Courbe propre Ce type de flexion est appelé dans lequel l'action se déroule moment de flexion uniquement(Fig. 3.5, UN). Traçons mentalement le plan de section I-I perpendiculaire à l'axe longitudinal de la poutre à une distance * de l'extrémité libre de la poutre à laquelle est appliqué le moment extérieur mz. Réalisons des actions similaires à celles que nous avons effectuées lors de la détermination des contraintes et déformations lors de la torsion, à savoir :

• 1) établissons des équations d'équilibre pour la partie mentalement coupée de la partie ;
• 2) on détermine la déformation du matériau de la pièce en fonction des conditions de compatibilité des déformations des volumes élémentaires d'une section donnée ;
• 3) résoudre les équations d'équilibre et de compatibilité des déformations.

A partir de la condition d'équilibre de la section coupée de la poutre (Fig. 3.5, b)

on trouve que le moment des forces internes Mzégal au moment des forces extérieures t : M = t.

Riz. 3.5.

Le moment des forces internes est créé par des contraintes normales o v dirigées le long de l'axe x. En flexion pure, il n'y a pas de forces externes, donc la somme des projections des forces internes sur n'importe quel axe de coordonnéeségal à zéro. Sur cette base, on écrit les conditions d'équilibre sous forme d'égalités

Où UN- surface de la section transversale de la poutre (tige).

En flexion pure, les forces extérieures Fx, F, Fv ainsi que les moments de forces extérieures t x, t y sont égaux à zéro. Par conséquent, les équations d’équilibre restantes sont identiques à zéro.

De la condition d'équilibre quand o^O il s'ensuit que

tension normale cx dans la section efficace, ils prennent des valeurs à la fois positives et négatives. (L'expérience montre que lors du pliage du matériau du côté inférieur de la poutre sur la Fig. 3.5, UNétiré, et celui du haut est comprimé.) Par conséquent, dans la section transversale lors de la flexion, il existe de tels volumes élémentaires (de la couche de transition de la compression à la tension) dans lesquels il n'y a ni allongement ni compression. Ce - couche neutre. La ligne d'intersection de la couche neutre avec le plan de coupe est appelée ligne neutre.

Les conditions de compatibilité des déformations des volumes élémentaires lors de la flexion sont formées sur la base de l'hypothèse de sections plates : les sections transversales de la poutre sont plates avant flexion (voir Fig. 3.5, b) restera plat même après pliage (Fig. 3.6).

Sous l'action d'un moment extérieur, la poutre se plie et les plans sections I-I et II-II tournent l'un par rapport à l'autre d'un angle mourir(Fig. 3.6, b). En flexion pure, la déformation de toutes les sections le long de l'axe de la poutre est la même, donc le rayon de courbure pk de la couche neutre de la poutre le long de l'axe x est le même. Parce que dx=p K trempette, alors la courbure de la couche neutre est égale à 1 / p k = tremper / dx et est constante sur toute la longueur de la poutre.

La couche neutre n'est pas déformée ; sa longueur avant et après déformation est égale à dx. En dessous de cette couche, le matériau est étiré, au-dessus il est comprimé.

Riz. 3.6.

La valeur d'allongement de la couche étirée située à une distance y de la couche neutre est égale à ydq. Allongement relatif de cette couche :

Ainsi, dans le modèle adopté, une répartition linéaire des déformations a été obtenue en fonction de la distance d'un volume élémentaire donné à la couche neutre, c'est-à-dire le long de la hauteur de la section de poutre. En supposant qu’il n’y a pas de pression mutuelle des couches parallèles de matériau les unes sur les autres (o y = 0, a, = 0), nous écrivons la loi de Hooke pour l’étirement linéaire :

D'après (3.13), les contraintes normales dans la section transversale de la poutre sont réparties selon une loi linéaire. La contrainte du volume élémentaire du matériau le plus éloigné de la couche neutre (Fig. 3.6, V), maximum et égal

? Problème 3.6

Déterminer la limite élastique d'une lame en acier d'épaisseur / = 4 mm et de longueur / = 80 cm, si sa flexion en demi-cercle n'entraîne pas de déformation résiduelle.

Solution

Contrainte de flexion o v = Hé/rk. Prenons y max = t/ 2i r k = / / À.

La limite élastique doit correspondre à la condition avec уп > c v = 1 / 2 kE t /1.

Réponse : o = ] / 2 à 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa ; La limite d'élasticité de cet acier est de a t > 1 800 MPa, ce qui dépasse celle des aciers à ressorts les plus résistants. ?

? Problème 3.7

Définir rayon minimum tambour pour enrouler l'épaisseur du ruban / = 0,1 mm élément chauffant fabriqué en alliage de nickel, dans lequel le matériau du ruban n'est pas déformé plastiquement. Module E= 1,6 10 5 MPa, limite élastique environ yp = 200 MPa.

Répondre: rayon minimum р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m ?

1. En résolvant ensemble la première équation d’équilibre (3.12) et l’équation de compatibilité des déformations (3.13), nous obtenons

Signification E/rk φ 0 et pareil pour tous les éléments dA domaines d’intégration. Par conséquent, cette égalité n’est satisfaite que sous la condition

Cette intégrale est appelée moment statique de la section transversale autour de l'axez? Quelle est la signification physique de cette intégrale ?

Prenons une plaque d'épaisseur constante /, mais de profil arbitraire (Fig. 3.7). Accrochons cette assiette à un moment donné AVEC pour qu'elle soit dans position horizontale. Notons par le symbole y m densité spécifique matériau de la plaque, puis le poids du volume élémentaire d'aire dA est égal qq= oui JdA. Puisque la plaque est en état d'équilibre, alors de l'égalité à zéro des projections de forces sur l'axe à nous obtenons

Où G= oui M tA- poids du dossier.

Riz. 3.7.

La somme des moments de forces de toutes les forces autour de l'axe z passant par n’importe quelle section de la plaque est également nul :

Considérant que Oui = G,écrivons

Ainsi, si une intégrale de la forme J xdA par zone UN est égal

zéro, alors x c = 0. Cela signifie que le point C coïncide avec le centre de gravité de la plaque. Donc, de l’égalité S z = J. ydA = 0 à l'échéance

en flexion, il s'ensuit que le centre de gravité de la section transversale de la poutre se trouve sur la ligne neutre.

Par conséquent, la valeur oui la section transversale du faisceau est nulle.

• 1. La ligne neutre lors de la flexion passe par le centre de gravité de la section transversale de la poutre.
• 2. Le centre de gravité de la section transversale est le centre de réduction des moments des forces externes et internes.

Problème 3.8

Problème 3.9

2. En résolvant ensemble la deuxième équation d’équilibre (3.12) et l’équation de compatibilité des déformations (3.13), nous obtenons

Intégral Jz= J y 2 jours appelé moment d'inertie de la transversale

section de la poutre (tige) par rapport à l'axe z, passant par le centre de gravité de la section transversale.

Ainsi, M z = E J z / rk. Considérant que c x = Ee x = Ey/rk je E/rk = un x / oui, on obtient la dépendance des contraintes normales Oh en flexion :

1. La contrainte de flexion en un point donné de la section ne dépend pas du module élastique normal E, mais cela dépend paramètre géométrique coupe transversale Jz et les distances à d'un point donné jusqu'au centre de gravité de la section transversale.

2. La contrainte de flexion maximale se produit dans les volumes élémentaires les plus éloignés de la ligne neutre (voir Fig. 3.6, V):

Où Wz- moment résistant de la section transversale par rapport à l'axe Z-

La condition de résistance en flexion pure est similaire à la condition de résistance en traction linéaire :

où [un m | - contrainte de flexion admissible.

Il est évident que les volumes internes du matériau, notamment à proximité de l'axe neutre, ne sont pratiquement pas chargés (voir Fig. 3.6, V). Cela contredit l'exigence de minimiser la consommation de matériaux de la structure. Nous montrerons ci-dessous quelques moyens de surmonter cette contradiction.

Plat flexion transversale poutres Forces de flexion internes. Dépendances différentielles des forces internes. Règles de vérification des diagrammes des forces de flexion internes. Contraintes normales et de cisaillement lors de la flexion. Calcul de résistance basé sur les contraintes normales et tangentielles.

10. TYPES SIMPLES DE RÉSISTANCE. COUDE PLAT

10.1. Concepts généraux et définitions

La flexion est un type de chargement dans lequel la tige est chargée de moments dans des plans passant par l'axe longitudinal de la tige.

Une tige qui se plie s’appelle une poutre (ou bois). A l'avenir, nous considérerons des poutres rectilignes dont la section transversale présente au moins un axe de symétrie.

La résistance des matériaux est divisée en flexion plate, oblique et complexe.

La flexion plane est une flexion dans laquelle toutes les forces courbant la poutre se situent dans l'un des plans de symétrie de la poutre (dans l'un des plans principaux).

Les principaux plans d'inertie d'une poutre sont les plans passant par les axes principaux coupes transversales et l'axe géométrique de la poutre (axe des x).

La flexion oblique est une flexion dans laquelle les charges agissent dans un plan qui ne coïncide pas avec les principaux plans d'inertie.

La flexion complexe est une flexion dans laquelle les charges agissent dans différents plans (arbitraires).

10.2. Détermination des forces de flexion internes

Considérons deux cas typiques de flexion : dans le premier, la poutre en porte-à-faux est pliée par un moment concentré M o ; dans le second - par la force concentrée F.

En utilisant la méthode des sections mentales et en composant des équations d'équilibre pour les parties coupées de la poutre, nous déterminons les efforts internes dans les deux cas :

Les équations d’équilibre restantes sont évidemment identiques à zéro.

Ainsi, dans cas général de flexion à plat dans la section d'une poutre, sur six efforts internes, deux surviennent - moment de flexion M z et force de cisaillement Q y (ou en flexion par rapport à un autre axe principal - moment de flexion M y et force de cisaillement Q z).

De plus, conformément aux deux cas de chargement considérés, la flexion plane peut être divisée en flexion pure et transversale.

La flexion pure est une flexion plate dans laquelle seule une force interne sur six se produit dans les sections de la tige - un moment de flexion (voir le premier cas).

Courbe transversale– la flexion, dans laquelle dans les sections de la tige, en plus du moment de flexion interne, une force transversale apparaît également (voir le deuxième cas).

À proprement parler, pour types simples la résistance ne concerne que la flexion pure ; la flexion transversale est classiquement classée comme un type simple de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'effet de la force transversale peut être négligé lors du calcul de la résistance.

Lors de la détermination des efforts internes, nous respecterons la règle de signes suivante :

1) la force transversale Q y est considérée comme positive si elle tend à faire tourner l'élément de poutre considéré dans le sens des aiguilles d'une montre ;

2) moment de flexion M z est considéré comme positif si, lors de la flexion d'un élément de poutre, les fibres supérieures de l'élément sont comprimées et les fibres inférieures sont étirées (règle du parapluie).

Ainsi, la solution au problème de détermination des efforts internes en flexion sera construite selon le plan suivant : 1) dans un premier temps, considérant les conditions d'équilibre de la structure dans son ensemble, on détermine, si nécessaire, les réactions inconnues des supports (à noter que pour une poutre en porte-à-faux les réactions dans l'encastrement peuvent être introuvables si l'on considère la poutre depuis l'extrémité libre) ; 2) dans un deuxième temps, on sélectionne les sections caractéristiques de la poutre, en prenant comme limites des sections les points d'application des forces, les points de changement de forme ou de taille de la poutre, les points de fixation de la poutre ; 3) dans la troisième étape, on détermine les efforts internes dans les sections de la poutre, en considérant les conditions d'équilibre des éléments de poutre dans chaque section.

10.3. Dépendances différentielles lors du pliage

Établissons quelques relations entre les efforts internes et les charges de flexion externes, ainsi que traits caractéristiques les schémas Q et M, dont la connaissance facilitera la construction des schémas et permettra de contrôler leur exactitude. Pour faciliter la notation, nous noterons : M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Sélectionnons un petit élément dx dans une section d'une poutre avec une charge arbitraire dans un endroit où il n'y a pas de forces ni de moments concentrés. Puisque la poutre entière est en équilibre, l’élément dx sera également en équilibre sous l’action des forces de cisaillement, des moments de flexion et de la charge externe qui lui est appliquée. Puisque Q et M changent généralement le long de l'axe de la poutre, les forces transversales Q et Q +dQ, ainsi que les moments fléchissants M et M +dM apparaîtront dans les sections de l'élément dx. A partir de la condition d'équilibre de l'élément sélectionné, nous obtenons

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0 ;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

A partir de la deuxième équation, en négligeant le terme q dx (dx /2) comme quantité infinitésimale du second ordre, on trouve

Les relations (10.1), (10.2) et (10.3) sont appelées dépendances différentielles de D.I. Zhuravsky lors du pliage.

L'analyse des dépendances différentielles ci-dessus pendant la flexion nous permet d'établir certaines caractéristiques (règles) pour construire des diagrammes de moments fléchissants et d'efforts transversaux :

a – dans les zones où il n'y a pas de charge répartie q, les diagrammes Q sont limités à des droites parallèles à la base, et les diagrammes M sont limités à des droites inclinées ;

b – dans les zones où une charge répartie q est appliquée à la poutre, les diagrammes Q sont limités par des lignes droites inclinées, et les diagrammes M sont limités paraboles quadratiques. De plus, si l’on construit le diagramme M « sur une fibre étirée », alors la convexité du pa-

le travail sera dirigé dans la direction d'action q, et l'extremum sera situé dans la section où le diagramme Q coupe la ligne de base ;

c – dans les sections où une force concentrée est appliquée à la poutre, sur le diagramme Q il y aura des sauts de l'ampleur et dans la direction de cette force, et sur le diagramme M il y aura des plis, la pointe dirigée dans la direction de action de cette force ; d – dans les sections où un moment concentré est appliqué à la poutre sur l'épi-

il n'y aura aucun changement dans re Q, et sur le diagramme M il y aura des sauts de la valeur de ce moment ; d – dans les zones où Q >0, le moment M augmente, et dans les zones où Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Contraintes normales lors de la flexion pure d'une poutre droite

Considérons le cas de la flexion plane pure d'une poutre et dérivons une formule pour déterminer les contraintes normales pour ce cas. Notez que dans la théorie de l'élasticité, il est possible d'obtenir une dépendance exacte des contraintes normales en flexion pure, mais si ce problème est résolu par des méthodes de résistance des matériaux, il est nécessaire d'introduire certaines hypothèses.

Il existe trois hypothèses de ce type pour le pliage :

a – hypothèse de sections planes (hypothèse de Bernoulli)

– les sections qui sont plates avant déformation restent plates après déformation, mais ne tournent que par rapport à une certaine ligne, appelée axe neutre de la section de poutre. Dans ce cas, les fibres de la poutre situées d'un côté de l'axe neutre vont s'étirer, et de l'autre se comprimer ; les fibres situées sur l'axe neutre ne changent pas de longueur ;

b – hypothèse sur la constance des contraintes normales

niy – les contraintes agissant à la même distance y de l'axe neutre sont constantes sur toute la largeur de la poutre ;

c – hypothèse d’absence de pressions latérales – co-

Les fibres longitudinales grises ne se pressent pas les unes sur les autres.

Tâche. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre statiquement indéterminée. Calculons les poutres à l'aide de la formule :

n= Σ R.- Ch— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Faisceau une fois est statiquement indéterminé, ce qui signifie un des réactions est "extra" inconnu. Prenons la réaction de soutien comme l’inconnue « supplémentaire » DANS — R.B..

Une poutre définissable statiquement, obtenue à partir d'une poutre donnée en supprimant la connexion « supplémentaire », est appelée le système principal. (b).

Maintenant, ce système devrait être présenté équivalent donné. Pour ce faire, chargez le système principal donné charge, et au point DANS appliquons réaction "supplémentaire" R.B.(riz. V).

Cependant pour équivalence ce pas assez, puisque dans un tel faisceau le point DANS Peut être se déplacer verticalement, et dans un faisceau donné (Fig. UN ) cela ne peut pas arriver. C'est pourquoi nous ajoutons condition, Quoi déviation t. DANS dans le système principal doit être égal à 0. Déflexion t. DANS se compose de déviation de la charge active Δ F et de déviation de la réaction « supplémentaire » Δ R.

Ensuite, nous maquillons condition de compatibilité des mouvements:

Δ F + Δ R.=0 (1)

Reste maintenant à les calculer mouvements (déflexions).

Chargement principal système charge donnée(riz .G) et nous construirons diagramme de chargeM F (riz. d ).

DANS T. DANS Appliquons et construisons un EP. (riz. hérisson ).

En utilisant la formule de Simpson, nous déterminons déformation due à la charge active.

Définissons maintenant déviation de l’action d’une réaction « supplémentaire » R.B. , pour cela nous chargeons le système principal R.B. (riz. h ) et construire un diagramme des moments de son action M (riz. Et ).

Nous composons et résolvons équation (1):

Construisons ép. Q Et M (riz. k, je ).

Construire un diagramme Q.

Construisons un diagramme M méthode points caractéristiques. Nous plaçons des points sur la poutre - ce sont les points du début et de la fin de la poutre ( D,A ), moment concentré ( B ), et marquez également le milieu de la charge uniformément répartie comme point caractéristique ( K ) est un point supplémentaire pour construire une courbe parabolique.

Nous déterminons les moments de flexion en certains points. Règle des signes cm.

Le moment dans DANS nous le définirons comme suit. Définissons d’abord :

Arrêt complet À prenons en compte milieu zone avec une charge uniformément répartie.

Construire un diagramme M . Parcelle AB – courbe parabolique(règle générale), zone ВD – ligne droite inclinée.

Pour une poutre, déterminer les réactions d'appui et construire des diagrammes de moments fléchissants ( M) et les forces de cisaillement ( Q).

1. Nous désignons prend en charge courrier UN Et DANS et réactions de soutien directes R.A. Et R.B. .

Compilation équations d'équilibre.

Examen

Notez les valeurs R.A. Et R.B. sur schéma de conception.

2. Construire un diagramme forces de cisaillement méthode rubriques. Nous organisons les sections sur zones caractéristiques(entre les changements). Selon le fil dimensionnel - 4 tronçons, 4 tronçons.

seconde. 1-1 se déplacer gauche.

La section traverse la zone avec charge uniformément répartie, marquez la taille z 1 à gauche de la section avant le début de la section. La longueur du tronçon est de 2 m. Règle des signes Pour Q - cm.

Nous construisons selon la valeur trouvée diagrammeQ.

seconde. 2-2 déplacement vers la droite.

La section traverse à nouveau la zone avec une charge uniformément répartie, marquez la taille z 2 à droite de la section jusqu'au début de la section. La longueur du tronçon est de 6 m.

Construire un diagramme Q.

seconde. 3-3 déplacement vers la droite.

seconde. 4-4 déplacement vers la droite.

Nous construisons diagrammeQ.

3. Construction diagrammes M méthode points caractéristiques.

Point caractéristique- un point quelque peu visible sur le faisceau. Ce sont les points UN, DANS, AVEC, D , et aussi un point À , dans lequel Q=0 Et le moment de flexion a un extremum. Également dans milieu console nous mettrons un point supplémentaire E, puisque dans cette section sous une charge uniformément répartie le diagramme M décrit courbé ligne, et il est construit au moins selon 3 points.

Ainsi, les points sont placés, commençons à déterminer les valeurs qu'ils contiennent moments de flexion. Règle des signes - voir.

Sites NA, AD – courbe parabolique(la règle « parapluie » pour les spécialités mécaniques ou la « règle de voile » pour les spécialités construction), les sections CC, SV – lignes droites inclinées.

Moment à un moment donné D devrait être déterminé à gauche et à droite du point D . Le moment même dans ces expressions non inclus. Au point D nous obtenons deux valeurs avec différence par le montant m – saut par sa taille.

Nous devons maintenant déterminer le moment au point À (Q=0). Cependant, nous définissons d’abord position du point À , désignant la distance entre celui-ci et le début de la section comme inconnue X .

T. À appartient deuxième zone caractéristique, son équation de la force de cisaillement(voir ci-dessus)

Mais la force de cisaillement incluse. À égal à 0 , UN z 2 est égal à inconnu X .

On obtient l'équation :

Maintenant, sachant X, déterminons le moment à ce moment-là À sur le côté droit.

Construire un diagramme M . La construction peut être réalisée pour mécanique spécialités, en mettant de côté les valeurs positives en hautà partir de la ligne zéro et en utilisant la règle du « parapluie ».

Pour une conception donnée d'une poutre en porte-à-faux, il est nécessaire de construire des diagrammes de l'effort transversal Q et du moment fléchissant M, et d'effectuer un calcul de conception en sélectionnant une section circulaire.

Matériau - bois, résistance de conception du matériau R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Il existe deux manières de construire des schémas dans une poutre en porte-à-faux avec un encastrement rigide - la manière habituelle, après avoir préalablement déterminé les réactions d'appui, et sans déterminer les réactions d'appui, si l'on considère les sections, en partant de l'extrémité libre de la poutre et en rejetant la partie gauche avec l'encastrement. Construisons des diagrammes ordinaire chemin.

1. Définissons réactions de soutien.

Charge uniformément répartie q remplacer par une force conditionnelle Q= q·0,84=6,72 kN

Dans un encastrement rigide, il y a trois réactions d'appui : verticale, horizontale et moment ; dans notre cas, la réaction horizontale est de 0.

Nous trouverons verticale réaction du sol R.A. Et moment de soutien M UNà partir des équations d’équilibre.

Dans les deux premières sections à droite, il n’y a aucune force de cisaillement. Au début d'une section avec une charge uniformément répartie (à droite) Q=0, en arrière-plan - l'ampleur de la réaction R.A.
3. Pour construire, nous composerons des expressions pour leur détermination par sections. Construisons un diagramme de moments sur les fibres, c'est-à-dire vers le bas.

(le diagramme des moments individuels a déjà été construit plus tôt)

Nous résolvons l'équation (1), réduisons par EI

L’indétermination statique révélée, la valeur de la réaction « supplémentaire » a été trouvée. Vous pouvez commencer à construire des diagrammes de Q et M pour un faisceau statiquement indéterminé... Nous esquissons le diagramme donné du faisceau et indiquons l'ampleur de la réaction Rb. Dans ce faisceau, les réactions dans l'encastrement ne peuvent pas être déterminées si l'on se déplace depuis la droite.

Construction Parcelles Q pour une poutre statiquement indéterminée

Traçons Q.

Construction du diagramme M

Définissons M au point extremum - au point À. Tout d’abord, déterminons sa position. Notons la distance qui nous sépare de celle-ci comme inconnue " X" Alors

Nous construisons un diagramme de M.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérons la section poutre en I S x =96,9 cm3 ; Yx=2030 cm 4 ; Q=200kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule,où Q est l'effort tranchant dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes tangentielles sont déterminées, I x est le moment d'inertie de l'ensemble section transversale, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculons maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure :

Maintenant calculons contrainte de cisaillement :

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Calculs de conception et de vérification. Pour une poutre avec des diagrammes construits d'efforts internes, sélectionnez une section sous la forme de deux canaux à partir de l'état de résistance sous contraintes normales. Vérifiez la résistance de la poutre en utilisant la condition de résistance à la contrainte de cisaillement et le critère de résistance énergétique. Donné:

Montrons une poutre avec construit diagrammes Q et M

D'après le diagramme des moments fléchissants, il est dangereux partie C, dans lequel M C = M max = 48,3 kNm.

Condition normale de résistance à la contrainte car cette poutre a la forme σ max =M C /W X ≤σ adm . Il est nécessaire de sélectionner une section à partir de deux canaux.

Déterminons la valeur calculée requise moment résistant axial de la section :

Pour un tronçon sous forme de deux chaînes, nous acceptons selon deux canaux n°20a, moment d'inertie de chaque canal Je x =1670cm 4, Alors moment résistant axial de toute la section :

Surtension (sous-tension) aux points dangereux, nous calculons à l'aide de la formule : Alors nous obtenons sous-tension:

Vérifions maintenant la résistance de la poutre en fonction de conditions de résistance aux contraintes tangentielles. Selon diagramme de force de cisaillement dangereux sont des sections sur la coupe BC et la coupe D. Comme on peut le voir sur le schéma, Qmax =48,9 kN.

Condition de résistance pour les contraintes tangentielles a la forme :

Pour le canal n° 20 a : moment de surface statique S x 1 = 95,9 cm 3, moment d'inertie de la section I x 1 = 1670 cm 4, épaisseur de paroi d 1 = 5,2 mm, épaisseur moyenne de la bride t 1 = 9,7 mm, hauteur du canal h 1 =20 cm, largeur de l'étagère b 1 =8 cm.

Pour transversal sections de deux canaux :

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm3,

Je x =2Je x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Détermination de la valeur contrainte de cisaillement maximale :

τ max =48,9 10 3 191,8 10 -6 /3340 10 -8 1,04 10 -2 =27 MPa.

Comme vous pouvez le voir, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Ainsi, la condition de résistance est satisfaite.

Nous vérifions la résistance de la poutre selon le critère énergétique.

De la considération diagrammes Q et M il s'ensuit que la section C est dangereuse, dans lequel ils opèrent M C = M max = 48,3 kNm et Q C = Q max = 48,9 kN.

Réalisons analyse de l'état de contrainte aux points de la section C

Définissons contraintes normales et de cisaillementà plusieurs niveaux (marqués sur le schéma de coupe)

Niveau 1-1 : y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normale et tangente tension:

Principal tension:

Niveau 2−2 : y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensions principales :

Niveau 3−3 : y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Contraintes normales et de cisaillement :

Tensions principales :

Contrainte de cisaillement extrême :

Niveau 4−4 : y 4-4 =0.

(au milieu les contraintes normales sont nulles, les contraintes tangentielles sont maximales, elles ont été constatées lors de l'essai de résistance par contraintes tangentielles)

Tensions principales :

Contrainte de cisaillement extrême :

Niveau 5−5 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Tensions principales :

Contrainte de cisaillement extrême :

Niveau 6−6 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Tensions principales :

Contrainte de cisaillement extrême :

Niveau 7−7 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Tensions principales :

Contrainte de cisaillement extrême :

Conformément aux calculs effectués diagrammes de contraintes σ, τ, σ 1, σ 3, τ max et τ min sont présentés dans la Fig.

Analyse ces le diagramme montre, qui est dans la section de la poutre les points dangereux sont au niveau 3-3 (ou 5-5), dans lequel :

En utilisant critère énergétique de résistance, nous obtenons

D'une comparaison des contraintes équivalentes et admissibles, il s'ensuit que la condition de résistance est également satisfaite

(135,3 MPa<150 МПа).

La poutre continue est chargée dans toutes les travées. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre continue.

1. Définir degré d'indétermination statique poutres selon la formule :

n= Sop -3= 5-3 =2, Où Sop – nombre de réactions inconnues, 3 – nombre d'équations statiques. Pour résoudre ce faisceau, il faut deux équations supplémentaires.

2. Notons Nombres prend en charge à partir de zéro en ordre ( 0,1,2,3 )

3. Notons numéros de plage dès le premier en ordre ( ι 1, ι 2, ι 3)

4. Nous considérons chaque travée comme poutre simple et construire des diagrammes pour chaque poutre simple Q et M. Ce qui concerne poutre simple, nous désignerons avec l'indice "0", ce qui concerne continu poutre, nous désignerons sans cet indice. Ainsi, la force de cisaillement et le moment de flexion sont-ils pour une simple poutre.

10.1. Notions générales et définitions

Plier- il s'agit d'un type de chargement dans lequel la tige est chargée de moments dans des plans passant par l'axe longitudinal de la tige.

Une tige qui se plie s’appelle une poutre (ou bois). A l'avenir, nous considérerons des poutres rectilignes dont la section transversale présente au moins un axe de symétrie.

La résistance des matériaux est divisée en flexion plate, oblique et complexe.

Courbe plate– la flexion, dans laquelle toutes les forces courbant la poutre se situent dans l'un des plans de symétrie de la poutre (dans l'un des plans principaux).

Les principaux plans d'inertie d'une poutre sont les plans passant par les axes principaux des sections transversales et l'axe géométrique de la poutre (axe des x).

Courbure oblique– la flexion, dans laquelle les charges agissent dans un plan qui ne coïncide pas avec les principaux plans d'inertie.

Courbure complexe– la flexion, dans laquelle les charges agissent dans des plans différents (arbitraires).

10.2. Détermination des forces de flexion internes

Considérons deux cas typiques de flexion : dans le premier, la poutre en porte-à-faux est pliée par un moment concentré Mo ; dans le second - force concentrée F.

En utilisant la méthode des sections mentales et en composant des équations d'équilibre pour les parties coupées de la poutre, nous déterminons les efforts internes dans les deux cas :

Les équations d’équilibre restantes sont évidemment identiques à zéro.

Ainsi, dans le cas général de flexion plane dans la section d'une poutre, sur six efforts internes, deux apparaissent - moment de flexion Mz et force de cisaillement Qy (ou en flexion par rapport à un autre axe principal - moment de flexion My et effort tranchant Qz).

De plus, conformément aux deux cas de chargement considérés, la flexion plane peut être divisée en flexion pure et transversale.

Courbe propre– la flexion à plat, dans laquelle dans les sections de la tige, sur six efforts internes, un seul apparaît – le moment de flexion (voir le premier cas).

Courbe transversale– la flexion, dans laquelle dans les sections de la tige, en plus du moment de flexion interne, une force transversale apparaît également (voir le deuxième cas).

À proprement parler, les types de résistance simples incluent uniquement la flexion pure ; la flexion transversale est classiquement classée comme un type simple de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'effet de la force transversale peut être négligé lors du calcul de la résistance.

Lors de la détermination des efforts internes, nous respecterons la règle de signes suivante :

1) la force transversale Qy est considérée comme positive si elle tend à faire tourner l'élément de poutre considéré dans le sens des aiguilles d'une montre ;

2) le moment de flexion Mz est considéré comme positif si, lors de la flexion d'un élément de poutre, les fibres supérieures de l'élément sont comprimées et les fibres inférieures sont étirées (règle générale).

Ainsi, la solution au problème de détermination des efforts internes en flexion sera construite selon le plan suivant : 1) dans un premier temps, considérant les conditions d'équilibre de la structure dans son ensemble, on détermine, si nécessaire, les réactions inconnues des supports (à noter que pour une poutre en porte-à-faux les réactions dans l'encastrement peuvent être introuvables si l'on considère la poutre depuis l'extrémité libre) ; 2) dans un deuxième temps, on sélectionne les sections caractéristiques de la poutre, en prenant comme limites des sections les points d'application des forces, les points de changement de forme ou de taille de la poutre, les points de fixation de la poutre ; 3) dans la troisième étape, on détermine les efforts internes dans les sections de la poutre, en considérant les conditions d'équilibre des éléments de poutre dans chaque section.

10.3. Dépendances différentielles lors du pliage

Établissons quelques relations entre les efforts internes et les charges externes lors de la flexion, ainsi que les traits caractéristiques des diagrammes Q et M, dont la connaissance facilitera la construction des diagrammes et permettra de contrôler leur exactitude. Pour faciliter la notation, nous noterons : M≡Mz, Q≡Qy.

Sélectionnons un petit élément dx dans une section d'une poutre avec une charge arbitraire dans un endroit où il n'y a pas de forces ni de moments concentrés. Puisque la poutre entière est en équilibre, l’élément dx sera également en équilibre sous l’action des forces de cisaillement, des moments de flexion et de la charge externe qui lui est appliquée. Puisque Q et M varient généralement le long de

axe de la poutre, alors les efforts transversaux Q et Q+dQ, ainsi que les moments fléchissants M et M+dM, apparaîtront dans les sections de l'élément dx. A partir de la condition d'équilibre de l'élément sélectionné, nous obtenons

La première des deux équations écrites donne la condition

A partir de la deuxième équation, en négligeant le terme q dx (dx/2) comme quantité infinitésimale du second ordre, on trouve

En considérant ensemble les expressions (10.1) et (10.2), nous pouvons obtenir

Les relations (10.1), (10.2) et (10.3) sont appelées différentielles dépendances de D.I. Zhuravsky lors du pliage.

L'analyse des dépendances différentielles ci-dessus lors de la flexion nous permet d'établir certaines caractéristiques (règles) pour la construction de diagrammes de moments fléchissants et d'efforts transversaux : a - dans les zones où il n'y a pas de charge répartie q, les diagrammes Q sont limités aux droites parallèles à la base , et les diagrammes M se limitent à des droites inclinées ; b – dans les zones où une charge répartie q est appliquée à la poutre, les diagrammes Q sont limités par des droites inclinées et les diagrammes M sont limités par des paraboles quadratiques.

De plus, si l'on construit le diagramme M « sur une fibre étirée », alors la convexité de la parabole sera dirigée dans la direction d'action q, et l'extremum sera situé dans la section où le diagramme Q coupe la ligne de base ; c – dans les sections où une force concentrée est appliquée à la poutre, sur le diagramme Q il y aura des sauts de l'ampleur et dans la direction de cette force, et sur le diagramme M il y aura des plis, la pointe dirigée dans la direction de action de cette force ; d – dans les sections où un moment concentré est appliqué à la poutre, il n'y aura aucun changement sur le diagramme Q, et sur le diagramme M il y aura des sauts dans l'amplitude de ce moment ; d – dans les zones où Q>0, le moment M augmente, et dans les zones où Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Contraintes normales lors de la flexion pure d'une poutre droite

Considérons le cas de la flexion plane pure d'une poutre et dérivons une formule pour déterminer les contraintes normales pour ce cas.

Notez que dans la théorie de l'élasticité, il est possible d'obtenir une dépendance exacte des contraintes normales en flexion pure, mais si ce problème est résolu à l'aide de méthodes de résistance des matériaux, il est nécessaire d'introduire certaines hypothèses.

Il existe trois hypothèses de ce type pour le pliage :

a – hypothèse des sections plates (hypothèse de Bernoulli) – les sections plates avant déformation restent plates après déformation, mais ne tournent que par rapport à une certaine ligne, appelée axe neutre de la section de poutre. Dans ce cas, les fibres de la poutre situées d'un côté de l'axe neutre vont s'étirer, et de l'autre se comprimer ; les fibres situées sur l'axe neutre ne changent pas de longueur ;

b – hypothèse sur la constance des contraintes normales - les contraintes agissant à la même distance y de l'axe neutre sont constantes sur toute la largeur de la poutre ;

c – hypothèse d’absence de pressions latérales – les fibres longitudinales adjacentes ne s’appuient pas les unes sur les autres.

Côté statique du problème

Pour déterminer les contraintes dans les sections transversales de la poutre, considérons d'abord les aspects statiques du problème. En utilisant la méthode des sections mentales et en composant des équations d'équilibre pour la partie coupée de la poutre, nous trouverons les efforts internes lors de la flexion. Comme nous l'avons montré précédemment, la seule force interne agissant dans la section de poutre lors d'une flexion pure est le moment de flexion interne, ce qui signifie que des contraintes normales qui lui sont associées apparaîtront ici.

Nous trouverons la relation entre les efforts internes et les contraintes normales dans la section de poutre en considérant les contraintes sur la zone élémentaire dA, identifiée dans la section A de la poutre au point de coordonnées y et z (l'axe y est dirigé vers le bas pour commodité de l’analyse) :

Comme nous le voyons, le problème est statiquement indéterminé en interne, puisque la nature de la distribution des contraintes normales sur la section est inconnue. Pour résoudre le problème, considérons l'image géométrique des déformations.

Côté géométrique du problème

Considérons la déformation d'un élément de poutre de longueur dx, séparé d'une tige de flexion en un point arbitraire de coordonnée x. Compte tenu de l'hypothèse précédemment admise des sections plates, après courbure de la section de poutre, tourner par rapport à l'axe neutre (n.o.) d'un angle dϕ, tandis que la fibre ab, espacée de l'axe neutre d'une distance y, se transformera en un arc de cercle a1b1, et sa longueur changera d'une certaine taille. Rappelons ici que la longueur des fibres situées sur l'axe neutre ne change pas, et donc l'arc a0b0 (dont le rayon de courbure est noté ρ) a la même longueur que le segment a0b0 avant la déformation a0b0=dx .

Trouvons la déformation linéaire relative εx de la fibre ab de la poutre courbe.

Calculer poutre de flexion Il existe plusieurs options :
1. Calcul de la charge maximale qu'il supportera
2. Sélection de la section de cette poutre
3. Calcul basé sur les contraintes maximales admissibles (pour vérification)
Jetons un coup d'oeil principe général de sélection d'une section de poutre sur deux supports chargés avec une charge uniformément répartie ou une force concentrée.
Pour commencer, vous devrez trouver le point (section) auquel il y aura un moment maximum. Cela dépend si la poutre est supportée ou encastrée. Vous trouverez ci-dessous des diagrammes de moments fléchissants pour les schémas les plus courants.

De plus, en divisant le moment de flexion maximum par le moment de résistance dans une section donnée, nous obtenons contrainte maximale dans la poutre et nous devons comparer cette contrainte avec la contrainte que peut généralement supporter notre poutre d'un matériau donné.

Pour les matières plastiques(acier, aluminium, etc.) la tension maximale sera égale à limite d'élasticité du matériau, UN pour fragile(fonte) – résistance à la traction. Nous pouvons trouver la limite d'élasticité et la résistance à la traction dans les tableaux ci-dessous.

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN*m

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45 340 kN/m2 = 45,34 MPa

45,34 MPa est correct, ce qui signifie que cette poutre en I résistera à une masse de 90 kg.