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Donné matériel méthodologique est à titre de référence uniquement et s’applique à un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et aborde le problème le plus important : comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Au cours de l'étude des mathématiques supérieures, sans connaissance des graphiques des fonctions élémentaires de base, cela sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certains des significations des fonctions. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales. Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.
En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:
De plus, il y a un résumé ultra-court sur le sujet
– maîtrisez 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !
Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible moyennant des frais minimes ; une version de démonstration peut être consultée. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !
Et commençons tout de suite :
Comment construire correctement les axes de coordonnées ?
En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.
Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.
Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.
Considérons d'abord le cas bidimensionnel Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes:
1) Dessiner axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x
, et l'axe est axe y
. Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.
2) On signe les axes avec les grosses lettres « X » et « Y ». N'oubliez pas d'étiqueter les axes.
3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus
Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pour plan de coordonnées n'est pas un monument à Descartes, et l'étudiant n'est pas une colombe. Nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.
Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.
À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.
En parlant de qualité, ou une brève recommandation sur la papeterie. Aujourd’hui, la plupart des cahiers en vente sont pour le moins de la merde totale. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour l'inscription essais Je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâtes et papiers d'Arkhangelsk (18 feuilles, carrées) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul « compétitif » stylo à bille dans ma mémoire, c'est "Erich Krause". Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.
En plus: La vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est abordée dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, des informations détaillées sur coordonner les quartiers se trouve dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.
Cas 3D
C'est presque pareil ici.
1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe
– dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.
2) Étiquetez les axes.
3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.
Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).
A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.
Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires
Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.
Exemple 1
Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.
Si, alors
Prenons un autre point, par exemple le 1.
Si, alors
Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :
Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.
Deux points ont été trouvés, faisons un dessin :
Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.
Il serait utile de rappeler des cas particuliers de fonction linéaire :
Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. DANS dans ce cas Il était extrêmement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.
1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.
2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».
3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »
Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être le cas, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.
Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.
La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.
Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme
Parabole. Calendrier fonction quadratique  () représente une parabole. Considérons le cas célèbre :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. La raison pour laquelle il en est ainsi peut être trouvée dans l'article théorique sur la dérivée et la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :
Le sommet est donc au point
On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction  – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.
Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :
Cet algorithme de construction peut, au sens figuré, être appelé une « navette » ou le principe du « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.
Faisons le dessin :
Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :
Pour une fonction quadratique  () ce qui suit est vrai :
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.
Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
Graphique d'une fonction
Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :
Principales propriétés de la fonction :
Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale
pour le graphique d'une hyperbole en .
Ce serait une grossière erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous permettiez négligemment au graphique de croiser une asymptote.
De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.
Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » seront une étape ordonnée infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.
L'axe est donc asymptote horizontale
pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.
La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce fait ressort clairement du dessin, de plus, il est facilement vérifié analytiquement :  .
Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.
Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).
Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.
Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.
Exemple 3
Construire la branche droite de l'hyperbole
Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :
Faisons le dessin :
Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. Grosso modo, dans le tableau de construction point par point, on ajoute mentalement un moins à chaque nombre, on met les points correspondants et on trace la deuxième branche.
Des informations géométriques détaillées sur la droite considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.
Graphique d'une fonction exponentielle
Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle que l'on rencontre.
Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :
Laissons le graphique de la fonction seul pour l'instant, nous y reviendrons plus tard.
Principales propriétés de la fonction :
Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.
Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.
Graphique d'une fonction logarithmique
Considérons une fonction avec un logarithme népérien.
Faisons un dessin point par point :
Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.
Principales propriétés de la fonction :
Domaine de définition: 
Plage de valeurs : .
La fonction n'est pas limitée par le haut :  , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite :  . L'axe est donc asymptote verticale
pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.
Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .
En principe, le graphique du logarithme en base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.
Nous ne considérerons pas ce cas ; je ne me souviens pas de la dernière fois où j’ai construit un graphique avec une telle base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.
À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique– ce sont deux fonctions mutuellement inverses. Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.
Graphiques de fonctions trigonométriques
Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus
Traçons la fonction
Cette ligne s'appelle sinusoïde.
Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.
Principales propriétés de la fonction :
Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.
Domaine de définition: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.
Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution. |
Parabole. Le graphique de la fonction quadratique () est une parabole. Considérons le cas canonique :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Le domaine de définition est n’importe quel nombre réel (n’importe quelle valeur de « x »). Qu'est-ce que ça veut dire? Quel que soit le point sur l’axe que l’on choisisse, pour chaque « x » il y a un point de parabole. Mathématiquement cela s'écrit ainsi : . Le domaine de définition de toute fonction est généralement désigné par ou . La lettre désigne un ensemble de nombres réels ou, plus simplement, « n'importe quel X » (lorsque le travail est écrit dans un cahier, ils n'écrivent pas une lettre bouclée, mais une lettre en gras R.).
La plage est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable « y ». Dans ce cas : – l’ensemble de tous valeurs positives, dont zéro. La plage de valeurs est généralement désignée par ou .
La fonction est même Si la fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'axe. C'est très propriété utile, ce qui simplifie considérablement la construction d’un graphe, comme nous le verrons bientôt. Analytiquement, la parité d'une fonction est exprimée par la condition. Comment vérifier la parité d’une fonction ? Vous devez plutôt remplacer . Dans le cas d'une parabole, le contrôle ressemble à ceci : cela signifie que la fonction est paire.
Fonction pas limité d'en haut. Analytiquement, la propriété s'écrit comme suit : . Voici d'ailleurs un exemple de la signification géométrique de la limite d'une fonction : si l'on longe l'axe (à gauche ou à droite) jusqu'à l'infini, alors les branches de la parabole (signifiant « Y ») montera indéfiniment jusqu’à « plus l’infini ».
À étudier les limites des fonctions Il est conseillé de comprendre la signification géométrique de la limite.
Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit les propriétés de la fonction avec autant de détails ; toutes les choses ci-dessus sont utiles à connaître et à retenir lors de la construction de graphiques de fonctions, ainsi que lors de l'étude de graphiques de fonctions.
Exemple 2
Représenter graphiquement la fonction 
.
Dans cet exemple, nous examinerons un problème technique important : Comment construire rapidement une parabole ? Dans les tâches pratiques, la nécessité de dessiner une parabole se pose très souvent, notamment lors du calcul zone de la figure en utilisant intégrale définie
. Il est donc conseillé d’apprendre à réaliser un dessin rapidement, avec une perte de temps minimale. Je propose l'algorithme de construction suivant.
Nous trouvons d’abord le sommet de la parabole. Pour ce faire, prenez la dérivée première et assimilez-la à zéro :
Si vous êtes mauvais avec les produits dérivés, vous devriez lire la leçon Comment trouver la dérivée ?
Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Nous calculons la valeur correspondante de « Y » :
Le sommet est donc au point
On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.
Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :
Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré une « navette ». Peut-être que tout le monde ne comprend pas l'essence de la navette, alors à titre de comparaison, je vous rappelle la célèbre émission télévisée "Aller-retour avec Anfisa Chekhova".
Faisons le dessin :
Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :
Pour la fonction quadratique (), ce qui suit est vrai :
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Parabole cubique
Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
Le domaine de définition est n'importe quel nombre réel : .
Plage de valeurs – n'importe quel nombre réel : .
La fonction est impair. Si une fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine. Analytiquement, l'étrangeté d'une fonction est exprimée par la condition 
. Effectuons une vérification de la fonction cubique ; pour ce faire, au lieu de « X », nous remplaçons « moins X » :
, ce qui signifie que la fonction est impaire.
Fonction pas limité. Dans le langage des limites de fonctions, cela peut s’écrire comme suit :
Il est également plus efficace de construire une parabole cubique en utilisant l’algorithme de navette d’Anfisa Chekhova :
Vous avez sûrement remarqué à quel point la bizarrerie de la fonction se manifeste également. Si nous trouvions cela 
, alors lors du calcul, il n'est pas nécessaire de compter quoi que ce soit, nous l'écrivons automatiquement . Cette fonctionnalité est vraie pour toute fonction impaire.
Parlons maintenant un peu des graphiques de polynômes.
Graphique de n'importe quel polynôme du troisième degré 
() a essentiellement la forme suivante :
Dans cet exemple, le coefficient du degré le plus élevé est , le graphique est donc inversé. Les graphiques des polynômes des 5ème, 7ème, 9ème et autres degrés impairs ont essentiellement la même apparence. Plus le degré est élevé, plus les « zagibulines » sont intermédiaires.
Les polynômes des 4ème, 6ème et autres degrés pairs ont un graphique fondamentalement de la forme suivante :
Cette connaissance est utile lors de l’étude des graphiques de fonctions.
Graphique d'une fonction
Faisons le dessin :
Principales propriétés de la fonction :
Portée: .
Plage de valeurs : .
Autrement dit, le graphique de la fonction est entièrement situé dans le premier quadrant de coordonnées.
Fonction pas limité d'en haut. Ou en utilisant une limite : 
Lors de la construction des graphiques les plus simples avec des racines, la méthode de construction par points est également appropriée, et il est avantageux de sélectionner de telles valeurs « x » afin que la racine entière soit extraite :
En fait, j'aimerais regarder plus d'exemples avec des racines, par exemple, mais ils sont beaucoup moins courants. Je me concentre sur des cas plus courants et, comme le montre la pratique, quelque chose comme celui-ci doit être construit beaucoup plus souvent. Si le besoin s'en fait sentir de savoir à quoi ressemblent les graphiques avec d'autres racines, je recommande d'examiner manuel scolaire ou un ouvrage de référence mathématique.
Graphique hyperbole
Encore une fois, nous rappelons l’hyperbole triviale de « l’école ».
Faisons le dessin :
Principales propriétés de la fonction :
Portée: .
Plage de valeurs : .
La notation signifie : « tout nombre réel excluant zéro »
À un moment donné, la fonction subit une discontinuité infinie. Ou en utilisant unilatéral limites : , . Parlons un peu des limites unilatérales. L'entrée signifie que nous infiniment proche approcher l'axe de zéro gauche. Comment se comporte le planning ? Cela descend jusqu'à moins l'infini, infiniment proche en approchant de l'axe. C'est ce fait qui est écrit comme limite. De même, la notation signifie que nous infiniment proche approcher l'axe de zéro droite. Dans ce cas, la branche de l'hyperbole monte jusqu'à plus l'infini, infiniment proche en approchant de l'axe. Ou brièvement : .
gentil
Où Autrement dit, la fonction cubique est définie par un polynôme du troisième degré.
Propriétés analytiques
Application
La parabole cubique est parfois utilisée pour calculer la courbe de transition en transport, car son calcul est beaucoup plus simple que la construction d'une Clothoïde.
Voir aussi
Donnez votre avis sur l'article "Fonction cubique"
Remarques
Littérature
- L. S. Pontryagin, // « Quantum », 1984, n° 3.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, « Manuel de mathématiques », maison d'édition « Nauka », M. 1967, p. 84
Extrait caractérisant la fonction cubique
- Eh bien, quoi que ce soit pour...
A ce moment-là, Petya, à qui personne ne prêtait attention, s'approcha de son père et, tout rouge, d'une voix cassante, tantôt rauque, tantôt maigre, lui dit :
"Eh bien, maintenant, papa, je dirai de manière décisive - et maman aussi, comme tu le souhaites - je dirai de manière décisive que tu me laisseras entrer." service militaire, parce que je ne peux pas... c'est tout...
La comtesse leva les yeux au ciel avec horreur, joignit les mains et se tourna avec colère vers son mari.
- Alors j'ai accepté ! - dit-elle.
Mais le comte se remit aussitôt de son excitation.
«Eh bien, eh bien», dit-il. - Voici un autre guerrier ! Arrêtez les bêtises : vous devez étudier.
- Ce n'est pas un non-sens, papa. Fedya Obolensky est plus jeune que moi et vient aussi, et surtout, je ne peux toujours rien apprendre maintenant que... - Petya s'est arrêté, a rougi jusqu'à transpirer et a dit : - quand la patrie est en danger.
- Complet, complet, absurde...
- Mais tu as dit toi-même que nous allions tout sacrifier.
"Petya, je te le dis, tais-toi", cria le comte en se retournant vers sa femme qui, pâlissante, regardait fixement son plus jeune fils.
- Et je te le dis. Alors Piotr Kirillovitch dira...
"Je vous le dis, c'est n'importe quoi, le lait n'est pas encore séché, mais il veut faire son service militaire !" Eh bien, eh bien, je vous le dis, » et le comte, emportant les journaux avec lui, probablement pour les relire dans le bureau avant de se reposer, sortit de la chambre.
- Piotr Kirillovich, eh bien, allons fumer...
Pierre était confus et indécis. Les yeux inhabituellement brillants et animés de Natasha, se tournant constamment vers lui avec plus d'affection, l'ont amené dans cet état.
- Non, je pense que je vais rentrer à la maison...
- C'est comme rentrer à la maison, mais tu voulais passer la soirée avec nous... Et puis tu venais rarement. Et celle-ci… » dit le comte avec bonhomie en désignant Natacha, « elle n’est joyeuse que lorsqu’elle est avec toi… »
"Oui, j'ai oublié... Je dois absolument rentrer à la maison... Des choses à faire..." dit précipitamment Pierre.
"Eh bien, au revoir", dit le comte en quittant complètement la pièce.
- Pourquoi tu pars ? Pourquoi es-tu contrarié ? Pourquoi ?.. » demanda Natasha à Pierre en le regardant dans les yeux d'un air de défi.
« Parce que je t'aime ! - il voulait dire, mais il ne l'a pas dit, il rougit jusqu'à pleurer et baissa les yeux.
- Parce que c'est mieux pour moi de te rendre visite moins souvent... Parce que... non, j'ai juste des affaires.
- Pourquoi? non, dis-moi," commença Natasha de manière décisive et se tut soudainement. Ils se regardèrent tous les deux avec peur et confusion. Il essaya de sourire, mais n'y parvint pas : son sourire exprimait la souffrance, et il lui baisa silencieusement la main et partit.
Pierre a décidé de ne plus rendre visite aux Rostov avec lui-même. Petya, après avoir reçu un refus décisif, se rendit dans sa chambre et là, s'enfermant à l'écart de tout le monde, pleura amèrement. Ils faisaient tout comme s'ils n'avaient rien remarqué, quand il arrivait au thé, silencieux et sombre, les yeux tachés de larmes.
Le lendemain, le souverain arriva. Plusieurs cours de Rostov demandèrent à aller voir le tsar. Ce matin-là, Petya mit beaucoup de temps à s'habiller, à se coiffer et à arranger ses cols comme les grands. Il fronça les sourcils devant le miroir, fit des gestes, haussa les épaules et finalement, sans le dire à personne, il enfila sa casquette et quitta la maison par le porche arrière, en essayant de ne pas se faire remarquer. Petya a décidé d'aller directement à l'endroit où se trouvait le souverain et d'expliquer directement à un chambellan (il semblait à Petya que le souverain était toujours entouré de chambellans) que lui, le comte Rostov, malgré sa jeunesse, voulait servir la patrie, cette jeunesse ne pouvait pas être un obstacle au dévouement et qu'il était prêt... Petya, pendant qu'il se préparait, a préparé de nombreuses paroles merveilleuses qu'il dirait au chambellan.
Parabole. Le graphique de la fonction quadratique () est une parabole. Considérons le cas canonique :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Le domaine de définition est n’importe quel nombre réel (n’importe quelle valeur de « x »). Qu'est-ce que ça veut dire? Quel que soit le point sur l’axe que l’on choisisse, pour chaque « x » il y a un point de parabole. Mathématiquement cela s'écrit ainsi : . Le domaine de définition de toute fonction est généralement désigné par ou . La lettre désigne un ensemble de nombres réels ou, plus simplement, « n'importe quel X » (lorsque le travail est écrit dans un cahier, ils n'écrivent pas une lettre bouclée, mais une lettre en gras R.).
La plage est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable « y ». Dans ce cas : – l'ensemble de toutes les valeurs positives, y compris zéro. La plage de valeurs est généralement désignée par ou .
La fonction est même Si la fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'axe. C’est une propriété très utile qui simplifie considérablement la construction d’un graphe, comme nous le verrons bientôt. Analytiquement, la parité d'une fonction est exprimée par la condition. Comment vérifier la parité d’une fonction ? Vous devez plutôt remplacer . Dans le cas d'une parabole, le contrôle ressemble à ceci : cela signifie que la fonction est paire.
Fonction pas limité d'en haut. Analytiquement, la propriété s'écrit comme suit : . Voici d'ailleurs un exemple de la signification géométrique de la limite d'une fonction : si l'on longe l'axe (à gauche ou à droite) jusqu'à l'infini, alors les branches de la parabole (signifiant « Y ») montera indéfiniment jusqu’à « plus l’infini ».
À étudier les limites des fonctions Il est conseillé de comprendre la signification géométrique de la limite.
Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit les propriétés de la fonction avec autant de détails ; toutes les choses ci-dessus sont utiles à connaître et à retenir lors de la construction de graphiques de fonctions, ainsi que lors de l'étude de graphiques de fonctions.
Exemple 2
Représenter graphiquement la fonction 
.
Dans cet exemple, nous examinerons un problème technique important : Comment construire rapidement une parabole ? Dans les tâches pratiques, la nécessité de dessiner une parabole se pose très souvent, en particulier lors du calcul de l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie. Il est donc conseillé d’apprendre à réaliser un dessin rapidement, avec une perte de temps minimale. Je propose l'algorithme de construction suivant.
Nous trouvons d’abord le sommet de la parabole. Pour ce faire, prenez la dérivée première et assimilez-la à zéro :
Si vous êtes mauvais avec les produits dérivés, vous devriez lire la leçon Comment trouver la dérivée ?
Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Nous calculons la valeur correspondante de « Y » :
Le sommet est donc au point
On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.
Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :
Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré une « navette ». Peut-être que tout le monde ne comprend pas l'essence de la navette, alors à titre de comparaison, je vous rappelle la célèbre émission télévisée "Aller-retour avec Anfisa Chekhova".
Faisons le dessin :
Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :
Pour la fonction quadratique (), ce qui suit est vrai :
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Parabole cubique
Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
Le domaine de définition est n'importe quel nombre réel : .
Plage de valeurs – n'importe quel nombre réel : .
La fonction est impair. Si une fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine. Analytiquement, l'étrangeté d'une fonction est exprimée par la condition 
. Effectuons une vérification de la fonction cubique ; pour ce faire, au lieu de « X », nous remplaçons « moins X » :
, ce qui signifie que la fonction est impaire.
Fonction pas limité. Dans le langage des limites de fonctions, cela peut s’écrire comme suit :
Il est également plus efficace de construire une parabole cubique en utilisant l’algorithme de navette d’Anfisa Chekhova :
Vous avez sûrement remarqué à quel point la bizarrerie de la fonction se manifeste également. Si nous trouvions cela 
, alors lors du calcul, il n'est pas nécessaire de compter quoi que ce soit, nous l'écrivons automatiquement . Cette fonctionnalité est vraie pour toute fonction impaire.
Parlons maintenant un peu des graphiques de polynômes.
Graphique de n'importe quel polynôme du troisième degré 
() a essentiellement la forme suivante :
Dans cet exemple, le coefficient du degré le plus élevé est , le graphique est donc inversé. Les graphiques des polynômes des 5ème, 7ème, 9ème et autres degrés impairs ont essentiellement la même apparence. Plus le degré est élevé, plus les « zagibulines » sont intermédiaires.
Les polynômes des 4ème, 6ème et autres degrés pairs ont un graphique fondamentalement de la forme suivante :
Cette connaissance est utile lors de l’étude des graphiques de fonctions.
Graphique d'une fonction
Faisons le dessin :
Principales propriétés de la fonction :
Portée: .
Plage de valeurs : .
Autrement dit, le graphique de la fonction est entièrement situé dans le premier quadrant de coordonnées.
Fonction pas limité d'en haut. Ou en utilisant une limite : 
Lors de la construction des graphiques les plus simples avec des racines, la méthode de construction par points est également appropriée, et il est avantageux de sélectionner de telles valeurs « x » afin que la racine entière soit extraite :
La fonction y=x^2 est appelée fonction quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Vue générale La parabole est représentée dans la figure ci-dessous.
Fonction quadratique
Fig 1. Vue générale de la parabole
Comme le montre le graphique, il est symétrique par rapport à l’axe Oy. L'axe Oy est appelé axe de symétrie de la parabole. Cela signifie que si vous tracez une ligne droite sur le graphique parallèle à l'axe Ox au-dessus de cet axe. Ensuite, il coupera la parabole en deux points. La distance entre ces points et l'axe Oy sera la même.
L'axe de symétrie divise le graphique d'une parabole en deux parties. Ces parties sont appelées branches de la parabole. Et le point d’une parabole qui se trouve sur l’axe de symétrie est appelé le sommet de la parabole. Autrement dit, l’axe de symétrie passe par le sommet de la parabole. Les coordonnées de ce point sont (0;0).
Propriétés de base d'une fonction quadratique
1. À x =0, y=0 et y>0 à x0
2. Valeur minimale la fonction quadratique atteint son sommet. Ymin à x=0 ; Il convient également de noter que valeur maximale la fonction n'existe pas.
3. La fonction décroît sur l'intervalle (-∞;0] et augmente sur l'intervalle)
