Dans l’un des articles précédents, nous avons déjà évoqué le pouvoir des nombres. Aujourd'hui, nous allons essayer de naviguer dans le processus visant à trouver son sens. Scientifiquement parlant, nous verrons comment élever correctement une puissance. Nous découvrirons comment ce processus se déroule, et en même temps nous aborderons tous les exposants possibles : naturel, irrationnel, rationnel, entier.

Examinons donc de plus près les solutions des exemples et découvrons ce que cela signifie :

1. Définition du concept.
2. S'élever à l'art négatif.
3. Indicateur entier.
4. Augmenter un numéro pour degré irrationnel.

Voici une définition qui reflète fidèlement le sens : « L’exponentiation est la définition de la valeur d’une puissance d’un nombre. »

En conséquence, l'augmentation du chiffre a à l'art. r et le processus de recherche de la valeur du degré a avec l'exposant r sont des concepts identiques. Par exemple, si la tâche consiste à calculer la valeur de la puissance (0,6)6″, elle peut alors être simplifiée par l’expression « Élever le nombre 0,6 à la puissance 6 ».

Après cela, vous pouvez passer directement aux règles de construction.

Élever à une puissance négative

Pour plus de clarté, vous devez faire attention à la chaîne d'expressions suivante :

110=0,1=1* 10 moins 1 cuillère à soupe,

1100=0,01=1*10 en moins 2 degrés,

11000=0,0001=1*10 en moins 3 st.,

110000=0,00001=1*10 à moins 4 degrés.

Grâce à ces exemples, vous pouvez clairement voir la possibilité de calculer instantanément 10 à n'importe quelle puissance moins. Pour cela, il suffit de décaler simplement la composante décimale :

• 10 au degré -1 - avant un il y a 1 zéro ;
• en -3 - trois zéros avant un ;
• en -9 il y a 9 zéros et ainsi de suite.

Il est également facile de comprendre à partir de ce diagramme combien représenteront 10 moins 5 cuillères à soupe. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle

En nous souvenant de la définition, nous tenons compte du fait que l'entier naturel a dans l'Art. n est égal au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Illustrons : (a*a*…a)n, où n est le nombre de nombres multipliés. Ainsi, pour élever a à n, il est nécessaire de calculer le produit de la forme suivante : a*a*…a divisé par n fois.

De là, il devient évident que s'élevant au st naturel. repose sur la capacité d'effectuer des multiplications(ce matériel est traité dans la section sur la multiplication des nombres réels). Regardons le problème :

Relever -2 jusqu'à la 4ème m.

Nous avons affaire à un indicateur naturel. En conséquence, le déroulement de la décision sera le suivant : (-2) à l'art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Il ne reste plus qu'à multiplier les entiers : (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nous en obtenons 16.

Réponse au problème :

(-2) à l'art. 4=16.

Exemple:

Calculez la valeur : trois virgule deux septièmes au carré.

Cet exemple est égal au produit suivant : trois virgule deux septièmes multiplié par trois virgule deux septièmes. En rappelant comment les nombres fractionnaires sont multipliés, nous terminons la construction :

• 3 virgule 2 septièmes multipliés par eux-mêmes ;
• est égal à 23 septièmes multiplié par 23 septièmes ;
• est égal à 529 quarante-neuvièmes ;
• on réduit et on obtient 10 trente-neuf quarante-neuvième.

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Concernant la question de l'élévation à un exposant irrationnel, il convient de noter que les calculs commencent à être effectués après l'arrondi préliminaire de la base du degré à n'importe quel chiffre permettant d'obtenir la valeur avec une précision donnée. Par exemple, nous devons mettre au carré le nombre P (pi).

On commence par arrondir P au centième et on obtient :

P au carré = (3,14)2=9,8596. Cependant, si l’on réduit P à dix millièmes, on obtient P = 3,14159. La mise au carré donne alors un nombre complètement différent : 9,8695877281.

Il convient de noter ici que dans de nombreux problèmes, il n’est pas nécessaire d’élever des chiffres irrationnels au rang de puissances. En règle générale, la réponse est saisie soit sous la forme du degré réel, par exemple racine de 6 puissance 3, soit, si l'expression le permet, sa transformation est effectuée : racine de 5 à 7 degrés = 125 racine de 5.

Comment élever un nombre à une puissance entière

Cette manipulation algébrique est appropriée prendre en compte pour les cas suivants :

• pour les entiers ;
• pour un indicateur zéro ;
• pour un exposant entier positif.

Puisque presque tous les entiers positifs coïncident avec la masse des nombres naturels, la mise à une puissance entière positive est le même processus que la mise à l'Art. naturel. Nous avons décrit ce processus dans le paragraphe précédent.

Parlons maintenant du calcul de st. nul. Nous avons déjà découvert plus haut que la puissance nulle du nombre a peut être déterminée pour tout a non nul (réel), alors que a dans l'Art. 0 sera égal à 1.

En conséquence, élever n'importe quel nombre réel à zéro st. en donnera un.

Par exemple, 10 en m 0=1, (-3,65)0=1 et 0 en m. 0 ne peut pas être déterminé.

Afin de compléter l'élévation à une puissance entière, il reste à décider des options pour les valeurs entières négatives. Nous rappelons que l'Art. à partir de a avec un exposant entier -z sera défini comme une fraction. Le dénominateur de la fraction est st. avec une valeur entière positive, dont nous avons déjà appris à trouver la valeur. Il ne reste plus qu'à considérer un exemple de construction.

Exemple:

Calculez la valeur du nombre 2 au cube avec un exposant entier négatif.

Processus de résolution :

D'après la définition d'un degré avec un exposant négatif, on note : deux moins 3 degrés. est égal à un à deux à la puissance trois.

Le dénominateur se calcule simplement : deux au cube ;

3 = 2*2*2=8.

Répondre: deux puissance moins 3ème art. = un huitième.

Dans ce document, nous verrons ce qu’est la puissance d’un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les puissances à exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de problèmes.

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Tout d’abord, formulons la définition de base d’un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons d'avance que pour l'instant nous prendrons comme base un nombre réel (noté par la lettre a), et un nombre naturel comme indicateur (noté par la lettre n).

Définition 1

La puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l’exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s’écrit un 1. Sachant que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, on peut conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire qu'un diplôme est une forme pratique pour écrire un grand nombre de facteurs égaux. Donc, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être raccourci à 8 4 . De la même manière, une œuvre nous aide à éviter d'enregistrer grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Nous en avons déjà parlé dans l’article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement l’entrée du diplôme ? L'option généralement acceptée est « a à la puissance n ». Ou vous pouvez dire « nième puissance d’un » ou « anth puissance ». Si, disons, dans l'exemple, nous avons rencontré l'entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième puissances des nombres ont leurs propres noms établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple le nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire « 7 au carré » ou « carré du nombre 7 ». De même, le troisième degré se lit ainsi : 5 3 - c'est le « cube du chiffre 5 » ou « 5 cube ». Cependant, vous pouvez également utiliser la formulation standard « à la puissance deuxième/troisième » ; ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Regardons un exemple de degré avec un exposant naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l’exposant.

Il n'est pas nécessaire que la base soit un nombre entier : pour le diplôme (4 , 32) 9 la base sera la fraction 4, 32 et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses : cette notation est faite pour toutes les puissances dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 Et − 2 3 . Le premier signifie un nombre négatif moins deux élevé à une puissance avec l'exposant naturel trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente de la puissance d'un nombre - un^n(où a est la base et n est l'exposant). Autrement dit, 4 ^ 9 est identique à 4 9 . Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est placé entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus courant.

Il est facile de deviner comment calculer la valeur d’un exposant avec un exposant naturel à partir de sa définition : il suffit de multiplier un nième nombre de fois. Nous en avons parlé davantage dans un autre article.

Le concept de degré est l’inverse d’un autre concept mathématique : la racine d’un nombre. Si nous connaissons la valeur de la puissance et l’exposant, nous pouvons calculer sa base. Le diplôme possède certaines propriétés spécifiques utiles pour résoudre des problèmes, dont nous avons discuté dans un document séparé.

Les exposants peuvent inclure non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les négatifs et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.

Définition 2

La puissance d'un nombre avec un exposant entier positif peut être représentée sous la forme d'une formule : .

Dans ce cas, n est n’importe quel entier positif.

Comprenons le concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances de bases égales. Il est formulé ainsi :

Définition 3

Égalité une m : une n = une m − n sera vrai dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors on obtient le résultat suivant : une n : une n = une n − n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est un quotient nombres égaux un et un. Il s’avère que la puissance nulle de tout nombre non nul est égale à un.

Cependant, une telle preuve ne s’applique pas à zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances : la propriété des produits de puissances de bases égales. Cela ressemble à ceci : une m · une n = une m + n .

Si n est égal à 0, alors une m · une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m · 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe à quoi exactement la valeur du degré est égale 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas l'exactitude de l'égalité. Donc une notation de la forme 0 0 n'a pas de signification particulière et nous ne la lui attribuerons pas.

Si on le souhaite, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du diplôme ne soit pas nulle. Ainsi, la puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est un.

Exemple 2

Regardons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il suffit de comprendre ce qu’est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances de bases égales que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

Introduisons la condition : m = − n, alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une − n · une n = une − n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et a−n nous avons des nombres mutuellement réciproques.

En conséquence, a à la puissance entière négative n’est rien de plus que la fraction 1 a n.

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).

Exemple 3

Une puissance a avec un exposant entier négatif n peut être représentée par une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous réserve de une ≠ 0 et n est n'importe quel nombre naturel.

Illustrons notre idée avec des exemples précis :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :

Définition 4

La puissance d'un nombre d'exposant naturel z est : a z = a z, e avec l et z - entier positif 1, z = 0 et a ≠ 0, (pour z = 0 et a = 0 le résultat est 0 0, le les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas définies) 1 a z, si et z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 vous obtenez 0 z, egoz la valeur est indéterminée)

Que sont les puissances avec un exposant rationnel ?

Nous avons examiné les cas où l'exposant contient un nombre entier. Cependant, vous pouvez élever un nombre à une puissance même lorsque son exposant contient un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle le degré c indicateur rationnel. Dans cette section, nous prouverons qu’elle possède les mêmes propriétés que les autres puissances.

Que sont les nombres rationnels ? Leur variété comprend à la fois entière et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Formulons la définition de la puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où n est un nombre naturel et m est un nombre entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de pouvoir soit valable, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition de la nième racine et que a m n n = a m, nous pouvons accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m, n et a.

Les propriétés ci-dessus d'un degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : la puissance d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la nième racine du nombre a à la puissance m. Ceci est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n reste significative.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prenons a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives - strictement inférieur (puisque pour m ≤ 0 on a 0 m, mais un tel degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

Puissance avec exposant fractionnaire m/n pour certains nombre positif a est la nième racine de a élevé à la puissance m. Cela peut être exprimé sous la forme d'une formule :

Pour une puissance de base nulle, cette disposition convient également, mais seulement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance avec une base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 à condition que m soit un entier positif et n soit un nombre naturel.

Pour un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Depuis que nous avons introduit la condition selon laquelle a est supérieur ou égal à zéro, nous avons fini par écarter certains cas.

L'expression a m n a parfois encore un sens pour certaines valeurs négatives de a et certains m. Ainsi, les entrées correctes sont (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devrons introduire une condition supplémentaire : le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Nous expliquerons plus tard pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons la notation a m · k n · k , alors nous pouvons la réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et que la valeur de m est positive et que a est un nombre non négatif, alors a m n a du sens. La condition pour que a soit non négatif est nécessaire car une racine de degré pair ne peut pas être extraite d’un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car La racine impaire peut être extraite de n’importe quel nombre réel.

Combinons toutes les définitions ci-dessus en une seule entrée :

Ici, m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction réductible ordinaire m · k n · k le degré peut être remplacé par a m n .

La puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire irréductible m/n – peut s'exprimer sous la forme a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a, entiers valeurs positives m et valeurs naturelles impaires n. Exemple : 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pour tout a réel non nul, valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, entier positif m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pour tout a positif, entier négatif m et même n, par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas déterminé. Exemples de tels diplômes : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Expliquons maintenant l'importance de la condition évoquée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction à exposant réductible par une fraction à exposant irréductible. Si nous ne l’avions pas fait, nous aurions eu les situations suivantes, disons 6/10 = 3/5. Alors cela devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons présentée en premier, est plus pratique à utiliser en pratique que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m/n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0. En cas de négatif un la notation a m n n'a pas de sens. Puissance de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

En conclusion, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous la forme décimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant par une fraction ordinaire, puis d'utiliser la définition de l'exposant par un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous obtenons :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les puissances à exposants irrationnels et réels ?

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. Nous avons déjà mentionné les rationnels ci-dessus. Traitons étape par étape les indicateurs irrationnels.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une séquence de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1,67175331. . . , Alors

une 0 = 1, 6, une 1 = 1, 67, une 2 = 1, 671, . . . , un 0 = 1,67, un 1 = 1,6717, un 2 = 1,671753, . . .

On peut associer la séquence d'approximations à la séquence de degrés a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce que nous avons dit plus tôt sur l'élévation des nombres à des puissances rationnelles, nous pouvons alors calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prenons par exemple une = 3, alors a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

La séquence de puissances peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur de la puissance de base a et d'exposant irrationnel a. Résultat : un diplôme avec un exposant irrationnel de la forme 3 1, 67175331. . peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la séquence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où une 0 , une 1 , une 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel une. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, avec 0 a = 0 Donc, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Mais cela ne peut pas être fait pour les valeurs négatives, puisque, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à n'importe quelle puissance irrationnelle reste une unité, par exemple, et 1 2, 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1.

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L’une des principales caractéristiques de l’algèbre, et de toutes les mathématiques, est le degré. Bien sûr, au 21e siècle, tous les calculs peuvent être effectués sur une calculatrice en ligne, mais il est préférable pour le développement du cerveau d'apprendre à le faire soi-même.

Dans cet article, nous examinerons les questions les plus importantes concernant cette définition. À savoir, comprenons ce que c’est en général et quelles sont ses principales fonctions, quelles sont ses propriétés en mathématiques.

Examinons des exemples de ce à quoi ressemble le calcul et quelles sont les formules de base. Examinons les principaux types de quantités et en quoi elles diffèrent des autres fonctions.

Voyons comment résoudre divers problèmes en utilisant cette quantité. Nous montrerons avec des exemples comment élever à la puissance zéro, irrationnelle, négative, etc.

Calculateur d'exponentiation en ligne

Qu'est-ce qu'une puissance d'un nombre

Que signifie l’expression « élever un nombre à une puissance » ?

La puissance n d’un nombre est le produit de facteurs de grandeur n fois de suite.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci :

une n = une * une * une * …une n .

Par exemple:

• 2 3 = 2 au troisième degré. = 2 * 2 * 2 = 8 ;
• 4 2 = 4 au pas. deux = 4 * 4 = 16 ;
• 5 4 = 5 au pas. quatre = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ;
• 10 5 = 10 en 5 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000 ;
• 10 4 = 10 en 4 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Vous trouverez ci-dessous un tableau de carrés et cubes de 1 à 10.

Tableau des degrés de 1 à 10

Vous trouverez ci-dessous les résultats de l'élévation des nombres naturels à des puissances positives - « de 1 à 100 ».

Propriétés des diplômes

Quelle est la caractéristique d’une telle fonction mathématique ? Regardons les propriétés de base.

Les scientifiques ont établi ce qui suit signes caractéristiques de tous les degrés :

• une n * une m = (une) (n+m) ;
• une n : une m = (une) (n-m) ;
• (un b) m =(une) (b*m) .

Vérifions avec des exemples :

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Par contre, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

De même : 2 3 : 2 2 = 8 / 4 =2. Sinon 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Et si c'était différent ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Comme vous pouvez le constater, les règles fonctionnent.

Mais qu'en est-il avec addition et soustraction? C'est simple. L'exponentiation est effectuée en premier, puis l'addition et la soustraction.

Regardons des exemples :

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Attention : la règle ne sera pas valable si vous soustrayez d'abord : (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Mais dans ce cas, vous devez d'abord calculer l'addition, car il y a des actions entre parenthèses : (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Comment produire calculs en plus cas difficiles ? L'ordre est le même :

• s'il y a des parenthèses, vous devez commencer par elles ;
• puis exponentiation ;
• puis effectuez les opérations de multiplication et de division ;
• après addition, soustraction.

Il existe des propriétés spécifiques qui ne sont pas caractéristiques de tous les diplômes :

1. La nième racine du nombre a au degré m s'écrira : a m / n.
2. Lors de l'élévation d'une fraction à une puissance : tant le numérateur que son dénominateur sont soumis à cette procédure.
3. Lors de la construction d'une œuvre différents numérosà une puissance, l'expression correspondra au produit de ces nombres par la puissance donnée. C'est-à-dire : (a * b) n = a n * b n .
4. Lorsqu'on élève un nombre à une puissance négative, il faut diviser 1 par un nombre du même siècle, mais avec le signe « + ».
5. Si le dénominateur d'une fraction est à une puissance négative, alors cette expression sera égale au produit du numérateur et du dénominateur à une puissance positive.
6. N'importe quel nombre à la puissance 0 = 1, et à la puissance. 1 = pour vous-même.

Ces règles sont importantes dans certains cas ; nous les examinerons plus en détail ci-dessous.

Degré avec un exposant négatif

Que faire avec un degré négatif, c'est-à-dire lorsque l'indicateur est négatif ?

Basé sur les propriétés 4 et 5(voir point ci-dessus), il s'avère:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Et vice versa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Et si c'était une fraction ?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Diplôme avec indicateur naturel

Il s'agit d'un degré dont les exposants sont égaux à des nombres entiers.

Choses dont il faut se rappeler:

Un 0 = 1, 1 0 = 1 ; 2 0 = 1 ; 3,15 0 = 1 ; (-4) 0 = 1...etc.

Un 1 = Un, 1 1 = 1 ; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etc.

De plus, si (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... alors le résultat sera avec un signe « + ». Si un nombre négatif est élevé à une puissance impaire, alors vice versa.

Les propriétés générales, ainsi que toutes les spécificités décrites ci-dessus, en sont également caractéristiques.

Degré fractionnaire

Ce type peut s'écrire sous la forme d'un schéma : A m/n. Se lit comme suit : la nième racine du nombre A à la puissance m.

Vous pouvez faire ce que vous voulez avec un indicateur fractionnaire : le réduire, le diviser en parties, l'élever à une autre puissance, etc.

Diplôme avec exposant irrationnel

Soit α un nombre irrationnel et A ˃ 0.

Pour comprendre l'essence d'un diplôme avec un tel indicateur, Regardons différents cas possibles :

• A = 1. Le résultat sera égal à 1. Puisqu'il existe un axiome - 1 à toutes les puissances est égal à un ;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – nombres rationnels ;

• 0˂А˂1.

Dans ce cas, c’est l’inverse : A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 dans les mêmes conditions qu’au deuxième paragraphe.

Par exemple, l'exposant est le nombre π. C'est rationnel.

r 1 – dans ce cas est égal à 3 ;

r 2 – sera égal à 4.

Alors, pour A = 1, 1 π = 1.

A = 2, alors 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, alors (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

De tels diplômes sont caractérisés par tous opérations mathématiques et propriétés spécifiques décrites ci-dessus.

Conclusion

Résumons : à quoi servent ces quantités, quels sont les avantages de telles fonctions ? Bien sûr, tout d'abord, ils simplifient la vie des mathématiciens et des programmeurs lors de la résolution d'exemples, car ils leur permettent de minimiser les calculs, de raccourcir les algorithmes, de systématiser les données et bien plus encore.

Où d’autre ces connaissances peuvent-elles être utiles ? À n'importe spécialité de travail: médecine, pharmacologie, dentisterie, construction, technologie, ingénierie, design, etc.

Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ième puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ième puissance de ce nombre UN.

Poursuivant la conversation sur la puissance d'un nombre, il est logique de comprendre comment trouver la valeur de la puissance. Ce processus est appelé exponentiation. Dans cet article, nous étudierons comment l'exponentiation est effectuée, tout en abordant tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et selon la tradition, nous examinerons en détail des solutions à des exemples d'augmentation du nombre à divers pouvoirs.

Navigation dans les pages.

Que signifie « exponentiation » ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentiation- c'est trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance d’un nombre a d’exposant r et élever le nombre a à la puissance r sont la même chose. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

Dans la pratique, l'égalité basée sur est généralement appliquée sous la forme . Autrement dit, lorsqu'on élève un nombre a à une puissance fractionnaire m/n, on prend d'abord la nième racine du nombre a, après quoi le résultat résultant est élevé à une puissance entière m.

Examinons des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculez la valeur du diplôme.

Solution.

Nous allons montrer deux solutions.

Première façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe racine, puis extrayons racine cubique: .

Deuxième façon. Par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et basée sur les propriétés des racines, les égalités suivantes sont vraies : . Maintenant, nous extrayons la racine , enfin, on l'élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus en élevant à une puissance fractionnaire coïncident.

Répondre:

Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous forme de fraction décimale ou de nombre fractionnaire, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, puis élevé à une puissance.

Exemple.

Calculez (44,89) 2,5.

Solution.

Écrivons l'exposant sous la forme fraction commune(si nécessaire, voir l'article) : . Maintenant, nous effectuons l'élévation à une puissance fractionnaire :

Répondre:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut dire aussi qu'élever les chiffres à des puissances rationnelles est tout à fait processus à forte intensité de main d'œuvre(surtout lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire contiennent des nombres suffisamment grands), ce qui est généralement réalisé à l'aide de la technologie informatique.

Pour conclure ce point, concentrons-nous sur l’élévation du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante à la puissance fractionnaire de zéro de la forme : quand on a , et à zéro à la puissance m/n n'est pas définie. Ainsi, zéro à une puissance fractionnaire positive est nul, par exemple : . Et zéro dans une puissance fractionnaire négative n'a pas de sens, par exemple, les expressions 0 -4,3 n'ont pas de sens.

S'élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur de la puissance d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, pour des raisons pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du degré précis à un certain signe. Notons tout de suite qu'en pratique cette valeur est calculée à l'aide de calculateurs électroniques, puisque l'élever manuellement à une puissance irrationnelle nécessite un grand nombre de calculs fastidieux. Mais nous décrirons tout de même en termes généraux l'essence des actions.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance d'un nombre a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de la puissance est calculée. Cette valeur est une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l’approximation décimale d’un nombre est précise au départ, plus la valeur du degré sera finalement obtenue avec précision.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1,174367... . Prenons l'approximation décimale suivante indicateur irrationnel: . Maintenant, nous élevons 2 à la puissance rationnelle 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈2,250116. Ainsi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons par exemple une approximation décimale plus précise de l’exposant irrationnel, alors nous obtenons une valeur plus précise de l’exposant d’origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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