AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION

INSTITUT POUR LE DÉVELOPPEMENT ÉDUCATIF

"Méthodes graphiques de résolution d'équations et d'inégalités avec paramètres"

Complété

professeur de mathématiques

Établissement d'enseignement municipal école secondaire n°62

Lipetsk 2008

INTRODUCTION................................................. ....................................................... ............ .3

X;à) 4

1.1. Transfert parallèle............................................................ ................................... 5

1.2. Tourner................................................. .................................................................. ...... 9

1.3. Homothétie. Compression en ligne droite............................................................ ..... ................. 13

1.4. Deux lignes droites dans un avion............................................................ ....... ....................... 15

2. TECHNIQUES GRAPHIQUES. PLAN DE COORDONNEES ( X;UN) 17

CONCLUSION................................................. ....................................... 20

LISTE BIBLIOGRAPHIQUE.................................................. ....................... ........ 22

INTRODUCTION

Les problèmes que rencontrent les écoliers lors de la résolution d'équations et d'inégalités non standard sont causés à la fois par la complexité relative de ces problèmes et par le fait que l'école, en règle générale, se concentre sur la résolution de problèmes standard.

De nombreux écoliers perçoivent le paramètre comme un nombre « ordinaire ». En effet, dans certains problèmes un paramètre peut être considéré comme une valeur constante, mais cette valeur constante prend des valeurs inconnues ! Il est donc nécessaire de considérer le problème pour toutes les valeurs possibles de cette constante. Dans d’autres problèmes, il peut être pratique de déclarer artificiellement l’une des inconnues comme paramètre.

D'autres écoliers traitent un paramètre comme une quantité inconnue et peuvent, sans gêne, exprimer le paramètre en termes de variable dans leur réponse. X.

Lors des examens finaux et d'entrée, il existe principalement deux types de problèmes liés aux paramètres. Vous pouvez immédiatement les distinguer par leur formulation. Premièrement : « Pour chaque valeur de paramètre, trouvez toutes les solutions à une équation ou une inégalité. » Deuxièmement : « Trouver toutes les valeurs du paramètre, pour chacune desquelles certaines conditions sont satisfaites pour une équation ou une inégalité donnée. » En conséquence, les réponses aux problèmes de ces deux types diffèrent fondamentalement. La réponse à un problème du premier type répertorie toutes les valeurs possibles du paramètre et pour chacune de ces valeurs les solutions de l'équation sont écrites. La réponse à un problème du deuxième type indique toutes les valeurs des paramètres sous lesquelles les conditions spécifiées dans le problème sont remplies.

La solution d'une équation avec un paramètre pour une valeur fixe donnée du paramètre est une telle valeur de l'inconnue, lorsqu'elle est substituée dans l'équation, cette dernière se transforme en une égalité numérique correcte. La solution d’une inégalité avec un paramètre est déterminée de la même manière. Résoudre une équation (inégalité) avec un paramètre signifie, pour chaque valeur admissible du paramètre, trouver l'ensemble de toutes les solutions d'une équation (inégalité) donnée.

1. TECHNIQUES GRAPHIQUES. PLAN DE COORDONNEES ( X;à)

Outre les techniques et méthodes analytiques de base permettant de résoudre des problèmes liés aux paramètres, il existe des moyens d'utiliser des interprétations visuelles et graphiques.

Selon le rôle attribué au paramètre dans le problème (inégal ou égal à la variable), on distingue respectivement deux techniques graphiques principales : la première est la construction d'une image graphique sur le plan de coordonnées (X;y), le deuxième - sur (X; UN).

Sur le plan (x; y) la fonction y =f (X; UN) définit une famille de courbes en fonction du paramètre UN. Il est clair que chaque famille f possède certaines propriétés. Nous nous intéresserons principalement à quel type de transformation plane (translation parallèle, rotation, etc.) peut être utilisée pour passer d'une courbe de la famille à une autre. Un paragraphe distinct sera consacré à chacune de ces transformations. Il nous semble qu'une telle classification permet au décideur de trouver plus facilement l'image graphique nécessaire. A noter qu'avec cette approche, la partie idéologique de la solution ne dépend pas de quelle figure (droite, cercle, parabole, etc.) fera partie de la famille des courbes.

Bien entendu, l’image graphique de la famille n’est pas toujours y =f (X;UN) décrit par une simple transformation. Par conséquent, dans de telles situations, il est utile de se concentrer non pas sur la façon dont les courbes d’une même famille sont liées, mais sur les courbes elles-mêmes. En d’autres termes, on peut distinguer un autre type de problème dans lequel l’idée d’une solution repose avant tout sur les propriétés de éléments spécifiques. formes géométriques, et non la famille dans son ensemble. Quelles figures (plus précisément, familles de ces figures) vont nous intéresser en premier lieu ? Ce sont des lignes droites et des paraboles. Ce choix est dû à la position particulière (de base) des éléments linéaires et fonctions quadratiques en mathématiques scolaires.

En ce qui concerne les méthodes graphiques, il est impossible d’éviter un problème « né » de la pratique des concours. Nous faisons référence à la question de la rigueur, et donc de la légalité, d'une décision fondée sur des considérations graphiques. Sans aucun doute, d’un point de vue formel, le résultat tiré du « tableau », non étayé analytiquement, n’a pas été obtenu de manière stricte. Cependant, qui, quand et où détermine le niveau de rigueur auquel doit se conformer un lycéen ? À notre avis, les exigences relatives au niveau de rigueur mathématique d'un étudiant doivent être déterminées par le bon sens. On comprend le degré de subjectivité d’un tel point de vue. De plus, la méthode graphique n’est qu’un des moyens de clarté. Et la visibilité peut être trompeuse..gif" width="232" height="28"> n'a qu'une seule solution.

Solution. Pour plus de commodité, nous désignons LG b = une.Écrivons une équation équivalente à celle d'origine : https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Construire un graphique d'une fonction avec le domaine de définition et (Fig. 1). Le graphique résultant est une famille de droites y = une doit se croiser en un seul point. La figure montre que cette exigence n'est remplie que lorsque un > 2, c'est-à-dire LG b> 2, b> 100.

Répondre. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> déterminer le nombre de solutions à l'équation .

Solution. Traçons la fonction 102" height="37" style="vertical-align:top">

Considérons. Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe OX.

Répondre..gif" width="41" height="20">, puis 3 solutions ;

si , alors 2 solutions ;

si , 4 solutions.

Passons à une nouvelle série de tâches..gif" width="107" height="27 src=">.

Solution. Construisons une ligne droite à= X+1 (Fig. 3)..gif" width="92" height="57">

avoir une solution, qui est équivalente à l'équation ( X+1)2 = x + UN avoir une racine..gif" width="44 height=47" height="47"> l'inégalité d'origine n'a pas de solutions. Notez que quelqu'un qui connaît la dérivée peut obtenir ce résultat différemment.

Ensuite, en déplaçant la « semi-parabole » vers la gauche, nous fixerons le dernier moment où les graphiques à = X+ 1 et ont deux points communs (position III). Cette disposition est assurée par l'exigence UN= 1.

Il est clair que pour le segment [ X 1; X 2], où X 1 et X 2 – les abscisses des points d'intersection des graphiques, seront la solution de l'inégalité d'origine..gif" width="68 height=47" height="47">, puis

Lorsqu'une "semi-parabole" et une droite se coupent en un seul point (cela correspond au cas un > 1), alors la solution sera le segment [- UN; X 2"], où X 2" – la plus grande des racines X 1 et X 2 (position IV).

Exemple 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . De là, nous obtenons .

Regardons les fonctions et . Parmi elles, une seule définit une famille de courbes. Nous voyons maintenant que le remplacement a apporté des avantages incontestables. En parallèle, on note que dans le problème précédent, en utilisant un remplacement similaire, on peut effectuer non pas un mouvement « semi-parabolique », mais une ligne droite. Passons à la Fig. 4. Évidemment, si l'abscisse du sommet de la « demi-parabole » est supérieure à un, soit –3 UN > 1, , alors l'équation n'a pas de racines..gif" width="89" height="29"> et a un caractère de monotonie différent.

Répondre. Si alors l’équation a une racine ; si https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

a des solutions.

Solution. Il est clair que les familles directes https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Signification k1 nous trouverons en substituant la paire (0;0) dans la première équation du système. D'ici k1 =-1/4. Signification k 2 nous obtenons en exigeant du système

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> quand k> 0 a une racine. D'ici k2= 1/4.

Répondre. .

Faisons une remarque. Dans quelques exemples de ce point, nous devrons résoudre un problème classique : pour une famille de droites, trouver sa pente correspondant au moment de tangence avec la courbe. Nous allons vous montrer comment procéder dans vue générale en utilisant la dérivée.

Si (x0; oui 0) = centre de rotation, puis les coordonnées (X 1; à 1) points de tangence avec la courbe y =f(x) peut être trouvé en résolvant le système

La pente requise kégal à .

Exemple 6. Pour quelles valeurs du paramètre l'équation a-t-elle une solution unique ?

Solution..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB.

Tous les rayons passant entre OA et OB coupent l'arc AB en un point, et coupent également l'arc AB OB et OM (tangente) en un point..gif" width="16" height="48 src=">. Facteur de pente la tangente est égale à . Facilement trouvé à partir du système

Alors, dirigez les familles https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Répondre. .

Exemple 7..gif" width="160" height="25 src="> a une solution ?

Solution..gif" width="61" height="24 src="> et diminue de . Le point est le point maximum.

Une fonction est une famille de droites passant par le point https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> est l'arc AB. La droite les lignes qui seront situées entre les droites OA et OB, satisfont aux conditions du problème..gif" width="17" height="47 src=">.

Répondre..gif" width="15" height="20">aucune solution.

1.3. Homothétie. Compression en ligne droite.

Exemple 8. Combien de solutions le système propose-t-il ?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> le système n'a pas de solutions. Pour un fixe un > 0 le graphique de la première équation est un carré avec des sommets ( UN; 0), (0;-UN), (-un;0), (0;UN). Ainsi, les membres de la famille sont des carrés homothétiques (le centre d'homothétie est le point O(0; 0)).

Passons à la Fig. 8..gif" width="80" height="25"> chaque côté du carré a deux points communs avec le cercle, ce qui signifie que le système aura huit solutions. Lorsque le cercle s'avère inscrit dans le carré, c'est-à-dire qu'il y aura à nouveau quatre solutions. De toute évidence, le système n'a pas de solutions.

Répondre. Si UN< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, alors il y a quatre solutions ; si , alors il y a huit solutions.

Exemple 9. Recherchez toutes les valeurs du paramètre, pour chacune desquelles l'équation est https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Considérez la fonction ..jpg" width="195" height="162">

Le nombre de racines correspondra au nombre 8 lorsque le rayon du demi-cercle est supérieur et inférieur à , c'est-à-dire. Notez qu'il y a .

Répondre. ou .

1.4. Deux lignes droites dans un avion

Essentiellement, l'idée de résoudre les problèmes de ce paragraphe repose sur la question de l'étude de la position relative de deux droites : Et . Il est facile de montrer la solution à ce problème sous une forme générale. Nous nous tournerons directement vers des exemples typiques spécifiques qui, à notre avis, ne nuiront pas à l'aspect général de la question.

Exemple 10. Pour quoi a et b font le système

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

L'inégalité du système définit un demi-plan de frontière à= 2x– 1 (Fig. 10). Il est facile de comprendre que le système résultant a une solution si la droite ah +par = 5 coupe la limite d'un demi-plan ou, étant parallèle à celui-ci, se trouve dans le demi-plan à– 2x + 1 < 0.

Commençons par le cas b = 0. Il semblerait alors que l’équation Oh+ par = 5 définit une ligne verticale qui coupe évidemment la ligne y = 2X- 1. Cependant, cette affirmation n'est vraie que lorsque ..gif" width="43" height="20 src="> le système a des solutions ..gif" width="99" height="48">. Dans ce cas, la condition d'intersection des lignes est réalisée en , c'est-à-dire ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> et , ou et , ou et https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

−B plan de coordonnées xOa nous traçons la fonction .

− Considérez les droites et sélectionnez les intervalles de l'axe Oa auxquels ces droites satisfont aux conditions suivantes : a) ne coupe pas le graphique de la fonction https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> en un point, c) en deux points, d) en trois points et ainsi de suite.

− Si la tâche consiste à trouver les valeurs de x, alors nous exprimons x en termes de a pour chacun des intervalles trouvés de la valeur de a séparément.

La vue d'un paramètre comme variable égale se reflète dans les méthodes graphiques..jpg" width="242" height="182">

Répondre. une = 0 ou une = 1.

CONCLUSION

Nous espérons que les problèmes analysés démontreront de manière convaincante l'efficacité des méthodes proposées. Cependant, malheureusement, le champ d'application de ces méthodes est limité par les difficultés qui peuvent être rencontrées lors de la construction d'une image graphique. Est-ce vraiment si grave ? Apparemment non. En effet, avec cette approche, la principale valeur didactique des problèmes avec paramètres en tant que modèle de recherche miniature est largement perdue. Cependant, les considérations ci-dessus s'adressent aux enseignants, et pour les candidats la formule est tout à fait acceptable : la fin justifie les moyens. D'ailleurs, prenons-nous la liberté de dire que dans un nombre considérable d'universités, les compilateurs de problèmes de concurrence avec paramètres suivent le chemin de l'image à la condition.

Dans ces problèmes, nous avons discuté des possibilités de résolution de problèmes avec un paramètre qui s'ouvrent à nous lorsque nous dessinons des graphiques de fonctions incluses dans les côtés gauche et droit d'équations ou d'inégalités sur une feuille de papier. Du fait que le paramètre peut prendre des valeurs arbitraires, l'un ou les deux graphiques affichés se déplacent d'une certaine manière sur le plan. On peut dire que l'on obtient toute une famille de graphiques correspondant à différentes valeurs du paramètre.

Insistons avec force sur deux détails.

Premièrement, nous ne parlons pas d’une solution « graphique ». Toutes les valeurs, coordonnées, racines sont calculées strictement, analytiquement, en tant que solutions aux équations et systèmes correspondants. Il en va de même pour les cas de graphiques touchés ou croisés. Ils ne sont pas déterminés à l'œil nu, mais à l'aide de discriminants, dérivés et autres outils à votre disposition. L'image donne seulement une solution.

Deuxièmement, même si vous ne trouvez aucun moyen de résoudre le problème associé aux graphiques présentés, votre compréhension du problème se développera considérablement, vous recevrez des informations pour l'auto-test et les chances de succès augmenteront considérablement. En imaginant avec précision ce qui se passe dans un problème lorsque différentes significations paramètre, vous pouvez trouver l’algorithme de solution correct.

Nous conclurons donc ces mots par une phrase urgente : si, dans la moindre mesure tâche difficile Il y a des fonctions pour lesquelles vous savez dessiner des graphiques, assurez-vous de le faire, vous ne le regretterez pas.

LISTE BIBLIOGRAPHIQUE

1. Cherkasov, : Manuel destiné aux lycéens et aux candidats aux universités [Texte] /, . – M. : AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. Gorshtein, avec paramètres [Texte] : 3e édition, augmentée et révisée / , . – M. : Ilexa, Kharkov : Gymnase, 1999. – 336 p.

Laisser f(x,y) Et g(x,y)- deux expressions avec des variables X Et à et la portée X. Alors les inégalités de la forme f(x,y) > g(x,y) ou f(x,y) < g(x,y) appelé inégalité à deux variables .

Signification des variables x, y de beaucoup X, auquel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique, on l'appelle décision et est désigné (x, y). Résoudre les inégalités - cela signifie trouver beaucoup de ces paires.

Si chaque paire de nombres (x, y)à partir de l'ensemble des solutions à l'inégalité, faites correspondre le point M(x,y), on obtient l'ensemble des points sur le plan spécifié par cette inégalité. Ils l'appellent graphique de cette inégalité . Le graphique d’une inégalité est généralement une aire sur un plan.

Décrire l’ensemble des solutions à l’inégalité f(x,y) > g(x,y), procédez comme suit. Tout d’abord, remplacez le signe d’inégalité par un signe égal et trouvez une droite qui a l’équation f(x,y) = g(x,y). Cette ligne divise l'avion en plusieurs parties. Après cela, il suffit de prendre un point dans chaque partie et de vérifier si l'inégalité est satisfaite à ce stade. f(x,y) > g(x,y). S'il est exécuté à ce stade, alors il sera exécuté dans toute la partie où se trouve ce point. En combinant de telles pièces, nous obtenons de nombreuses solutions.

Tâche. oui > x.

Solution. Tout d’abord, nous remplaçons le signe d’inégalité par un signe égal et construisons une ligne dans un système de coordonnées rectangulaires qui a l’équation oui = x.

Cette ligne divise le plan en deux parties. Après cela, prenez un point dans chaque partie et vérifiez si l'inégalité est satisfaite à ce stade. oui > x.

Tâche. Résoudre graphiquement l'inégalité
X 2 + à 2 25 £.

Soit deux inégalités f 1(x, y) > g 1(x, y) Et f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systèmes d'ensembles d'inégalités à deux variables

Système d'inégalités représente toi-même conjonction de ces inégalités. Solution système est-ce que chaque sens (x, y), ce qui transforme chacune des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions systèmes Les inégalités sont l’intersection d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un système donné.

Ensemble d'inégalités représente toi-même disjonction de ces inégalités Définir la solution est-ce que chaque sens (x, y), qui convertit au moins une des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions totalité est une union d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un ensemble.

Tâche. Résoudre graphiquement le système d'inégalités

Solution. y = x Et X 2 + à 2 = 25. Nous résolvons chaque inégalité du système.

Le graphique du système sera l'ensemble des points sur le plan qui sont l'intersection (double hachure) des ensembles de solutions aux première et deuxième inégalités.

Tâche. Résoudre graphiquement un ensemble d'inégalités

Exercices pour le travail indépendant

1. Résolvez graphiquement les inégalités : a) à> 2x; b) à< 2x + 3;

V) x 2+ oui 2 > 9 ; G) x 2+ oui 2 £4.

2. Résoudre graphiquement des systèmes d'inégalités :

a)b)

Yuri Kotovchikhin, élève de 10e année

Les élèves commencent à étudier les équations avec des modules dès la 6e année ; ils apprennent la méthode de résolution standard en utilisant le développement de modules sur des intervalles de signe constant d'expressions sous-modulaires. J'ai choisi ce sujet en particulier parce que je pense qu'il nécessite une étude plus approfondie et plus approfondie ; les problèmes du module posent de grandes difficultés aux étudiants. DANS programme scolaire Il existe des tâches contenant un module ainsi que des tâches de complexité accrue dans les examens. Nous devons donc être prêts à faire face à une telle tâche.

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Établissement d'enseignement municipal

Moyenne lycée №5

Travaux de recherche sur le sujet :

« Solution algébrique et graphique d'équations et d'inégalités contenant un module»

Travaux terminés :

élève de 10ème année

Kotovchikhin Youri

Superviseur:

Professeur de mathématiques

Shanta N.P.

Ouryupinsk

1.Introduction……………………………………………………….3

2. Concepts et définitions…………………………………….5

3. Preuve des théorèmes…………………………………………..6

4. Méthodes de résolution des équations contenant le module…………...7

4.1. Solution utilisant les dépendances entre les nombres a et b, leurs modules et carrés…………………………………………………………………………12

4.2.Utilisation de l'interprétation géométrique du module pour résoudre des équations……………………………………………………………..14

4.3.Graphiques des fonctions les plus simples contenant le signe de la valeur absolue.

………………………………………………………………………15

4.4.Résolution d'équations non standard contenant un module....16

5. Conclusion……………………………………………………….17

6. Liste de la littérature utilisée……………………………18

Objectif du travail : les élèves commencent à étudier les équations avec des modules dès la 6e année ; ils apprennent la méthode de solution standard en utilisant le développement de modules sur des intervalles de signe constant d'expressions sous-modulaires. J'ai choisi ce sujet en particulier parce que je pense qu'il nécessite une étude plus approfondie et plus approfondie ; les problèmes du module posent de grandes difficultés aux étudiants. Dans le programme scolaire, il y a des tâches contenant un module comme des tâches de complexité accrue et dans les examens, nous devons donc être prêts à affronter une telle tâche.

1. Introduction :

Le mot « module » vient du mot latin « module », qui signifie « mesure ». Il s'agit d'un mot polysémantique (homonyme) qui a de nombreuses significations et est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture, physique, technologie, programmation et autres sciences exactes.

En architecture, c'est l'unité de mesure originale établie pour un objet donné. structure architecturale et servant à exprimer de multiples ratios de ses éléments constitutifs.

En technologie, il s'agit d'un terme utilisé dans divers domaines technologiques, qui n'a pas de sens universel et sert à désigner divers coefficients et grandeurs, par exemple module d'engagement, module élastique, etc.

Le module de masse (en physique) est le rapport entre la contrainte normale dans un matériau et l'allongement relatif.

2. Concepts et définitions

Le module - la valeur absolue - d'un nombre réel A est noté |A|.

Pour étudier ce sujet en profondeur, il est nécessaire de se familiariser avec les définitions les plus simples dont j'aurai besoin :

Une équation est une égalité contenant des variables.

Une équation avec un module est une équation contenant une variable sous le signe de la valeur absolue (sous le signe du module).

Résoudre une équation signifie trouver toutes ses racines, ou prouver qu’il n’y a pas de racines.

3.Preuve des théorèmes

Théorème 1. Valeur absolue d'un nombre réel est égal au plus grand des deux nombres a ou -a.

Preuve

1. Si le nombre a est positif, alors -a est négatif, c'est-à-dire -a

Par exemple, le nombre 5 est positif, alors -5 est négatif et -5

Dans ce cas |a| = une, c'est-à-dire |une| correspond au plus grand des deux nombres a et - a.

2. Si a est négatif, alors -a est positif et a

Conséquence. Il résulte du théorème que |-a| = |une|.

En fait, les deux et sont égaux au plus grand des nombres -a et a, ce qui signifie qu’ils sont égaux l’un à l’autre.

Théorème 2. La valeur absolue de tout nombre réel a est égale à l'arithmétique racine carrée de A 2 .

En fait, si alors, par définition du module d'un nombre, on aura lАl>0. Par contre, pour A>0 cela signifie |a| = √A 2

Si un 2

Ce théorème permet de remplacer |a| lors de la résolution de certains problèmes. sur

Géométriquement |a| désigne la distance sur la ligne de coordonnées entre le point représentant le nombre a et l'origine.

Si alors sur la ligne de coordonnées il y a deux points a et -a, équidistants de zéro, dont les modules sont égaux.

Si a = 0, alors sur la ligne de coordonnées |a| représenté par le point 0

4. Méthodes de résolution d'équations contenant un module.

Pour résoudre des équations contenant le signe de la valeur absolue, on s'appuiera sur la définition du module d'un nombre et les propriétés de la valeur absolue d'un nombre. Nous allons résoudre quelques exemples de différentes manières et voyons quelle méthode s'avère la plus simple pour résoudre des équations contenant un module.

Exemple 1. Résolvons analytiquement et graphiquement l'équation |x + 2| = 1.

Solution

Solution analytique

1ère méthode

Nous raisonnerons à partir de la définition d'un module. Si l'expression sous le module est non négative, c'est-à-dire x + 2 ≥0, alors elle « sortira » sous le signe du module avec un signe plus et l'équation prendra la forme : x + 2 = 1. Si le la valeur de l'expression sous le signe du module est négative, alors, par définition, elle sera égale à : ou x + 2=-1

Ainsi, nous obtenons soit x + 2 = 1, soit x + 2 = -1. En résolvant les équations résultantes, on trouve : X+2=1 ou X+2+-1

X=-1 X=3

Réponse : -3;-1.

Nous pouvons maintenant conclure : si le module d'une expression est égal à un nombre réel positif a, alors l'expression sous le module est soit a, soit -a.

Solution graphique

L'une des façons de résoudre les équations contenant un module est la méthode graphique. L’essence de cette méthode est de construire des graphiques de ces fonctions. Si les graphiques se croisent, les points d'intersection de ces graphiques seront les racines de notre équation. Si les graphiques ne se croisent pas, nous pouvons conclure que l’équation n’a pas de racines. Cette méthode est probablement utilisée moins souvent que d'autres pour résoudre des équations contenant un module, car, d'une part, elle prend beaucoup de temps et n'est pas toujours rationnelle, et, d'autre part, les résultats obtenus lors du tracé des graphiques ne sont pas toujours précis.

Une autre façon de résoudre des équations contenant un module consiste à diviser la droite numérique en intervalles. Dans ce cas, nous devons diviser la droite numérique afin que, par définition du module, le signe de la valeur absolue sur ces intervalles puisse être supprimé. Ensuite, pour chacun des intervalles, nous devrons résoudre cette équation et tirer une conclusion concernant les racines résultantes (qu'elles satisfassent ou non notre intervalle). Les racines qui comblent les lacunes donneront la réponse finale.

2ème méthode

Déterminons à quelles valeurs de x le module est égal à zéro : |X+2|=0, X=2

On obtient deux intervalles, sur chacun desquels on résout l'équation :

On obtient deux systèmes mixtes :

(1)X+2 0

X-2=1 X+2=1

Résolvons chaque système :

X=-3 X=-1

Réponse : -3;-1.

Solution graphique

y= |X+2|, y= 1.

Solution graphique

Pour résoudre l'équation graphiquement, vous devez créer des graphiques de fonctions et

Pour construire un graphique d'une fonction, construisons un graphique d'une fonction - il s'agit d'une fonction coupant l'axe OX et l'axe OY en des points.

Les abscisses des points d'intersection des graphiques de fonctions donneront des solutions à l'équation.

Le graphe droit de la fonction y=1 coupé avec le graphe de la fonction y=|x + 2| aux points de coordonnées (-3 ; 1) et (-1 ; 1), donc les solutions de l'équation seront les abscisses des points :

x=-3, x=-1

Réponse : -3 ; -1

Exemple 2. Résoudre analytiquement et graphiquement l'équation 1 + |x| = 0,5.

Solution:

Solution analytique

Transformons l'équation : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Il est clair que dans ce cas l’équation n’a pas de solution puisque, par définition, le module est toujours non négatif.

Réponse : il n’y a pas de solutions.

Solution graphique

Transformons l'équation : : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Le graphique de la fonction est constitué de rayons - bissectrices des 1er et 2ème angles de coordonnées. Le graphique de la fonction est une droite parallèle à l'axe OX et passant par le point -0,5 sur l'axe OY.

Les graphiques ne se croisent pas, ce qui signifie que l’équation n’a pas de solution.

Réponse : aucune solution.

Exemple 3. Résoudre analytiquement et graphiquement l'équation |-x + 2| = 2x + 1.

Solution:

Solution analytique

1ère méthode

Vous devez d'abord définir la plage de valeurs acceptables pour la variable. Une question naturelle se pose : pourquoi dans les exemples précédents, il n'était pas nécessaire de le faire, mais maintenant cela s'est posé.

Le fait est que dans cet exemple, sur le côté gauche de l'équation se trouve le module d'une expression, et sur le côté droit il n'y a pas un nombre, mais une expression avec une variable - c'est cette circonstance importante qui distingue cet exemple des précédents.

Puisqu'à gauche il y a un module, et à droite une expression contenant une variable, il faut exiger que cette expression soit non négative, c'est-à-dire Ainsi, la plage de valeurs valides

valeurs de module

Nous pouvons maintenant raisonner de la même manière que dans l’exemple 1, lorsqu’à droite de l’égalité nous trouvons nombre positif. On obtient deux systèmes mixtes :

(1) -X+2≥0 et (2) -X+2

X+2=2X+1 ; X-2=2X+1

Résolvons chaque système :

(1) est inclus dans l’intervalle et est la racine de l’équation.

X≤2

X=⅓

(2)X>2

X=-3

X = -3 n'est pas inclus dans l'intervalle et n'est pas une racine de l'équation.

Réponse : ⅓.

4.1. Solution utilisant les dépendances entre les nombres a et b, leurs modules et les carrés de ces nombres.

En plus des méthodes que j'ai données ci-dessus, il existe une certaine équivalence entre nombres et modules de nombres donnés, ainsi qu'entre carrés et modules de nombres donnés :

|une|=|b| a=b ou a=-b

A2=b2 a=b ou a=-b

De là, nous obtenons à notre tour que

|une|=|b| une 2 =b 2

Exemple 4. Résolvez l'équation |x + 1|=|2x - 5| de deux manières différentes.

1. Compte tenu de la relation (1), on obtient :

X + 1=2x - 5 ou x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Racine de la première équation x=6, racine de la deuxième équation x=11/3

Ainsi, les racines de l'équation originale x 1 =6, x2 =11/3

2. Grâce à la relation (2), on obtient

(x + 1)2=(2x - 5)2, ou x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>l'équation a 2 racines différentes.

x1 =(11 - 7)/3=11/3

x2 =(11 + 7)/3=6

Comme le montre la solution, les racines de cette équation sont aussi les nombres 11/3 et 6.

Réponse : x 1 =6, x 2 =11/3

Exemple 5. Résoudre l'équation (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Compte tenu de la relation (2), on obtient que |2x + 3|=|x - 1|, d'où, selon l'exemple de l'exemple précédent (et d'après la relation (1)) :

2x + 3=x - 1 ou 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Ainsi, les racines de l'équation sont x1 = -4 et x2 = -0, (6)

Réponse : x1=-4, x2 =0,(6)

Exemple 6. Résolvez l'équation |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

En utilisant la relation, on obtient :

x - 6=x2 - 5x + 9 ou x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> pas de racines.

X 1 =(4- 2) /2=1

X2 =(4 + 2) /2=3

Vérifier : |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(je)

Réponse : x1 =1 ; x2 =3

4.2.Utilisation de l'interprétation géométrique du module pour résoudre des équations.

La signification géométrique du module de la différence entre les grandeurs est la distance qui les sépare. Par exemple, la signification géométrique de l'expression |x - a | - longueur du segment axe de coordonnées, reliant les points d'abscisses a et x. Traduire un problème algébrique en langage géométrique permet souvent d’éviter des solutions lourdes.

Exemple 7. Résolvons l'équation |x - 1| + |x - 2|=1 en utilisant l'interprétation géométrique du module.

Nous raisonnerons ainsi : à partir de l’interprétation géométrique du module, côté gauche L'équation est la somme des distances d'un certain point d'abscisse x à deux points fixes d'abscisse 1 et 2. Il est alors évident que tous les points avec abscisse du segment ont la propriété requise, mais pas les points situés à l'extérieur de ce segment. D'où la réponse : l'ensemble des solutions de l'équation est le segment.

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Exemple8. Résolvons l'équation |x - 1| - |x - 2|=1 1 en utilisant l'interprétation géométrique du module.

Nous raisonnerons de la même manière que l'exemple précédent, et nous constaterons que la différence des distances aux points d'abscisses 1 et 2 n'est égale à un que pour les points situés sur l'axe de coordonnées à droite du chiffre 2. Par conséquent, la solution à cette équation ne sera pas le segment compris entre les points 1 et 2, et le rayon sortant du point 2 et dirigé dans le sens positif de l'axe OX.

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