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Intégrale définie. Exemples de solutions. Intégrale définie et méthodes pour son calcul

Théorème. Si la fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [ un B], Où un< b , et pour tout le monde x ∈ l’inégalité persiste

En utilisant les inégalités du théorème, on peut estimer l'intégrale définie, c'est-à-dire indiquer les limites entre lesquelles sa signification est contenue. Ces inégalités expriment une estimation de l'intégrale définie.

Théorème [Théorème de la moyenne]. Si la fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [ un B] et pour tout le monde x ∈ les inégalités sont satisfaites m ≤ f(x) ≤ M, Que

Où m ≤ μ ≤ M.

Commentaire. Dans le cas où la fonction f(x) est continue sur l'intervalle [ un B], l'égalité du théorème prend la forme

Où c ∈. Nombre µ=f(c), défini par cette formule, est appelé valeur moyenne les fonctions f(x) sur le segment [ un B]. Cette égalité a la suivante signification géométrique: aire d'un trapèze courbe délimitée par une ligne continue y=f(x) (f(x) ≤ 0), est égale à l'aire d'un rectangle de même base et de même hauteur égale à l'ordonnée d'un point sur cette ligne.

Existence d'une primitive pour une fonction continue

Tout d’abord, nous introduisons le concept d’intégrale avec une limite supérieure variable.

Laissez la fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [ un B]. Alors quel que soit le numéro X depuis [ un B], fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [ un B]. Par conséquent, sur l’intervalle [ un B] fonction définie

qui est appelée une intégrale avec une limite supérieure variable.

Théorème. Si l'intégrande est continue sur l'intervalle [ un B], alors la dérivée d'une intégrale définie avec une limite supérieure variable existe et est égale à la valeur de l'intégrande pour cette limite, c'est-à-dire

Conséquence. Une intégrale définie avec une limite supérieure variable est l'une des primitives d'un intégral continu. En d’autres termes, pour toute fonction continue sur un intervalle il existe une primitive.

Note 1. Notez que si la fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [ un B], alors l'intégrale à limite supérieure variable est fonction de la limite supérieure, continue sur ce segment. En effet, à partir de St.2 et du théorème de la valeur moyenne, nous avons

Note 2. L'intégrale avec une limite supérieure d'intégration variable est utilisée dans la définition de nombreuses nouvelles fonctions, par exemple, . Ces fonctions ne sont pas basiques ; comme déjà noté, les primitives des intégrandes indiquées ne sont pas exprimées par des fonctions élémentaires.

Règles de base de l'intégration

Formule de Newton-Leibniz

Depuis deux fonctions primitives f(x) diffèrent par une constante, alors selon le théorème précédent, on peut affirmer que toute primitive Φ(x) continu sur le segment [ un B] les fonctions f(x) ressemble à

Où C- une constante.

En supposant dans cette formule x=une Et x=b, en utilisant les intégrales définies St.1, on trouve

Ces égalités impliquent la relation

qui est appelée Formule de Newton-Leibniz.

Nous avons ainsi démontré le théorème suivant :

Théorème. L'intégrale définie d'une fonction continue est égale à la différence entre les valeurs de l'une de ses primitives pour les limites supérieure et inférieure d'intégration.

La formule de Newton-Leibniz peut être réécrite sous la forme

Changer une variable dans une intégrale définie

Théorème. Si

  • fonction f(x) est continue sur l'intervalle [ un B];
  • segment de ligne [ un B] est l'ensemble des valeurs de fonction φ(t), défini sur le segment α ≤ t ≤ β et ayant une dérivée continue dessus ;
  • φ(α)=une, φ(β)=b

alors la formule est correcte

Formule d'intégration par parties

Théorème. Si les fonctions u=u(x), v=v(x) avoir des dérivées continues sur l'intervalle [ un B], alors la formule est valide

Valeur de l'application théorèmes de la valeur moyenne est la possibilité d'obtenir évaluation qualitative la valeur d'une intégrale définie sans la calculer. Formulons : si une fonction est continue sur un intervalle, alors à l'intérieur de cet intervalle il y a un point tel que .

Cette formule est tout à fait adaptée pour estimer grossièrement l’intégrale d’une fonction complexe ou lourde. Le seul point qui fait la formule approximatif , est une nécessité choix indépendant points Si nous prenons le chemin le plus simple - le milieu de l'intervalle d'intégration (comme suggéré dans un certain nombre de manuels), alors l'erreur peut être assez importante. Pour obtenir un résultat plus précis nous recommandons effectuez le calcul dans l'ordre suivant :

Construire un graphique d'une fonction sur l'intervalle ;

Tracez la limite supérieure du rectangle de sorte que les parties coupées du graphique de fonction soient superficie à peu près égale (c'est exactement ce qui est montré sur la figure ci-dessus - deux triangles curvilignes sont presque identiques) ;

Déterminer à partir de la figure ;

Utilisez le théorème de la valeur moyenne.

A titre d'exemple, calculons une intégrale simple :

Valeur exacte ;

Pour le milieu de l'intervalle on obtient également une valeur approximative, c'est-à-dire résultat clairement inexact ;

En construisant un graphique avec le côté supérieur du rectangle dessiné conformément aux recommandations, on obtient , d'où la valeur approximative de . Un résultat tout à fait satisfaisant, l'erreur est de 0,75%.

Formule trapézoïdale

La précision des calculs utilisant le théorème de la valeur moyenne dépend de manière significative, comme cela a été montré, de objectif visuel selon le planning des points. En effet, en choisissant, dans le même exemple, points ou , on peut obtenir d'autres valeurs de l'intégrale, et l'erreur peut augmenter. Les facteurs subjectifs, l'échelle du graphique et la qualité du dessin influencent grandement le résultat. Ce inacceptable dans les calculs critiques, le théorème de la valeur moyenne ne s'applique donc qu'aux calculs rapides qualité estimations intégrales.

Dans cette section, nous examinerons l'une des méthodes d'intégration approximative les plus populaires - formule trapézoïdale . L'idée principale de la construction de cette formule repose sur le fait que la courbe peut être approximativement remplacée par une ligne brisée, comme le montre la figure.


Supposons, pour être précis (et conformément à la figure), que l'intervalle d'intégration soit divisé en égal (c'est facultatif, mais très pratique) pièces. La longueur de chacune de ces parties est calculée par la formule et est appelée étape . Les abscisses des points de partition, si elles sont données, sont déterminées par la formule où . En utilisant des abscisses connues, il est facile de calculer les ordonnées. Ainsi,

C'est la formule trapézoïdale du cas. A noter que le premier terme entre parenthèses est la demi-somme des ordonnées initiales et finales, à laquelle s'ajoutent toutes les ordonnées intermédiaires. Pour n'importe quel chiffre partitions de l'intervalle d'intégration formule générale pour les trapèzes a la forme : formules de quadrature: rectangles, Simpson, Gaussien, etc. Ils reposent sur la même idée de représenter un trapèze curviligne par aires élémentaires diverses formes, par conséquent, après avoir maîtrisé la formule trapézoïdale, comprendre des formules similaires ne sera pas difficile. De nombreuses formules ne sont pas aussi simples que la formule trapézoïdale, mais elles permettent d'obtenir des résultats de haute précision avec un petit nombre de partitions.

En utilisant la formule trapézoïdale (ou similaire), il est possible de calculer, avec la précision requise en pratique, aussi bien des intégrales « non exécutables » que des intégrales de fonctions complexes ou lourdes.


Auparavant, nous considérions une intégrale définie comme la différence des valeurs de la primitive pour l'intégrande. On a supposé que l’intégrande avait une primitive sur l’intervalle d’intégration.


Dans le cas où la primitive s'exprime à travers des fonctions élémentaires, on peut être sûr de son existence. Mais s’il n’existe pas une telle expression, alors la question de l’existence d’une primitive reste ouverte, et nous ne savons pas si l’intégrale définie correspondante existe.


Des considérations géométriques suggèrent que même si, par exemple, pour la fonction y=e^(-x^2) il est impossible d'exprimer la primitive à travers des fonctions élémentaires, l'intégrale \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) existe et égal à la superficie une figure délimitée par l'axe des abscisses, le graphique de la fonction y=e^(-x^2) et les droites x=a,~ x=b (Fig. 6). Mais avec une analyse plus rigoureuse, il s'avère que le concept même d'aire a besoin d'être justifié, et on ne peut donc pas s'y fier pour résoudre les questions de l'existence d'une primitive et d'une intégrale définie.



Prouvons que toute fonction continue sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle, et, par conséquent, il existe une intégrale définie pour ce segment. Pour ce faire, nous avons besoin d’une approche différente du concept d’intégrale définie, une approche qui ne repose pas sur l’hypothèse de l’existence d’une primitive.



Établissons d'abord quelques-uns propriétés d'une intégrale définie, compris comme la différence entre les valeurs de la primitive.

Estimations d'intégrales définies

Théorème 1. Soit la fonction y=f(x) limitée sur l'intervalle, et m=\min_(x\in)f(x) Et M=\max_(x\in)f(x), respectivement, le plus petit et valeur la plus élevée fonctions y=f(x) sur , et sur ce segment la fonction y=f(x) a une primitive. Alors


m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).


Preuve. Soit F(x) l'une des primitives de la fonction y=f(x) sur le segment. Alors


\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).


D'après le théorème de Lagrange F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), où un \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).


Par condition, pour toutes les valeurs de x du segment, l'inégalité suivante est vraie : m\leqslant f(x)\leqslant M, C'est pourquoi m\leqslant f(c)\leqslant M et donc


m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), c'est m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),

Q.E.D.

La double inégalité (1) ne donne qu'une estimation très approximative de la valeur de l'intégrale définie. Par exemple, sur un segment les valeurs de la fonction y=x^2 sont comprises entre 1 et 25, et donc les inégalités ont lieu


4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.


Pour obtenir une estimation plus précise, divisez le segment en plusieurs parties avec des points a=x_0 et l'inégalité (1) est appliquée à chaque partie. Si l'inégalité est vraie sur le segment, alors


m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,


où \Delta x_k désigne la différence (x_(k+1)-x_k), c'est-à-dire la longueur du segment. En écrivant ces inégalités pour toutes les valeurs de k de 0 à n-1 et en les additionnant, on obtient :


\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),


Mais selon la propriété additive d'une intégrale définie, la somme des intégrales sur toutes les parties du segment est égale à l'intégrale sur ce segment, c'est-à-dire


\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.

Moyens,

\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)


Par exemple, si vous divisez un segment en 10 parties égales, chacune ayant une longueur de 0,4, alors sur un segment partiel l’inégalité persiste


(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2

Nous avons donc :

0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.


En calculant, on obtient : 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Cette estimation est beaucoup plus précise que celle obtenue précédemment 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.


Pour obtenir une estimation encore plus précise de l'intégrale, vous devez diviser le segment non pas en 10, mais, disons, en 100 ou 1 000 parties et calculer les sommes correspondantes. Bien entendu, cette intégrale est plus facile à calculer en utilisant la primitive :


\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.


Mais si l'expression de la primitive nous est inconnue, alors les inégalités (2) permettent d'estimer la valeur de l'intégrale par le bas et par le haut.

Intégrale définie comme nombre diviseur

Les nombres m_k et M_k inclus dans l'inégalité (2) pourraient être choisis arbitrairement, tant que l'inégalité est vraie sur chacun des segments m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. L'estimation la plus précise de l'intégrale pour une partition donnée du segment est obtenue si nous prenons M_k comme la plus petite et m_k comme la plus grande de toutes les valeurs possibles. Cela signifie que comme m_k il faut prendre la borne inférieure exacte des valeurs de la fonction y=f(x) sur le segment, et comme M_k la borne supérieure exacte de ces valeurs sur le même segment :


m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).


Si y=f(x) est une fonction bornée sur le segment, alors elle est aussi bornée sur chacun des segments, et donc pour elle les nombres m_k et M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Avec ce choix de nombres m_k et M_k, les sommes \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) Et \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) sont appelées respectivement les sommes intégrales de Darboux inférieure et supérieure pour la fonction y=-f(x) pour une partition P donnée :


a=x_0

segment Nous désignerons ces sommes respectivement par s_(fP) et S_(fP), et si la fonction y=f(x) est fixe, alors simplement s_P et S_P.


L'inégalité (2) signifie que si une fonction y=f(x) bornée sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle, alors une intégrale définie sépare les ensembles numériques \(s_p\) et \(S_P\) , constitués respectivement de toutes les sommes de Darboux inférieures et supérieures pour toutes les partitions P possibles de l'intervalle. D'une manière générale, il peut arriver que le nombre séparant ces deux ensembles ne soit pas unique. Mais nous verrons plus loin que pour les classes de fonctions les plus importantes (notamment pour les fonctions continues) il est unique.


Cela nous permet d’introduire une nouvelle définition de \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), qui ne repose pas sur la notion de primitive, mais utilise uniquement les sommes de Darboux.


Définition. Une fonction y=f(x) bornée sur un intervalle est dite intégrable sur cet intervalle s'il existe un seul nombre \ell séparant les ensembles de sommes de Darboux inférieures et supérieures formées pour toutes les partitions possibles de l'intervalle. Si la fonction y=f(x) est intégrable sur l'intervalle, alors le seul nombre séparant ces ensembles est appelé l'intégrale définie de cette fonction sur l'intervalle et signifie .


Nous avons défini l'intégrale \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) pour le cas où un b , alors on pose


\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.


Cette définition est naturelle, puisque lorsque la direction de l'intervalle d'intégration change, toutes les différences \Deltax_k=x_(k+1)-x_k changer le signe, puis changer les signes et les sommes de Darboux et, par là même, le nombre qui les sépare, c'est-à-dire intégral.


Puisque quand a=b tous les \Delta x_k disparaissent, nous définissons


\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.


Nous avons reçu deux définitions de la notion d'intégrale définie : comme la différence entre les valeurs de la primitive et comme le nombre diviseur des sommes de Darboux. Ces définitions conduisent dans les cas les plus importants au même résultat :


Théorème 2. Si une fonction y=f(x) est bornée sur un intervalle et a une primitive y=F(x) dessus, et qu'il y a un seul nombre séparant les sommes de Darboux inférieure et supérieure, alors ce nombre est égal à F(b )-FA).


Preuve. Nous avons prouvé ci-dessus que le nombre F(a)-F(b) sépare les ensembles \(s_P\) et \(S_P\) . Puisque par condition le nombre séparateur est défini de manière unique, il coïncide avec F(b)-F(a) .


A partir de maintenant, nous utiliserons la notation \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) uniquement pour un seul nombre séparant les ensembles \(s_P\) et \(S_P\) . Du théorème prouvé, il s'ensuit qu'il n'y a aucune contradiction avec la compréhension de cette notation que nous avons utilisée ci-dessus.

Propriétés des sommes de Darboux inférieure et supérieure

Pour que la définition d’une intégrale donnée précédemment ait un sens, il faut prouver que l’ensemble des sommes de Darboux supérieures est bien situé à droite de l’ensemble des sommes de Darboux inférieures.


Lemme 1. Pour chaque partition P, la somme Darboux inférieure correspondante ne dépasse pas la somme Darboux supérieure, s_P\leqslant S_P .


Preuve. Considérons une partition P du segment :


a=x_0 "

Évidemment, pour tout k et pour toute partition P choisie, l'inégalité s_P\leqslant S_P est vraie. Ainsi, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, et c'est pourquoi


s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.


Q.E.D.

L'inégalité (4) n'est valable que pour une partition fixe P. Par conséquent, on ne peut pas encore dire que la somme Darboux inférieure d’une partition ne peut pas dépasser la somme Darboux supérieure d’une autre partition. Pour prouver cette affirmation, nous avons besoin du lemme suivant :


Lemme 2. En ajoutant un nouveau point de division, la somme inférieure de Darboux ne peut pas diminuer, et la somme supérieure ne peut pas augmenter.


Preuve. Choisissons une partition P du segment et ajoutons-y un nouveau point de division (x^(\ast)) . Notons la nouvelle partition par P^(\ast) . La partition P^(\ast) est un raffinement de la partition P, c'est-à-dire chaque point de partition P est également un point de partition P^(\ast) .


Laissez le point (x^(\ast)) tomber sur le segment \colon\, x_k . Considérons les deux segments résultants et et désignent les limites inférieures exactes correspondantes pour les valeurs de fonction par m_(k)^(\ast) et m_(k)^(\ast\ast) , et les limites supérieures exactes par M_(k)^(\ast ) et M_(k )^(\ast\ast) .


Addenda m_k(x_(k+1)-m_(k)) La somme Darboux inférieure d'origine dans la nouvelle somme Darboux inférieure correspond à deux termes :


m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).


Où m_k\leqslant m_(k)^(\ast) Et m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), puisque m_k est la limite inférieure exacte des valeurs de la fonction f(x) sur l'ensemble du segment, et m_(k)^(\ast) et m_(k)^(\ast\ast) uniquement sur son pièces et respectivement.


Estimons par le bas la somme des termes résultants :


\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(aligné)


Étant donné que les termes restants dans l'ancienne et la nouvelle somme de Darboux inférieure sont restés inchangés, la somme de Darboux inférieure n'a pas diminué après l'ajout d'un nouveau point de division, s_P\leqslant S_P .


L'énoncé prouvé reste valable même en ajoutant un nombre fini de points à la partition P.


L’énoncé concernant la somme supérieure de Darboux se prouve de la même manière : S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).


Passons à la comparaison des sommes de Darboux pour deux partitions quelconques.


Lemme 3. Aucune somme Darboux inférieure ne dépasse une somme Darboux supérieure (même si elle correspond à une partition différente du segment).


Preuve. Considérons deux partitions arbitraires P_1 et P_2 du segment et formons une troisième partition P_3, constituée de tous les points des partitions P_1 et P_2. Ainsi, la partition P_3 est un raffinement à la fois de la partition P_1 et de la partition P_2 (Fig. 7).


Notons respectivement les sommes de Darboux inférieure et supérieure pour ces partitions s_1,~S_1.~s_2,~S_2 et prouver que s_1\leqslant S_2 .


Puisque P_3 est un raffinement de la partition P_1, alors s_1\leqslant s_3. Ensuite, s_3\leqslant S_3 , puisque les sommes s_3 et S_3 correspondent à la même partition. Enfin, S_3\leqslant S_2 , puisque P_3 est un raffinement de la partition P_2 .


Ainsi, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, c'est à dire. s_1\leqslant S_2 , c'est ce qui devait être prouvé.


Du lemme 3 il résulte que l'ensemble numérique X=\(s_P\) des sommes de Darboux inférieures se trouve à gauche de l'ensemble numérique Y=\(S_P\) des sommes de Darboux supérieures.


En vertu du théorème sur l'existence d'un nombre séparateur pour deux ensembles numériques1, il existe au moins un nombre / qui sépare les ensembles X et Y, c'est-à-dire de telle sorte que pour toute partition du segment, la double inégalité est vraie :


s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.


Si ce numéro est unique, alors \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).


Donnons un exemple montrant qu'un tel nombre I, d'une manière générale, n'est pas défini de manière unique. Rappelons que la fonction de Dirichlet est une fonction y=D(x) sur l'intervalle défini par les égalités :


D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(est un nombre irrationnel);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(est nombre rationnel).\end(cases)


Quel que soit le segment que nous prenons, il comportera des points à la fois rationnels et irrationnels, c'est-à-dire et les points où D(x)=0, et les points où D(x)=1. Par conséquent, pour toute partition du segment, toutes les valeurs de m_k sont égales à zéro et toutes les valeurs de M_k sont égales à un. Mais alors toutes les sommes inférieures de Darboux \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sont égales à zéro, et toutes les sommes de Darboux supérieures \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))égal à un,




Méthode trapézoïdale

Article principal :Méthode trapézoïdale

Si la fonction sur chacun des segments partiels est approchée par une droite passant par valeurs finales, alors nous obtenons la méthode trapézoïdale.

Aire du trapèze sur chaque segment :

Erreur d'approximation sur chaque segment :

Où

Formule complète trapèze dans le cas de la division de l'ensemble de l'intervalle d'intégration en segments d'égale longueur :

Où

Erreur de formule trapézoïdale :

Où

La méthode Simpson.

Intégrande f(x) remplacé polynôme d'interpolation second degré P(x)– une parabole passant par trois nœuds, par exemple, comme le montre la figure ((1) – fonction, (2) – polynôme).

Considérons deux étapes d'intégration ( h= const = x je + 1 – x je), soit trois nœuds x 0 , x 1 , x 2, à travers laquelle on trace une parabole en utilisant l’équation de Newton :

Laisser z = x - x 0,
Alors

Maintenant, en utilisant la relation obtenue, on calcule l'intégrale sur cet intervalle :

.
Pour maille uniforme Et nombre pair d'étapes m La formule de Simpson prend la forme :

Ici , UN sous l'hypothèse de continuité de la dérivée quatrième de l'intégrande.

[modifier] Précision accrue

L'approximation d'une fonction par un seul polynôme sur tout l'intervalle d'intégration conduit généralement à une erreur importante dans l'estimation de la valeur de l'intégrale.

Pour réduire l'erreur, le segment d'intégration est divisé en parties et une méthode numérique est utilisée pour évaluer l'intégrale sur chacune d'elles.

Comme le nombre de partitions tend vers l'infini, l'estimation de l'intégrale tend vers sa vraie valeur pour les fonctions analytiques de toute méthode numérique.

Les méthodes ci-dessus permettent une procédure simple consistant à réduire de moitié l'étape, chaque étape nécessitant que les valeurs de fonction soient calculées uniquement au niveau des nœuds nouvellement ajoutés. Pour estimer l'erreur de calcul, la règle de Runge est utilisée.

Application de la règle de Runge

modifier]Évaluer l'exactitude du calcul d'une certaine intégrale

L'intégrale est calculée à l'aide de la formule choisie (rectangles, trapèzes, paraboles de Simpson) avec un nombre de pas égal à n, puis avec un nombre de pas égal à 2n. L'erreur de calcul de la valeur de l'intégrale avec un nombre de pas égal à 2n est déterminée par la formule de Runge :
, pour les formules de rectangles et de trapèzes, et pour la formule de Simpson.
Ainsi, l'intégrale est calculée pour des valeurs successives du nombre de pas, où n 0 est le nombre de pas initial. Le processus de calcul se termine lorsque la condition est satisfaite pour la valeur N suivante, où ε est la précision spécifiée.

Caractéristiques du comportement d'erreur.

Il semblerait, pourquoi analyser différentes méthodes l'intégration si nous pouvons réaliser haute précision, réduisant simplement la taille de l'étape d'intégration. Cependant, considérons le graphique du comportement de l'erreur a posteriori R. résultats du calcul numérique en fonction de et du numéro n partitions de l'intervalle (c'est-à-dire à l'étape . Dans la section (1), l'erreur diminue en raison d'une diminution de l'étape h. Mais dans la section (2), l'erreur de calcul commence à dominer, s'accumulant à la suite de nombreuses opérations arithmétiques. Ainsi , pour chaque méthode il y a la sienne Rmin, qui dépend de nombreux facteurs, mais principalement de la valeur a priori de l'erreur de méthode R..

La formule clarifiante de Romberg.

La méthode de Romberg consiste à affiner séquentiellement la valeur de l'intégrale avec une augmentation multiple du nombre de partitions. La formule des trapèzes à pas uniformes peut être prise comme base h.
Notons l'intégrale avec le nombre de partitions n= 1 comme .
En réduisant le pas de moitié, on obtient .
Si l'on réduit successivement le pas de 2 n fois, on obtient une relation de récurrence pour calculer .

Intégrale définie. Exemples de solutions

Bonjour à nouveau. Dans cette leçon, nous examinerons en détail une chose aussi merveilleuse qu’une intégrale définie. Cette fois, l'introduction sera courte. Tous. Parce qu'il y a une tempête de neige devant la fenêtre.

Pour apprendre à résoudre des intégrales définies, vous devez :

1) Être capable de trouver intégrales indéfinies.

2) Être capable de calculer Intégrale définie.

Comme vous pouvez le constater, pour maîtriser une intégrale définie, vous devez avoir une assez bonne compréhension des intégrales indéfinies « ordinaires ». Par conséquent, si vous commencez tout juste à vous plonger dans le calcul intégral et que la bouilloire n'a pas encore bouilli du tout, il est préférable de commencer par la leçon Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

DANS vue générale l'intégrale définie s'écrit comme suit :

Qu'est-ce qui est ajouté par rapport à l'intégrale indéfinie ? Plus limites de l'intégration.

Limite inférieure d'intégration
Limite supérieure d'intégration est généralement désigné par la lettre .
Le segment s'appelle segment d'intégration.

Avant d'arriver à exemples pratiques, une petite FAQ sur l'intégrale définie.

Que signifie résoudre une intégrale définie ? Résoudre une intégrale définie signifie trouver un nombre.

Comment résoudre une intégrale définie ? En utilisant la formule de Newton-Leibniz familière à l'école :

Il est préférable de réécrire la formule sur une feuille de papier séparée ; elle doit être sous vos yeux tout au long de la leçon.

Les étapes pour résoudre une intégrale définie sont les suivantes :

1) On trouve d’abord la fonction primitive (intégrale indéfinie). Notez que la constante dans l'intégrale définie pas ajouté. La désignation est purement technique, et le bâton vertical n'a aucune signification mathématique, il s'agit en fait d'un simple marquage. Pourquoi l'enregistrement lui-même est-il nécessaire ? Préparation à l'application de la formule de Newton-Leibniz.

2) Remplacez la valeur de la limite supérieure dans la fonction primitive : .

3) Remplacez la valeur de la limite inférieure dans la fonction primitive : .

4) On calcule (sans erreurs !) la différence, c'est-à-dire qu'on trouve le nombre.

Une intégrale définie existe-t-elle toujours ? Non, pas toujours.

Par exemple, l'intégrale n'existe pas, puisque le segment d'intégration n'est pas inclus dans le domaine de définition de l'intégrande (les valeurs sous racine carrée ne peut pas être négatif). Voici un exemple moins évident : . Une telle intégrale n’existe pas non plus, puisqu’il n’y a pas de tangente aux points du segment. D’ailleurs, qui ne l’a pas encore lu ? matériel méthodologique Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires– le moment est venu de le faire. Ce sera formidable d'aider tout au long du cours de mathématiques supérieures.

Pour ça pour qu'une intégrale définie existe, il suffit que l'intégrande soit continue sur l'intervalle d'intégration.

De ce qui précède, la première recommandation importante découle : avant de commencer à résoudre TOUTE intégrale définie, vous devez vous assurer que la fonction intégrande est continue sur l'intervalle d'intégration. Quand j'étais étudiant, j'ai eu à plusieurs reprises un incident au cours duquel j'ai longtemps lutté pour trouver une primitive difficile, et quand je l'ai finalement trouvée, je me suis creusé la tête sur une autre question : « Quel genre d'absurdités cela s'est-il avéré être ?" Dans une version simplifiée, la situation ressemble à ceci :

???! Vous ne pouvez pas remplacer les nombres négatifs sous la racine ! Qu'est-ce que c'est que ça?! Inattention initiale.

Si pour résoudre (en travail d'essai, à un test, un examen) On vous propose une intégrale inexistante comme , vous devez alors répondre que l'intégrale n'existe pas et justifier pourquoi.

L'intégrale définie peut-elle être égale à nombre négatif? Peut être. Et un nombre négatif. Et zéro. Il se peut même que ce soit l'infini, mais ce sera déjà le cas. intégrale impropre, qui font l'objet d'une conférence séparée.

La limite inférieure d’intégration peut-elle être supérieure à la limite supérieure d’intégration ? Peut-être que cette situation se produit réellement dans la pratique.

– l'intégrale peut être facilement calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

Qu’est-ce qui est indispensable en mathématiques supérieures ? Bien sûr, sans toutes sortes de propriétés. Considérons donc quelques propriétés de l'intégrale définie.

Dans une intégrale définie, vous pouvez réorganiser les limites supérieure et inférieure en changeant le signe:

Par exemple, dans une intégrale définie, avant l'intégration, il convient de changer les limites d'intégration dans l'ordre « habituel » :

– sous cette forme, il est beaucoup plus pratique à intégrer.

– cela est vrai non seulement pour deux, mais aussi pour un certain nombre de fonctions.

Dans une intégrale définie, on peut effectuer remplacement de la variable d'intégration, cependant, par rapport à l'intégrale indéfinie, celle-ci a ses propres spécificités, dont nous parlerons plus tard.

Pour une intégrale définie, ce qui suit est vrai : formule d'intégration par parties:

Exemple 1

Solution:

(1) On retire la constante du signe intégral.

(2) Intégrez sur le tableau en utilisant la formule la plus populaire . Il est conseillé de séparer la constante émergente et de la déplacer hors du support. Ce n'est pas nécessaire, mais c'est conseillé - pourquoi ces calculs supplémentaires ?

. Nous substituons d’abord la limite supérieure, puis la limite inférieure. Nous effectuons d'autres calculs et obtenons la réponse finale.

Exemple 2

Calculer l'intégrale définie

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Compliquons un peu la tâche :

Exemple 3

Calculer l'intégrale définie

Solution:

(1) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l’intégrale définie.

(2) On intègre selon le tableau, en retirant toutes les constantes - elles ne participeront pas à la substitution des limites supérieure et inférieure.

(3) Pour chacun des trois termes on applique la formule de Newton-Leibniz :

LE LIEN FAIBLE dans l’intégrale définie sont les erreurs de calcul et la CONFUSION commune DES SIGNES. Sois prudent! Attention particulière Je me concentre sur le troisième terme : – première place dans le hit-parade des erreurs dues à l’inattention, très souvent elles écrivent automatiquement (surtout lorsque la substitution des limites supérieure et inférieure est effectuée verbalement et n'est pas écrite avec autant de détails). Encore une fois, étudiez attentivement l’exemple ci-dessus.

Il convient de noter que la méthode envisagée pour résoudre une intégrale définie n'est pas la seule. Avec un peu d'expérience, la solution peut être considérablement réduite. Par exemple, j'ai moi-même l'habitude de résoudre de telles intégrales comme celle-ci :

Ici, j'ai utilisé verbalement les règles de linéarité et intégré verbalement à l'aide du tableau. Je me suis retrouvé avec une seule tranche avec les limites marquées : (contrairement aux trois parenthèses dans la première méthode). Et dans la fonction primitive « entière », j’ai d’abord substitué 4, puis –2, effectuant à nouveau toutes les actions dans mon esprit.

Quels sont les inconvénients de la solution courte ? Tout ici n'est pas très bon du point de vue de la rationalité des calculs, mais personnellement, je m'en fiche - fractions communes Je compte sur une calculatrice.
De plus, il existe un risque accru de faire une erreur dans les calculs, il est donc préférable pour un étudiant en thé d'utiliser la première méthode ; avec « ma » méthode de résolution, le signe sera définitivement perdu quelque part.

Cependant des avantages incontestables La deuxième méthode est la rapidité de la solution, la compacité de la notation et le fait que la primitive est entre parenthèses.

Conseil : avant d'utiliser la formule de Newton-Leibniz, il est utile de vérifier : la primitive elle-même a-t-elle été trouvée correctement ?

Alors, par rapport à l'exemple considéré : avant de substituer les limites supérieure et inférieure dans la fonction primitive, convient-il de vérifier sur le brouillon si l'intégrale indéfinie a été trouvée correctement ? Distinguons :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale indéfinie a été trouvée correctement. Nous pouvons maintenant appliquer la formule de Newton-Leibniz.

Une telle vérification ne sera pas superflue lors du calcul d'une intégrale définie.

Exemple 4

Calculer l'intégrale définie

Ceci est un exemple à résoudre vous-même. Essayez de le résoudre de manière courte et détaillée.

Changer une variable dans une intégrale définie

Pour une intégrale définie, tous les types de substitutions sont valables comme pour l'intégrale indéfinie. Ainsi, si vous n'êtes pas très doué avec les substitutions, vous devriez lire attentivement la leçon. Méthode de substitution en intégrale indéfinie.

Il n'y a rien d'effrayant ou de difficile dans ce paragraphe. La nouveauté réside dans la question comment changer les limites d'intégration lors du remplacement.

A titre d'exemples, je vais essayer de donner des types de remplacements qui n'ont encore été trouvés nulle part sur le site.

Exemple 5

Calculer l'intégrale définie

La question principale ici n'est pas l'intégrale définitive, mais comment effectuer correctement le remplacement. Regardons tableau des intégrales et découvrir à quoi ressemble le plus notre fonction d'intégrande ? Évidemment, pour le logarithme long : . Mais il y a une divergence, dans le tableau intégral sous la racine, et dans le nôtre - "x" à la puissance quatrième. L'idée de remplacement découle également du raisonnement - ce serait bien de transformer d'une manière ou d'une autre notre quatrième puissance en carré. C'est vrai.

Tout d'abord, nous préparons notre intégrale pour le remplacement :

Des considérations ci-dessus, un remplacement naît tout naturellement :
Ainsi, tout ira bien au dénominateur : .
On découvre en quoi va se transformer la partie restante de l'intégrande, pour cela on trouve le différentiel :

Par rapport au remplacement dans l’intégrale indéfinie, on ajoute une étape supplémentaire.

Trouver de nouvelles limites à l’intégration.

C'est assez simple. Regardons notre remplacement et les anciennes limites de l'intégration, .

Tout d'abord, nous substituons la limite inférieure d'intégration, c'est-à-dire zéro, dans l'expression de remplacement :

Ensuite, nous substituons la limite supérieure d'intégration dans l'expression de remplacement, c'est-à-dire la racine de trois :

Prêt. Et juste...

Continuons avec la solution.

(1) Selon remplacement écrire une nouvelle intégrale avec de nouvelles limites d'intégration.

(2) Il s'agit de l'intégrale de table la plus simple, que nous intégrons sur la table. Il est préférable de laisser la constante en dehors des parenthèses (vous n’êtes pas obligé de le faire) afin qu’elle n’interfère pas avec les calculs ultérieurs. A droite, nous traçons une ligne indiquant les nouvelles limites de l'intégration - c'est la préparation à l'application de la formule de Newton-Leibniz.

(3) On utilise la formule de Newton-Leibniz .

Nous nous efforçons d'écrire la réponse autant que possible. forme compacte, ici j'ai utilisé les propriétés des logarithmes.

Une autre différence avec l’intégrale indéfinie est que, après avoir effectué la substitution, il n'est pas nécessaire d'effectuer des remplacements inversés.

Et maintenant quelques exemples pour décision indépendante. Quels remplacements effectuer - essayez de deviner par vous-même.

Exemple 6

Calculer l'intégrale définie

Exemple 7

Calculer l'intégrale définie

Ce sont des exemples que vous pourrez décider vous-même. Solutions et réponses à la fin de la leçon.

Et à la fin du paragraphe les points importants, dont l'analyse est apparue grâce aux visiteurs du site. Le premier concerne légalité du remplacement. Dans certains cas, cela n’est pas possible ! Ainsi, l’exemple 6 semblerait pouvoir être résolu en utilisant substitution trigonométrique universelle, cependant, la limite supérieure d'intégration ("pi") non inclus dans domaine cette tangente et donc cette substitution est illégale ! Ainsi, la fonction « remplacement » doit être continue dans tout points du segment d'intégration.

Dans un autre e-mail entré question suivante: "Faut-il changer les limites de l'intégration lorsqu'on subsume la fonction sous le signe différentiel ?" Au début, je voulais « rejeter les absurdités » et répondre automatiquement « bien sûr que non », mais j'ai ensuite réfléchi à la raison d'une telle question et j'ai soudainement découvert qu'il n'y avait aucune information. manque. Mais cela, bien qu’évident, est très important :

Si nous subsumons la fonction sous le signe différentiel, alors il n'est pas nécessaire de changer les limites d'intégration! Pourquoi? Parce que dans ce cas pas de transition réelle vers une nouvelle variable. Par exemple:

Et ici, la synthèse est bien plus pratique que le remplacement académique par la « peinture » ultérieure de nouvelles limites de l’intégration. Ainsi, si l'intégrale définie n'est pas très compliquée, alors essayez toujours de mettre la fonction sous le signe différentiel! C'est plus rapide, c'est plus compact et c'est courant - comme vous le verrez des dizaines de fois !

Merci beaucoup pour vos lettres!

Méthode d'intégration par parties dans une intégrale définie

Il y a encore moins de nouveauté ici. Tous les calculs de l'article Intégration par parties dans l'intégrale indéfinie sont pleinement valables pour l’intégrale définie.
Il n'y a qu'un détail qui est un plus ; dans la formule d'intégration par parties, les limites d'intégration sont ajoutées :

La formule de Newton-Leibniz doit être appliquée ici deux fois : pour le produit et après on prend l'intégrale.

Pour l'exemple, j'ai encore choisi le type d'intégrale qui n'a encore été trouvé nulle part sur le site. L’exemple n’est pas le plus simple, mais très, très instructif.

Exemple 8

Calculer l'intégrale définie

Décidons.

Intégrons par parties :

Si vous avez des difficultés avec l'intégrale, jetez un oeil à la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques, il y est discuté en détail.

(1) On écrit la solution selon la formule d'intégration par parties.

(2) Pour le produit nous appliquons la formule de Newton-Leibniz. Pour l’intégrale restante, nous utilisons les propriétés de linéarité, en la divisant en deux intégrales. Ne vous laissez pas tromper par les panneaux !

(4) Nous appliquons la formule de Newton-Leibniz pour les deux primitives trouvées.

Pour être honnête, je n’aime pas la formule. et, si possible,... je m'en passe du tout ! Considérons la deuxième solution ; de mon point de vue, elle est plus rationnelle.

Calculer l'intégrale définie

Au premier stade, je trouve l'intégrale indéfinie:

Intégrons par parties :


La fonction primitive a été trouvée. Constante dans dans ce casça ne sert à rien d'en ajouter.

Quel est l'avantage d'une telle randonnée ? Il n’est pas nécessaire de « trimballer » les limites de l’intégration ; en effet, il peut être épuisant d’écrire une douzaine de fois les petits symboles des limites de l’intégration.

À la deuxième étape, je vérifie(généralement en brouillon).

Logique aussi. Si j’ai mal trouvé la fonction primitive, alors je résoudrai mal l’intégrale définie. Il vaut mieux se renseigner tout de suite, différencions la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que la fonction primitive a été trouvée correctement.

La troisième étape est l'application de la formule de Newton-Leibniz:

Et il y a ici un avantage significatif ! Dans la méthode « ma » solution, le risque de confusion dans les substitutions et les calculs est bien moindre : la formule de Newton-Leibniz n'est appliquée qu'une seule fois. Si la théière résout une intégrale similaire en utilisant la formule (dans le premier sens), alors il fera certainement une erreur quelque part.

L'algorithme de solution considéré peut être appliqué pour toute intégrale définie.

Cher étudiant, imprimez et sauvegardez :

Que faire si l'on vous donne une intégrale définie qui semble compliquée ou si l'on ne sait pas immédiatement comment la résoudre ?

1) Nous trouvons d’abord l’intégrale indéfinie (fonction primitive). Si la première étape a été décevante, il ne sert à rien de faire encore plus bouger les choses avec Newton et Leibniz. Il n'y a qu'un seul moyen : augmenter votre niveau de connaissances et de compétences en résolution intégrales indéfinies.

2) Nous vérifions la fonction primitive trouvée par différenciation. S'il est mal trouvé, la troisième étape sera une perte de temps.

3) Nous utilisons la formule de Newton-Leibniz. Nous effectuons tous les calculs avec EXTRÊMEMENT SOIGNEUSEMENT - c'est le maillon le plus faible de la tâche.

Et, pour le goûter, une intégrale pour solution indépendante.

Exemple 9

Calculer l'intégrale définie

La solution et la réponse se trouvent quelque part à proximité.

La prochaine leçon recommandée sur le sujet est Comment calculer l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie ?
Intégrons par parties :


Êtes-vous sûr de les avoir résolus et d'avoir obtenu les mêmes réponses ? ;-) Et il y a du porno pour une vieille femme.
 

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