Si vous placez le cercle du numéro d'unité sur plan de coordonnées, alors les coordonnées peuvent être trouvées pour ses points. Le cercle numérique est positionné de manière à ce que son centre coïncide avec l'origine du plan, c'est-à-dire le point O (0 ; 0).

Habituellement sur le cercle du numéro d'unité sont marqués les points correspondant à l'origine du cercle

• quarts - 0 ou 2π, π/2, π, (2π)/3,
• quartiers du milieu - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tiers des quarts - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sur le plan de coordonnées, avec l'emplacement ci-dessus du cercle unité, vous pouvez trouver les coordonnées correspondant à ces points du cercle.

Les coordonnées des extrémités des quartiers sont très faciles à retrouver. Au point 0 du cercle, la coordonnée x est 1 et la coordonnée y est 0. Nous pouvons la noter comme A (0) = A (1; 0).

La fin du premier trimestre sera située sur l'axe des y positif. Par conséquent, B (π/2) = B (0 ; 1).

La fin du deuxième quart se situe sur le demi-axe négatif : C (π) = C (-1 ; 0).

Fin du troisième trimestre : D ((2π)/3) = D (0 ; -1).

Mais comment trouver les coordonnées des milieux des quartiers ? Pour cela ils construisent triangle rectangle. Son hypoténuse est un segment allant du centre du cercle (ou origine) au milieu du quart de cercle. C'est le rayon du cercle. Puisqu'il existe un cercle unité, l'hypoténuse est égale à 1. Ensuite, tracez une perpendiculaire d'un point du cercle à n'importe quel axe. Que ce soit vers l'axe des x. Le résultat est un triangle rectangle dont les longueurs des branches sont les coordonnées x et y du point sur le cercle.

Un quart de cercle fait 90º. Et un demi-quart fait 45º. Puisque l’hypoténuse est tirée jusqu’au milieu du quadrant, l’angle entre l’hypoténuse et la jambe partant de l’origine est de 45º. Mais la somme des angles de n’importe quel triangle est de 180º. Par conséquent, l’angle entre l’hypoténuse et l’autre jambe reste également de 45º. Cela donne un triangle rectangle isocèle.

Du théorème de Pythagore, nous obtenons l'équation x 2 + y 2 = 1 2. Puisque x = y et 1 2 = 1, l'équation se simplifie en x 2 + x 2 = 1. En la résolvant, nous obtenons x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Ainsi, les coordonnées du point M 1 (π/4) = M 1 (√2/2 ; √2/2).

Dans les coordonnées des points des milieux des autres quartiers, seuls les signes changeront, et les modules des valeurs resteront les mêmes, puisque le triangle rectangle ne sera que retourné. On obtient :
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2 ; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2 ; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2 ; -√2/2)

Lors de la détermination des coordonnées des tiers des quarts d'un cercle, un triangle rectangle est également construit. Si nous prenons le point π/6 et traçons une perpendiculaire à l'axe des x, alors l'angle entre l'hypoténuse et la jambe située sur l'axe des x sera de 30º. On sait qu'une jambe opposée à un angle de 30º est égale à la moitié de l'hypoténuse. Cela signifie que nous avons trouvé la coordonnée y, elle est égale à ½.

Connaissant les longueurs de l'hypoténuse et d'une des jambes, en utilisant le théorème de Pythagore on trouve l'autre jambe :
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Ainsi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2 ; ½).

Pour le point du deuxième tiers du premier quart (π/3), il vaut mieux tracer une perpendiculaire à l'axe des y. Alors l'angle à l'origine sera également de 30º. Ici, la coordonnée x sera égale à ½ et y, respectivement, √3/2 : T 2 (π/3) = T 2 (½ ; √3/2).

Pour les autres points des troisièmes quarts, les signes et l'ordre des valeurs de coordonnées changeront. Tous les points les plus proches de l'axe x auront une valeur de coordonnée de module x égale à √3/2. Les points les plus proches de l'axe y auront une valeur de module y égale à √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½ ; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2 ; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2 ; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2 ; -½)

Les mathématiques sont une science assez complexe. En l'étudiant, vous devez non seulement résoudre des exemples et des problèmes, mais également travailler avec diverses formes et même des plans. L’un des systèmes de coordonnées les plus utilisés en mathématiques est le système de coordonnées sur un plan. Bon travail Les enfants apprennent avec elle depuis plus d'un an. Par conséquent, il est important de savoir de quoi il s’agit et comment l’utiliser correctement.

Voyons ce que c'est ce système, quelles actions peuvent être effectuées avec son aide, et découvrez également ses principales caractéristiques et caractéristiques.

Définition du concept

Un plan de coordonnées est un plan sur lequel un système de coordonnées spécifique est spécifié. Un tel plan est défini par deux droites se coupant à angle droit. Au point d'intersection de ces lignes se trouve l'origine des coordonnées. Chaque point du plan de coordonnées est spécifié par une paire de nombres appelés coordonnées.

DANS cours scolaire En mathématiques, les écoliers doivent travailler en étroite collaboration avec le système de coordonnées - y construire des figures et des points, déterminer à quel plan appartient telle ou telle coordonnée, ainsi que déterminer les coordonnées d'un point et les écrire ou les nommer. Parlons donc plus en détail de toutes les caractéristiques des coordonnées. Mais abordons d’abord l’histoire de la création, puis nous parlerons de la façon de travailler sur le plan de coordonnées.

Contexte historique

Les idées sur la création d’un système de coordonnées existaient à l’époque de Ptolémée. Déjà à cette époque, les astronomes et les mathématiciens réfléchissaient à la manière d'apprendre à définir la position d'un point sur un plan. Malheureusement, à cette époque, nous ne connaissions aucun système de coordonnées et les scientifiques devaient utiliser d'autres systèmes.

Initialement, ils spécifiaient les points en utilisant la latitude et la longitude. Pendant longtemps c'était l'une des méthodes les plus utilisées pour mettre telle ou telle information sur une carte. Mais en 1637, René Descartes créa son propre système de coordonnées, baptisé plus tard d'après le système « cartésien ».

Déjà dans fin XVII V. Le concept de « plan de coordonnées » est devenu largement utilisé dans le monde des mathématiques. Malgré le fait que plusieurs siècles se soient écoulés depuis la création de ce système, il est encore largement utilisé en mathématiques et même dans la vie.

Exemples de plan de coordonnées

Avant de parler de théorie, nous donnerons quelques exemples visuels du plan de coordonnées afin que vous puissiez l'imaginer. Le système de coordonnées est principalement utilisé aux échecs. Sur le plateau, chaque carré a ses propres coordonnées : une coordonnée est alphabétique, la seconde est numérique. Avec son aide, vous pouvez déterminer la position d'une pièce particulière sur le plateau.

Le deuxième exemple le plus frappant est le jeu bien-aimé « Battleship ». Rappelez-vous comment, lorsque vous jouez, vous nommez une coordonnée, par exemple B3, indiquant ainsi exactement où vous visez. Dans le même temps, lorsque vous placez des navires, vous spécifiez des points sur le plan de coordonnées.

Ce système de coordonnées est largement utilisé non seulement dans les mathématiques et les jeux de logique, mais également dans les affaires militaires, l'astronomie, la physique et bien d'autres sciences.

Axes de coordonnées

Comme déjà mentionné, le système de coordonnées comporte deux axes. Parlons-en un peu, car ils revêtent une importance considérable.

Le premier axe est l'abscisse - horizontal. Il est noté ( Bœuf). Le deuxième axe est l'ordonnée, qui passe verticalement par le point de référence et est noté ( Oy). Ce sont ces deux axes qui forment le système de coordonnées, divisant le plan en quatre quarts. L'origine se situe au point d'intersection de ces deux axes et prend la valeur 0 . Ce n'est que si le plan est formé de deux axes se coupant perpendiculairement et ayant un point de référence qu'il est un plan de coordonnées.

Notez également que chacun des axes a sa propre direction. Habituellement, lors de la construction d'un système de coordonnées, il est d'usage d'indiquer la direction de l'axe sous la forme d'une flèche. De plus, lors de la construction d'un plan de coordonnées, chacun des axes est signé.

Quartiers

Disons maintenant quelques mots sur un concept tel que les quarts du plan de coordonnées. Le plan est divisé en quatre quarts par deux axes. Chacun d'eux a son propre numéro et les avions sont numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Chacun des quartiers a ses propres caractéristiques. Ainsi, dans le premier quart l'abscisse et l'ordonnée sont positives, dans le deuxième quart l'abscisse est négative, l'ordonnée est positive, dans le troisième l'abscisse et l'ordonnée sont négatives, dans le quatrième l'abscisse est positive et l'ordonnée est négative .

En mémorisant ces caractéristiques, vous pouvez facilement déterminer à quel quartier appartient un point particulier. De plus, ces informations peuvent vous être utiles si vous devez effectuer des calculs selon le système cartésien.

Travailler avec le plan de coordonnées

Lorsque nous avons compris le concept d'un avion et parlé de ses quartiers, nous pouvons passer à un problème tel que travailler avec ce système, et également parler de la façon d'y placer des points et des coordonnées de figures. Sur le plan des coordonnées, ce n'est pas aussi difficile à faire qu'il y paraît à première vue.

Tout d'abord, le système lui-même est construit, toutes les désignations importantes lui sont appliquées. Ensuite, nous travaillons directement avec des points ou des formes. De plus, même lors de la construction de figures, les points sont d'abord dessinés sur le plan, puis les figures sont dessinées.

Règles pour construire un avion

Si vous décidez de commencer à marquer des formes et des points sur papier, vous aurez besoin d'un plan de coordonnées. Les coordonnées des points y sont tracées. Pour construire un plan de coordonnées, vous n'avez besoin que d'une règle et d'un stylo ou d'un crayon. Tout d’abord, l’axe des x horizontal est dessiné, puis l’axe vertical est dessiné. Il est important de se rappeler que les axes se coupent à angle droit.

Suivant élément obligatoire marque. Sur chacun des axes dans les deux sens, des segments unitaires sont marqués et étiquetés. Ceci est fait pour que vous puissiez ensuite travailler avec l'avion avec un maximum de confort.

Marquer un point

Parlons maintenant de la façon de tracer les coordonnées des points sur le plan de coordonnées. Ce sont les bases que vous devez connaître pour réussir à placer diverses formes sur un plan et même à marquer des équations.

Lors de la construction de points, vous devez vous rappeler comment leurs coordonnées sont correctement écrites. Ainsi, généralement lors de la spécification d'un point, deux nombres sont écrits entre parenthèses. Le premier chiffre indique la coordonnée du point le long de l'axe des abscisses, le second le long de l'axe des ordonnées.

Le point devrait être construit de cette façon. Premier repère sur l'axe Bœuf point spécifié, puis marquez le point sur l'axe Oy. Ensuite, tracez des lignes imaginaires à partir de ces désignations et trouvez l'endroit où elles se croisent - ce sera le point donné.

Il vous suffit de le marquer et de le signer. Comme vous pouvez le constater, tout est assez simple et ne nécessite aucune compétence particulière.

Placez la figurine

Passons maintenant à la question de la construction de figures sur un plan de coordonnées. Afin de construire n’importe quelle figure sur le plan de coordonnées, vous devez savoir comment y placer des points. Si vous savez comment faire cela, placer une figurine sur un avion n'est pas si difficile.

Tout d’abord, vous aurez besoin des coordonnées des points de la figure. C'est en fonction d'eux que nous appliquerons ceux que vous avez choisis à notre système de coordonnées. Considérons l'application d'un rectangle, d'un triangle et d'un cercle.

Commençons par un rectangle. C'est assez simple à appliquer. Tout d'abord, quatre points sont marqués sur le plan, indiquant les coins du rectangle. Ensuite, tous les points sont connectés les uns aux autres de manière séquentielle.

Dessiner un triangle n'est pas différent. La seule chose est qu'il a trois angles, ce qui signifie que trois points sont marqués sur le plan, indiquant ses sommets.

Concernant le cercle, il faut connaître les coordonnées de deux points. Le premier point est le centre du cercle, le second est le point indiquant son rayon. Ces deux points sont tracés sur le plan. Prenez ensuite une boussole et mesurez la distance entre deux points. La pointe de la boussole est placée au point marquant le centre et un cercle est décrit.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué ici non plus, l'essentiel est que vous ayez toujours une règle et un compas à portée de main.

Vous savez maintenant comment tracer les coordonnées des figures. Faire cela sur le plan de coordonnées n'est pas aussi difficile qu'il y paraît à première vue.

Conclusions

Nous avons donc examiné l’un des concepts mathématiques les plus intéressants et les plus fondamentaux auxquels chaque écolier doit faire face.

Nous avons découvert que le plan de coordonnées est un plan formé par l'intersection de deux axes. Avec son aide, vous pouvez définir les coordonnées des points et y dessiner des formes. L'avion est divisé en quartiers, chacun ayant ses propres caractéristiques.

La principale compétence à développer lorsque l'on travaille avec un plan de coordonnées est la capacité d'y tracer correctement des points donnés. Pour ce faire, vous devez savoir emplacement correct les axes, les caractéristiques des quartiers, ainsi que les règles selon lesquelles les coordonnées des points sont spécifiées.

Nous espérons que les informations que nous avons présentées étaient accessibles et compréhensibles, qu'elles vous ont également été utiles et vous ont aidé à mieux comprendre ce sujet.

Un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est défini par deux lignes droites mutuellement perpendiculaires. Les lignes droites sont appelées axes de coordonnées (ou axes de coordonnées). Le point d'intersection de ces lignes s'appelle l'origine et est désigné par la lettre O.

Habituellement, l'une des lignes est horizontale, l'autre est verticale. La ligne horizontale est désignée comme l'axe des x (ou Ox) et est appelée axe des abscisses, la ligne verticale est l'axe des y (Oy), appelé axe des ordonnées. L'ensemble du système de coordonnées est désigné par xOy.

Le point O divise chacun des axes en deux demi-axes, dont l'un est considéré comme positif (indiqué par une flèche), l'autre - négatif.

Chaque point F du plan se voit attribuer une paire de nombres (x; y) - ses coordonnées.

La coordonnée x est appelée abscisse. Il est égal à Buffle, pris avec le signe approprié.

La coordonnée y est appelée ordonnée et est égale à la distance du point F à l'axe Oy (avec le signe approprié).

Les distances entre les axes sont généralement (mais pas toujours) mesurées dans la même unité de longueur.

Les points situés à droite de l'axe des y ont des abscisses positives. Les points situés à gauche de l’axe des ordonnées ont des abscisses négatives. Pour tout point situé sur l'axe Oy, sa coordonnée x est nulle.

Les points avec une ordonnée positive se trouvent au-dessus de l'axe des x et les points avec une ordonnée négative se trouvent en dessous. Si un point se trouve sur l’axe Ox, sa coordonnée y est nulle.

Les axes de coordonnées divisent le plan en quatre parties, appelées quarts de coordonnées (ou angles de coordonnées ou quadrants).

1 quartier de coordonnées situé dans le coin supérieur droit du plan de coordonnées xOy. Les deux coordonnées des points situés dans le premier quartier sont positives.

Le passage d'un quartier à l'autre s'effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

2 coordonnées quart est situé dans le coin supérieur gauche. Les points situés dans le deuxième quart ont une abscisse négative et une ordonnée positive.

3 coordonnées quart se situe dans le quadrant inférieur gauche du plan xOy. Les deux coordonnées des points appartenant à l'angle de coordonnées III sont négatives.

4 coordonnées quart est le coin inférieur droit du plan de coordonnées. Tout point du quartier IV a une première coordonnée positive et une seconde négative.

Un exemple de localisation de points dans un système de coordonnées rectangulaires :