Entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique, en plus des formules de racine, il existe d'autres relations utiles qui sont données Théorème de Vieta. Dans cet article, nous donnerons une formulation et une preuve du théorème de Vieta pour équation quadratique. Considérons ensuite le théorème inverse du théorème de Vieta. Après cela, nous analyserons les solutions aux exemples les plus typiques. Enfin, nous écrivons les formules Vieta qui définissent la relation entre les racines réelles équation algébrique degré n et ses coefficients.

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Théorème de Vieta, formulation, preuve

À partir des formules pour les racines de l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 de la forme, où D=b 2 −4·a·c, les relations suivantes découlent : x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ces résultats sont confirmés Théorème de Vieta:

Théorème.

Si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique a x 2 +b x+c=0, alors la somme des racines est égale au rapport des coefficients b et a pris dans signe opposé, et le produit des racines est égal au rapport des coefficients c et a, c'est-à-dire .

Preuve.

Nous réaliserons la preuve du théorème de Vieta selon le schéma suivant : nous composerons la somme et le produit des racines de l'équation quadratique en utilisant des formules de racines connues, puis nous transformerons les expressions résultantes et nous assurerons qu'elles sont égales à − b/a et c/a, respectivement.

Commençons par la somme des racines et compensons-la. Maintenant, nous réduisons les fractions à dénominateur commun, nous avons . Au numérateur de la fraction résultante, après quoi :. Finalement, après 2, nous obtenons . Cela prouve la première relation du théorème de Vieta pour la somme des racines d'une équation quadratique. Passons à la seconde.

On compose le produit des racines de l'équation quadratique : . D'après la règle de multiplication des fractions, dernier morceau peut s'écrire . Maintenant, nous multiplions une parenthèse par une parenthèse au numérateur, mais il est plus rapide de réduire ce produit par formule de différence carrée, Donc . Ensuite, en nous souvenant, nous effectuons la transition suivante. Et puisque le discriminant de l'équation quadratique correspond à la formule D=b 2 −4·a·c, alors au lieu de D dans la dernière fraction nous pouvons substituer b 2 −4·a·c, nous obtenons. Après avoir ouvert les parenthèses et lancé le casting termes similaires on arrive à la fraction , et sa réduction par 4·a donne . Cela prouve la deuxième relation du théorème de Vieta pour le produit des racines.

Si l’on omet les explications, la preuve du théorème de Vieta prendra une forme laconique :
,
.

Il ne reste plus qu'à noter que si le discriminant est égal à zéro, l'équation quadratique a une racine. Cependant, si nous supposons que l’équation dans ce cas a deux racines identiques, alors les égalités du théorème de Vieta sont également valables. En effet, lorsque D=0 la racine de l'équation quadratique est égale à , alors et , et puisque D=0, soit b 2 −4·a.c=0, d'où b 2 =4·a.c, alors .

En pratique, le théorème de Vieta est le plus souvent utilisé en relation avec l'équation quadratique réduite (avec le coefficient dominant a égal à 1) de la forme x 2 +p·x+q=0. Parfois, il est formulé pour des équations quadratiques de ce type, ce qui ne limite pas la généralité, puisque toute équation quadratique peut être remplacée par une équation équivalente en divisant les deux côtés par un nombre non nul a. Donnons la formulation correspondante du théorème de Vieta :

Théorème.

La somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0 est égale au coefficient de x pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre, c'est-à-dire x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Théorème inverse du théorème de Vieta

La deuxième formulation du théorème de Vieta, donnée dans le paragraphe précédent, indique que si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0, alors les relations x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. D'autre part, des relations écrites x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q il s'ensuit que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique x 2 +p x+q=0. En d’autres termes, l’inverse du théorème de Vieta est vrai. Formulons-le sous la forme d'un théorème et démontrons-le.

Théorème.

Si les nombres x 1 et x 2 sont tels que x 1 +x 2 =−p et x 1 · x 2 =q, alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p · x+q =0.

Preuve.

Après avoir remplacé les coefficients p et q dans l'équation x 2 +p·x+q=0 par leurs expressions via x 1 et x 2, celle-ci est transformée en une équation équivalente.

Remplaçons le nombre x 1 au lieu de x dans l'équation résultante, nous avons l'égalité x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, qui pour tout x 1 et x 2 représente l'égalité numérique correcte 0=0, puisque x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 1 est la racine de l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, ce qui signifie que x 1 est la racine de l'équation équivalente x 2 +p·x+q=0.

Si dans l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0 remplacez le nombre x 2 au lieu de x, on obtient l'égalité x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. C'est une véritable égalité, puisque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 2 est aussi une racine de l’équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, et donc les équations x 2 +p·x+q=0.

Ceci termine la preuve du théorème, inverse du théorème Vieta.

Exemples d'utilisation du théorème de Vieta

Il est temps de parler de l'application pratique du théorème de Vieta et de son théorème inverse. Dans cette section, nous analyserons les solutions à plusieurs des exemples les plus typiques.

Commençons par appliquer le théorème inverse au théorème de Vieta. Il est pratique de l'utiliser pour vérifier si deux nombres donnés sont les racines d'une équation quadratique donnée. Dans ce cas, leur somme et leur différence sont calculées, après quoi la validité des relations est vérifiée. Si ces deux relations sont satisfaites, alors en vertu du théorème inverse du théorème de Vieta, on conclut que ces nombres sont les racines de l’équation. Si au moins une des relations n’est pas satisfaite, alors ces nombres ne sont pas les racines de l’équation quadratique. Cette approche peut être utilisée lors de la résolution d'équations quadratiques pour vérifier les racines trouvées.

Exemple.

Laquelle des paires de nombres 1) x 1 =−5, x 2 =3, ou 2) ou 3) est une paire de racines de l'équation quadratique 4 x 2 −16 x+9=0 ?

Solution.

Les coefficients de l'équation quadratique donnée 4 x 2 −16 x+9=0 sont a=4, b=−16, c=9. Selon le théorème de Vieta, la somme des racines d'une équation quadratique doit être égale à −b/a, soit 16/4=4, et le produit des racines doit être égal à c/a, soit 9. /4.

Calculons maintenant la somme et le produit des nombres dans chacune des trois paires données et comparons-les avec les valeurs que nous venons d'obtenir.

Dans le premier cas on a x 1 +x 2 =−5+3=−2. La valeur résultante est différente de 4, donc aucune autre vérification ne peut être effectuée, mais en utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta, on peut immédiatement conclure que la première paire de nombres n'est pas une paire de racines de l'équation quadratique donnée.

Passons au deuxième cas. Ici, la première condition est remplie. On vérifie la deuxième condition : la valeur résultante est différente de 9/4. Par conséquent, la deuxième paire de nombres n’est pas une paire de racines de l’équation quadratique.

Il reste un dernier cas. Ici et. Les deux conditions sont remplies, donc ces nombres x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique donnée.

Répondre:

L'inverse du théorème de Vieta peut être utilisée en pratique pour trouver les racines d'une équation quadratique. Habituellement, les racines entières des équations quadratiques données avec des coefficients entiers sont sélectionnées, car dans d'autres cas, cela est assez difficile à faire. Dans ce cas, ils utilisent le fait que si la somme de deux nombres est égale au deuxième coefficient de l'équation quadratique, pris avec un signe moins, et que le produit de ces nombres est égal au terme libre, alors ces nombres sont les racines de cette équation quadratique. Comprenons cela avec un exemple.

Prenons l'équation quadratique x 2 −5 x+6=0. Pour que les nombres x 1 et x 2 soient les racines de cette équation, deux égalités doivent être satisfaites : x 1 + x 2 =5 et x 1 ·x 2 =6. Il ne reste plus qu'à sélectionner de tels numéros. DANS dans ce cas c'est assez simple à faire : ces nombres sont 2 et 3, puisque 2+3=5 et 2·3=6. Ainsi, 2 et 3 sont les racines de cette équation quadratique.

Le théorème inverse du théorème de Vieta est particulièrement pratique à utiliser pour trouver la racine seconde d'une équation quadratique donnée lorsque l'une des racines est déjà connue ou évidente. Dans ce cas, la deuxième racine peut être trouvée à partir de n’importe quelle relation.

Par exemple, prenons l'équation quadratique 512 x 2 −509 x −3=0. Ici, il est facile de voir que l'unité est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients de cette équation quadratique est égale à zéro. Donc x1 =1. La deuxième racine x 2 peut être trouvée, par exemple, à partir de la relation x 1 · x 2 = c/a. Nous avons 1 x 2 =−3/512, d'où x 2 =−3/512. C'est ainsi que nous avons déterminé les deux racines de l'équation quadratique : 1 et −3/512.

Il est clair que la sélection des racines n'est conseillée que dans les cas les plus simples. Dans d'autres cas, pour trouver les racines, vous pouvez appliquer les formules des racines d'une équation quadratique via le discriminant.

Encore une chose application pratique Le théorème, inverse du théorème de Vieta, consiste à composer des équations quadratiques étant donné les racines x 1 et x 2. Pour ce faire, il suffit de calculer la somme des racines, qui donne le coefficient de x de signe opposé de l'équation quadratique donnée, et le produit des racines, qui donne le terme libre.

Exemple.

Écrivez une équation quadratique dont les racines sont −11 et 23.

Solution.

Notons x 1 =−11 et x 2 =23. On calcule la somme et le produit de ces nombres : x 1 +x 2 =12 et x 1 ·x 2 =−253. Par conséquent, les nombres indiqués sont les racines de l’équation quadratique réduite avec un deuxième coefficient de −12 et un terme libre de −253. Autrement dit, x 2 −12·x−253=0 est l'équation requise.

Répondre:

x 2 −12·x−253=0 .

Le théorème de Vieta est très souvent utilisé pour résoudre des problèmes liés aux signes des racines des équations quadratiques. Quel est le lien entre le théorème de Vieta et les signes des racines de l’équation quadratique réduite x 2 +p·x+q=0 ? Voici deux déclarations pertinentes :

• Si le terme libre q est nombre positif et si une équation quadratique a des racines réelles, alors soit elles sont toutes deux positives, soit toutes deux négatives.
• Si le terme libre q est un nombre négatif et si l'équation quadratique a des racines réelles, alors leurs signes sont différents, c'est-à-dire qu'une racine est positive et l'autre est négative.

Ces affirmations découlent de la formule x 1 · x 2 =q, ainsi que des règles de multiplication positive, nombres négatifs et des nombres avec des signes différents. Regardons des exemples de leur application.

Exemple.

R c'est positif. En utilisant la formule discriminante on trouve D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, la valeur de l'expression r 2 +8 est positif pour tout réel r, donc D>0 pour tout réel r. Par conséquent, l’équation quadratique originale a deux racines pour tout de vraies valeurs paramètre r.

Voyons maintenant quand les racines ont différents signes. Si les signes des racines sont différents, alors leur produit est négatif, et selon le théorème de Vieta, le produit des racines de l'équation quadratique réduite est égal au terme libre. Par conséquent, nous nous intéressons aux valeurs de r pour lesquelles le terme libre r−1 est négatif. Ainsi, pour trouver les valeurs de r qui nous intéressent, il faut décider inégalité linéaire r−1<0 , откуда находим r<1 .

Répondre:

à r<1 .

Formules Vieta

Ci-dessus, nous avons parlé du théorème de Vieta pour une équation quadratique et analysé les relations qu’il affirme. Mais il existe des formules reliant les racines réelles et les coefficients non seulement des équations quadratiques, mais aussi des équations cubiques, des équations du quatrième degré et, en général, équations algébriques diplôme n.m. Ils sont appelés Les formules de Vieta.

Écrivons la formule de Vieta pour une équation algébrique de degré n de la forme, et nous supposerons qu'elle a n racines réelles x 1, x 2, ..., x n (parmi elles il peut y en avoir des coïncidentes) :

Les formules de Vieta peuvent être obtenues théorème sur la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires, ainsi que la définition de polynômes égaux par l'égalité de tous leurs coefficients correspondants. Ainsi, le polynôme et son développement en facteurs linéaires de la forme sont égaux. En ouvrant les parenthèses dans le dernier produit et en égalisant les coefficients correspondants, on obtient les formules de Vieta.

En particulier, pour n=2, nous avons les formules Vieta déjà familières pour une équation quadratique.

Pour une équation cubique, les formules de Vieta ont la forme

Il ne reste plus qu’à noter que sur le côté gauche des formules de Vieta se trouvent les formules dites élémentaires polynômes symétriques.

Références.

• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : je vais. - ISBN978-5-09-022771-1.

Déterminer la somme des racines d'une équation est l'une des étapes nécessaires lors de la résolution d'équations quadratiques (équations de la forme ax² + bx + c = 0, où les exposants a, b et c sont des nombres arbitraires, et a ? 0) avec le support du théorème de Vieta.

Instructions

1. Écrivez l'équation quadratique sous la forme ax² + bx + c = 0 Exemple : Équation initiale : 12 + x² = 8x Équation correctement écrite : x² - 8x + 12 = 0

2. Appliquer le théorème de Vieta, selon lequel la somme des racines de l'équation sera égale au nombre « b » pris avec le signe opposé, et leur produit sera égal au nombre « c ». , b = -8, c = 12, respectivement : x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Découvrez si les racines des équations sont des nombres corrects ou négatifs. Si le produit et la somme des racines sont des nombres positifs, toutes les racines sont un nombre valide. Si le produit des racines est régulier et que la somme des racines est un nombre négatif, alors les deux racines sont négatives. Si le produit des racines est négatif, alors une racine a un signe « + » et l'autre un signe « - ». Dans ce cas, vous devez utiliser une règle supplémentaire : « Si la somme des racines est positive. nombre, la plus grande racine en module est également positive, et si la somme des racines est un nombre négatif, c'est une racine avec une valeur absolue plus grande - négative. " Exemple : Dans l'équation considérée, la somme et le produit sont corrects. nombres : 8 et 12, ce qui signifie que les deux racines sont des nombres positifs.

4. Résolvez le système d'équations résultant en sélectionnant les racines. Il sera plus pratique de commencer la sélection avec des facteurs, puis, pour vérifier, de substituer n'importe quelle paire de facteurs dans la deuxième équation et de vérifier si la somme de ces racines correspond à la solution. Exemple : x1∗x2=12 Paires appropriées de. les racines seront respectivement : 12 et 1, 6 et 2, 4 et 3 Vérifiez les paires résultantes en utilisant l'équation x1+x2=8. Paires 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Par conséquent, les racines de l'équation sont les nombres 6 et 8.

Une équation est une égalité de la forme f(x,y,…)=g(x,y,..), où f et g sont des fonctions d'une ou plusieurs variables. Découvrir la racine d’une équation signifie découvrir un ensemble d’arguments dans lesquels cette égalité est satisfaite.

Vous aurez besoin

• Connaissance de la révision mathématique.

Instructions

1. Il est possible que vous ayez une équation de la forme : x+2=x/5. Tout d’abord, déplaçons toutes les composantes de cette égalité du côté droit vers la gauche, en changeant le signe de la composante par celui opposé. Il y aura un zéro sur le côté droit de cette équation, c'est-à-dire que nous obtiendrons ce qui suit : x+2-x/5 = 0.

2. Présentons des termes similaires. On obtient ce qui suit : 4x/5 + 2 = 0.

3. Ensuite, à partir de l’équation réduite résultante, nous trouverons le terme inconnu, dans ce cas il s’agit de x. La valeur résultante de la variable inconnue sera la solution de l'équation initiale. Dans ce cas, on obtient ce qui suit : x = -2,5.

Vidéo sur le sujet

Faites attention!
Grâce à la solution, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Ils ne constitueront pas une solution à l’équation initiale, même si vous avez tout résolu de manière positive. Assurez-vous de vérifier toutes les solutions que vous recevez.

Conseils utiles
Vérifiez toujours les valeurs obtenues pour l'inconnu. Cela peut être fait simplement en substituant la valeur résultante dans l'équation initiale. Si l’égalité est correcte, alors la solution est correcte.

Le théorème de Vieta établit une connexion directe entre les racines (x1 et x2) et les exposants (b et c, d) d'une équation du type bx2+cx+d=0. A l'aide de ce théorème, il est possible, sans déterminer la signification des racines, de calculer leur somme, audacieusement, dans l'esprit. Il n'y a rien de difficile là-dedans, l'essentiel est de connaître quelques règles.

Vous aurez besoin

• - une calculatrice ;
• - du papier pour les notes.

Instructions

1. Amenez l'équation quadratique étudiée sous une forme standard, de sorte que tous les exposants soient par ordre décroissant, c'est-à-dire que d'abord le degré le plus élevé est x2, et à la fin le degré zéro est x0. L'équation prendra la forme : b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Vérifiez la non-négativité du discriminant. Cette vérification est nécessaire pour s'assurer que l'équation a des racines. D (discriminant) prend la forme : D = c2 – 4*b*d. Il existe plusieurs options ici. D – discriminant – correct, ce qui signifie que l'équation a deux racines. D est égal à zéro, il s'ensuit qu'il existe une racine, mais elle est double, c'est-à-dire x1 = x2. D est négatif, pour un cours d'algèbre scolaire cette condition signifie qu'il n'y a pas de racines, pour les mathématiques supérieures il y a des racines, mais elles sont complexes.

3. Déterminez la somme des racines de l’équation. En utilisant le théorème de Vieta, c'est facile à faire : b*x2+c*x+d = 0. La somme des racines de l'équation est directement proportionnelle à « –c » et inversement proportionnelle à l'exposant « b ». À savoir, x1+x2 = -c/b. Déterminez le produit des racines selon la formulation - le produit des racines d'une équation est directement proportionnel à « d » et inversement proportionnel à l'indicateur « b » : x1*x2 = d/b.

Faites attention!
Si vous recevez un discriminant négatif, cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de racines. Cela signifie que les racines de l’équation sont ce qu’on appelle les racines complexes. Le théorème de Vieta est également applicable dans ce cas, mais sa forme sera légèrement modifiée : [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Conseils utiles
Si vous n'êtes pas confronté à une équation quadratique, mais à une équation cubique ou de degré n : b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, alors pour calculer la somme ou le produit des racines du équation, vous pouvez également utiliser correctement le théorème de Vieta :1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (md/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Si, lors de la substitution d'un nombre dans une équation, l'égalité correcte est obtenue, un tel nombre est appelé racine. Les racines peuvent être régulières, négatives ou nulles. Parmi chaque ensemble de racines de l’équation, on distingue le maximum et le minimum.

Instructions

1. Trouvez toutes les racines de l’équation, choisissez parmi elles la négative, s’il y en a une. Disons que l'on nous donne une équation quadratique 2x?-3x+1=0. Appliquez la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique : x(1,2)=/2=/2=/2, puis x1=2, x2=1. Il est facile de remarquer qu’il n’y a pas de négatifs parmi eux.

2. Vous pouvez également trouver les racines d'une équation quadratique en utilisant le théorème de Vieta. D'après ce théorème, x1+x1=-b, x1?x2=c, où b et c sont respectivement les exposants de l'équation x?+bx+c=0. En appliquant ce théorème, il est possible de ne pas calculer le discriminant b?-4ac, ce qui dans certains cas peut simplifier considérablement le problème.

3. Si dans une équation quadratique l'exposant en x est pair, vous pouvez utiliser non pas la formule principale, mais une formule abrégée pour trouver les racines. Si la formule de base ressemble à x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, alors sous forme abrégée, elle s'écrit comme suit : x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/une. S’il n’y a pas de terme fictif dans une équation quadratique, il est assez facile de déplacer x hors des parenthèses. Et parfois, le côté gauche se plie en un carré complet : x?+2x+1=(x+1) ?.

4. Il existe des types d’équations qui donnent non pas un seul nombre, mais tout un tas de solutions. Disons des équations trigonométriques. Ainsi, le résultat de l’équation 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 sera x=?/4+?k, où k est un entier. Autrement dit, lors de la substitution d'une valeur entière du paramètre k, l'argument x satisfera l'équation donnée.

5. Dans les problèmes de trigonométrie, vous devrez peut-être trouver toutes les racines négatives ou la plus élevée des racines négatives. Pour résoudre de tels problèmes, le raisonnement logique ou la méthode d'induction mathématique est utilisé. Branchez quelques valeurs entières pour k dans l'expression x=?/4+?k et observez comment fonctionne l'argument. À propos, la plus grande racine négative de l’équation précédente sera x=-3?/4 avec k=1.

Vidéo sur le sujet

Faites attention!
Dans cet exemple, nous avons considéré une version d'une équation quadratique dans laquelle a=1. Afin de résoudre une équation quadratique complète en utilisant la même méthode, où a&ne 1, vous devez créer une équation auxiliaire, amenant « a » à l'unité.

Conseils utiles
Utilisez cette méthode de résolution d’équations pour découvrir rapidement les racines. Cela vous aidera également si vous devez résoudre une équation dans votre tête sans prendre de notes.

La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

(Rappel : une équation quadratique réduite est une équation dont le premier coefficient est 1).

Explication:

Soit l'équation quadratique hache 2 +boîte +c= 0 a des racines X 1 et X 2. Alors, d’après le théorème de Vieta :

Exemple 1 :

L'équation donnée x 2 – 7x + 10 = 0 a les racines 2 et 5.

La somme des racines est 7 et le produit est 10.

Et dans notre équation, le deuxième coefficient est -7 et le terme libre est 10.

Ainsi, la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Très souvent, il existe des équations quadratiques qui peuvent être facilement calculées à l'aide du théorème de Vieta. De plus, il est plus facile de les calculer avec son aide. Ceci est facile à vérifier aussi bien dans l’exemple précédent que dans le suivant.

Exemple 2. Résoudre l'équation quadratique X 2 – 2X – 24 = 0.

Solution .

Nous appliquons le théorème de Vieta et notons deux identités :

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

On sélectionne de tels facteurs pour –24 pour que leur somme soit égale à 2. Après réflexion, on trouve : 6 et –4. Vérifions :

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Comme vous l'avez remarqué, en pratique, l'essence du théorème de Vieta est de décomposer le terme libre de l'équation quadratique donnée en facteurs dont la somme est égale au deuxième coefficient de signe opposé.

Ces facteurs seront les racines.

Cela signifie que les racines de notre équation quadratique sont 6 et –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

Répondre:

Exemple 3. Résolvons l'équation quadratique 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Solution .

Nous n’avons pas ici affaire à une équation quadratique réduite. Mais de telles équations peuvent également être résolues à l'aide du théorème de Vieta si leurs coefficients sont équilibrés - par exemple, si la somme du premier et du troisième coefficient est égale au deuxième de signe opposé.

3 + (–5) = –2.

Les coefficients de l'équation sont équilibrés : la somme des premier et troisième termes est égale au deuxième de signe opposé :

Conformément au théorème de Vieta
x1 + x2 = –2/3

x1x2 = –5/3.

Nous devons trouver deux nombres dont la somme est –2/3 et le produit –5/3. Ces nombres seront les racines de l’équation.
Le premier nombre est deviné tout de suite : c'est 1. Après tout, lorsque x = 1, l'équation se transforme en l'addition et la soustraction la plus simple :
3 + 2 – 5 = 0. Comment trouver la deuxième racine ?

Représentons 1 par 3/3 pour que tous les nombres aient le même dénominateur : c'est plus simple ainsi. Et d’autres actions surviennent immédiatement. Si x 1 = 3/3, alors :

3/3 + x2 = –2/3.

Résolvons une équation simple :

x2 = –2/3 – 3/3.

Réponse : x 1 = 1 ; x2 = –5/3 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 – 6Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 – 1 = 0.

x

Solution : X Une racine se révèle immédiatement - elle attire votre attention :

1 = 1 (car une arithmétique simple donne : 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Les coefficients de l'équation sont équilibrés : la somme du premier et du troisième est égale au deuxième de signe opposé :

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Remplacez la valeur x 1 par l'une de ces deux expressions et trouvez x 2 :

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Répondre : X 1 = 1; X 2 = –1/7

Discriminant de l'équation quadratique réduite.

Le discriminant de l'équation quadratique réduite peut être calculé soit par une formule générale, soit par une formule simplifiée :

ÀD = 0, les racines de l'équation ci-dessus peuvent être calculées à l'aide de la formule :

Si D< 0, то уравнение не имеет корней.

Si D = 0, alors l’équation a une racine.

Si D > 0, alors l’équation a deux racines.