Éléments d'analyse combinatoire

Connexions. Vide UN un 1 , un 2, un 3 …un UN m (m depuis n Connexions depuis néléments par m

Réarrangements. Vide UN– un ensemble constitué d’un nombre fini d’éléments un 1 , un 2, un 3 …un. À partir de divers éléments de l'ensemble UN des groupes peuvent être constitués. Si chaque groupe contient le même nombre d'éléments m (m depuis n), alors on dit qu'ils forment Connexions depuis néléments par m en chacun. Il existe trois types de connexions : les placements, les combinaisons et les permutations.

Placements. Composés dont chacun contient m divers éléments ( m < n) pris à partir de néléments de l'ensemble UN, différant les uns des autres soit par la composition des éléments, soit par leur ordre sont appelés emplacements depuis néléments par m en chacun. Le nombre de ces placements est indiqué par le symbole

Théorème 1. Le nombre de toutes les permutations distinctes de n éléments est

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n !

Théorème 2. Nombre de tous les emplacements de néléments par m calculé par la formule :

Combinaisons. Connexions dont chacun contient m divers éléments ( m < n) pris à partir de néléments de l'ensemble UN, différant les uns des autres par au moins un des éléments (uniquement composition) sont appelés combinaisons depuis néléments par m en chacun. Le nombre de ces combinaisons est indiqué par le symbole

Théorème 3. Le nombre de toutes les combinaisons de n éléments par m est déterminé par la formule :

Parfois, la formule suivante est utilisée pour enregistrer le nombre de placements :

L'essence et les conditions d'application de la théorie des probabilités.

Théorie des probabilités

Phénomène aléatoire -

seulement

La télé. sert à étayer les statistiques mathématiques et appliquées, qui sont utilisées dans la planification de la production, etc.

Concepts de base de la théorie des probabilités.

Théorie des probabilités est une science mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires.

Phénomène aléatoire - Il s’agit d’un phénomène qui, lorsque la même expérience est reproduite de manière répétée, se produit à chaque fois d’une manière légèrement différente.

Les méthodes de la théorie des probabilités sont par nature adaptées seulement pour l'étude des phénomènes aléatoires de masse ; ils ne permettent pas de prédire l'issue d'un phénomène aléatoire individuel, mais ils permettent de prédire le résultat total moyen d'une masse de phénomènes aléatoires homogènes.

En théorie des probabilités test Il est d'usage d'appeler une expérience qui (au moins en théorie) peut être réalisée dans les mêmes conditions un nombre illimité de fois.

Le résultat ou l'issue de chaque test sera appelé événement. Un événement est le concept de base de la théorie des probabilités. Nous désignerons les événements par les lettres A, B, C.

Types d'événements :

événement fiable- un événement qui se produira certainement grâce à l'expérience.

événement impossible- un événement qui ne peut pas se produire à la suite d'une expérience.

Événement aléatoire- un événement qui peut ou non se produire dans une expérience donnée. Égalité des chances lors des événements

Probabilitéévénements UN(dénoter PENNSYLVANIE) UN(dénoter m(UNE)), N ceux. PENNSYLVANIE)= homme.

Espace de probabilité.

Espace de probabilité est un modèle mathématique d'une expérience aléatoire (expérience) dans l'axiomatique d'A.N. Kolmogorov. L'espace de probabilité contient toutes les informations sur les propriétés d'une expérience aléatoire nécessaires à son analyse mathématique à l'aide des moyens de la théorie des probabilités. Tout problème de théorie des probabilités est résolu dans le cadre d'un certain espace de probabilité, complètement spécifié initialement. Les problèmes dans lesquels l’espace de probabilité n’est pas complètement spécifié et où les informations manquantes doivent être obtenues à partir de résultats d’observation appartiennent au domaine des statistiques mathématiques.

Espace de probabilité est déterminé par un triplet de composantes (symboles) (Ω,S,P), où Ω est l'espace des événements élémentaires

S-∂(sigma)-algèbre des événements, P - probabilité, Ω-événement certain, S-système de sous-ensembles de l'espace des résultats élémentaires Ω.

5. 5.Calcul de probabilité directe.

Définition classique de la probabilité basé sur la notion égalité des événements .

Égalité des chances lors des événements Cela signifie qu’il n’y a aucune raison de préférer l’un d’entre eux aux autres.

Envisagez un test qui pourrait aboutir à l'événement UN. Chaque résultat dans lequel l'événement se produit UN, appelé favorable événement UN.

Probabilitéévénements UN(dénoter PENNSYLVANIE)) est le rapport du nombre d'issues favorables à l'événement UN(dénoter m(UNE)), au nombre de tous les résultats des tests – N ceux. PENNSYLVANIE)= homme.

Ce qui suit découle de la définition classique de la probabilité : propriétés :

La probabilité de tout événement se situe entre zéro et un.

Preuve. Depuis, diviser toutes les parties de l'inégalité en N, on a

D'où, selon la définition classique de la probabilité, il s'ensuit que

La probabilité d'un événement fiable est égale à un.

La probabilité d'un événement impossible est nulle

6. 6.Théorèmes d'addition de probabilités.

Si A et B sont incompatibles, alors P(A + B) = P(A) + P(B)

Si A et B sont des événements opposés, alors

Dans ce qui suit, nous appellerons un élément de l’algèbre sigma un événement aléatoire.

Groupe complet d'événements

Un groupe complet d’événements est un groupe complet de sous-ensembles dont chacun est un événement. Ils disent que les événements d’un groupe complet sont une partition de l’espace des résultats élémentaires.

Fonction additive finie

Laisser UN – algèbre. Fonction , mappant l'algèbre à l'ensemble des nombres réels

est appelé finiment additif si pour tout ensemble fini d'événements incompatibles par paires

Fonction de comptage-additif

Laisser F– l’algèbre ou algèbre sigma. Fonction

est appelé dénombrablement additif s'il est finiment additif pour tout ensemble dénombrable d'événements incompatibles par paires

Une mesure est une fonction additive dénombrable non négative définie sur l'algèbre sigma qui satisfait à la condition

Mesure finale

Mesure est dit fini si

Probabilité

Probabilité (mesure de probabilité) P. c'est une mesure telle que

À partir de maintenant, nous arrêterons de mesurer la probabilité en pourcentage et commencerons à la mesurer en nombres réels de 0 à 1.

s'appelle la probabilité de l'événement A

Espace de probabilité

L'espace de probabilité est un ensemble de trois objets : l'espace des résultats élémentaires, l'algèbre sigma des événements et la probabilité.

Il s'agit d'un modèle mathématique d'un phénomène ou d'un objet aléatoire.

Le paradoxe de la définition d'un espace de probabilité

Revenons à la formulation originale du problème en théorie des probabilités. Notre objectif était de construire un modèle mathématique d'un phénomène aléatoire qui aiderait à quantifier les probabilités d'événements aléatoires. En même temps, pour construire un espace de probabilité, il faut spécifier une probabilité, c'est-à-dire semble être exactement ce que nous recherchons (?).

La solution à ce paradoxe est de définir pleinement la probabilité comme une fonction de tous les éléments. F, il suffit généralement de le définir uniquement sur certains événements de F, dont la probabilité nous est facile à déterminer , puis, en utilisant son additivité dénombrable, calculez sur n'importe quel élément F.

Événements indépendants

Un concept important en théorie des probabilités est l’indépendance.

Les événements A et B sont dits indépendants si

ceux. la probabilité que ces événements se produisent simultanément est égale au produit de leurs probabilités.

Les événements d’un ensemble dénombrable ou fini sont dits indépendants par paire si l’une d’entre elles est une paire d’événements indépendants.

Au total

Les événements d'un ensemble dénombrable ou fini sont dits collectivement indépendants si la probabilité qu'un sous-ensemble fini d'entre eux se produise simultanément est égale au produit des probabilités des événements de ce sous-ensemble.

Il est clair que les événements collectivement indépendants le sont également par paires. L’inverse n’est pas vrai.

Probabilite conditionnelle

La probabilité conditionnelle de l'événement A étant donné que l'événement B s'est produit est la quantité

Pour l’instant, nous définirons une probabilité conditionnelle uniquement pour les événements B dont la probabilité n’est pas égale à zéro.

Si les événements A et B sont indépendants, alors

Propriétés et théorèmes

Les propriétés les plus simples de la probabilité

Formulaire d'événements groupe complet, si au moins l'un d'entre eux se produira certainement à la suite de l'expérience et est incompatible par paire.

Supposons que l'événement UN ne peut se produire qu'avec l'un des nombreux événements incompatibles par paires qui forment un groupe complet. Nous appellerons les événements ( je= 1, 2,…, n) hypothèses expérience supplémentaire (a priori). La probabilité d'occurrence de l'événement A est déterminée par la formule pleine probabilité :

Exemple 16. Il y a trois urnes. La première urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires, la seconde contient 4 boules blanches et 4 boules noires et la troisième contient 8 boules blanches. L'une des urnes est tirée au sort (cela pourrait par exemple signifier que le choix se fait parmi une urne auxiliaire contenant trois boules numérotées 1, 2 et 3). Une boule est tirée au hasard de cette urne. Quelle est la probabilité qu'il soit noir ?

Solution.Événement UN– la boule noire est retirée. Si l’on savait de quelle urne la balle a été tirée, alors la probabilité souhaitée pourrait être calculée en utilisant la définition classique de la probabilité. Introduisons des hypothèses (hypothèses) concernant l'urne choisie pour récupérer la balle.

La boule peut être tirée soit de la première urne (conjecture), soit de la deuxième (conjecture), soit de la troisième (conjecture). Puisqu'il y a des chances égales de choisir l'une des urnes, alors .

Il s'ensuit que

Exemple 17. Les lampes électriques sont fabriquées dans trois usines. La première usine produit 30 % du nombre total de lampes électriques, la seconde - 25 %,
et le troisième - le reste. Les produits de la première usine contiennent 1% de lampes électriques défectueuses, la seconde - 1,5%, la troisième - 2%. Le magasin reçoit des produits des trois usines. Quelle est la probabilité qu’une lampe achetée en magasin se révèle défectueuse ?

Solution. Des hypothèses doivent être faites concernant l’usine dans laquelle l’ampoule a été fabriquée. Sachant cela, nous pouvons trouver la probabilité qu'il soit défectueux. Introduisons la notation des événements : UN– la lampe électrique achetée s'est avérée défectueuse, – la lampe a été fabriquée par la première usine, – la lampe a été fabriquée par la deuxième usine,
– la lampe a été fabriquée par la troisième usine.

On trouve la probabilité souhaitée à l'aide de la formule de probabilité totale :

Formule Bayésienne.

Soit un groupe complet d'événements (hypothèses) incompatibles par paires. UN– un événement aléatoire. Alors,

La dernière formule, qui permet de réestimer les probabilités des hypothèses après le résultat du test, à la suite duquel l'événement A est apparu, devient connu, s'appelle Formule de Bayes .

Exemple 18. En moyenne, 50 % des patients atteints de la maladie sont admis dans un hôpital spécialisé À, 30% – avec maladie L, 20 % –
avec une maladie M. Probabilité de guérison complète de la maladie Kégal à 0,7 pour les maladies L Et M ces probabilités sont respectivement de 0,8 et 0,9. Le patient admis à l’hôpital est sorti en bonne santé. Trouver la probabilité que ce patient souffre de la maladie K.

Solution. Introduisons les hypothèses : – le patient souffrait d'une maladie À L, – le patient souffrait d’une maladie M.

Alors, selon les conditions du problème, on a . Présentons un événement UN– le patient admis à l’hôpital est sorti en bonne santé. Par condition

En utilisant la formule de probabilité totale, nous obtenons :

D'après la formule de Bayes.

Espace de probabilité

Les premiers résultats théoriques en théorie des probabilités concernent

au milieu du XVIIe siècle et appartient à B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli. Cette théorie doit ses succès au XVIIIe siècle et au début du XIXe siècle à A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Des progrès significatifs dans la théorie des probabilités ont été réalisés à la fin du XIXe et au début du XXe siècle dans les travaux de L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel et d'autres. début du XXe siècle, une théorie stricte et cohérente. Seule l’approche axiomatique a permis d’y parvenir. La première construction axiomatique de la théorie a été réalisée par S.N. Bernstein en 1917, qui a basé ses constructions sur la comparaison d'événements aléatoires selon leur degré de probabilité. Cependant, cette approche n’a pas été développée davantage. L'approche axiomatique, basée sur la théorie des ensembles et la théorie des mesures, développée par A.N. Kolmogorov dans les années 20 du 20e siècle, s'est avérée plus fructueuse. Dans l’axiomatique de Kolmogorov, le concept d’événement aléatoire, contrairement à l’approche classique, n’est pas initial, mais est une conséquence de concepts plus élémentaires. La source de Kolmogorov est l’ensemble (espace) W des événements élémentaires (espace des résultats, espace échantillon). La nature des éléments de cet espace n’a pas d’importance.

Si A,B,C О W , alors les relations suivantes établies en théorie des ensembles sont évidentes :

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

où la barre supérieure désigne le complément dans W ; A+B = AB, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C) ;

ici Æ désigne l'ensemble vide, c'est-à-dire événement impossible.

Dans l'axiomatique de Kolmogorov, on considère un certain système U de sous-ensembles de l'ensemble W, dont les éléments sont appelés événements aléatoires. Le système U satisfait aux exigences suivantes : si les sous-ensembles A et B de l'ensemble W sont inclus dans le système U, alors ce système contient également les ensembles A È B, A Ç B, A et B ; l'ensemble W lui-même est également un élément du système U. Un tel système d'ensembles est appelé une algèbre (booléenne) d'ensembles.

Évidemment, de la définition de l’algèbre des ensembles, il s’ensuit que la famille U contient également l’ensemble vide Æ. Ainsi, l'algèbre des ensembles (c'est-à-dire l'ensemble des événements aléatoires) est fermée par rapport aux opérations d'addition, d'intersection et de formation des additions, et donc les opérations élémentaires sur les événements aléatoires ne mènent pas au-delà de l'ensemble des événements aléatoires. U.

Pour la plupart des applications, il est nécessaire d’exiger que la famille d’ensembles U comprenne non seulement des sommes finies et des intersections de sous-ensembles de W, mais aussi des sommes et des intersections dénombrables. Cela nous amène à la définition du concept de s-algèbre.

Définition 1.1. Une s-algèbre est une famille de sous-ensembles (U) d'un ensemble W qui est fermé sous les opérations de formation de compléments, de sommes dénombrables et d'intersections dénombrables.

Il est clair que toute s-algèbre contient l’ensemble W lui-même et l’ensemble vide. Si une famille arbitraire U de sous-ensembles d'un ensemble W est donnée, alors la plus petite s-algèbre contenant tous les ensembles de la famille U est appelée la s-algèbre générée par la famille U.

La plus grande algèbre s contient tous les sous-ensembles de s ; il est utile dans les espaces discrets W, dans lesquels la probabilité est généralement définie pour tous les sous-ensembles de l'ensemble W. Cependant, dans des espaces plus généraux, définir la probabilité (la définition de la probabilité sera donnée ci-dessous) pour tous les sous-ensembles est soit impossible, soit indésirable. Une autre définition extrême d'une s-algèbre peut être une s-algèbre composée uniquement de l'ensemble W. et de l'ensemble vide Æ.

A titre d'exemple du choix de W et de la s-algèbre des sous-ensembles U, considérons un jeu dans lequel les participants lancent un dé, sur chacune des six faces duquel sont imprimés les nombres de 1 à 6 pour tout lancer de dé. , seuls six états sont réalisés : w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 et w 6, dont le i-ième signifie que i points sont lancés. La famille U des événements aléatoires est constituée de 2 6 = 64 éléments constitués de toutes les combinaisons possibles w i : w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Des événements aléatoires, c'est-à-dire On désignera souvent les éléments de la s-algèbre U par les lettres A, B,... Si deux événements aléatoires A et B ne contiennent pas les mêmes éléments w i ОW, alors nous les appellerons incompatibles. Les événements A et A sont appelés opposés (dans d'autres notations, à la place de A on peut mettre CA). Nous pouvons maintenant passer à la définition du concept de probabilité.

Définition 1.2. Une mesure de probabilité P sur la s-algèbre U de sous-ensembles d'un ensemble W est une fonction de l'ensemble P qui satisfait aux exigences suivantes :

1) P(A) ³ 0 ; AÎU;

, c'est à dire. possédant la propriété d'additivité dénombrable, où A k sont des ensembles mutuellement disjoints de U.

Ainsi, quel que soit l'espace échantillon W, nous attribuons des probabilités uniquement aux ensembles d'une certaine s-algèbre U, et ces probabilités sont déterminées par la valeur de la mesure P sur ces ensembles.

Ainsi, dans tout problème d'étude d'événements aléatoires, le concept initial est l'espace échantillon s, dans lequel la s-algèbre est choisie d'une manière ou d'une autre, sur laquelle la mesure de probabilité P est déjà déterminée. Par conséquent, nous pouvons donner ce qui suit. définition

Définition 1.3. Un espace de probabilité est un triplet (W,U,P) constitué d'un espace échantillon W,s-algèbre U de ses sous-ensembles et d'une mesure de probabilité P définie sur U.

En pratique, il peut y avoir des problèmes dans lesquels différentes probabilités sont attribuées aux mêmes événements aléatoires issus de U. Par exemple, dans le cas d'un dé symétrique, il est naturel de mettre :

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

et si l'os est asymétrique, alors les probabilités suivantes peuvent être plus conformes à la réalité : P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w 6) = 1/12.

Nous traiterons principalement des ensembles W qui sont des sous-ensembles de l’espace euclidien de dimension finie Rn. L'objet principal de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, c'est-à-dire certaines fonctions définies sur l'espace échantillon W. Notre première tâche est de limiter la classe de fonctions avec laquelle nous allons opérer. Il est conseillé de choisir une classe de fonctions telle que les opérations standards sur lesquelles ne seraient pas dérivées de cette classe, notamment, afin que, par exemple, les opérations de prise de limites ponctuelles, de composition de fonctions, etc. classe.

Définition 1.4. La plus petite classe de fonctions B qui est fermée sous des transitions limites ponctuelles (c'est-à-dire si ¦ 1 , ¦ 2 ,... appartiennent à la classe B et pour tout x il y a une limite ¦(x) = lim¦ n (x), alors ¦(x) appartient à B), contenant toutes les fonctions continues, est appelée la classe Baire.

De cette définition il résulte que la somme, la différence, le produit, la projection, la composition de deux fonctions de Baire sont encore des fonctions de Baire, c'est-à-dire chaque fonction de la fonction Baire est à nouveau une fonction Baire. Il s’avère que si nous nous limitons à des classes de fonctions plus étroites, aucun renforcement ou simplification de la théorie ne peut être obtenu.

Dans le cas général, les variables aléatoires, c'est-à-dire les fonctions X = U(x), où XÎWÌR n , doivent être définies de telle sorte que les événements (X £ t) pour tout t aient une certaine probabilité, c'est-à-dire de sorte que les ensembles (X £ t) appartiennent à la famille U, pour les éléments de laquelle les probabilités P sont déterminées, c'est-à-dire de sorte que les valeurs de P(X £ t) soient déterminées. Cela nous amène à la définition suivante de la mesurabilité d’une fonction par rapport à la famille U.

Définition 1.5. Une fonction réelle U(x), xОW, est dite U-mesurable si pour tout réel t l'ensemble des points xОW pour lesquels U(x) £ t appartient à la famille U.

Puisque la s-algèbre U est fermée sous l'opération de prise de compléments, alors dans la définition de la mesurabilité l'inégalité £ peut être remplacée par l'une des inégalités ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Comme déjà indiqué, la s-algèbre peut être choisie tout à fait arbitrairement, et notamment comme suit : d'abord, des intervalles à n dimensions sont définis sur l'espace WÎR n, puis, à l'aide des opérations d'algèbre ensemblistes, des ensembles d'un espace plus complexe une structure peut être construite à partir de ces intervalles et des familles d’ensembles sont formées. Parmi toutes les familles possibles, on peut en sélectionner une qui contient tous les sous-ensembles ouverts de W. Cette construction conduit à la définition suivante.

Définition 1.6. La plus petite s-algèbre U b contenant tous les sous-ensembles ouverts (et donc tous fermés) des ensembles WÌ R n est appelée une s-algèbre de Borel, et ses ensembles sont appelés Borel.

Il s'avère que la classe des fonctions de Beer B est identique à la classe des fonctions mesurables par rapport à la s-algèbre U b des ensembles de Borel.

Nous pouvons maintenant définir clairement le concept de variable aléatoire et sa fonction de distribution de probabilité.

Définition 1.7. Une variable aléatoire X est une fonction réelle X =U(x), xОW, mesurable par rapport à la s-algèbre U incluse dans la définition de l'espace de probabilité.

Définition 1.8. La fonction de distribution d'une variable aléatoire X est la fonction F(t) = P(X £ t), qui détermine la probabilité que la variable aléatoire X ne dépasse pas la valeur t.

Pour une fonction de distribution F donnée, une mesure de probabilité peut être construite sans ambiguïté, et vice versa.

Considérons les lois probabilistes de base en utilisant l'exemple d'un ensemble fini W. Soit A,BÌ W. Si A et B contiennent des éléments communs, c'est-à-dire AB¹0, alors on peut écrire : A+B=A+(B-AB) et B = AB+(B-AB), où aux côtés droits il y a des ensembles disjoints (c'est-à-dire des événements incompatibles), et donc, par la propriété d'additivité mesure de probabilité : P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB) ; suit donc la formule pour la somme des probabilités d'événements arbitraires : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Si aucune condition n’est imposée lors du calcul de la probabilité de l’événement A, alors la probabilité P(A) est dite inconditionnelle. Si l'événement A se réalise, par exemple, à condition que l'événement B soit réalisé, alors on parle de probabilité conditionnelle, en la désignant par le symbole P(A/B). Dans la théorie des probabilités axiomatiques, par définition, on suppose :

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Pour rendre cette définition intuitivement claire, considérons, par exemple, la situation suivante. Soit une boîte contenant k morceaux de papier étiquetés avec la lettre A, r morceaux de papier étiquetés avec la lettre B, m morceaux de papier étiquetés avec les lettres A B et n morceaux de papier vides. Il y a p = k + r + n + m morceaux de papier. Et laissez un morceau de papier après l'autre être retiré de la boîte à tour de rôle, et après chaque retrait, le type de morceau de papier retiré est noté et il est remis dans la boîte. Les résultats d'un très grand nombre de ces tests sont enregistrés. La probabilité conditionnelle P(A/B) signifie que l'événement A est considéré uniquement en relation avec la mise en œuvre de l'événement B. Dans cet exemple, cela signifie qu'il faut compter le nombre de morceaux de papier sortis avec les lettres A·B et la lettre B et divisez le premier nombre par la somme du premier et du deuxième nombre. Avec un nombre d'essais suffisamment grand, ce rapport tendra vers le nombre qui détermine la probabilité conditionnelle P(A/B). Un décompte similaire d'autres morceaux de papier montrera que

Calcul du ratio

Nous nous assurons qu'elle coïncide exactement avec la valeur que nous avons précédemment calculée pour la probabilité P(A/B). Ainsi, nous obtenons

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

En effectuant un raisonnement similaire, en échangeant A et B, nous obtenons

P(UNE B) = P(B/UNE) P(UNE)

Égalités

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

appelé théorème de multiplication de probabilité.

L'exemple considéré permet également de vérifier clairement la validité de l'égalité suivante pour A·B¹Æ :

P(UNE + B) == P(UNE) + P(B) - P(UNE B).

Exemple 1.1. Laissez un dé être lancé deux fois et vous devez déterminer la probabilité P(A/B) d'obtenir un total de 10 points si le premier lancer est un 4.

La probabilité d’obtenir un 6 au deuxième lancer est de 1/6. Ainsi,

Exemple 1.2. Soit 6 urnes :

dans une urne de type A 1 il y a deux boules blanches et une noire, dans une urne de type A 2 il y a deux boules blanches et deux noires, dans une urne de type A 3 il y a deux boules noires et une blanche. Il y a 1 urne de type A 1, 2 urnes de type A 2 et 3 urnes de type A 3. Une urne est choisie au hasard et une boule en est tirée. Quelle est la probabilité que cette boule soit blanche ? Notons B l'événement de retrait de la boule blanche.

Pour résoudre le problème, supposons qu'un événement B n'est réalisé qu'avec l'un des n événements incompatibles A 1,..., A n, c'est-à-dire B = , où les événements VA i et VA j d'indices différents i et j sont incompatibles. De la propriété d'additivité de probabilité P il résulte :

En substituant ici la dépendance (1.1), nous obtenons

Cette formule est appelée formule de probabilité totale. Pour résoudre le dernier exemple, nous utiliserons la formule de probabilité totale. Puisque la boule blanche (événement B) peut être prélevée dans l'une des trois urnes (événements A 1, A 2, A 3), on peut écrire

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

La formule de probabilité totale donne

Calculons les probabilités incluses dans cette formule. La probabilité qu'une boule soit extraite d'une urne de type A 1 est évidemment égale à P(A 1) = 1/6, d'une urne de type A 2 : P(A 2) = 2/6 == 1/3 et à partir d'une urne de type A 3 : P(A 3) = 3/6 = 1/2. Si la balle provient d'une urne de type A 1, alors P(B/A 1) = 2/3, si elle provient d'une urne de type A 2, alors P(B/A 2) = 1/2, et si à partir d'une urne de type A 3, alors P(B/A 3) = 1/3. Ainsi,

P(B) = (1/6)(2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

La probabilité conditionnelle Р(В/А) a toutes les propriétés de la probabilité Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 et P(В/А) est additive.

Parce que le

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

alors il s'ensuit que si A ne dépend pas de B, c'est-à-dire si

P(UNE/B) = P(UNE),

alors B ne dépend pas de A, c'est-à-dire P(B/A) = P(B).

Ainsi, dans le cas d'événements indépendants, le théorème de multiplication prend la forme la plus simple :

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Si les événements A et B sont indépendants, alors chacune des paires d'événements suivantes est également indépendante : (A,B), (A,B), (A,B). Assurons-nous par exemple que si A et B sont indépendants, alors A et B sont également indépendants puisque P(B/A) + P(B/A) = I, alors, en tenant compte de la condition d'indépendance. des événements A et B, c'est-à-dire conditions P(B/A) = P(B), il s’ensuit : P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Les événements peuvent être indépendants par paires, mais s'avèrent dépendants dans l'ensemble. À cet égard, le concept d'indépendance mutuelle est également introduit : les événements A 1,..., A n sont dits mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble E d'indices 1,2,...,n l'égalité

En pratique, il est souvent nécessaire d’estimer les probabilités des hypothèses après avoir effectué quelques tests. Supposons, par exemple, que l'événement B ne puisse être réalisé qu'avec l'un des événements incompatibles A 1,...,A n, c'est-à-dire et laissez l'événement B se produire. Il est nécessaire de trouver la probabilité de l'hypothèse (événement) A i, à condition que

ce que B est arrivé. Du théorème de multiplication

P(UNE je B) = P(B) P(UNE je /B) = P(UNE je) P(B/UNE je)

En tenant compte de la formule de probabilité totale pour P(B), il s'ensuit

Ces formules sont appelées formules de Bayes.

Exemple 1.3. Dans l'exemple 1.2, disons qu'une boule blanche est tirée et que vous souhaitez déterminer la probabilité qu'elle provienne d'une urne de type 3.

Probabilités et règles pour y faire face. Pour décrire pleinement le mécanisme de l’expérience aléatoire étudiée, il ne suffit pas de préciser uniquement l’espace des événements élémentaires. Évidemment, en plus d'énumérer tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire étudiée, nous devons également savoir à quelle fréquence, dans une longue série d'expériences de ce type, certains événements élémentaires peuvent se produire. En effet, en revenant, disons, aux exemples, il est facile d'imaginer que dans le cadre de chacun de ceux décrits dans

Dans ces espaces d'événements élémentaires, nous pouvons considérer d'innombrables expériences aléatoires qui diffèrent considérablement dans leur mécanisme. Ainsi, dans les exemples 4.1 à 4.3, nous aurons des fréquences relatives d'occurrence des mêmes résultats élémentaires significativement différentes si nous utilisons des moments et des dés différents (symétriques). , avec un centre de gravité légèrement décalé, avec un centre de gravité fortement décalé, etc.) Dans les exemples 4.4 à 4.7, la fréquence d'apparition de produits défectueux, la nature de la contamination des lots contrôlés par des produits défectueux et la fréquence d'apparition d'un un certain nombre de pannes des machines de ligne automatique dépendra du niveau d'équipement technologique de la production étudiée : à même espace d'événements élémentaires, la fréquence d'apparition de « bons » résultats élémentaires sera plus élevée dans une production avec un niveau de production plus élevé. technologie.

Pour construire (dans un cas discret) une théorie mathématique complète et complète d'une expérience aléatoire - une théorie des probabilités, en plus des concepts initiaux déjà introduits d'une expérience aléatoire, d'un résultat élémentaire et d'un événement aléatoire, il est nécessaire de stocker s'appuie sur une hypothèse initiale supplémentaire (axiome) postulant l'existence de probabilités d'événements élémentaires (satisfaisant une certaine normalisation) et déterminant la probabilité de tout événement aléatoire.

Axiome. Chaque élément de l'espace des événements élémentaires Q correspond à une caractéristique numérique non négative des chances de son apparition, appelée probabilité de l'événement et

(d'ici, en particulier, il s'ensuit que pour tous ).

Déterminer la probabilité d'un événement. La probabilité de tout événement A est définie comme la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui composent l'événement A, c'est-à-dire si nous utilisons le symbolisme pour désigner la « probabilité de l'événement A », alors

De là et de (4.2), il s’ensuit immédiatement que la probabilité d’un événement fiable est toujours

est égal à un et la probabilité d'un événement impossible est nulle. Tous les autres concepts et règles permettant de traiter les probabilités et les événements seront déjà dérivés des quatre définitions initiales introduites ci-dessus (expérience aléatoire, résultat élémentaire, événement aléatoire et sa probabilité) et d'un axiome.

Ainsi, pour une description complète du mécanisme de l'expérience aléatoire étudiée (dans le cas discret), il est nécessaire de spécifier un ensemble fini ou dénombrable de tous les résultats élémentaires possibles Q et d'attribuer à chaque résultat élémentaire des résultats non négatifs (non négatifs). dépassant un) caractéristique numérique interprétée comme la probabilité que le résultat se produise, avec le type de correspondance établi doit satisfaire à l'exigence de normalisation (4.2).

L’espace des probabilités est précisément le concept qui formalise une telle description du mécanisme d’une expérience aléatoire. Définir un espace de probabilité signifie définir l'espace des événements élémentaires Q et y définir la correspondance de type ci-dessus

Évidemment, une correspondance de type (4.4) peut être spécifiée de différentes manières : à l’aide de tableaux, de graphiques, de formules analytiques et enfin, de manière algorithmique.

Comment construire un espace probabiliste correspondant à l’ensemble réel de conditions étudiées ? En règle générale, il n'y a aucune difficulté à remplir les concepts d'expérience aléatoire, d'événement élémentaire, d'espace d'événements élémentaires et, dans un cas discret, de tout événement aléatoire décomposable avec un contenu concret. Mais déterminer les probabilités d'événements élémentaires individuels à partir des conditions spécifiques du problème à résoudre n'est pas si simple ! À cette fin, l’une des trois approches suivantes est utilisée.

L'approche a priori du calcul des probabilités consiste en une analyse théorique et spéculative des conditions spécifiques d'une expérience aléatoire particulière donnée (avant de mener l'expérience elle-même). Dans plusieurs situations, cette analyse préliminaire permet de justifier théoriquement la méthode de détermination des probabilités souhaitées. Par exemple, il est possible que l'espace de tous les possibles

résultats élémentaires est constitué d'un nombre fini N d'éléments, et les conditions de réalisation de l'expérience aléatoire étudiée sont telles que les probabilités que chacun de ces N résultats élémentaires nous apparaissent égaux (c'est exactement la situation dans laquelle nous nous trouvons lorsque lancer une pièce symétrique, lancer un dé équitable ou tirer au hasard une carte à jouer dans un jeu bien mélangé, etc.). En vertu de l'axiome (4.2), la probabilité de chaque événement élémentaire est dans ce cas égale à MN. Cela nous permet d'obtenir une recette simple pour calculer la probabilité de tout événement : si l'événement A contient NA événements élémentaires, alors, conformément à la définition (4.3)

La signification de la formule (4.3) est que la probabilité d'un événement dans une classe de situations donnée peut être définie comme le rapport du nombre d'issues favorables (c'est-à-dire les issues élémentaires incluses dans cet événement) au nombre de toutes les issues possibles ( la définition dite classique de la probabilité). Dans son interprétation moderne, la formule (4.3) n'est pas une définition de la probabilité : elle n'est applicable que dans le cas particulier où tous les résultats élémentaires sont également probables.

L'approche de fréquence a posteriori du calcul des probabilités repose essentiellement sur la définition de la probabilité adoptée par le concept de probabilité dit fréquentiel (pour plus d'informations sur ce concept, voir par exemple dans). Conformément à ce concept, la probabilité est définie comme la limite de la fréquence relative d'apparition du résultat co dans le processus d'augmentation illimitée du nombre total d'expériences aléatoires, c'est-à-dire

où est le nombre d'expériences aléatoires (parmi le nombre total d'expériences aléatoires réalisées) dans lesquelles l'apparition d'un événement élémentaire a été enregistrée. En conséquence, pour une détermination pratique (approximative) des probabilités, il est proposé de prendre les fréquences relatives de. la survenance d'un événement dans une période suffisamment longue

une série d'expériences aléatoires. Cette méthode de calcul des probabilités ne contredit pas le concept moderne (axiomatique) de la théorie des probabilités, puisque cette dernière est construite de telle manière que l'analogue empirique (ou sélectif) de la probabilité objectivement existante de tout événement A est la fréquence relative de survenue de cet événement dans une série d’essais indépendants. Les définitions de la probabilité dans ces deux concepts sont différentes : conformément au concept de fréquence, la probabilité n'est pas une propriété objective du phénomène étudié qui existe avant l'expérience, mais n'apparaît qu'en relation avec une expérience ou une observation ; cela conduit à un mélange de caractéristiques probabilistes théoriques (vraies, conditionnées par le complexe réel de conditions d'« existence » du phénomène étudié) et de leurs analogues empiriques (sélectifs). Comme l'écrit G. Kramer, « la définition spécifiée de la probabilité peut être comparée, par exemple, à la définition d'un point géométrique comme limite de taches de craie de tailles indéfiniment décroissantes, mais la géométrie axiomatique moderne n'introduit pas une telle définition » () . Nous ne nous attarderons pas ici sur les défauts mathématiques du concept fréquentiel de probabilité. Notons seulement les difficultés fondamentales de la mise en œuvre d'une technique de calcul permettant d'obtenir des valeurs approximatives en utilisant des fréquences relatives. Premièrement, maintenir inchangées les conditions d'une expérience aléatoire (c'est-à-dire maintenir les conditions d'un ensemble statistique), dans lesquelles l'hypothèse sur le. La tendance des fréquences relatives à se regrouper autour d’une valeur constante s’avère valable et ne peut être maintenue indéfiniment et avec une grande précision. Par conséquent, pour estimer les probabilités à l’aide de fréquences relatives, il n’existe pas de

Cela n’a aucun sens de prendre des séries trop longues (c’est-à-dire trop grandes) et donc, d’ailleurs, une transition exacte vers la limite (4.5) ne peut pas avoir de véritable sens. Deuxièmement, dans les situations où nous avons un nombre suffisamment grand de résultats élémentaires possibles (et ils peuvent former un ensemble infini, et même, comme indiqué au § 4.1, un ensemble continu), même dans une série arbitrairement longue d'expériences aléatoires, nous aurons des résultats possibles qui n'ont jamais été réalisés au cours de notre expérience ; et pour d'autres résultats possibles, les valeurs de probabilité approximatives obtenues à l'aide de fréquences relatives seront extrêmement peu fiables dans ces conditions.

L’approche modèle a posteriori permettant de spécifier les probabilités correspondant à l’ensemble réel spécifique de conditions étudiées est peut-être actuellement la plus répandue et la plus pratique en pratique. La logique de cette approche est la suivante. D'une part, dans le cadre d'une approche a priori, c'est-à-dire dans le cadre d'une analyse théorique et spéculative des options possibles pour les spécificités d'hypothétiques complexes de conditions réels, un ensemble d'espaces de probabilité modèles (binomial, Poisson, normal, exponentielle, etc., voir § 6.1). En revanche, le chercheur dispose des résultats d’un nombre limité d’expériences aléatoires. Ensuite, à l'aide de techniques mathématiques et statistiques spéciales (basées sur des méthodes d'estimation statistique de paramètres inconnus et de tests statistiques d'hypothèses, voir chapitres 8 et 9), le chercheur, pour ainsi dire, « ajuste » des modèles hypothétiques d'espaces de probabilité aux résultats d'observation. il a (reflétant les spécificités du monde réel étudié) et ne laisse pour une utilisation ultérieure que ce ou ces modèles qui ne contredisent pas ces résultats et, en un sens, leur correspondent le mieux.

Décrivons maintenant les règles de base pour traiter les probabilités d'événements, qui sont des conséquences des définitions et des axiomes adoptés ci-dessus.

Probabilité de la somme des événements (théorème d'addition de probabilité). Formulons et démontrons la règle de calcul de la probabilité de la somme de deux événements. Pour ce faire, nous divisons chacun des ensembles d'événements élémentaires,

composantes de l'événement en deux parties :

où unit tous les événements élémentaires avec ceux qui sont inclus mais non inclus dans se compose de tous ces événements élémentaires qui sont simultanément inclus dans En utilisant la définition (4.3) et la définition d'un produit d'événements, nous avons :

En même temps, conformément à la définition de la somme des événements et à (4.3), on a

De (4.6), (4.7) et (4.8) on obtient la formule d'addition de probabilités (pour deux événements) :

La formule (4.9) d'addition de probabilités peut être généralisée au cas d'un nombre arbitraire de termes (voir par exemple 183, p. 105) :

où les « additions » sont calculées sous la forme d’une somme de probabilités de la forme

De plus, la sommation du côté droit s’effectue évidemment à la condition que tous soient différents, . Dans le cas particulier où le système qui nous intéresse est constitué uniquement d'événements incompatibles, tous les produits de la forme

seront des événements vides (ou impossibles) et, par conséquent, la formule (4.9) donne

Probabilité d'un produit d'événements (théorème de multiplication de probabilité). Probabilite conditionnelle.

Considérons des situations où une condition prédéfinie ou la fixation d'un événement déjà survenu exclut de la liste des possibles certains des événements élémentaires de l'espace probabiliste analysé. Ainsi, en analysant un ensemble de N produits fabriqués en série contenant des produits de première, - deuxième, - troisième et - quatrième année, nous considérons un espace probabiliste avec des résultats élémentaires et leurs probabilités - respectivement (on entend ici l'événement où un produit est aléatoirement extrait du granulat s’est avéré être une variété). Supposons que les conditions de tri des produits soient telles qu'à un moment donné, les produits de premier ordre soient séparés de la population générale, et que nous devions construire toutes les conclusions probabilistes (et, en particulier, calculer les probabilités de divers événements) par rapport à un population dépouillée composée uniquement de produits de deuxième, troisième et quatrième qualités. Dans de tels cas, il est d’usage de parler de probabilités conditionnelles, c’est-à-dire de probabilités calculées à condition qu’un événement se soit déjà produit. Dans ce cas, un tel événement accompli est un événement, c'est-à-dire qu'un événement impliquant tout produit extrait de manière aléatoire est de deuxième, troisième ou quatrième classe. Ainsi, si l'on souhaite calculer la probabilité conditionnelle de l'événement A (à condition que l'événement B ait déjà eu lieu), qui consiste, par exemple, dans le fait qu'un produit tiré au hasard s'avère être du deuxième ou du troisième degré , alors, évidemment, cette probabilité conditionnelle (nous la désignons) peut être déterminée par la relation suivante :

Comme il est facile de le comprendre à partir de cet exemple, le calcul des probabilités conditionnelles est, par essence, une transition vers un autre espace d'événements élémentaires, tronqué par une condition donnée, lorsque le rapport des probabilités d'événements élémentaires dans l'espace tronqué reste le même que dans l'espace tronqué. original (plus large), mais tous sont normalisés (divisés par ) de sorte que l'exigence de normalisation (4.2) soit également satisfaite dans le nouvel espace de probabilité. Bien sûr, il serait possible de ne pas introduire de terminologie avec probabilités conditionnelles, mais simplement d'utiliser l'appareil des probabilités ordinaires (« inconditionnelles ») dans le nouvel espace. Écrire en termes de probabilités de l’espace « ancien » est utile dans les cas où, selon les conditions d’un problème particulier, il faut toujours se souvenir de l’existence de l’espace originel, plus large, des événements élémentaires.

Obtenons la formule de probabilité conditionnelle dans le cas général. Soit B un événement (non vide), N considéré comme ayant déjà eu lieu (« condition »), un événement dont il faut calculer la probabilité conditionnelle. Le nouvel espace (tronqué) des événements élémentaires Q est constitué uniquement d'événements élémentaires inclus dans B et, par conséquent, leurs probabilités (avec la condition de normalisation) sont déterminées par les relations

Par définition, la probabilité est la probabilité de l’événement A dans un espace de probabilité « réduit » et, donc, conformément à (4.3) et (4.10)

ou, ce qui est pareil,

Les formules équivalentes (4.11) et (4.11") sont généralement appelées respectivement formule de probabilité conditionnelle et règle de multiplication de probabilité.

Soulignons encore une fois que considérer les probabilités conditionnelles de divers événements sous la même condition B équivaut à considérer des probabilités ordinaires dans un autre espace (réduit) d'événements élémentaires en recalculant les probabilités correspondantes d'événements élémentaires à l'aide de la formule (4.10). Par conséquent, tous les théorèmes généraux et règles pour opérer avec les probabilités restent en vigueur pour les probabilités conditionnelles si ces probabilités conditionnelles sont prises sous la même condition.

Indépendance des événements.

Deux événements A et B sont dits indépendants si

Pour expliquer le caractère naturel d'une telle définition, revenons au théorème de multiplication des probabilités (4.11) et voyons dans quelles situations (4.12) en découle. Évidemment, cela peut se produire lorsque la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité inconditionnelle correspondante, c'est-à-dire, grosso modo, lorsque la connaissance de la survenance d'un événement n'affecte en rien l'évaluation des chances de survenance de l'événement A.

L'extension de la définition de l'indépendance à un système de plus de deux événements est la suivante. Les événements sont appelés mutuellement indépendants s'il s'agit de paires, triplets, quadruples, etc. d'événements sélectionnés parmi cet ensemble d'événements, les règles de multiplication suivantes s'appliquent :

Évidemment, la première ligne implique

(le nombre de combinaisons de k deux) équations, dans la seconde - etc. Au total donc (4.13) combine les conditions. Dans le même temps, les conditions de la première ligne sont suffisantes pour assurer l'indépendance par paire de ces événements. Et bien que l'indépendance par paire et l'indépendance mutuelle d'un système d'événements, à proprement parler, ne soient pas la même chose, leur différence a un intérêt plus théorique que pratique : il n'existe apparemment pas d'exemples pratiquement importants d'événements indépendants par paire qui ne sont pas mutuellement indépendants.

La propriété d'indépendance des événements facilite grandement l'analyse de diverses probabilités associées au système d'événements étudié. Qu'il suffise de dire que si dans le cas général, pour décrire les probabilités de toutes les combinaisons possibles d'événements système, il faut spécifier 2 probabilités, alors dans le cas d'indépendance mutuelle de ces événements, seules k probabilités suffisent

Des événements indépendants se rencontrent très souvent dans la réalité réelle étudiée ; ils sont réalisés dans le cadre d'expériences (observations) réalisées indépendamment les unes des autres au sens physique habituel.

C'est la propriété d'indépendance des résultats de quatre lancers de dés successifs qui a permis (à l'aide de (4.13)) de calculer facilement la probabilité de ne pas obtenir un six (à aucun de ces lancers) dans le problème de la section 2.2. 1. En effet, désignant l'événement qui consiste à ne pas obtenir un six au tirage au sort (cette possibilité découle directement du fait que les événements épuisent tout l'espace des événements élémentaires et ne se croisent pas deux à deux), c'est-à-dire

De plus, en utilisant le théorème d'addition de probabilités (par rapport aux événements incompatibles, qui sont des événements) et en calculant la probabilité de chacun des produits à l'aide de la formule du produit des probabilités (4.1G), nous obtenons (4.14).

Formule Bayésienne.

Passons d’abord au problème suivant. L'entrepôt contient des appareils fabriqués par trois usines : 20 % des appareils de l'entrepôt sont fabriqués par l'usine n°1, 50 % par l'usine n°2 et 30 % par l'usine n°3. La probabilité que l'appareil nécessite des réparations pendant la période de garantie pour le produit de chacune des plantes est respectivement égale à 0,2 ; 0,1 ; 0,3. L'appareil sorti de l'entrepôt ne portait pas de marquage d'usine et nécessitait des réparations (pendant la période de garantie). Quelle usine a probablement produit cet appareil ? Quelle est cette probabilité ? Si l'on définit le cas dans lequel un appareil sorti accidentellement d'un entrepôt s'avère avoir été fabriqué à

En substituant (4.16) et (4.17) dans (4.15), on obtient

A l'aide de cette formule, il est facile de calculer les probabilités requises :

Par conséquent, il est fort probable que l’appareil de qualité inférieure ait été fabriqué dans l’usine n°3.

La preuve de la formule (4.18) dans le cas d'un système complet d'événements constitué d'un nombre arbitraire k d'événements répète exactement la preuve de la formule (4.18). Sous cette forme générale, la formule

est communément appelée formule de Bayes.