Salutations, chats ! La dernière fois, nous avons discuté en détail de ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de le lire). Le principal point à retenir de cette leçon : il n’existe qu’une seule définition universelle des racines, et c’est ce que vous devez savoir. Le reste n’a aucun sens et c’est une perte de temps.

Aujourd'hui, nous allons plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes associés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent devenir fatals à l'examen) et nous pratiquerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement et commençons :)

Vous ne l’avez pas encore fumé non plus, n’est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez longue, je l'ai donc divisée en deux parties :

1. Nous examinerons d’abord les règles de multiplication. Cap semble faire allusion : c'est lorsqu'il y a deux racines, entre elles il y a un signe « multiplier » - et nous voulons en faire quelque chose.
2. Examinons ensuite la situation inverse : il existe une grande racine, mais nous avions hâte de la représenter comme le produit de deux racines plus simples. Pourquoi est-ce nécessaire, c'est une question distincte. Nous analyserons uniquement l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer immédiatement à la deuxième partie, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de base de multiplication

Commençons par la chose la plus simple : les racines carrées classiques. Les mêmes qui sont notés $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Tout est évident pour eux :

Règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les facteurs racines existent, alors le produit existe également.

Exemples. Regardons quatre exemples avec des chiffres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous avions extrait nous-mêmes les racines de 25 et 4 sans nouvelles règles, alors les choses se compliquent : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne sont pas considérés par eux-mêmes, mais leur produit s'avère être un carré parfait, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Je voudrais particulièrement souligner la dernière ligne. Ici, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs sont annulés et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, les choses ne seront pas toujours aussi belles. Parfois, il y aura un désordre complet sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment le transformer après la multiplication. Un peu plus tard, lorsque vous commencerez à étudier les équations et les inégalités irrationnelles, vous verrez apparaître toutes sortes de variables et de fonctions. Et très souvent, les rédacteurs de problèmes comptent sur le fait que vous découvrirez des termes ou des facteurs d'annulation, après quoi le problème sera plusieurs fois simplifié.

De plus, il n’est pas du tout nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois, quatre ou même dix à la fois ! Cela ne changera pas la règle. Jetez un oeil :

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fin(aligner)\]

Et encore petite note selon le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième facteur sous la racine, il y a une fraction décimale - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une fraction régulière, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans toute expression irrationnelle (c'est-à-dire contenant au moins un symbole radical). Cela vous fera gagner beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était une digression lyrique. Maintenant, regardons plus cas général- lorsque l'indicateur racine est nombre arbitraire$n$, et pas seulement les deux « classiques ».

Le cas d’un indicateur arbitraire

Alors, avec racines carrées compris. Que faire des cubes ? Ou même avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, puis d'écrire le résultat sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf que la quantité de calculs peut être plus importante. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une fois, attention à la deuxième expression. Nous multiplions racines cubiques, débarrasse-toi décimal et en conséquence nous obtenons le produit des nombres 625 et 25 au dénominateur. C'est tout à fait. grand nombre- Personnellement, je n’arrive pas à calculer d’emblée à quoi cela équivaut.

Par conséquent, nous avons simplement isolé le cube exact dans le numérateur et le dénominateur, puis avons utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la $n$ième racine :

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\gauche| a\droit|. \\ \fin(aligner)\]

De telles « machinations » peuvent vous faire gagner beaucoup de temps à l'examen ou travail d'essai, alors rappelez-vous :

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres en utilisant des expressions radicales. Tout d’abord, vérifiez : et si le degré exact d’une expression y était « crypté » ?

Malgré l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés ne voient pas les diplômes exacts à bout portant. Au lieu de cela, ils multiplient tout, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux :)

Cependant, tout cela n’est qu’un langage de bébé par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplier des racines avec différents exposants

Bon, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes indicateurs. Et si les indicateurs sont différents ? Disons, comment multiplier un $\sqrt(2)$ ordinaire par des conneries comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela ?

Oui, bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle pour multiplier les racines. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, il suffit d'effectuer la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C’est un point très important sur lequel nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et que se passera-t-il si nous la violons :)

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, tu peux être comme professeurs d'école et citez intelligemment le manuel :

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (en conséquence, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, est-ce devenu plus clair ? Personnellement, quand j'ai lu cette absurdité en 8e, j'ai compris quelque chose comme ceci : « L'exigence de non-négativité est associée à *#&^@(*#@^#)~% » - bref, je l'ai fait je ne comprends rien à ce moment-là :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d’abord d’où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d’autres termes, on peut facilement élever l’expression radicale à n’importe quel diplôme naturel$k$ - dans ce cas, l'exposant racine devra être multiplié par la même puissance. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle racine à un exposant commun, puis les multiplier. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il existe un problème qui limite fortement l’utilisation de toutes ces formules. Considérez ce numéro :

D’après la formule qui vient d’être donnée, on peut ajouter n’importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Effectuons maintenant la transformation inverse : « réduisons » les deux dans l’exposant et la puissance. Après tout, toute égalité peut être lue aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fin(aligner)\]

Mais ensuite, il s'avère que c'est une sorte de connerie :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas arriver, car $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

1. Frapper le mur et affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais elles sont imprécises » ;
2. Introduire des restrictions supplémentaires sous lesquelles la formule fonctionnera à 100 %.

Dans la première option, nous devrons constamment détecter les cas « non fonctionnels » - c'est difficile, prend du temps et généralement horrible. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette limitation n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que des racines de degré impair, et des inconvénients peuvent en être tirés.

Par conséquent, formulons une règle supplémentaire, qui s'applique généralement à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier des racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez supprimer le moins sous le signe racine - alors tout sera normal :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sentez-vous la différence ? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous supprimez d'abord le moins, vous pouvez alors mettre au carré/supprimer jusqu'à ce que votre visage soit bleu - le nombre restera négatif :)

Ainsi, le plus correct et le plus manière fiable multiplier les racines est la suivante :

1. Supprimez tous les négatifs des radicaux. Les inconvénients n'existent que dans les racines de multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces inconvénients).
2. Effectuez la multiplication selon les règles discutées ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indicateurs des racines sont les mêmes, on multiplie simplement les expressions radicales. Et s'ils sont différents, on utilise la formule maléfique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Profitez du résultat et des bonnes notes. :)

Bien? Devons-nous pratiquer ?

Exemple 1 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \fin(aligner)\]

C'est l'option la plus simple : les racines sont les mêmes et impaires, le seul problème est que le deuxième facteur est négatif. Nous retirons ce moins du tableau, après quoi tout est facilement calculé.

Exemple 2 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par le fait que le résultat s’est avéré être un nombre irrationnel. Oui, cela arrive : nous n’avons pas pu nous débarrasser complètement de la racine, mais au moins nous avons considérablement simplifié l’expression.

Exemple 3 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Je voudrais attirer votre attention sur cette tâche. Il y a deux points ici :

1. La racine n'est pas un nombre ou une puissance spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, lors de la résolution de problèmes mathématiques, il faut le plus souvent faire face à des variables.
2. Au final, nous avons réussi à « réduire » l’indicateur de radicalité et le degré d’expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisiez pas la formule de base.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\fin (aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le deuxième radical. Et si vous ne décrivez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs sera finalement considérablement réduit.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lorsque nous avons résolu l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, cela peut être écrit beaucoup plus simplement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \fin(aligner)\]

Eh bien, nous avons réglé la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a un produit sous la racine ?

Extraire la racine du quadrant d’un nombre n’est pas la seule opération pouvant être réalisée avec ce phénomène mathématique. Tout comme les nombres ordinaires, les racines carrées s’additionnent et se soustraient.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Règles pour ajouter et soustraire des racines carrées

Des opérations telles que l’addition et la soustraction de racines carrées ne sont possibles que si l’expression radicale est la même.

Exemple 1

Vous pouvez ajouter ou soustraire des expressions 2 3 et 6 3, mais pas 5 6 Et 9 4. S'il est possible de simplifier l'expression et de la réduire à des racines avec le même radical, alors simplifiez puis ajoutez ou soustrayez.

Actions avec racines : les bases

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorithme d'action :

1. Simplifier l'expression radicale. Pour ce faire, il faut décomposer l'expression radicale en 2 facteurs dont l'un est un nombre carré (le nombre dont est extraite la racine carrée entière, par exemple 25 ou 9).
2. Ensuite, vous devez prendre la racine du nombre carré et écrivez la valeur résultante avant le signe racine. Attention, le deuxième facteur est inscrit sous le signe de la racine.
3. Après le processus de simplification, il est nécessaire de souligner les racines avec les mêmes expressions radicales - elles seules peuvent être ajoutées et soustraites.
4. Pour les racines ayant les mêmes expressions radicales, il faut ajouter ou soustraire les facteurs qui apparaissent avant le signe racine. L’expression radicale reste inchangée. Vous ne pouvez pas ajouter ou soustraire des nombres radicaux !

Astuce 1

Si vous avez un exemple avec un grand nombre expressions radicales identiques, puis soulignez ces expressions avec des traits simples, doubles et triples pour faciliter le processus de calcul.

Exemple 3

Essayons de résoudre cet exemple :

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Vous devez d'abord décomposer 50 en 2 facteurs 25 et 2, puis prendre la racine de 25, qui est égale à 5, et retirer 5 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 5 par 6 (le facteur à la racine) et obtenir 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Vous devez d'abord décomposer 8 en 2 facteurs : 4 et 2. Ensuite, prenez la racine de 4, qui est égale à 2, et retirez 2 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 2 (le facteur à la racine) et obtenir 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Vous devez d'abord décomposer 12 en 2 facteurs : 4 et 3. Ensuite, extrayez la racine de 4, qui est égale à 2, et retirez-la sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 5 (le facteur à la racine) et obtenir 10 3.

Résultat de simplification : 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

En conséquence, nous avons vu combien d’expressions radicales identiques sont contenues dans dans cet exemple. Pratiquons maintenant avec d'autres exemples.

Exemple 4

• Simplifions (45). Facteur 45 : (45) = (9 × 5) ;
• On en retire 3 sous la racine (9 = 3) : 45 = 3 5 ;
• Additionnez les facteurs aux racines : 3 5 + 4 5 = 7 5.

Exemple 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Simplifions 6 40. On factorise 40 : 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• On en retire 2 sous la racine (4 = 2) : 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• On multiplie les facteurs qui apparaissent devant la racine : 12 10 ;
• On écrit l'expression sous une forme simplifiée : 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres radicaux, on peut les soustraire : (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exemple 6

Comme on peut le voir, il n'est pas possible de simplifier les nombres radicaux, on cherche donc dans l'exemple des termes avec les mêmes nombres radicaux, on effectue des opérations mathématiques (additionner, soustraire, etc.) et on écrit le résultat :

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Conseil :

• Avant d'ajouter ou de soustraire, il faut simplifier (si possible) les expressions radicales.
• L'ajout et la soustraction de racines avec des expressions radicales différentes sont strictement interdites.
• Vous ne devez ni ajouter ni soustraire un nombre entier ou une racine : 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Lorsque vous effectuez des opérations avec des fractions, vous devez trouver un nombre divisible par chaque dénominateur, puis réduire les fractions à dénominateur commun, puis ajoutez les numérateurs et laissez les dénominateurs inchangés.

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Le moyen le plus simple de soustraire une racine d’un nombre est d’utiliser une calculatrice. Mais si vous n’avez pas de calculatrice, vous devez connaître l’algorithme de calcul de la racine carrée. Le fait est que sous la racine se trouve un nombre au carré. Par exemple, 4 au carré vaut 16. Autrement dit, la racine carrée de 16 sera égale à quatre. De plus, 5 au carré égale 25. Par conséquent, la racine de 25 sera 5. Et ainsi de suite.

Si le nombre est petit, il peut être facilement soustrait verbalement, par exemple, la racine de 25 sera égale à 5 et la racine de 144-12. Vous pouvez également calculer sur la calculatrice ; il y a une icône racine spéciale ; vous devez saisir le nombre et cliquer sur l'icône.

Un tableau de racines carrées aidera également :

Il existe également des méthodes plus complexes, mais très efficaces :

La racine de n’importe quel nombre peut être soustraite à l’aide d’une calculatrice, d’autant plus qu’elle est aujourd’hui disponible dans tous les téléphones.

Vous pouvez essayer d'estimer approximativement le résultat d'un nombre donné en multipliant un nombre par lui-même.



Calculer la racine carrée d'un nombre n'est pas difficile, surtout si vous disposez d'un tableau spécial. Une table bien connue des cours d'algèbre. Cette opération s’appelle prendre la racine carrée d’un nombre, autrement dit résoudre une équation. Presque toutes les calculatrices sur smartphones ont une fonction permettant de déterminer la racine carrée.



Le résultat de la prise de la racine carrée d’un nombre connu sera un autre nombre qui, lorsqu’il est élevé à la puissance deux (carré), donnera le même nombre que nous connaissons. Regardons l'une des descriptions de calcul, qui semble courte et claire :







Voici une vidéo sur le sujet :

Il existe plusieurs façons de calculer la racine carrée d’un nombre.

La méthode la plus courante consiste à utiliser une table racine spéciale (voir ci-dessous).

De plus, chaque calculatrice dispose d'une fonction avec laquelle vous pouvez connaître la racine.

Ou en utilisant une formule spéciale.



Il existe plusieurs façons d’extraire la racine carrée d’un nombre. L'un d'eux est le plus rapide, utilisant une calculatrice.

Mais si vous n’avez pas de calculatrice, vous pouvez le faire manuellement.

Le résultat sera précis.

Le principe est presque le même que celui de diviser par une colonne :



















Essayons de trouver la racine carrée d'un nombre sans calculatrice, par exemple 190969.







Ainsi, tout est extrêmement simple. Dans les calculs, l'essentiel est de respecter certains règles simples et penser logiquement.

Pour cela vous avez besoin d'un tableau de carrés



Par exemple, la racine de 100 = 10, de 20 = 400 de 43 = 1849

Désormais, presque toutes les calculatrices, y compris celles des smartphones, peuvent calculer la racine carrée d'un nombre. MAIS si vous n'avez pas de calculatrice, vous pouvez trouver la racine d'un nombre de plusieurs manières simples :

Décomposition en facteurs premiers



Factorisez le nombre radical en facteurs qui sont des nombres carrés. Selon le nombre radical, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres dont la racine carrée entière peut être extraite. Facteurs d'un nombre qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Les facteurs carrés sont des facteurs qui sont des nombres carrés. Tout d’abord, essayez de factoriser le nombre radical en facteurs carrés.

Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (à la main). Essayez d’abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire que divisible par 25 est un nombre carré. Diviser 400 par 25 vous donne 16, qui est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être pris en compte dans les facteurs carrés de 25 et 16, soit 25 x 16 = 400.

Écrivez-le comme suit : 400 = (25 x 16).



La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, soit (a x b) = a x b. En utilisant cette règle, prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver la réponse.

Dans notre exemple, prenons la racine de 25 et 16.



Si le nombre radical ne se décompose pas en deux facteur carré(et cela arrive dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous la forme d'un nombre entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre radical en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et la racine du facteur commun.

Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être factorisé en deux facteurs carrés, mais il peut être factorisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :



Vous pouvez maintenant estimer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant avec les valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (de chaque côté de la droite numérique) du nombre radical. Vous recevrez la valeur racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

Revenons à notre exemple. Le nombre radical est 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (1 = 1) et 4 (4 = 2). Ainsi, la valeur de 3 se situe entre 1 et 2. Puisque la valeur de 3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : 3 = 1,7. On multiplie cette valeur par le nombre au signe racine : 7 x 1,7 = 11,9. Si vous faites le calcul sur une calculatrice, vous obtiendrez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.

Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons 35. Le nombre radical est 35. Les nombres carrés les plus proches sont les nombres 25 (25 = 5) et 36 (36 = 6). Ainsi, la valeur de 35 se situe entre 5 et 6. Puisque la valeur de 35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut dire que 35 est légèrement inférieur à 6. Vérification la calculatrice nous donne la réponse 5,92 - nous avions raison.



Une autre façon consiste à factoriser le nombre radical en facteurs premiers. Facteurs premiers de nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Écrivez les facteurs premiers dans une série et trouvez des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe racine.

Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous factorisons le nombre radical en facteurs premiers : 45 = 9 x 5 et 9 = 3 x 3. Ainsi, 45 = (3 x 3 x 5). 3 peut être pris comme signe racine : 45 = 35. Nous pouvons maintenant évaluer 5.

Regardons un autre exemple : 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez reçu trois multiplicateurs de 2 ; prenez-en quelques-uns et déplacez-les au-delà du signe racine.

2(2 x 11) = 22 x 11. Vous pouvez maintenant évaluer 2 et 11 et trouver une réponse approximative.

Cette vidéo de formation peut également être utile :

Pour extraire la racine d'un nombre, vous devez utiliser une calculatrice, ou si vous n'en avez pas, je vous conseille d'aller sur ce site et de résoudre le problème en utilisant calculateur en ligne, ce qui donnera la valeur correcte en secondes.

Addition et soustraction de racines- l'une des « pierres d'achoppement » les plus courantes pour ceux qui suivent des cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples sur la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline « mathématiques ».

Afin de maîtriser la résolution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses : comprendre les règles et également acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant amènera cette compétence à l'automatisme, et il n'aura alors plus rien à craindre à l'examen d'État unifié. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques par l'addition, car les ajouter est un peu plus facile que les soustraire.

La façon la plus simple d’expliquer cela est d’utiliser la racine carrée comme exemple. En mathématiques, il existe un terme bien établi de « quadrature ». « Mettre au carré » signifie multiplier une fois un nombre spécifique par lui-même.. Par exemple, si vous mettez 2 au carré, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Donc la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, l'étudiant lycée il faut connaître la table de multiplication par cœur. Ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau doivent utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est présenté sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers de mathématiques scolaires.

Les racines sont des types suivants :

• carré;
• cubique (ou soi-disant troisième degré);
• quatrième degré;
• cinquième degré.

Règles d'ajout

Afin de résoudre avec succès exemple typique, il faut garder à l’esprit que tous les nombres racines ne peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour qu'ils puissent être pliés, ils doivent être amenés à modèle uniforme. Si cela est impossible, alors le problème n’a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent également souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.

L'addition n'est pas autorisée dans les tâches lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Cela peut être illustré par un exemple clair :

• L'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et 9 ;
• un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement : « racine de 4 + racine de 9 = racine de 13 ».
• Il est très facile de prouver que cette solution est incorrecte. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement ;
• à l’aide d’une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu’il s’agit d’environ 3,6. Il ne reste plus qu'à vérifier la solution ;
• racine de 4=2 et racine de 9=3 ;
• La somme des nombres « deux » et « trois » est égale à cinq. Ainsi, cet algorithme de solution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré mais différent expressions numériques, il est retiré des parenthèses et mis entre parenthèses somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Afin de décider correctement tâche la plus simple, nécessaire:

1. Déterminez ce qui nécessite exactement un ajout.
2. Découvrez s'il est possible d'ajouter des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
3. S'ils ne sont pas pliables, vous devez les transformer pour qu'ils puissent être pliés.
4. Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, vous devez effectuer l'addition et noter la réponse finale. Vous pouvez effectuer l'addition mentalement ou à l'aide d'une microcalculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Pour résoudre correctement un exemple d’addition, vous devez d’abord réfléchir à la façon dont vous pouvez le simplifier. Pour ce faire, vous devez avoir des connaissances de base sur ce qu’est la similarité.

La possibilité d'identifier des exemples similaires permet de résoudre rapidement des exemples d'addition similaires, en les présentant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'addition typique, vous devez :

1. Trouvez-en des similaires et séparez-les en un seul groupe (ou plusieurs groupes).
2. Réécrivez l’exemple existant de telle sorte que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c’est ce qu’on appelle le « regroupement »).
3. Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de telle manière que des expressions similaires (qui ont le même indicateur et le même chiffre radical) se succèdent également.

Après cela, l’exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, ainsi que savoir ce qu'est une racine et ce qu'elle peut être.

Parfois, de tels problèmes semblent très difficiles à première vue, mais ils sont généralement facilement résolus en regroupant des problèmes similaires. La chose la plus importante est la pratique, et alors l’étudiant commencera à « résoudre des problèmes comme des fous ». L’ajout de racines est l’une des parties les plus importantes des mathématiques, les enseignants devraient donc consacrer suffisamment de temps à leur étude.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations avec des racines carrées.