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Mots clés: trapèze intégral et curviligne, zone de figures délimitée par des lys

Équipement: tableau de repérage, ordinateur, projecteur multimédia

Type de cours: cours-conférence

Objectifs de la leçon:

• éducatif: créer une culture du travail mental, créer une situation de réussite pour chaque élève et créer une motivation positive pour l'apprentissage ; développer la capacité de parler et d’écouter les autres.
• développement: formation de la pensée indépendante de l'étudiant dans l'application des connaissances dans diverses situations, la capacité d'analyser et de tirer des conclusions, le développement de la logique, le développement de la capacité à poser correctement des questions et à y trouver des réponses. Améliorer la formation des compétences informatiques et informatiques, développer la réflexion des étudiants au cours de l'exécution des tâches proposées, développer une culture algorithmique.
• éducatif: former des concepts sur un trapèze curviligne, sur une intégrale, maîtriser les compétences de calcul des aires de figures planes

Méthode d'enseignement: explicatif et illustratif.

Pendant les cours

Dans les cours précédents, nous avons appris à calculer les aires de figures dont les limites sont des lignes polygonales. En mathématiques, il existe des méthodes qui permettent de calculer les aires de figures délimitées par des courbes. De telles figures sont appelées trapèzes curvilignes et leur aire est calculée à l'aide de primitives.

Trapèze curviligne ( diapositive 1)

Un trapèze courbe est une figure délimitée par le graphique d'une fonction, ( sh.m.), droit x = un Et x = b et l'axe des x

Différents types de trapèzes courbes ( diapositive 2)

Nous envisageons différentes sortes trapèzes curvilignes et remarque : une des droites dégénère en point, le rôle de fonction limite est joué par la droite

Aire d'un trapèze courbe (diapositive 3)

Fixons l'extrémité gauche de l'intervalle UN, et le bon X nous allons changer, c'est-à-dire que nous déplaçons la paroi droite du trapèze curviligne et obtenons une figure changeante. L'aire d'un trapèze curviligne variable délimité par le graphe de la fonction est une primitive F pour la fonction F

Et sur le segment [ un; b] aire d'un trapèze curviligne formé par la fonction F, est égal à l'incrément de la primitive de cette fonction :

Exercice 1 :

Trouver l'aire d'un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction : f(x) = x2 et droit y = 0, x = 1, x = 2.

Solution: ( selon l'algorithme diapositive 3)

Traçons un graphique de la fonction et des lignes

Trouvons l'un des fonctions primitives f(x) = x2 :

Autotest des diapositives

Intégral

Considérons un trapèze curviligne défini par la fonction F sur le segment [ un; b]. Divisons ce segment en plusieurs parties. L'aire de l'ensemble du trapèze sera divisée en la somme des aires des trapèzes courbes plus petits. ( diapositive 5). Chacun de ces trapèzes peut être approximativement considéré comme un rectangle. La somme des aires de ces rectangles donne une idée approximative de toute l'aire du trapèze courbe. Plus nous divisons le segment [ un; b], plus nous calculons la surface avec précision.

Écrivons ces arguments sous forme de formules.

Divisez le segment [ un; b] en n parties par points x 0 = a, x1,…, xn = b. Longueur k-ème désigner par xk = xk – xk-1. Faisons une somme

Géométriquement, cette somme représente l'aire de la figure ombrée sur la figure ( sh.m.)

Les sommes de la forme sont appelées sommes intégrales pour la fonction F. (chut)

Les sommes intégrales donnent une valeur approximative de la superficie. La valeur exacte est obtenue en passant à la limite. Imaginons que nous affinions la partition du segment [ un; b] de sorte que les longueurs de tous les petits segments tendent vers zéro. Ensuite, l'aire de la figure composée se rapprochera de l'aire du trapèze courbe. On peut dire que l'aire d'un trapèze courbe est égale à la limite des sommes intégrales, Sc.t. (chut) ou intégrale, c'est-à-dire

Définition:

Intégrale d'une fonction f(x) depuis un avant b appelée la limite des sommes intégrales

= (chut)

Formule de Newton-Leibniz.

On rappelle que la limite des sommes intégrales est égale à l'aire d'un trapèze curviligne, ce qui signifie qu'on peut écrire :

Sc.t. = (chut)

D'autre part, l'aire d'un trapèze courbe est calculée par la formule

S k.t. (chut)

En comparant ces formules, on obtient :

Cette égalité s'appelle la formule de Newton-Leibniz.

Pour faciliter le calcul, la formule s'écrit :

Tâches : (sh.m.)

1. Calculez l'intégrale à l'aide de la formule de Newton-Leibniz : ( vérifiez la diapositive 5)

2. Composez les intégrales selon le dessin ( vérifiez la diapositive 6)

3. Trouvez l'aire de la figure délimitée par les droites : y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositive 7)

Trouver les aires des figures planes ( diapositive 8)

Comment trouver l'aire de figures qui ne sont pas des trapèzes courbes ?

Soit deux fonctions dont vous voyez les graphiques sur la diapositive . (chut) Trouver l'aire de la figure ombrée . (chut). La figure en question est-elle un trapèze courbe ? Comment pouvez-vous trouver son aire en utilisant la propriété d’additivité de l’aire ? Considérons deux trapèzes courbes et soustrayons l'aire de l'autre de l'aire de l'un d'eux ( ch.m.)

Créons un algorithme pour trouver la zone à l'aide d'une animation sur une diapositive :

1. Fonctions graphiques
2. Projeter les points d'intersection des graphiques sur l'axe des x
3. Ombrez le chiffre obtenu lorsque les graphiques se croisent
4. Trouvez des trapèzes curvilignes dont l'intersection ou l'union est la figure donnée.
5. Calculer l'aire de chacun d'eux
6. Trouver la différence ou la somme des aires

Tâche orale : Comment obtenir l'aire d'une figure ombrée (dire à l'aide de l'animation, diapositives 8 et 9)

Devoirs: Parcourez les notes, n° 353 (a), n° 364 (a).

Bibliographie

1. L'algèbre et les débuts de l'analyse : un manuel pour les classes 9-11 de l'école du soir (poste) / éd. G.D. Glaser. - M : Lumières, 1983.
2. Bashmakov M.I. L'algèbre et les débuts de l'analyse : un manuel pour les 10e et 11e années du secondaire / Bashmakov M.I. - M : Lumières, 1991.
3. Bashmakov M.I. Mathématiques : manuel pour les établissements débutants. et mercredi prof. éducation / M.I. Bachmakov. - M : Académie, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algèbre et débuts de l'analyse : manuel pour les classes 10-11. établissements d'enseignement / A.N. Kolmogorov. - M : Éducation, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Comment faire une présentation pour une leçon ?/ S.L. Ostrovski. – M. : 1er septembre 2010.

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

Application de l'intégrale à la solution de problèmes appliqués

Calcul de superficie

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f(x) est numériquement égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la courbe y = f(x), l'axe O x et les droites x = a et x = b. Conformément à cela, la formule d'aire s'écrit comme suit :

Examinons quelques exemples de calcul des aires de figures planes.

Tâche n°1. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solution. Construisons une figure dont nous devrons calculer l'aire.

y = x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et la parabole est décalée vers le haut d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Tâche n° 2. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 – 1, y = 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est une parabole de branches dirigées vers le haut, et la parabole est décalée d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y = x 2 – 1

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4.

Solution. La première de ces deux droites est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif, et la deuxième droite est une droite coupant les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, on trouve les coordonnées de son sommet : y’=2 – 2x ; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse du sommet ; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 est son ordonnée, N(1;9) est le sommet.

Trouvons maintenant les points d’intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d’équations :

Égaliser les côtés droits d'une équation dont les côtés gauches sont égaux.

On obtient 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ou x 2 – 12 = 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection d'une parabole et d'une droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4

Construisons une droite y = 2x – 4. Elle passe par les points (0;-4), (2;0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également utiliser ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x – x 2 = 0 ou x 2 – 2x – 8 = 0. En utilisant le théorème de Vieta, c'est facile pour trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2) délimitée par ces lignes.

La deuxième partie du problème est de trouver l'aire de cette figure. Sa superficie peut être trouvée en utilisant Intégrale définie selon la formule .

Par rapport à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de rotation

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y = f(x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors d'une rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Tâche n°4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par des lignes droites x = 0 x = 3 et une courbe y = autour de l'axe O x.

Solution. Faisons un dessin (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume requis est

Tâche n°5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par la courbe y = x 2 et les droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y.

Solution. Nous avons:

Questions de révision

Considérons un trapèze courbe délimité par l'axe Ox, la courbe y=f(x) et deux droites : x=a et x=b (Fig. 85). Prenons une valeur arbitraire de x (mais pas a ni b). Donnons-lui un incrément h = dx et considérons une bande délimitée par les droites AB et CD, l'axe Ox et l'arc BD appartenant à la courbe considérée. Nous appellerons cette bande une bande élémentaire. L'aire d'une bande élémentaire diffère de l'aire du rectangle ACQB par le triangle curviligne BQD, et l'aire de ce dernier moins de superficie rectangle BQDM de côtés BQ = =h=dx) QD=Ay et d'aire égale à hAy = Ay dx. À mesure que le côté h diminue, le côté Du diminue également et simultanément avec h tend vers zéro. Par conséquent, l’aire du BQDM est infinitésimale du second ordre. L'aire d'une bande élémentaire est l'incrément de l'aire, et l'aire du rectangle ACQB, égale à AB-AC ==/(x) dx> est la différentielle de l'aire. Par conséquent, on retrouve l'aire elle-même en intégrant son différentiel. Dans la figure considérée, la variable indépendante l : passe de a à b, donc la surface requise 5 sera égale à 5= \f(x) dx. (I) Exemple 1. Calculons l'aire délimitée par la parabole y - 1 -x*, les droites X =--Fj-, x = 1 et l'axe O* (Fig. 86). à la fig. 87. Fig. 86. 1 Ici f(x) = 1 - l?, les limites d'intégration sont a = - et £ = 1, donc J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemple 2. Calculons l'aire limitée par la sinusoïde y = sinXy, l'axe Ox et la droite (Fig. 87). En appliquant la formule (I), on obtient A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemple 3. Calculer l'aire limitée par l'arc de la sinusoïde ^у = sin jc, ci-joint entre deux points d'intersection adjacents avec l'axe Ox (par exemple, entre l'origine et le point d'abscisse i). Notez que d'après des considérations géométriques, il est clair que cette aire sera double plus de superficie exemple précédent. Cependant, faisons les calculs : I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o En effet, notre hypothèse s'est avérée correcte. Exemple 4. Calculez l'aire délimitée par la sinusoïde et l'axe Ox à une période (Fig. 88). Les calculs préliminaires suggèrent que la surface sera quatre fois plus grande que dans l'exemple 2. Cependant, après avoir effectué les calculs, nous obtenons « i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ce résultat nécessite des précisions. Pour clarifier l'essence du problème, nous calculons également l'aire limitée par la même sinusoïde y = sin l : et l'axe Ox compris entre l et 2i. En appliquant la formule (I), on obtient 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Ainsi, on voit que cette zone s’est avérée négative. En la comparant avec la superficie calculée dans l'exercice 3, nous constatons que leur valeurs absolues sont les mêmes, mais les signes sont différents. Si l'on applique la propriété V (voir chapitre XI, § 4), on obtient 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ce qui s'est passé dans cet exemple n'est pas un accident. Toujours la zone située en dessous de l'axe Ox, à condition que la variable indépendante change de gauche à droite, est obtenue lors du calcul à l'aide d'intégrales. Dans ce cours, nous considérerons toujours les zones sans signalisation. Par conséquent, la réponse dans l’exemple qui vient d’être discuté sera : la surface requise est 2 + |-2| = 4. Exemple 5. Calculons l'aire du BAB montré sur la Fig. 89. Cette zone est limitée par l'axe Ox, la parabole y = - xr et la droite y - = -x+\. Aire d'un trapèze curviligne L'aire requise OAB se compose de deux parties : OAM et MAV. Puisque le point A est le point d'intersection d'une parabole et d'une droite, on trouvera ses coordonnées en résolvant le système d'équations 3 2 Y = mx. (il suffit de trouver l'abscisse du point A). En résolvant le système, nous trouvons l ; = ~. Par conséquent, la superficie doit être calculée en parties, premier carré. OAM puis pl. MAV : .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Graphique de la fonction QAM-^x y=x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf , C'est pourquoi:

Répondre: S =9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. DANS dans ce cas"à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu Oh?

b) Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=-ex , x=1 Et axes de coordonnées.

Solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe Oh , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Répondre: S=(e-1) unités carrées" 1,72 unités carrées

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

En pratique, la figure est le plus souvent située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur.

Avec) Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes y=2x-x 2, y=-x.

Solution.

Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique.

On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration une=0 , limite supérieure d'intégration b=3 .

On peut construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration deviennent claires « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre: S =4,5 unités carrées