Dans la pratique informatique, on a souvent affaire à des fonctions définies par des tableaux de leurs valeurs pour un ensemble fini de valeurs X : .

Dans le processus de résolution du problème, il est nécessaire d'utiliser les valeurs
pour les valeurs intermédiaires de l'argument. Dans ce cas, une fonction Ф(x) est construite, ce qui est assez simple pour les calculs, qui à des points donnés X 0 , X 1 ,...,X n , appelés noeuds d'interpolation, prend des valeurs, et en d'autres points du segment (x 0 ,x n) appartenant au domaine de définition
, représente approximativement la fonction
avec une certaine précision.

Lors de la résolution du problème dans ce cas, au lieu de la fonction
fonctionnent avec la fonction Ф(x). La tâche de construire une telle fonction Ф(x) est appelée le problème d'interpolation. Le plus souvent, la fonction d'interpolation Ф(x) se trouve sous la forme d'un polynôme algébrique.

1. Polynôme d'interpolation

Pour chaque fonction
défini sur [ un B], et tout ensemble de nœuds X 0 , X 1 ,...,X n (X je
[un B], X je X j pour moi j) parmi les polynômes algébriques de degré au plus n, il existe un unique polynôme d'interpolation Ф(x), qui peut s'écrire sous la forme :

, (3.1)

Où
est un polynôme du nième degré, qui a la propriété suivante :

Pour un polynôme d'interpolation, le polynôme
ressemble à:

Ce polynôme (3.1) résout le problème d'interpolation et est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange.

A titre d'exemple, considérons une fonction de la forme
sur l'intervalle
données sous forme de tableau.

Il faut déterminer la valeur de la fonction au point x-2.5. Nous utilisons pour cela le polynôme de Lagrange. A partir des formules (3.1 et 3.3), on écrit explicitement ce polynôme :

(3.4).

Puis en substituant dans la formule (3.4) les valeurs initiales de notre tableau, on obtient

Le résultat obtenu correspond à la théorie c'est-à-dire .

1. Formule d'interpolation de Lagrange

Le polynôme d'interpolation de Lagrange peut s'écrire sous une autre forme :

(3.5)

L'écriture d'un polynôme sous la forme (3.5) est plus pratique pour la programmation.

Lors de la résolution du problème d'interpolation, la valeur n est appelé l'ordre du polynôme d'interpolation. Dans ce cas, comme le montrent les formules (3.1) et (3.5), le nombre de nœuds d'interpolation sera toujours égal à n+1 et sens X, dont la valeur est déterminée
, doit se situer dans le domaine des nœuds d'interpolation ceux.

. (3.6)

Dans certains cas pratiques, le nombre total connu de nœuds d'interpolation m peut être supérieur à l'ordre du polynôme d'interpolation n.

Dans ce cas, avant de mettre en œuvre la procédure d'interpolation selon la formule (3.5), il est nécessaire de déterminer les nœuds d'interpolation pour lesquels la condition (3.6) est valide. Il convient de rappeler que la plus petite erreur est obtenue lors de la recherche de la valeur X au centre de la zone d'interpolation. Pour s'en assurer, la procédure suivante est suggérée :

Le but principal de l'interpolation est de calculer des valeurs de fonction tabulées pour des valeurs d'argument non nodales (intermédiaires), c'est pourquoi l'interpolation est souvent appelée "l'art de lire des tableaux entre les lignes".

Polynôme de Lagrange

Polynôme d'interpolation de Lagrange est le polynôme de degré minimum qui prend les valeurs données à l'ensemble de points donné. Pour n+ 1 paires de nombres , où tous X je sont différents, il existe un seul polynôme L(X) diplôme pas plus n, Pour qui L(X je) = y je .

Dans le cas le plus simple ( n= 1 ) est un polynôme linéaire dont le graphe est une droite passant par deux points donnés.

Définition

Cet exemple montre le polynôme d'interpolation de Lagrange à quatre points (-9.5) , (-4.2) , (-1,-2) et (7.9) , et les polynômes y j l j (x), dont chacun passe par l'un des points sélectionnés, et prend une valeur nulle dans le reste x je

Soit pour la fonction F(X) les valeurs sont connues y j = F(X j) à certains points. On peut alors interpoler cette fonction comme

En particulier,

Valeurs des intégrales de je j ne dépend pas de F(X) , et ils peuvent être calculés à l'avance, connaissant la suite X je .

Pour le cas d'une distribution uniforme sur le segment des nœuds d'interpolation

Dans ce cas, on peut exprimer X je par la distance entre les nœuds d'interpolation h et le point de départ X 0 :

et donc

En substituant ces expressions dans la formule polynomiale de base et en retirant h des signes de multiplication au numérateur et au dénominateur, nous obtenons

On peut maintenant introduire un changement de variable

et obtenir un polynôme de y, qui est construit en utilisant uniquement l'arithmétique entière. L'inconvénient de cette approche est la complexité factorielle du numérateur et du dénominateur, qui nécessite l'utilisation d'algorithmes avec une représentation multioctet des nombres.

Liens externes

Fondation Wikimédia. 2010 .

Voyez ce qu'est le "polynôme de Lagrange" dans d'autres dictionnaires :

Forme d'écriture d'un polynôme de degré n (polynôme d'interpolation de Lagrange) interpolant une fonction donnée f (x) aux nœuds x 0, x1, ..., x n : (х x0)/h=t formule (1)… … Encyclopédie mathématique

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Nous allons construire un polynôme d'interpolation sous la forme

où sont les polynômes de degré au plus P, ayant la propriété suivante :

En effet, dans ce cas le polynôme (4.9) en chaque nœud x j, j=0,1,…n, est égal à la valeur correspondante de la fonction y j, c'est à dire. est une interpolation.

Construisons de tels polynômes. Puisque pour x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , peut être factorisé comme suit

où c est une constante. De la condition on obtient que

Polynôme d'interpolation (4.1) écrit sous la forme

est appelé le polynôme d'interpolation de Lagrange.

Valeur approximative d'une fonction en un point X *, calculé à l'aide du polynôme de Lagrange, aura une erreur résiduelle (4.8). Si les valeurs de la fonction et je aux nœuds d'interpolation x je sont donnés approximativement avec la même erreur absolue, alors au lieu de la valeur exacte, la valeur approximative sera calculée, et

où est l'erreur absolue de calcul du polynôme d'interpolation de Lagrange. Enfin, nous avons l'estimation suivante de l'erreur totale de la valeur approchée .

En particulier, les polynômes de Lagrange du premier et du second degré auront la forme

et leurs erreurs totales au point x *

Il existe d'autres formes d'écriture du même polynôme d'interpolation (4.1), par exemple la formule d'interpolation des différences divisées de Newton considérée ci-dessous et ses variantes. Avec des calculs exacts, les valeurs Pn(x *), obtenus par différentes formules d'interpolation construites à partir des mêmes nœuds, coïncident. La présence d'une erreur de calcul entraîne une différence dans les valeurs obtenues par ces formules. L'écriture d'un polynôme sous la forme de Lagrange conduit, en règle générale, à une erreur de calcul plus faible.

L'utilisation de formules pour estimer les erreurs qui surviennent lors de l'interpolation dépend de l'énoncé du problème. Par exemple, si le nombre de nœuds est connu et que la fonction est donnée avec un nombre suffisamment grand de signes valides, nous pouvons définir la tâche de calcul f(x*) avec la plus grande précision possible. Si, au contraire, le nombre de signes corrects est petit, et le nombre de nœuds est grand, alors on peut se poser le problème du calcul f(x*) avec la précision que permet la valeur tabulaire de la fonction, et pour résoudre ce problème, à la fois la raréfaction et le compactage de la table peuvent être nécessaires.

§4.3. Les différences séparées et leurs propriétés.

Le concept de différence divisée est un concept généralisé de dérivée. Soit aux points x 0 , x 1 ,…x n les valeurs des fonctions f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Les différences divisées du premier ordre sont définies par les égalités

différences divisées du second ordre - égalités,

et les différences partagées kème ordre sont déterminés par la formule récursive suivante :

Les différences divisées sont généralement placées dans un tableau comme celui-ci :

Considérez les propriétés suivantes des différences divisées.

1. Les différences divisées de tous les ordres sont des combinaisons linéaires de valeurs f(x je), c'est à dire. la formule suivante tient :

Prouvons la validité de cette formule par induction sur l'ordre des différences. Pour les différences du premier ordre

La formule (4.12) est valide. Supposons maintenant qu'elle soit valable pour toutes les différences d'ordre.

Alors, d'après (4.11) et (4.12), pour des différences d'ordre k=n+1 nous avons

Termes contenant f(x0) Et f(x n +1), avoir le formulaire requis. Considérez les termes contenant f(x je), je=1, 2, …,n. Il existe deux termes de ce type - des première et deuxième sommes:

ceux. la formule (4.12) est valable pour la différence d'ordre k=n+1, la preuve est complète.

2. La différence divisée est une fonction symétrique de ses arguments x 0 , x 1 ,…x n (c'est-à-dire qu'elle ne change avec aucune permutation) :

Cette propriété découle directement de l'égalité (4.12).

3. Connexion simple de la différence divisée F et dérivé f(n)(x) donne le théorème suivant.

Soient les nœuds x 0 , x 1 ,…x n appartenant au segment et fonction f(x) a une dérivée continue d'ordre P. Alors il y a un tel point xО, Quoi

Prouvons d'abord la validité de la relation

D'après (4.12), l'expression entre crochets est

F.

De la comparaison (4.14) avec l'expression (4.7) pour le terme restant R n (x)=f(x)-L n (x) on obtient (4.13), le théorème est prouvé.

Un corollaire simple découle de ce théorème. Pour le polynôme Pème degré

f(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 +… une n

dérivée d'ordre Pévidemment il y a

et la relation (4.13) donne la valeur de la différence divisée

Ainsi, pour tout polynôme de degré P différences d'ordre divisé P sont égaux à une valeur constante - le coefficient au degré le plus élevé du polynôme. Différences séparées d'ordre supérieur
(plus P) sont évidemment égaux à zéro. Cependant, cette conclusion n'est valable que s'il n'y a pas d'erreur de calcul pour les différences divisées.

§4.4. Polynôme d'interpolation de Newton avec différences divisées

On écrit le polynôme d'interpolation de Lagrange sous la forme suivante :

Où L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, UN L k (x) est le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré k, construit par nœuds x 0 , x 1 , …, x k. Alors il existe un polynôme de degré k, dont les racines sont des points x 0 , x 1 , …, x k -1. Elle peut donc être factorisée

où Ak est une constante.

D'après (4.14) on obtient

En comparant (4.16) et (4.17) on obtient que (4.15) prend aussi la forme

qui est appelé polynôme d'interpolation de Newton aux différences divisées.

Ce type d'enregistrement du polynôme d'interpolation est plus visuel (l'ajout d'un nœud correspond à l'apparition d'un terme) et permet de mieux tracer l'analogie des constructions en cours avec les principales constructions de l'analyse mathématique.

L'erreur résiduelle du polynôme d'interpolation de Newton est exprimée par la formule (4.8), mais, compte tenu de (4.13), elle peut aussi s'écrire sous une autre forme

ceux. l'erreur résiduelle peut être estimée par le module du premier terme rejeté dans le polynôme N n (x *).

Erreur de calcul Nn(x*) déterminé par les erreurs des différences divisées. Nœuds d'interpolation les plus proches de la valeur interpolée X *, aura un effet plus important sur le polynôme d'interpolation, se trouvant plus loin - moins. Par conséquent, il est conseillé, si possible, pour x0 Et x1 venir à X * nœuds d'interpolation et effectuer d'abord une interpolation linéaire sur ces nœuds. Puis attirez progressivement les nœuds suivants pour qu'ils soient le plus symétriques possible par rapport à X *, jusqu'à ce que le terme modulo suivant soit inférieur à l'erreur absolue de la différence divisée qui y est incluse.

Laissez sur le segment fonction y=f(x) données dans un tableau, c'est-à-dire (x je , y je), (i=0,1,..,n), Où y je =f(x je). Cette fonction s'appelle " grille».

Formulation du problème: trouver polynôme algébrique (polynôme):

pas de diplôme supérieur n tel que

L n (x je)=y je ,à je= 0,1,..,n,(5.6)

ceux. ayant à des nœuds donnés x je , (je=0,1,..,n) les mêmes valeurs que la fonction grille à=f(x).

Le polynôme lui-même L n (x) appelé polynôme d'interpolation, et la tâche est interpolation polynomiale .

Trouver le polynôme L n (x)- ça signifie trouver ses coefficients a 0 , un 1 ,…,un n.m. Pour cela il y a n+ 1 condition (5.6), qui s'écrit comme un système d'équations algébriques linéaires en inconnues un je ,(je=0, 1,…,n):

Où X moi et y je ( je=0,1,…,n) – valeurs tabulaires de l'argument et de la fonction.

On sait par le cours d'algèbre que le déterminant de ce système, appelé déterminant de Vandermonde :

différent de zéro et, par conséquent, le système (5.7) a seule décision.

Après avoir déterminé les coefficients un 0 , un 1 ,…,un, système résolvant (5.7), on obtient ce que l'on appelle Polynôme d'interpolation de Lagrange pour la fonction f(x):

(5.8)

qui peut s'écrire :

On prouve que pour le donné n+1 valeurs de fonction peuvent être tracées le seul polynôme d'interpolation de Lagrange(5.8).

En pratique, les polynômes d'interpolation de Lagrange du premier ( n= 1) et deuxième ( n= 2) degrés.

À n= 1 informations sur la fonction interpolée y=f(x) fixé en deux points : (X 0 ,y 0 ) et (x 1 ,y 1 ), et le polynôme de Lagrange a la forme

Pour n= 2 Le polynôme de Lagrange est construit selon le tableau à trois points

Solution: Nous substituons les données initiales dans la formule (5.8). Le degré du polynôme de Lagrange résultant n'est pas supérieur au tiers, puisque la fonction est donnée par quatre valeurs :

En utilisant le polynôme d'interpolation de Lagrange, on peut trouver la valeur de la fonction à n'importe quel point intermédiaire, par exemple à X=4:

= 43

Polynômes d'interpolation de Lagrange utilisé dans méthode des éléments finis, largement utilisé pour résoudre les problèmes de construction.

D'autres formules d'interpolation sont également connues, par exemple, Formule d'interpolation de Newton, utilisé en interpolation dans le cas de nœuds équidistants ou polynôme d'interpolation Hermite.

interpolation spline. Lors de l'utilisation d'un grand nombre de nœuds d'interpolation, une technique spéciale est utilisée - interpolation polynomiale par morceaux lorsque la fonction est interpolée par un polynôme de degré J entre tous les nœuds de réseau voisins.

Approximation RMS des fonctions

Formulation du problème

Approximation RMS fonctions est une approche différente pour obtenir des expressions analytiques pour les fonctions d'approximation. Une caractéristique de ces problèmes est le fait que les données initiales pour la construction de certains modèles sont connues pour avoir caractère approximatif.

Ces données sont obtenues à la suite d'une expérience ou à la suite d'un processus de calcul. En conséquence, ces données contiennent des erreurs expérimentales (erreurs d'équipement et de conditions de mesure, erreurs aléatoires, etc.) ou des erreurs d'arrondi.

Disons qu'un phénomène ou un processus fait l'objet d'une enquête. De manière générale, l'objet d'étude peut être représenté par un système cybernétique ("boîte noire") représenté sur la figure.

Variable X est une variable contrôlée indépendante (paramètre d'entrée).

Variable Oui- c'est la réaction (réponse) de l'objet d'étude à l'impact du paramètre d'entrée. C'est la variable dépendante.

Supposons que lors du traitement des résultats de cette expérience, une certaine dépendance fonctionnelle soit trouvée y=f(x) entre variable indépendante X et variable dépendante y. Cette dépendance est présentée sous forme de tableau. 5.1 valeurs x je , y je (je=1,2,…,n) obtenu au cours de l'expérience.

Tableau 5.1

Si l'expression analytique de la fonction y=f(x) inconnue ou très difficile, alors se pose le problème de trouver la fonction y= j (X), dont les valeurs à x=x je, peut-être un peu différentà partir de données expérimentales et je , (je=1,..,n). Ainsi, la dépendance étudiée est approchée par la fonction y= j (X) sur la tranche [ X 1 ,xn]:

f(x) @ j (X). (5.9)

Fonction d'approximation y= j (X) appelé formule empirique (EF) ou équation de régression (UR).

Les formules empiriques ne prétendent pas être les lois de la nature, mais ne sont que des hypothèses qui décrivent plus ou moins adéquatement les données expérimentales. Cependant, leur importance est très grande. Il y a des cas dans l'histoire des sciences où une formule empirique réussie a conduit à de grandes découvertes scientifiques.

La formule empirique est adéquat, s'il peut être utilisé pour décrire l'objet étudié avec une précision suffisante pour la pratique.

A quoi sert cette dépendance ?

Si l'approximation (5.9) est trouvée, alors il est possible :

Faire une prédiction sur le comportement de l'objet étudié en dehors du segment ( extrapolation );

Choisir optimal sens de développement du procédé à l'étude.

L'équation de régression peut avoir une forme différente et un niveau de complexité différent, selon les caractéristiques de l'objet étudié et la précision de représentation requise.

Géométriquement la tâche de construire une équation de régression est de tracer une courbe L: y= j (X) « peut-être plus près» adjacent au système de points expérimentaux M je (x je , y je), je= 1,2,..,n, tableau donné. 5.1 (figure 5.2).

La construction de l'équation de régression (fonction empirique) comporte 2 étapes :

1. choix de vue généraleéquations de régression,

2. déterminer ses paramètres.

Réussi choix l'équation de régression dépend en grande partie de l'expérience de l'expérimentateur étudiant tout processus ou phénomène.

Souvent, un polynôme (polynôme) est choisi comme équation de régression :

La deuxième tâche recherche de paramètres les équations de régression sont résolues par des méthodes régulières, par exemple, moindres carrés(LSM), qui est largement utilisé dans l'étude de toute régularité basée sur des observations ou des expériences.

Le développement de cette méthode est associé aux noms de mathématiciens célèbres du passé - K. Gauss et A. Legendre.

Méthode des moindres carrés

Supposons que les résultats de l'expérience soient présentés sous forme de tableau. 5.1. Et l'équation de régression s'écrit sous la forme (5.11), c'est-à-dire dépend de ( m+1) paramètre

Ces paramètres déterminent l'emplacement du graphique de l'équation de régression par rapport aux points expérimentaux M je (x je , y je), je= 1,2,..,n(fig.5.2).

Cependant, ces paramètres ne sont pas définis de manière unique. Il faut choisir les paramètres pour que le graphique de l'équation de régression se situe " aussi proche que possible» au système de ces points expérimentaux.

Nous introduisons le concept déviations les valeurs de l'équation de régression (5.11) à partir de la valeur tabulaire et je Pour x je : , je= 1,2,..,n.

Considérer la somme des écarts au carré, qui dépend de( m+1) paramètre

D'après les meilleurs coefficients des moindres carrés un je(je=0,1,..,m) sont ceux qui minimisent la somme des écarts au carré, c'est-à-dire fonction .

En utilisant conditions nécessaires à l'extremum de la fonction plusieurs variables, nous obtenons ce que l'on appelle système normal pour déterminer des coefficients inconnus :

Pour la fonction d'approximation (5.11), le système (5.14) est un système d'équations algébriques linéaires à inconnues .

Cas possibles :

1. Si , alors il existe une infinité de polynômes (5.11) minimisant la fonction (5.13).

2. Si m=n–1, alors il n'y a qu'un seul polynôme (5.11) minimisant la fonction (5.13).

Le moins m, plus la formule empirique est simple, mais ce n'est pas toujours mieux. Il faut se rappeler que la formule empirique qui en résulte doit être adéquat l'objet étudié.