Cible:

• Formation du concept de primitive.
• Préparation à la perception de l'intégrale.
• Formation de compétences informatiques.
• Cultiver le sens de la beauté (la capacité de voir la beauté dans l'inhabituel).

L'analyse mathématique est un ensemble de branches des mathématiques consacrées à l'étude des fonctions et de leurs généralisations par des méthodes de calcul différentiel et intégral.

Jusqu'à présent, nous avons étudié une branche de l'analyse mathématique appelée calcul différentiel, dont l'essence est l'étude d'une fonction dans le « petit ».

Ceux. étude d'une fonction dans des voisinages suffisamment petits de chaque point de définition. L'une des opérations de différenciation consiste à trouver la dérivée (différentielle) et à l'appliquer à l'étude des fonctions.

Le problème inverse n’est pas moins important. Si le comportement d'une fonction au voisinage de chaque point de sa définition est connu, alors comment reconstruire la fonction dans son ensemble, c'est-à-dire dans toute la portée de sa définition. Ce problème fait l'objet d'étude du calcul dit intégral.

L'intégration est l'action inverse de la différenciation. Ou restaurer la fonction f(x) à partir d'une dérivée donnée f`(x). Le mot latin « integro » signifie restauration.

Exemple n°1.

Soit (x)`=3x 2.
Trouvons f(x).

Solution:

Sur la base de la règle de différenciation, il n'est pas difficile de deviner que f(x) = x 3, car (x 3)` = 3x 2
Cependant, on peut facilement remarquer que f(x) n’est pas trouvé de manière unique.
Comme f(x) on peut prendre
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, etc.

Parce que la dérivée de chacun d’eux est égale à 3x 2. (La dérivée d'une constante est 0). Toutes ces fonctions diffèrent les unes des autres par un terme constant. C'est pourquoi décision commune le problème peut s'écrire sous la forme f(x)= x 3 +C, où C est n'importe quel nombre réel constant.

N'importe laquelle des fonctions trouvées f(x) est appelée PRIMODIUM pour la fonction F`(x)= 3x 2

Définition. Une fonction F(x) est dite primitive pour une fonction f(x) sur un intervalle donné J si pour tout x de cet intervalle F`(x)= f(x). Donc la fonction F(x)=x 3 est primitive pour f(x)=3x 2 sur (- ∞ ; ∞).
Puisque pour tout x ~R l'égalité est vraie : F`(x)=(x 3)`=3x 2

Comme nous l'avons déjà remarqué, cette fonction a un nombre infini de primitives (voir exemple n°1).

Exemple n°2. La fonction F(x)=x est primitive pour tout f(x)= 1/x sur l'intervalle (0; +), car pour tout x de cet intervalle, l’égalité est vraie.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Exemple n°3. La fonction F(x)=tg3x est une primitive pour f(x)=3/cos3x sur l'intervalle (-n/ 2; P/ 2),
parce que F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Exemple n°4. La fonction F(x)=3sin4x+1/x-2 est primitive pour f(x)=12cos4x-1/x 2 sur l'intervalle (0;∞)
parce que F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Conférence 2.

Sujet : Primitive. La propriété principale d'une fonction primitive.

Lors de l’étude de la primitive, nous nous appuierons sur l’énoncé suivant. Signe de constance d'une fonction : Si sur l'intervalle J la dérivée Ψ(x) de la fonction est égale à 0, alors sur cet intervalle la fonction Ψ(x) est constante.

Cette affirmation peut être démontrée géométriquement.

On sait que Ψ`(x)=tgα, γde α est l'angle d'inclinaison de la tangente au graphe de la fonction Ψ(x) au point d'abscisse x 0. Si Ψ`(υ)=0 en tout point de l'intervalle J, alors tanα=0 δpour toute tangente au graphe de la fonction Ψ(x). Cela signifie que la tangente au graphique de la fonction en tout point est parallèle à l'axe des abscisses. Ainsi, sur l'intervalle indiqué, le graphique de la fonction Ψ(x) coïncide avec le segment de droite y=C.

Ainsi, la fonction f(x)=c est constante sur l'intervalle J si f`(x)=0 sur cet intervalle.

En effet, pour x 1 et x 2 arbitraires de l'intervalle J, en utilisant le théorème sur la valeur moyenne d'une fonction, on peut écrire :
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), car f`(c)=0, alors f(x 2)= f(x 1)

Théorème : (La propriété principale de la fonction primitive)

Si F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x) sur l'intervalle J, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme : F(x)+C, où C est n'importe quel nombre réel.

Preuve:

Soit F`(x) = f (x), alors (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), pour x Є J.
Supposons qu'il existe Φ(x) - une autre primitive pour f (x) sur l'intervalle J, c'est-à-dire Φ`(x) = f (x),
alors (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, pour x Є J.
Cela signifie que Φ(x) - F(x) est constant sur l'intervalle J.
Par conséquent, Φ(x) - F(x) = C.
D'où Φ(x)= F(x)+C.
Cela signifie que si F(x) est une primitive d'une fonction f (x) sur l'intervalle J, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme : F(x)+C, où C est n'importe quel nombre réel.
Par conséquent, deux primitives quelconques d’une fonction donnée diffèrent l’une de l’autre par un terme constant.

Exemple: Trouver l'ensemble des primitives de la fonction f (x) = cos x. Dessinez des graphiques des trois premiers.

Solution: Sin x est l'une des primitives de la fonction f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – l’ensemble de toutes les primitives.

F 1 (x) = Péché x-1
F 2 (x) = Péché x
F 3 (x) = Péché x+1

Illustration géométrique : Le graphique de toute primitive F(x)+C peut être obtenu à partir du graphique de la primitive F(x) en utilisant le transfert parallèle r (0;c).

Exemple: Pour la fonction f (x) = 2x, trouver une primitive dont le graphe passe par t.M (1;4)

Solution: F(x)=x 2 +C – l'ensemble de toutes les primitives, F(1)=4 - selon les conditions du problème.
Donc 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x2 +3

Primitive.

La primitive est facile à comprendre avec un exemple.

Prenons la fonction y = x 3. Comme nous le savons grâce aux sections précédentes, la dérivée de X 3 est 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Donc, à partir de la fonction y = x 3 on obtient nouvelle fonctionnalité: à = 3X 2 .
Au sens figuré, la fonction à = X 3 fonctions produites à = 3X 2 et est son « parent ». En mathématiques, il n’existe pas de mot « parent », mais il existe un concept connexe : la primitive.

C'est-à-dire : fonction y = x 3 est une primitive de la fonction à = 3X 2 .

Définition de la primitive :

Dans notre exemple ( X 3)" = 3X 2 donc y = x 3 – primitive pour à = 3X 2 .

L'intégration.

Comme vous le savez, le processus permettant de trouver la dérivée d'une fonction donnée est appelé différenciation. Et l’opération inverse s’appelle l’intégration.

Exemple-explication:

à = 3X 2 + péché X.

Solution :

Nous savons que la primitive de 3 X 2 est X 3 .

Primitive du péché X est –cos X.

Nous ajoutons deux primitives et obtenons la primitive pour la fonction donnée :

y = x 3 + (–cos X),

y = x 3 – parce que X.

Répondre :
pour la fonction à = 3X 2 + péché X y = x 3 – parce que X.

Exemple-explication:

Trouvons une primitive pour la fonction à= 2 péché X.

Solution :

On note que k = 2. La primitive du péché X est –cos X.

Donc pour la fonction à= 2 péché X la fonction est primitive à= –2cos X.
Coefficient 2 dans la fonction y = 2 sin X correspond au coefficient de la primitive à partir de laquelle cette fonction a été formée.

Exemple-explication:

Trouvons une primitive pour la fonction oui= péché 2 X.

Solution :

Nous remarquons que k= 2. Primitive du péché X est –cos X.

Nous appliquons notre formule pour trouver la primitive de la fonction oui= cos 2 X:

1
oui= - · (–cos 2 X),
2

parce que 2 X
oui = – ----
2

parce que 2 X
Réponse : pour une fonction oui= péché 2 X la fonction est primitive oui = – ----
2

(4)

Exemple-explication.

Reprenons la fonction de l'exemple précédent : oui= péché 2 X.

Pour cette fonction, toutes les primitives ont la forme :

parce que 2 X
oui = – ---- + C.
2

Explication.

Prenons la première ligne. Cela se lit comme ceci : si la fonction y = f( X) est 0, alors sa primitive est 1. Pourquoi ? Parce que la dérivée de l'unité est nulle : 1" = 0.

Les lignes restantes sont lues dans le même ordre.

Comment écrire des données à partir d'une table ? Prenons la ligne huit :

(-cos X)" = péché X

On écrit la deuxième partie avec le signe de la dérivée, puis le signe égal et la dérivée.

On lit : primitive de la fonction sin X est la fonction -cos X.

Ou : fonction -cos X est primitive pour la fonction sin X.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Que ça prenne du temps t depuis le début du mouvement, la pointe a parcouru une distance St). Alors la vitesse instantanée Vermont)égal à la dérivée de la fonction St), c'est v(t) = s"(t).

En pratique, on rencontre le problème inverse : étant donné la vitesse de déplacement d'un point Vermont) retrouver le chemin qu'elle a emprunté St), c'est-à-dire trouver une telle fonction St), dont la dérivée est égale à Vermont). Fonction St), tel que s"(t) = v(t), est appelée la primitive de la fonction Vermont).

Par exemple, si v(t) = à, Où UN est un nombre donné, alors la fonction
s(t) = (à 2) / 2Vermont), parce que
s"(t) = ((à 2) / 2) " = à à = v(t).

Fonction F(x) appelé la primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, si pour tout X de cet écart F"(x) = f(x).

Par exemple, la fonction F(x) = sinx est la primitive de la fonction f(x) = cosx, parce que (péché x)" = cos x; fonction F(x) = x4/4 est la primitive de la fonction f(x) = x3, parce que (x 4/4)" = x 3.

Considérons le problème.

Tâche.

Montrer que les fonctions x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sont des primitives de la même fonction f(x) = x 2.

Solution.

1) Notons F 1 (x) = x 3 /3, alors F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

En général, toute fonction x 3 /3 + C, où C est une constante, est une primitive de la fonction x 2. Cela découle du fait que la dérivée de la constante est nulle. Cet exemple montre que pour une fonction donnée, sa primitive est déterminée de manière ambiguë.

Soient F 1 (x) et F 2 (x) deux primitives de la même fonction f(x).

Alors F 1 "(x) = f(x) et F" 2 (x) = f(x).

La dérivée de leur différence g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) est égale à zéro, puisque g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Si g"(x) = 0 sur un certain intervalle, alors la tangente au graphique de la fonction y = g(x) en chaque point de cet intervalle est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, le graphique de la fonction y = g(x) est une droite parallèle à l'axe Ox, c'est-à-dire e. g(x) = C, où C est une constante des égalités g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) il s'ensuit que F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Ainsi, si la fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, alors toutes les primitives de la fonction f(x) s'écrivent sous la forme F(x) + C, où C est un constante arbitraire.

Considérons les graphiques de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x). Si F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), alors toute primitive de cette fonction s'obtient en ajoutant à F(x) une constante : F(x) + C. Graphiques des fonctions y = F( x) + C sont obtenus à partir du graphique y = F(x) par décalage le long de l'axe Oy. En choisissant C, vous pouvez vous assurer que le graphe de la primitive passe par un point donné.

Faisons attention aux règles de recherche des primitives.

Rappelons que l'opération de recherche de la dérivée d'une fonction donnée s'appelle différenciation. L'opération inverse consistant à trouver la primitive pour une fonction donnée est appelée l'intégration(du mot latin "restaurer").

Tableau des primitives pour certaines fonctions, il peut être compilé à l'aide d'une table de dérivées. Par exemple, sachant que (cos x)" = -sin x, on a (-cos x)" = péché x, d'où il résulte que toutes les fonctions primitives péché x s'écrivent sous la forme -cos x + C, Où AVEC- constante.

Examinons certaines des significations des primitives.

1) Fonction: xp, p ≠ -1. Primitive : (x p+1) / (p+1) + C.

2) Fonction: 1/x, x > 0. Primitive : lnx + C.

3) Fonction: xp, p ≠ -1. Primitive : (x p+1) / (p+1) + C.

4) Fonction: ex. Primitive : e x + C.

5) Fonction: péché x. Primitive : -cos x + C.

6) Fonction: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Primitive : (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Fonction: 1/(kx + b), k ≠ 0. Primitive : (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Fonction: e kx + b, k ≠ 0. Primitive : (1/k)e kx + b + C.

9) Fonction: péché (kx + b), k ≠ 0. Primitive : (-1/k) cos (kx + b).

10) Fonction: cos (kx + b), k ≠ 0. Primitive : (1/k) péché (kx + b).

Règles d'intégration peut être obtenu en utilisant règles de différenciation. Regardons quelques règles.

Laisser F(x) Et G(x)– primitives de fonctions respectivement f(x) Et g(x)à un certain intervalle. Alors:

1) fonction F(x) ± G(x) est la primitive de la fonction f(x) ± g(x);

2) fonction àF(x) est la primitive de la fonction unf(x).

site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source est requis.

Résoudre des intégrales est une tâche facile, mais seulement pour quelques privilégiés. Cet article s’adresse à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais qui n’y connaissent rien ou presque. Intégral... Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment le calculer ? Que sont les intégrales définies et indéfinies ? Si la seule utilisation que vous connaissez d'une intégrale est d'utiliser un crochet en forme d'icône intégrale pour obtenir quelque chose d'utile endroits difficiles d'accès, alors bienvenue ! Découvrez comment résoudre des intégrales et pourquoi vous ne pouvez pas vous en passer.

Nous étudions la notion d'"intégrale"

L'intégration était connue dès le début L'Egypte ancienne. Bien sûr pas dans forme moderne, mais reste. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Particulièrement distingué Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé. Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. C’est cette information fondamentale que vous retrouverez sur notre blog.

Intégrale indéfinie

Ayons une fonction f(x) .

Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .

En d’autres termes, une intégrale est une dérivée inverse ou une primitive. À propos, découvrez comment procéder dans notre article.

Une primitive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, un signe constant est souvent ajouté à la primitive, car les dérivées de fonctions qui diffèrent par une constante coïncident. Le processus de recherche de l’intégrale est appelé intégration.

Exemple simple :

Afin de ne pas calculer constamment les primitives des fonctions élémentaires, il convient de les résumer dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites :

Intégrale définie

Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale aidera à calculer l'aire d'une figure, la masse d'un corps non uniforme, la distance parcourue lors d'un mouvement inégal et bien plus encore. Il faut rappeler qu’une intégrale est la somme d’un nombre infiniment grand de termes infinitésimaux.

À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction. Comment trouver l'aire d'une figure délimitée par le graphique d'une fonction ?

Utiliser une intégrale ! Divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, en segments infinitésimaux. De cette façon, la figure sera divisée en fines colonnes. La somme des aires des colonnes sera l'aire du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat approximatif. Cependant, plus les segments sont petits et étroits, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons à un point tel que la longueur tend vers zéro, alors la somme des aires des segments tendra vers l'aire de la figure. Il s’agit d’une intégrale définie, qui s’écrit ainsi :

Les points a et b sont appelés limites d'intégration.

Bari Alibasov et le groupe "Integral"

D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10% sur

Règles de calcul des intégrales pour les nuls

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés de l'intégrale indéfinie, qui seront utiles lors de la résolution d'exemples.

• La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :

• La constante peut être retirée sous le signe intégral :

• L'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. Cela est également vrai pour la différence :

Propriétés d'une intégrale définie

• Linéarité :

• Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :

• À n'importe lequel points un, b Et Avec:

Nous avons déjà découvert qu'une intégrale définie est la limite d'une somme. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution d’un exemple ? Pour cela il existe la formule de Newton-Leibniz :

Exemples de résolution d'intégrales

Ci-dessous, nous examinerons plusieurs exemples de recherche d'intégrales indéfinies. Nous vous invitons à découvrir vous-même les subtilités de la solution et si quelque chose n'est pas clair, posez des questions dans les commentaires.

Pour renforcer le matériel, regardez une vidéo sur la façon dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Demandez et ils vous diront tout ce qu’ils savent sur le calcul des intégrales. Avec notre aide, toute intégrale triple ou courbe sur surface fermée sera à votre portée.

Fonction F(X ) appelé primitive pour la fonction F(X) sur un intervalle donné, si pour tout X à partir de cet intervalle l'égalité est vraie

F"(X ) = F(X ) .

Par exemple, la fonction F(x) = x 2 F(X ) = 2X , parce que

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

La propriété principale de la primitive

Si F(x) - primitive d'une fonction f(x) sur un intervalle donné, alors la fonction f(x) a une infinité de primitives, et toutes ces primitives peuvent s'écrire sous la forme F(x) + C, Où AVEC est une constante arbitraire.

Règles de calcul des primitives

1. Si F(x) - primitive pour f(x) , UN G(x) - primitive pour g(x) , Que F(x) + G(x) - primitive pour f(x) + g(x) . Autrement dit, la primitive de la somme est égale à la somme des primitives .
2. Si F(x) - primitive pour f(x) , Et k - constant, alors k · F(x) - primitive pour k · f(x) . Autrement dit, le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée .
3. Si F(x) - primitive pour f(x) , Et k,b- constant, et k ≠ 0 , Que 1 / k F( k x+ b ) - primitive pour F(k x+ b) .

Intégrale indéfinie

Pas Intégrale définie de la fonction f(x) expression appelée F(x) + C, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x) . L'intégrale indéfinie est notée comme suit :

∫ f(x)dx = F(x) + C ,

f(x)- ils appelent fonction intégrande ;

f(x)dx- ils appelent intégrande ;

X - ils appelent variable d'intégration ;

F(x) - une des fonctions primitives f(x) ;

AVEC est une constante arbitraire.

Par exemple, ∫ 2 x dx =X 2 + AVEC , ∫ parce quex dx = péché X + AVEC et ainsi de suite. ◄

Le mot « intégral » vient du mot latin entier , qui signifie « restauré ». Considérant l'intégrale indéfinie de 2 X, nous semblons restaurer la fonction X 2 , dont la dérivée est égale à 2 X. Restaurer une fonction à partir de sa dérivée, ou, ce qui revient au même, trouver une intégrale indéfinie sur un intégrande donné s'appelle l'intégration cette fonction. L'intégration est l'opération inverse de la différenciation. Pour vérifier si l'intégration a été effectuée correctement, il suffit de différencier le résultat et d'obtenir l'intégrande.

Propriétés de base de l'intégrale indéfinie

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Le facteur constant de l'intégrande peut être soustrait du signe intégral :

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. L'intégrale de la somme (différence) des fonctions est égale à la somme (différence) des intégrales de ces fonctions :

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Si k,b- constant, et k ≠ 0 , Que

∫ F ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) +C .

Tableau des primitives et intégrales indéfinies

Intégrale définie

Laisser entre les deux [un; b] une fonction continue est donnée y = f(x) , Alors intégrale définie de a à b les fonctions f(x) est appelé l'incrément de la primitive F(x) cette fonction, c'est-à-dire

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Nombres un Et b sont appelés en conséquence inférieur Et haut limites de l’intégration.

Règles de base pour le calcul de l'intégrale définie

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) où k - constante;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), où f(x) — même fonction ;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), où f(x) est une fonction étrange.

Commentaire . Dans tous les cas, on suppose que les intégrandes sont intégrables sur des intervalles numériques dont les frontières sont les limites d'intégration.

Signification géométrique et physique de l'intégrale définie

Signification géométrique Intégrale définie	Signification physique Intégrale définie
Carré S trapèze curviligne (une figure limitée par le graphique d'un positif continu sur l'intervalle [un; b] les fonctions f(x) , axe Bœuf et droit x=une , x=b ) est calculé par la formule $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Chemin s, que le point matériel a surmonté, se déplaçant de manière rectiligne avec une vitesse variant selon la loi Vermont) , pendant une période de temps ; b] , puis l'aire de la figure limitée par les graphiques de ces fonctions et droites x = un , x = b , calculé par la formule $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Par exemple. Calculons l'aire de la figure, limité par des lignes y = x 2 Et y = 2-X . Représentons schématiquement les graphiques de ces fonctions et soulignons dans une couleur différente la figure dont il faut trouver l'aire. Pour trouver les limites de l’intégration, on résout l’équation : X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volume d'un corps de révolution

	Si un corps est obtenu à la suite d'une rotation autour d'un axe Bœuf trapèze curviligne délimité par un graphe continu et non négatif sur l'intervalle [un; b] les fonctions y = f(x) et droit x = un Et x = b , alors on l'appelle corps de rotation . Le volume d'un corps de rotation est calculé par la formule $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Si un corps de rotation est obtenu à la suite de la rotation d'une figure délimitée en haut et en bas par des graphiques de fonctions y = f(x) Et y = g(x) , en conséquence, alors $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Par exemple. Calculons le volume d'un cône de rayon r et la hauteur h . Positionnons le cône dans un système de coordonnées rectangulaires pour que son axe coïncide avec l'axe Bœuf , et le centre de la base était situé à l'origine. Rotation du générateur UN B définit un cône. Puisque l'équation UN B $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
et pour le volume du cône on a $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄