La réduction de fractions est nécessaire pour réduire la fraction à une forme plus simple, par exemple dans la réponse obtenue à la suite de la résolution d'une expression.

Fractions réductrices, définition et formule.

Qu’est-ce que la réduction des fractions ? Que signifie réduire une fraction ?

Définition:
Réduire les fractions- c'est la division du numérateur et du dénominateur d'une fraction en une seule et même chose nombre positif n'est pas égal à zéro et un. À la suite de la réduction, une fraction avec un numérateur et un dénominateur plus petits est obtenue, égale à la fraction précédente selon.

Formule pour réduire les fractions propriétés fondamentales des nombres rationnels.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Regardons un exemple :
Réduire la fraction \(\frac(9)(15)\)

Solution:
Nous pouvons étendre la fraction en facteurs premiers et réduire les facteurs communs.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Réponse : après réduction, nous avons obtenu la fraction \(\frac(3)(5)\). Selon la propriété fondamentale des nombres rationnels, les fractions originales et résultantes sont égales.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Comment réduire des fractions ? Réduire une fraction à sa forme irréductible.

Pour obtenir une fraction irréductible, il faut trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE) pour le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Il existe plusieurs façons de trouver GCD ; dans l’exemple, nous utiliserons la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Obtenez la fraction irréductible \(\frac(48)(136)\).

Solution:
Trouvons GCD(48, 136). Écrivons les nombres 48 et 136 en facteurs premiers.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
PGCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

La règle pour réduire une fraction à une forme irréductible.

1. Vous devez trouver le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
2. Vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun pour obtenir une fraction irréductible suite à la division.

Exemple:
Réduisez la fraction \(\frac(152)(168)\).

Solution:
Trouvons GCD(152, 168). Écrivons les nombres 152 et 168 en facteurs premiers.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
PGCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Réponse : \(\frac(19)(21)\) est une fraction irréductible.

Réduire les fractions impropres.

Comment réduire une fraction impropre ?
Les règles de réduction des fractions sont les mêmes pour les fractions propres et impropres.

Regardons un exemple :
Réduisez la fraction impropre \(\frac(44)(32)\).

Solution:
Écrivons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples. Et puis nous réduirons les facteurs communs.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Réduire les fractions mixtes.

Les fractions mixtes suivent les mêmes règles que les fractions ordinaires. La seule différence est que nous pouvons ne touchez pas la partie entière, mais réduisez la partie fractionnaire ou Convertissez une fraction mixte en fraction impropre, réduisez-la et reconvertissez-la en fraction propre.

Regardons un exemple :
Annulez la fraction mixte \(2\frac(30)(45)\).

Solution:
Résolvons-le de deux manières :
Première façon :
Écrivons la partie fractionnaire en facteurs simples, mais nous n'aborderons pas la partie entière.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Deuxième manière :
Convertissons-le d'abord en fraction impropre, puis écrivons-le en facteurs premiers et réduisons-le. Convertissons la fraction impropre résultante en une fraction propre.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Questions connexes :
Pouvez-vous réduire des fractions lors de l’addition ou de la soustraction ?
Réponse : non, vous devez d'abord ajouter ou soustraire des fractions selon les règles, puis les réduire seulement. Regardons un exemple :

Évaluez l’expression \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Solution:
Ils font souvent l’erreur de réduire les mêmes nombres au numérateur et au dénominateur, dans notre cas le nombre 20, mais ils ne peuvent être réduits que lorsque vous avez terminé l’addition et la soustraction.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

De quels nombres pouvez-vous réduire une fraction ?
Réponse : Vous pouvez réduire une fraction du plus grand commun diviseur ou du commun diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, la fraction \(\frac(100)(150)\).

Écrivons les nombres 100 et 150 en facteurs premiers.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Le plus grand diviseur commun sera le nombre PGCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nous avons la fraction irréductible \(\frac(2)(3)\).

Mais il n'est pas toujours nécessaire de diviser par pgcd ; une fraction irréductible n'est pas toujours nécessaire ; vous pouvez réduire la fraction par un simple diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, les nombres 100 et 150 ont un diviseur commun de 2. Réduisons la fraction \(\frac(100)(150)\) de 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nous avons la fraction réductible \(\frac(50)(75)\).

Quelles fractions peuvent être réduites ?
Réponse : Vous pouvez réduire les fractions dont le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Par exemple, la fraction \(\frac(4)(8)\). Les nombres 4 et 8 ont un nombre par lequel ils sont tous deux divisibles - le nombre 2. Par conséquent, une telle fraction peut être réduite du nombre 2.

Exemple:
Comparez les deux fractions \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(8)(12)\).

Ces deux fractions sont égales. Regardons de plus près la fraction \(\frac(8)(12)\) :

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\fois 1=\frac(2)(3)\)

De là, nous obtenons, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Deux fractions sont égales si et seulement si l’une d’elles est obtenue en réduisant l’autre fraction par le facteur commun du numérateur et du dénominateur.

Exemple:
Si possible, réduisez les fractions suivantes : a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Solution:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 fois 3 fois 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraction irréductible
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ fois 5)=\frac(2)(5)\)

Sans savoir comment réduire une fraction et sans avoir une compétence constante pour résoudre exemples similaires Il est très difficile d'étudier l'algèbre à l'école. Plus vous avancez, plus cela interfère avec vos connaissances de base sur la réduction des fractions. nouvelles informations. D’abord apparaissent des puissances, puis des facteurs, qui deviennent ensuite des polynômes.

Comment pouvez-vous éviter de vous perdre ici ? Consolider en profondeur les compétences dans les matières précédentes et se préparer progressivement à la connaissance de la réduction d'une fraction, qui devient plus complexe d'année en année.

Connaissances de base

Sans eux, vous ne pourrez pas faire face à des tâches de quelque niveau que ce soit. Pour comprendre, il faut comprendre deux moments simples. Premièrement : vous ne pouvez réduire que les facteurs. Cette nuance s’avère très importante lorsque des polynômes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, vous devez clairement distinguer où se trouve le multiplicateur et où se trouve l’addition.

Le deuxième point dit que n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de facteurs. De plus, le résultat de la réduction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits.

Règles de réduction des fractions communes

Tout d'abord, vous devez vérifier si le numérateur est divisible par le dénominateur ou vice versa. Alors c’est précisément ce nombre qu’il faut réduire. C'est l'option la plus simple.

La seconde est l'analyse apparence Nombres. Si les deux se terminent par un ou plusieurs zéros, ils peuvent alors être raccourcis de 10, 100 ou mille. Ici, vous pouvez remarquer si les nombres sont pairs. Si oui, vous pouvez le couper par deux en toute sécurité.

La troisième règle pour réduire une fraction consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. À l’heure actuelle, vous devez utiliser activement toutes vos connaissances sur les signes de divisibilité des nombres. Après cette décomposition, il ne reste plus qu'à trouver tous les répétitifs, à les multiplier et à les réduire par le nombre obtenu.

Et s’il existait une expression algébrique dans une fraction ?

C'est là qu'apparaissent les premières difficultés. Car c’est là qu’apparaissent des termes qui peuvent être identiques à des facteurs. Je veux vraiment les réduire, mais je ne peux pas. Avant de pouvoir réduire une fraction algébrique, elle doit être convertie pour qu’elle comporte des facteurs.

Pour ce faire, vous devrez effectuer plusieurs étapes. Vous devrez peut-être les parcourir tous, ou peut-être que le premier offrira une option appropriée.

Vérifiez si le numérateur et le dénominateur ou toute expression qu'ils contiennent diffèrent par leur signe. Dans ce cas, il suffit de mettre moins un entre parenthèses. Cela produit des facteurs égaux qui peuvent être réduits.

Voyez s'il est possible de supprimer le facteur commun du polynôme entre parenthèses. Peut-être que cela entraînera une parenthèse, qui peut également être raccourcie, ou un monôme supprimé.

Essayez de regrouper les monômes afin de leur ajouter ensuite un facteur commun. Après cela, il se peut que certains facteurs puissent être réduits, ou encore que la mise entre parenthèses d'éléments communs soit répétée.

Essayez d'envisager des formules de multiplication abrégées par écrit. Avec leur aide, vous pouvez facilement convertir des polynômes en facteurs.

Séquence d'opérations avec des fractions avec des puissances

Afin de comprendre facilement la question de savoir comment réduire une fraction avec des puissances, vous devez vous rappeler fermement les opérations de base avec elles. Le premier d’entre eux est lié à la multiplication des pouvoirs. Dans ce cas, si les bases sont les mêmes, il faut additionner les indicateurs.

La seconde est la division. Encore une fois, pour ceux qui ont les mêmes raisons, les indicateurs devront être soustraits. De plus, vous devez soustraire du nombre qui figure dans le dividende, et non l'inverse.

La troisième est l'exponentiation. Dans cette situation, les indicateurs sont multipliés.

Une réduction réussie nécessitera également la capacité de réduire les pouvoirs à des bases égales. Autrement dit, voir que quatre fait deux au carré. Ou 27 - le cube de trois. Parce que réduire 9 au carré et 3 au cube est difficile. Mais si nous transformons la première expression comme (3 2) 2, alors la réduction réussira.

La calculatrice en ligne fonctionne réduction de fractions algébriques conformément à la règle des fractions réductrices : remplacer la fraction d'origine par une fraction égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits, c'est-à-dire Diviser simultanément le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand facteur commun (PGCD). La calculatrice affiche également une solution détaillée qui vous aidera à comprendre la séquence de réduction.

Donné:

Solution:

Effectuer une réduction de fraction

vérifier la possibilité d'effectuer une réduction de fraction algébrique

1) Détermination du plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction

déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique

2) Réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction

réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique

3) Sélection de la partie entière d'une fraction

séparer la partie entière d'une fraction algébrique

4) Conversion d'une fraction algébrique en fraction décimale

convertir une fraction algébrique en décimal

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I. Procédure de réduction d'une fraction algébrique à l'aide d'une calculatrice en ligne :

1. Pour réduire une fraction algébrique, saisissez les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction dans les champs appropriés. Si la fraction est mixte, remplissez également le champ correspondant à la partie entière de la fraction. Si la fraction est simple, laissez le champ de la partie entière vide.
2. Pour spécifier une fraction négative, placez un signe moins sur toute la partie de la fraction.
3. En fonction de la fraction algébrique spécifiée, la séquence d'actions suivante est automatiquement effectuée :

• déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction;
• réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction par pgcd;
• mettre en évidence la partie entière d'une fraction, si le numérateur de la fraction finale est supérieur au dénominateur.
• convertir la fraction algébrique finale en fraction décimale arrondi au centième le plus proche.

II. Pour référence :

Une fraction est un nombre composé d'une ou plusieurs parties (fractions) d'une unité. Fraction commune(fraction simple) s'écrit sous la forme de deux nombres (le numérateur de la fraction et le dénominateur de la fraction) séparés par une barre horizontale (la barre de fraction) indiquant le signe de division. Le numérateur d'une fraction est le nombre situé au-dessus de la ligne de fraction. Le numérateur indique combien de parts ont été prélevées sur l'ensemble., donc une fraction propre est toujours inférieure à un. Exemple de fractions propres : 8/7, 11/19, 16/17.

Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, donc une fraction impropre est toujours supérieure ou égale à un. Exemple de fractions impropres : 7/6, 8/7, 13/13.

1. une fraction mixte est un nombre qui contient un nombre entier et une fraction propre, et désigne la somme de ce nombre entier et de la fraction propre. Toute fraction mixte peut être convertie en fraction impropre. Exemple de fractions mixtes : 1¼, 2½, 4¾. III. Note: , Bloc de données source mis en évidence, jaune.
2. le bloc de calculs intermédiaires est surligné en bleu

le bloc de solution est surligné en vert Pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions communes ou mixtes, utilisez le calculateur de fractions en ligne avec des solutions détaillées. La dernière fois, nous avons élaboré un plan, à la suite duquel vous pourrez apprendre à réduire rapidement les fractions. Considérons maintenant

exemples spécifiques

réduction des fractions.

Exemples.

Vérifions si le plus grand nombre est divisible par le plus petit nombre (numérateur par dénominateur ou dénominateur par numérateur) ? Oui, dans ces trois exemples, le plus grand nombre est divisé par le plus petit nombre. Ainsi, on réduit chaque fraction du plus petit des nombres (au numérateur ou au dénominateur). Nous avons:

Vérifions si le plus grand nombre est divisible par le plus petit nombre ? Non, ça ne partage pas.

Passons ensuite à la vérification du point suivant : la saisie du numérateur et du dénominateur se termine-t-elle par un, deux zéros ou plus ? Dans le premier exemple, le numérateur et le dénominateur se terminent par zéro, dans le deuxième par deux zéros, dans le troisième par trois zéros. Cela signifie que nous réduisons la première fraction de 10, la deuxième de 100 et la troisième de 1000 :

Nous avons des fractions irréductibles.

Un nombre plus grand ne peut pas être divisé par un nombre plus petit et les nombres ne se terminent pas par des zéros.

Vérifions maintenant si le numérateur et le dénominateur sont dans la même colonne de la table de multiplication ? 36 et 81 sont tous deux divisibles par 9, 28 et 63 sont divisibles par 7, et 32 ​​et 40 sont divisibles par 8 (ils sont aussi divisibles par 4, mais s'il y a le choix, on réduira toujours d'un plus grand). Ainsi, nous arrivons aux réponses :

Tous les nombres obtenus sont des fractions irréductibles.

Un nombre plus grand ne peut pas être divisé par un nombre plus petit. Mais l’enregistrement du numérateur et du dénominateur se termine par zéro. On réduit donc la fraction de 10 :

Cette fraction peut encore être réduite. On vérifie la table de multiplication : 48 et 72 sont tous deux divisibles par 8. On réduit la fraction par 8 :

Le plus grand nombre n'est pas divisible par le plus petit nombre. Le numérateur et le dénominateur se terminent par zéro. Cela signifie que nous réduisons la fraction de 10.

Nous vérifions les nombres obtenus au numérateur et au dénominateur pour et. Puisque la somme des chiffres de 27 et 531 est divisible par 3 et 9, cette fraction peut être réduite de 3 ou de 9. Nous choisissons la plus grande et réduisons de 9. Le résultat résultant est une fraction irréductible.

À première vue, les fractions algébriques semblent très complexes, et un élève non préparé peut penser qu'on ne peut rien en faire. L’accumulation de variables, de nombres et même de degrés suscite la peur. Cependant, les mêmes règles sont utilisées pour réduire les fractions communes (telles que 15/25) et algébriques.

Mesures

Réduire les fractions

Découvrez les activités avec fractions simples. Les opérations avec les fractions ordinaires et algébriques sont similaires. Par exemple, prenons la fraction 15/35. Pour simplifier cette fraction, il faut trouver un diviseur commun. Les deux nombres sont divisibles par cinq, on peut donc isoler 5 au numérateur et au dénominateur :

Maintenant tu peux réduire les facteurs communs, c'est-à-dire rayer 5 au numérateur et au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction simplifiée 3/7 . DANS expressions algébriques les facteurs communs sont répartis de la même manière que les facteurs ordinaires. Dans l'exemple précédent, nous avons pu facilement isoler 5 de 15 - le même principe s'applique à des expressions plus complexes telles que 15x – 5. Trouvons le facteur commun. DANS dans ce cas ce sera 5, puisque les deux termes (15x et -5) sont divisibles par 5. Comme précédemment, isolez le facteur commun et déplacez-le gauche.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Pour vérifier si tout est correct, multipliez simplement l'expression entre parenthèses par 5 - le résultat sera les mêmes nombres qu'au début. Les membres complexes peuvent être isolés de la même manière que les membres simples. Les mêmes principes s’appliquent aux fractions algébriques et aux fractions ordinaires. C'est le moyen le plus simple de réduire une fraction. Considérons la fraction suivante :

Notez que le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) contiennent tous deux un terme (x+2), il peut donc être réduit de la même manière que le facteur commun 5 dans la fraction 15/35 :

En conséquence, nous obtenons une expression simplifiée : (x-3)/(x+10)

Réduire des fractions algébriques

Trouvez le facteur commun au numérateur, c'est-à-dire en haut de la fraction. Lors de la réduction d’une fraction algébrique, la première étape consiste à simplifier les deux côtés. Commencez par le numérateur et essayez de le prendre en compte dans autant de facteurs que possible. Considérons dans cette section la fraction suivante :

Commençons par le numérateur : 9x – 3. Pour 9x et -3, le facteur commun est le nombre 3. Prenons 3 entre parenthèses, comme on le fait avec les nombres ordinaires : 3 * (3x-1). Le résultat de cette transformation est la fraction suivante :

Trouvez le facteur commun au numérateur. Continuons avec l'exemple ci-dessus et notons le dénominateur : 15x+6. Comme précédemment, trouvons par quel nombre les deux parties sont divisibles. Et dans ce cas le commun diviseur est 3, on peut donc écrire : 3 * (5x +2). Réécrivons la fraction sous la forme suivante :

Raccourcissez les mêmes termes. À cette étape, vous pouvez simplifier la fraction. Annulez les mêmes termes au numérateur et au dénominateur. Dans notre exemple, ce nombre est 3.

Déterminer que la fraction a forme la plus simple. Une fraction est complètement simplifiée lorsqu’il n’y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Notez que vous ne pouvez pas annuler les termes qui apparaissent entre parenthèses - dans l'exemple ci-dessus, il n'y a aucun moyen d'isoler x de 3x et 5x, puisque les termes complets sont (3x -1) et (5x + 2). Ainsi, la fraction ne peut pas être simplifiée davantage, et la réponse finale est la suivante :

Entraînez-vous à réduire les fractions par vous-même. La meilleure façon apprendre la méthode est décision indépendante tâches. Les bonnes réponses sont données sous les exemples.

Répondre:(x=13)

Répondre:(2x-1)/5

Mouvements spéciaux

Sortez-le signe négatif au-delà de la fraction. Supposons qu’on vous donne la fraction suivante :

Notez que (x-4) et (4-x) sont « presque » identiques, mais ils ne peuvent pas être réduits immédiatement car ils sont « inversés ». Cependant, (x - 4) peut s'écrire -1 * (4 - x), tout comme (4 + 2x) peut s'écrire 2 * (2 + x). C’est ce qu’on appelle « l’inversion des signes ».

Vous pouvez maintenant réduire les termes identiques (4-x) :

Nous obtenons donc la réponse finale : -3/5 . Apprenez à reconnaître la différence entre les carrés. Une différence de carrés se produit lorsque le carré d'un nombre est soustrait du carré d'un autre nombre, comme dans l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits peut toujours être décomposée en deux parties - la somme et la différence des carrés correspondants. racines carrées. L’expression prendra alors la forme suivante :

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Cette technique est très utile pour trouver des termes communs dans des fractions algébriques.

• Vérifiez si vous avez correctement pris en compte telle ou telle expression. Pour ce faire, multipliez les facteurs - le résultat devrait être la même expression.
• Pour simplifier complètement une fraction, isolez toujours les plus grands facteurs.