Rmin=02A2). Dans ce cas, la sphère touchera le cône le long de la circonférence, et le cylindre se coupera deux fois et donnera les points 5, 6, 7, 8. Avec un rayon de sphère plus petit, il n'y aura pas d'intersection avec le cône.

Il ne reste plus qu'à tracer des lignes courbes d'intersection de surfaces passant par les points 1, 5, 4, 6, 1 et 2, 7, 3, 8, 2.

Sur la fig. 15 toutes les constructions sont réalisées sur une seule saillie. Nombre de sphères sécantes, avec des rayons allant de Rmaxà Rmin, dépend de la précision de construction requise. La projection horizontale de la ligne d'intersection est construite le long des lignes frontales 1, 5, 4, 6, 1 et 2, 7, 3, 8, 2 en utilisant la propriété d'appartenance.

1.5.5. Application de la méthode du plan de coupe
dans le cas de surfaces réglées avec un plan de parallélisme.

Deux surfaces sont spécifiées par la partie géométrique du déterminant : un (je,je) Et b(moi,n, P1). Il est nécessaire de tracer les contours des surfaces et de trouver la ligne de leur intersection (Fig. 16).

Solution : 1. Construire un croquis de la surface un, n de la partie géométrique du déterminant il est clair que la surface un- sphère. Ses contours horizontaux et frontaux sont des cercles de rayon R.. 2. Nous construisons le cadre de la surface réglée. Puisque le plan est parallèle P1, alors les projections frontales des génératrices sont parallèles à l'axe X12. Après avoir défini un cadre d'un certain plan de lignes sur la projection frontale (il y a quatre lignes sur la Fig. 16), nous construisons des projections horizontales de ces générateurs. 3. Pour construire une ligne d'intersection de surfaces, on utilise des plans coupants comme intermédiaires. La position des plans de coupe doit être choisie de telle sorte qu'ils coupent les surfaces données selon des lignes faciles à construire (droites ou cercles). Cette condition est remplie par les plans horizontaux. Les plans horizontaux sont parallèles au plan de parallélisme du conoïde ( P1), ils traverseront donc le conoïde en lignes droites. De tels plans coupent la sphère le long de parallèles.

,UN" sphère le long du parallèle R.un. Projection frontale du parallèle ( P2un) est une droite égale au diamètre du parallèle, et la projection horizontale ( P1un) - cercle. Sur une projection horizontale à l'intersection d'un parallèle P1un et la génératrice 1, 11" est déterminée par la projection de deux points de la ligne d'intersection de la surface UN Et b. Basé sur des projections horizontales de points A1 Et B1 nous construisons leurs projections frontales. En répétant l'opération, on obtient une série de points de la ligne d'intersection dont le contour donnera la ligne d'intersection.

L'équateur et le méridien principal de la sphère délimitent la ligne en parties visibles et invisibles.

1.6.Construction des aménagements.

Un développement d'une surface est une figure obtenue en combinant la surface en cours de développement avec un plan.

Les surfaces développables sont celles qui s'alignent avec le plan sans cassures ni plis.

Les surfaces développables incluent les surfaces à facettes et les surfaces courbes incluent uniquement les surfaces cylindriques, coniques et torses.

Les développements sont divisés en exacts (développement de surfaces à facettes), approximatifs (développement d'un cylindre, d'un cône, d'un torse) et conditionnels (développement d'une sphère et d'autres surfaces non développables).

1.6.1. Développement de surfaces facettées.

Effectuez un développement de la pyramide spécifiée par les projections de la Fig. 17.

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La méthode de roulement est applicable si les bords du prisme sont parallèles au plan de projection et que la taille réelle des bords de l'une des bases est connue (Fig. 18).

Le déroulement d'une figure représente le processus de combinaison des faces d'un prisme avec un plan, dans lequel la véritable apparence de chaque face est obtenue en tournant autour de son bord.

Lors du roulement, les points A, B, C se déplacent le long d'arcs de cercle, qui sont représentés sur le plan P2 par des lignes droites, perpendiculaires aux projections des bords du prisme. Les sommets du développement sont construits comme suit : à partir du point A2 de rayon R1=A1B1 (vraie longueur AB), on fait une entaille sur la droite B2B0, perpendiculaire à B2B2¢. A partir du point construit B0 de rayon R2=B1C1, une entaille est réalisée sur la droite C2C0^C2C2¢. Puis une entaille à partir du point C0 de rayon R3=A1C1 sur la droite A2A0^A2A2¢. Nous obtenons le point A0. Les points A2B0C0A0 sont reliés par des lignes droites. À partir des points A0B0C0, nous traçons des lignes parallèles aux arêtes (A2 A2¢), en traçant dessus les vraies valeurs des arêtes latérales A2A¢, B2B¢, C2C¢. Nous connectons les points A¢B¢C¢A¢ avec des segments de droite.

1.6.2. Développement de surfaces courbes.

Théoriquement, il est possible d'obtenir un développement précis, c'est-à-dire un développement qui répète exactement les dimensions de la surface à développer. En pratique, lors de la réalisation de dessins, vous devez accepter une solution approximative au problème, si vous supposez que les éléments de surface individuels sont approximés par des sections planes. Dans de telles conditions, réaliser des développements approximatifs d'un cylindre et d'un cône se réduit à construire des développements des prismes et des pyramides inscrits (ou décrits) dans ceux-ci.

La figure 19 montre un exemple d'exécution d'un balayage conique.

Nous insérons une pyramide polyédrique dans le cône. A partir du point S on trace un arc de rayon égal à la vraie valeur de la génératrice du cône (S212) et on trace les cordes 1121 sur l'arc ; 2, remplaçant les arcs 1121;2

Pour trouver un point quelconque du développement, il faut tracer une génératrice passant par un point donné (A), trouver l'emplacement de cette génératrice sur le développement (2B=21B1), déterminer la vraie valeur du segment SA ou AB et tracer il sur la génératrice sur le développement. Toute ligne sur une surface est constituée d'un ensemble continu de points. Après avoir trouvé le nombre requis de points sur le scan en utilisant la méthode décrite pour le point A et en traçant ces points, nous obtiendrons une ligne sur le scan. Lors de la construction d'aménagements à surfaces cylindriques inclinées, les méthodes de section normale et de laminage sont applicables.

Toute surface non développable peut également être approchée par une surface polyédrique avec une précision donnée. Mais le développement d'une telle surface ne sera pas une figure plane et continue, puisque ces surfaces ne se développent pas sans cassures et sans plis.

1.6.3. Construire un plan tangent
à la surface en un point donné.

Pour construire un plan tangent à la surface en un point donné (point A sur la Fig. 20), il faut tracer deux courbes arbitraires a et b sur la surface passant par le point A, puis au point A construire deux tangentes t et t¢ aux courbes a et b. Les tangentes détermineront la position du plan tangent a à la surface b.

Sur la figure 21, la surface de rotation a est construite. Il faut tracer un plan tangent au point A, appartenant à a.

Pour résoudre le problème, tracez une parallèle a passant par le point A et construisez une tangente t au point A (t1; t2).

Prenons le méridien comme deuxième courbe passant par le point A. Il n'est pas représenté sur la figure 21. La solution sera simplifiée si le méridien, avec le point A, tourne autour de l'axe jusqu'à ce qu'il coïncide avec le méridien principal. Dans ce cas, le point A prendra la position A¢. Puis, par le point A¢, tracez la tangente t¢¢ au méridien principal jusqu'à ce qu'il croise l'axe au point B. Après avoir ramené le méridien à sa position précédente, tracez la tangente t¢ à ce méridien passant par le point A et le point fixe B sur l'axe de rotation (t1¢;t2 ¢). Les tangentes t et t¢ définiront le plan tangent.

Lors du dessin d'un plan tangent à une surface réglée, l'une des tangentes définissant le plan tangent peut être considérée comme la génératrice t de la surface (Fig. 22). Comme deuxième, vous pouvez prendre la tangente t¢ au parallèle (s'il s'agit d'un cylindre ou d'un cône) ou la tangente à n'importe quelle courbe passant par un point donné d'un plan conoïde, cylindrique ou oblique. Une courbe peut être facilement construite en coupant la surface avec un plan saillant passant par un point donné.

2.1. Objectif du travail :

Renforcez le matériel du programme dans les sections « Surface » et « Développements » et acquérez des compétences dans la résolution de problèmes de construction d'esquisses, de lignes d'intersection et de développements de surfaces.

2.2. Exercice:

Le dessin contient deux surfaces qui se croisent. Les surfaces sont définies par des projections coordonnées de la partie géométrique du déterminant.

Nécessaire:

A l'aide des coordonnées de la partie géométrique du déterminant, tracer les projections du déterminant sur le dessin, relier les points nécessaires pour obtenir les figures géométriques du déterminant ;

Construire des croquis de surfaces données à partir des projections de la partie géométrique du déterminant ;

Construire une ligne d'intersection de surfaces ;

Construire un développement d'une des surfaces en traçant une ligne d'intersection (selon les directives de l'enseignant) ;

Tracer un plan tangent à l'une des surfaces au point indiqué par l'enseignant ;

Faites un tracé de surfaces qui se croisent.

Le travail est réalisé d'abord sur papier millimétré A2, puis sur papier Whatman A2. Le dessin doit être établi conformément à GOST ESKD. L'inscription principale est faite selon le formulaire 1.

Lors de l'exécution du travail, des conférences, du matériel pratique et de la littérature recommandée sont utilisés.

Les options pour les tâches sont données en annexe.

2.3. L'ordre de la tâche.

L'étudiant reçoit une version du devoir correspondant au numéro figurant sur la liste dans le journal de groupe et travaille sur le devoir pendant quatre semaines.

Une semaine après la réception du devoir, l'élève présente à l'enseignant les constructions de la partie géométrique des déterminants et les contours des surfaces données, réalisées sur papier millimétré au format A2.

Au bout de deux semaines, un dessin est présenté, complété par la construction d'une ligne d'intersection de surfaces et d'un plan tangent.

Au cours de la troisième semaine, le travail sur papier millimétré A4 est complété en construisant un développement d'une des surfaces et en traçant dessus la ligne d'intersection des surfaces.

Au cours de la quatrième semaine, une maquette des surfaces qui se croisent est réalisée.

Le travail à réaliser est présenté à l'enseignant qui dirige le cours pratique. Sur la base de la construction réalisée sur papier millimétré, l’assimilation par l’étudiant de la matière étudiée est vérifiée.

Lors de la résolution du problème de position consistant à construire une ligne d'intersection de surfaces, la méthode de section est utilisée. Des plans ou sphères coupantes sont choisis comme « intermédiaires ». Il convient de prêter attention aux cas particuliers évoqués ci-dessus (la méthode des plans de coupe et la méthode des sphères), qui apportent la solution la plus simple au problème. Si nécessaire, utilisez une combinaison de ces méthodes.

Lors de la réalisation d'un aménagement de surface, il est nécessaire d'étudier les constructions réalisées par la méthode de section normale et la méthode de laminage, ainsi que les méthodes de construction d'aménagements approximatifs et conditionnels, et d'utiliser la méthode la plus rationnelle dans le travail.

Lorsqu'on trace un plan tangent à une surface en un point donné, il suffit de construire deux lignes courbes sur la surface passant par le point et de tracer des tangentes à ces lignes en un point donné, en se rappelant qu'une tangente à une ligne courbe plate est projetée par une tangente à sa projection.

LITTÉRATURE.

1. Géométrie Vinitsky. M. : Ecole Supérieure, 1975.

2. Géométrie de Gordon. M. : Nauka, 1975.

3. Surfaces. Consignes méthodiques. /Compilé, / Saratov, SSTU, 1990.

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