Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. De plus, un parallélogramme a les propriétés suivantes : les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux et la somme de tous les angles est de 360 ​​degrés.

Tu auras besoin de

• Connaissance de la géométrie.

Instructions

1. Imaginons que l'un des angles du parallélogramme soit donné et soit égal à A. Trouvons les valeurs des 3 autres. Selon la propriété d'un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. Cela signifie que l'angle opposé à celui donné est égal à celui donné et que sa valeur est égale à A.

2. Trouvons les deux coins restants. Étant donné que la somme de tous les angles d'un parallélogramme est égale à 360 degrés et que les angles opposés sont égaux entre eux, il s'avère que l'angle appartenant au même côté que celui donné est égal à (360 - 2A)/2. Eh bien, soit après la réforme, nous obtenons 180 - A. Ainsi, dans un parallélogramme, deux angles sont égaux à A, et les deux autres angles sont égaux à 180 - A.

Note!
La valeur d'un angle ne peut pas dépasser 180 degrés. Les valeurs d'angle obtenues peuvent être facilement vérifiées. Pour cela, additionnez-les et, si la somme est de 360, tout est calculé correctement.

Conseil utile
Un rectangle et un losange sont des cas particuliers de parallélogramme ; par conséquent, toutes les propriétés et méthodes de calcul des angles s'appliquent à eux.

Problème 1. L'un des angles du parallélogramme est de 65°. Trouvez les angles restants du parallélogramme.

∠C =∠A = 65° comme angles opposés d'un parallélogramme.

∠A +∠B = 180° comme angles adjacents à un côté d'un parallélogramme.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° comme angles opposés d'un parallélogramme.

Réponse : ∠A =∠C = 65° ; ∠B =∠D = 115°.

Tâche 2. La somme des deux angles d'un parallélogramme est de 220°. Trouvez les angles du parallélogramme.

Puisqu'un parallélogramme a 2 angles aigus égaux et 2 angles obtus égaux, on nous donne la somme de deux angles obtus, c'est-à-dire ∠B +∠D = 220°. Alors ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° comme angles adjacents à un côté d'un parallélogramme, donc ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Alors ∠C =∠A = 70°.

Réponse : ∠A =∠C = 70° ; ∠B =∠D = 110°.

Tâche 3. L'un des angles d'un parallélogramme est 3 fois plus grand que l'autre. Trouvez les angles du parallélogramme.

Soit ∠A =x. Alors ∠B = 3x. Sachant que la somme des angles d’un parallélogramme adjacent à l’un de ses côtés est de 180°, nous allons créer une équation.

x = 180 : 4;

On obtient : ∠A = x = 45°, et ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc :

∠A =∠C = 45° ; ∠B =∠D = 135°.

Réponse : ∠A =∠C = 45° ; ∠B =∠D = 135°.

Tâche 4. Montrer que si un quadrilatère a deux côtés parallèles et égaux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve.

Traçons la diagonale BD et considérons Δ ADB et Δ CBD.

AD = BC par condition. Le côté BD est commun. ∠1 = ∠2 comme interne transversalement avec des lignes parallèles (par condition) AD et BC et sécantes BD. Donc Δ ADB = Δ CBD sur deux côtés et l'angle entre eux (1er signe d'égalité des triangles). Dans les triangles congrus, les angles correspondants sont égaux, ce qui signifie ∠3 =∠4. Et ces angles sont des angles internes croisés aux droites AB et CD et sécantes BD. Cela implique que les droites AB et CD sont parallèles. Ainsi, dans ce quadrilatère ABCD, les côtés opposés sont parallèles deux à deux, donc par définition ABCD est un parallélogramme, ce qu'il fallait prouver.

Tâche 5. Les deux côtés d'un parallélogramme sont dans le rapport 2 : 5, et le périmètre est de 3,5 M. Trouvez les côtés du parallélogramme.

∙ (AB + AD).

Notons une partie par x. alors AB = 2x, AD = 5x mètres. Sachant que le périmètre du parallélogramme est de 3,5 m, on crée l'équation :

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5 ;

2 ∙ 7x = 3,5 ;

x = 3,5 : 14;

Une partie mesure 0,25 m. Alors AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m ; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Examen.

Périmètre du parallélogramme P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Puisque les côtés opposés du parallélogramme sont égaux, alors CD = AB = 0,25 m ; BC = AD = 1,25 m.

Réponse : CD = AB = 0,25 m ; BC = AD = 1,25 m.

Tout comme en géométrie euclidienne, un point et une droite sont les éléments principaux de la théorie des plans, de même un parallélogramme est l'une des figures clés des quadrilatères convexes. De là, comme les fils d'une boule, découlent les concepts de « rectangle », « carré », « losange » et autres grandeurs géométriques.

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Définition du parallélogramme

quadrilatère convexe, constitué de segments dont chaque paire est parallèle, est connu en géométrie sous le nom de parallélogramme.

L'apparence d'un parallélogramme classique est représentée par un quadrilatère ABCD. Les côtés sont appelés bases (AB, BC, CD et AD), la perpendiculaire tirée de n'importe quel sommet jusqu'au côté opposé à ce sommet est appelée hauteur (BE et BF), les droites AC et BD sont appelées diagonales.

Attention! Le carré, le losange et le rectangle sont des cas particuliers de parallélogramme.

Côtés et angles : caractéristiques de la relation

Les propriétés clés, dans l’ensemble, prédéterminé par la désignation elle-même, ils sont prouvés par le théorème. Ces caractéristiques sont les suivantes :

1. Les côtés opposés sont identiques deux à deux.
2. Les angles opposés sont égaux deux à deux.

Preuve : Considérons ∆ABC et ∆ADC, qui sont obtenus en divisant le quadrilatère ABCD par la droite AC. ∠BCA=∠CAD et ∠BAC=∠ACD, puisque AC leur est commun ( angles verticaux pour BC||AD et AB||CD, respectivement). Il en résulte : ∆ABC = ∆ADC (le deuxième signe d'égalité des triangles).

Les segments AB et BC dans ∆ABC correspondent deux à deux aux droites CD et AD dans ∆ADC, ce qui signifie qu'ils sont identiques : AB = CD, BC = AD. Ainsi, ∠B correspond à ∠D et ils sont égaux. Puisque ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, qui sont également identiques par paire, alors ∠A = ∠C. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des diagonales d'une figure

Caractéristique principale de ces droites d'un parallélogramme : le point d'intersection les divise en deux.

Preuve : Soit i.e. le point d'intersection des diagonales AC et BD de la figure ABCD. Ils forment deux triangles proportionnés - ∆ABE et ∆CDE.

AB=CD puisqu’ils sont opposés. D'après les droites et la sécante, ∠ABE = ∠CDE et ∠BAE = ∠DCE.

D'après le deuxième critère d'égalité, ∆ABE = ∆CDE. Cela signifie que les éléments ∆ABE et ∆CDE : AE = CE, BE = DE et en même temps ils sont des parties proportionnelles de AC et BD. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des coins adjacents

Les côtés adjacents ont une somme d'angles égale à 180°, puisqu'ils se trouvent du même côté de lignes parallèles et transversales. Pour le quadrilatère ABCD :

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propriétés de la bissectrice :

1. , abaissés d'un côté, sont perpendiculaires ;
2. les sommets opposés ont des bissectrices parallèles ;
3. le triangle obtenu en traçant une bissectrice sera isocèle.

Détermination des traits caractéristiques d'un parallélogramme à l'aide du théorème

Les caractéristiques de cette figure découlent de son théorème principal, qui énonce ce qui suit : un quadrilatère est considéré comme un parallélogramme dans le cas où ses diagonales se croisent, et ce point les divise en segments égaux.

Preuve : que les droites AC et BD du quadrilatère ABCD se coupent en i.e. Puisque ∠AED = ∠BEC, et AE+CE=AC BE+DE=BD, alors ∆AED = ∆BEC (par le premier critère d'égalité des triangles). Autrement dit, ∠EAD = ∠BCE. Ce sont aussi les angles transversaux internes de la sécante AC pour les droites AD et BC. Ainsi, par définition du parallélisme - AD || AVANT JC. Une propriété similaire des lignes BC et CD est également dérivée. Le théorème a été prouvé.

Calculer l'aire d'une figure

Aire de cette figure trouvé par plusieurs méthodes l'une des plus simples : multiplier la hauteur et la base sur laquelle il est dessiné.

Preuve : tracez les perpendiculaires BE et CF à partir des sommets B et C. ∆ABE et ∆DCF sont égaux, puisque AB = CD et BE = CF. ABCD est de taille égale au rectangle EBCF, car ils sont constitués de chiffres proportionnés : S ABE et S EBCD, ainsi que S DCF et S EBCD. Il s'ensuit que la zone de ceci figure géométrique se situe de la même manière qu'un rectangle :

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pour déterminer la formule générale de l'aire d'un parallélogramme, notons la hauteur comme hb, et le côté - b. Respectivement:

Autres moyens de trouver une zone

Calculs de superficie passant par les côtés du parallélogramme et l'angle, qu'ils forment, est la deuxième méthode connue.

,

Spr-ma - zone ;

a et b sont ses côtés

α est l'angle entre les segments a et b.

Cette méthode est pratiquement basée sur la première, mais elle est inconnue. coupe toujours triangle rectangle, dont les paramètres sont trouvés par des identités trigonométriques, c'est-à-dire . En transformant la relation, on obtient . Dans l'équation de la première méthode, on remplace la hauteur par ce produit et obtenons une preuve de la validité de cette formule.

A travers les diagonales d'un parallélogramme et l'angle, qu'ils créent lorsqu'ils se croisent, vous pouvez également trouver la zone.

Preuve : AC et BD se croisent pour former quatre triangles : ABE, BEC, CDE et AED. Leur somme est égale à l'aire de ce quadrilatère.

L'aire de chacun de ces ∆ peut être trouvée par l'expression , où a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Depuis , les calculs utilisent une seule valeur sinusoïdale. C'est . Puisque AE+CE=AC= d 1 et BE+DE=BD= d 2, la formule d'aire se réduit à :

.

Application en algèbre vectorielle

Les caractéristiques des parties constitutives de ce quadrilatère ont trouvé une application en algèbre vectorielle, à savoir l'addition de deux vecteurs. La règle du parallélogramme stipule que si on donne des vecteursEtPassont colinéaires, alors leur somme sera égale à la diagonale de cette figure dont les bases correspondent à ces vecteurs.

Preuve : à partir d'un début arbitrairement choisi - c'est-à-dire - construire des vecteurs et . Ensuite, nous construisons un parallélogramme OASV, où les segments OA et OB sont des côtés. Ainsi, le système d'exploitation repose sur le vecteur ou la somme.

Formules de calcul des paramètres d'un parallélogramme

Les identités sont données dans les conditions suivantes :

1. a et b, α - côtés et angle entre eux ;
2. d 1 et d 2, γ - diagonales et au point de leur intersection ;
3. h a et h b - hauteurs abaissées sur les côtés a et b ;

Paramètre	Formule
Trouver les côtés
le long des diagonales et du cosinus de l'angle qui les sépare
le long des diagonales et des côtés
à travers la hauteur et le sommet opposé
Trouver la longueur des diagonales
sur les côtés et la taille du sommet entre eux

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Un parallélogramme possède toutes les propriétés des quadrilatères, mais en plus il possède aussi ses propres propriétés. caractéristiques distinctives. Les connaissant, nous pouvons facilement trouver à la fois les côtés et les angles d'un parallélogramme.

Propriétés d'un parallélogramme

1. La somme des angles dans tout parallélogramme, comme dans tout quadrilatère, est de 360°.
2. Les lignes médianes d'un parallélogramme et ses diagonales se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci. Ce point est généralement appelé centre de symétrie du parallélogramme.
3. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont toujours égaux.
4. De plus, cette figure a toujours des angles opposés égaux.
5. La somme des angles adjacents à l’un des côtés d’un parallélogramme est toujours de 180°.
6. La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés de ses deux côtés adjacents. Ceci s'exprime par la formule :
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), où d 1 et d 2 sont des diagonales, a et b sont des côtés adjacents.
7. Le cosinus d'un angle obtus est toujours inférieur à zéro.

Comment trouver les angles d'un parallélogramme donné en utilisant ces propriétés en pratique ? Et quelles autres formules peuvent nous y aider ? Examinons les tâches spécifiques qui nécessitent : trouver les angles d'un parallélogramme.

Trouver les angles d'un parallélogramme

Cas 1. La mesure d’un angle obtus est connue, il faut trouver un angle aigu.

Exemple : Dans le parallélogramme ABCD, l'angle A est de 120°. Trouvez la mesure des angles restants.

Solution: En utilisant la propriété n°5, nous pouvons trouver la mesure de l'angle B adjacent à l'angle donné dans la tâche. Il sera égal à :

• 180°-120°= 60°

Et maintenant, en utilisant la propriété n°4, on détermine que les deux angles restants C et D sont opposés aux angles que nous avons déjà trouvés. L'angle C est opposé à l'angle A, l'angle D est opposé à l'angle B. Ils sont donc égaux deux à deux.

• Réponse : B = 60°, C = 120°, D=60°

Cas 2. Les longueurs des côtés et des diagonales sont connues

Dans ce cas, nous devons utiliser le théorème du cosinus.

Nous pouvons d'abord utiliser la formule pour calculer le cosinus de l'angle dont nous avons besoin, puis utiliser un tableau spécial pour trouver à quoi l'angle lui-même est égal.

Pour angle aigu la formule est :

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), où
• a est l'angle aigu souhaité,
• A et B sont les côtés du parallélogramme,
• d - diagonale plus petite

Pour un angle obtus, la formule change légèrement :

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), où
• ß est un angle obtus,
• A et B sont des côtés
• D - grande diagonale

Exemple : vous devez trouver un angle aigu d'un parallélogramme dont les côtés mesurent 6 cm et 3 cm et la plus petite diagonale mesure 5,2 cm

Remplacez les valeurs dans la formule pour trouver un angle aigu :

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. D'après le tableau, nous constatons que l'angle souhaité est de 60°.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur des lignes parallèles (Fig. 1).

Théorème 1. Sur les propriétés des côtés et des angles d'un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux et la somme des angles adjacents à un côté du parallélogramme est de 180°.

Preuve. Dans ce parallélogramme ABCD, nous traçons une diagonale AC et obtenons deux triangles ABC et ADC (Fig. 2).

Ces triangles sont égaux, puisque ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (angles transversaux pour les lignes parallèles) et le côté AC est commun. De l'égalité Δ ABC = Δ ADC il résulte que AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. La somme des angles adjacents à un côté, par exemple les angles A et D, est égale à 180° comme un côté pour les lignes parallèles. Le théorème a été prouvé.

Commentaire. L'égalité des côtés opposés d'un parallélogramme signifie que les segments de parallèles coupés par les parallèles sont égaux.

Corollaire 1. Si deux droites sont parallèles, alors tous les points d’une droite sont à la même distance de l’autre droite.

Preuve. En effet, soit un || b (Fig. 3).

Traçons les perpendiculaires BA et CD à la droite a à partir de deux points B et C de la droite b. Depuis AB || CD, alors la figure ABCD est un parallélogramme, et donc AB = CD.

La distance entre deux lignes parallèles est la distance entre un point arbitraire de l’une des lignes et l’autre ligne.

D'après ce qui a été prouvé, elle est égale à la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point quelconque de l'une des droites parallèles à l'autre droite.

Exemple 1. Le périmètre du parallélogramme est de 122 cm. Un de ses côtés est 25 cm plus grand que l'autre. Trouvez les côtés du parallélogramme.

Solution. D'après le théorème 1, les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux. Notons un côté du parallélogramme par x et l'autre par y. Alors, par condition $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ En résolvant ce système, on obtient x = 43, y = 18 Ainsi, les côtés du parallélogramme mesurent 18, 43, 18 et 43 cm.

Exemple 2.

Solution. Laissez la figure 4 répondre aux conditions du problème.

Notons AB par x, et BC par y. Selon la condition, le périmètre du parallélogramme est de 10 cm, soit 2(x + y) = 10, soit x + y = 5. Le périmètre du triangle ABD est de 8 cm. Et puisque AB + AD = x + y = 5 alors BD = 8 - 5 = 3. Donc BD = 3 cm.

Exemple 3. Trouvez les angles du parallélogramme, sachant que l’un d’eux est 50° plus grand que l’autre.

Solution. Laissez la figure 5 répondre aux conditions du problème.

Notons la mesure en degré de l'angle A par x. Alors mesure de degré l'angle D est égal à x + 50°.

Les angles BAD et ADC sont des angles intérieurs unilatéraux avec des lignes parallèles AB et DC et sécantes AD. Alors la somme de ces angles nommés sera de 180°, c'est-à-dire
x + x + 50° = 180°, ou x = 65°. Ainsi, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Exemple 4. Les côtés du parallélogramme mesurent 4,5 dm et 1,2 dm. Une bissectrice est tracée à partir du sommet d’un angle aigu. En quelles parties est-il divisé ? grand côté parallélogramme?

Solution. Laissez la figure 6 répondre aux conditions du problème.

AE est la bissectrice d’un angle aigu d’un parallélogramme. Par conséquent, ∠ 1 = ∠ 2.