La formule ci-dessous sera la définition degrés avec exposant naturel(a est la base de la puissance et du facteur de répétition, et n est l'exposant, qui indique combien de fois le facteur est répété) :

Cette expression signifie que la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit de n facteurs, malgré le fait que chacun des facteurs est égal à a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - diplôme de base,

5 - exposant,

1419857 est la valeur du diplôme.

Une puissance d'exposant zéro est égale à 1, à condition que a\neq 0 :

une^0=1 .

Par exemple : 2^0=1

Lorsque vous devez écrire un grand nombre, vous utilisez généralement une puissance de 10.

Par exemple, l’un des dinosaures les plus anciens de la planète vivait il y a environ 280 millions d’années. Son âge s'écrit ainsi : 2,8 \cdot 10^8 .

Tout nombre supérieur à 10 peut être écrit sous la forme \cdot 10^n , à condition que 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forme standard de nombre.

Exemples de tels numéros : 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Vous pouvez dire à la fois « a à la nième puissance » et « nième puissance du nombre a » et « a à la nième puissance ».

4^5 - "quatre à la puissance 5" ou "4 à la puissance cinq" ou vous pouvez aussi dire "cinquième puissance de 4"

DANS dans cet exemple 4 est la base du degré, 5 est l'exposant.

Donnons maintenant un exemple avec des fractions et des nombres négatifs. Pour éviter toute confusion, il est d'usage d'écrire entre parenthèses des bases autres que les nombres naturels :

(7,38)^2 , \gauche(\frac 12 \droite)^7, (-1)^4, etc.

Notez également la différence :

(-5)^6 - signifie la puissance d'un nombre négatif −5 avec un exposant naturel de 6.

5^6 - correspond au nombre opposé 5^6.

Propriétés des degrés avec exposant naturel

Propriété de base du diplôme

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

La base reste la même, mais les exposants sont ajoutés.

Par exemple : 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Propriété des puissances quotientes de mêmes bases

a^n : a^k=a^(n-k), si n > k.

Les exposants sont soustraits, mais la base reste la même.

Cette restriction n > k est introduite afin de ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour n > k l'exposant a^(n-k) sera un nombre naturel, sinon ce sera soit un nombre négatif (k< n ), либо нулем (k-n ).

Par exemple : 2^3 : 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Propriété d'élever une puissance à une puissance

(a^n)^k=a^(nk)

La base reste la même, seuls les exposants sont multipliés.

Par exemple: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Propriété d'exponentiation d'un produit

Chaque facteur est élevé à la puissance n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Par exemple: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Propriété d'exponentiation d'une fraction

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont élevés à une puissance. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Dans ce document, nous verrons ce qu’est la puissance d’un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les puissances à exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de problèmes.

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Tout d’abord, formulons la définition de base d’un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons d'avance que pour l'instant nous prendrons comme base un nombre réel (noté par la lettre a), et un nombre naturel comme indicateur (noté par la lettre n).

Définition 1

La puissance d'un nombre a avec un exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l’exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s’écrit un 1. Sachant que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, on peut conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire qu'un diplôme est une forme pratique pour écrire un grand nombre de facteurs égaux. Donc, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être raccourci à 8 4 . De la même manière, une œuvre nous aide à éviter d'enregistrer grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Nous en avons déjà parlé dans l’article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement l’entrée du diplôme ? L'option généralement acceptée est « a à la puissance n ». Ou vous pouvez dire « nième puissance d’un » ou « anth puissance ». Si, disons, dans l'exemple, nous avons rencontré l'entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième puissances des nombres ont leurs propres noms établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple le nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire « 7 au carré » ou « carré du nombre 7 ». De même, le troisième degré se lit ainsi : 5 3 - c'est le « cube du chiffre 5 » ou « 5 cube ». Cependant, vous pouvez également utiliser la formulation standard « à la puissance deuxième/troisième » ; ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Regardons un exemple de degré avec un exposant naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l’exposant.

Il n'est pas nécessaire que la base soit un nombre entier : pour le diplôme (4 , 32) 9 La base sera la fraction 4, 32 et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses : cette notation est faite pour toutes les puissances dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 Et − 2 3 . Le premier d’entre eux signifie un nombre négatif moins deux élevé à une puissance avec un exposant naturel de trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente de la puissance d'un nombre - un^n(où a est la base et n est l'exposant). Autrement dit, 4 ^ 9 est identique à 4 9 . Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est placé entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus courant.

Il est facile de deviner comment calculer la valeur d’un exposant avec un exposant naturel à partir de sa définition : il suffit de multiplier un nième nombre de fois. Nous en avons parlé davantage dans un autre article.

Le concept de degré est l'inverse d'un autre concept mathématique : la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur de la puissance et l’exposant, nous pouvons calculer sa base. Le diplôme possède certaines propriétés spécifiques utiles pour résoudre des problèmes, dont nous avons discuté dans un document séparé.

Les exposants peuvent inclure non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les négatifs et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.

Définition 2

La puissance d'un nombre avec un exposant entier positif peut être représentée sous la forme d'une formule : .

Dans ce cas, n est n’importe quel entier positif.

Comprenons le concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances de bases égales. Il est formulé ainsi :

Définition 3

Égalité une m : une n = une m − n sera vrai dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors on obtient le résultat suivant : une n : une n = une n − n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est un quotient nombres égaux un et un. Il s’avère que la puissance nulle de tout nombre non nul est égale à un.

Cependant, une telle preuve ne s’applique pas à zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances : la propriété des produits de puissances de bases égales. Cela ressemble à ceci : une m · une n = une m + n .

Si n est égal à 0, alors une m · une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m · 0 0 = 0 m, Cela sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe la valeur exacte du degré 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas l'exactitude de l'égalité. Donc une notation de la forme 0 0 n'a pas de signification particulière et nous ne la lui attribuerons pas.

Si on le souhaite, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du diplôme ne soit pas nulle. Ainsi, la puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est un.

Exemple 2

Regardons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 pas défini.

Après le degré zéro, il suffit de comprendre ce qu’est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances de bases égales que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

Introduisons la condition : m = − n, alors a ne doit pas être égal à zéro. Il en résulte que une − n · une n = une − n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et a−n nous avons des nombres mutuellement réciproques.

En conséquence, en général degré négatif n'est rien de plus que la fraction 1 a n .

Cette formulation confirme que pour un diplôme à nombre entier indicateur négatif toutes les mêmes propriétés que possède un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro) sont valables.

Exemple 3

Une puissance a avec un exposant entier négatif n peut être représentée par une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous réserve de une ≠ 0 et n est n'importe quel nombre naturel.

Illustrons notre idée avec des exemples précis :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :

Définition 4

La puissance d'un nombre d'exposant naturel z est : a z = a z, e avec l et z - entier positif 1, z = 0 et a ≠ 0, (pour z = 0 et a = 0 le résultat est 0 0, le les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas définies) 1 a z, si et z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 vous obtenez 0 z, egoz la valeur est indéterminée)

Que sont les puissances avec un exposant rationnel ?

Nous avons examiné les cas où l'exposant contient un nombre entier. Cependant, vous pouvez élever un nombre à une puissance même lorsque son exposant contient un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle le degré c indicateur rationnel. Dans cette section, nous prouverons qu’elle possède les mêmes propriétés que les autres puissances.

Ce qui s'est passé nombres rationnels? Leur variété comprend à la fois entière et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Formulons la définition de la puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où n est un nombre naturel et m est un nombre entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de pouvoir soit valable, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition de la nième racine et que a m n n = a m, nous pouvons accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m, n et a.

Les propriétés ci-dessus d'un degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : la puissance d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la nième racine du nombre a à la puissance m. Ceci est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n reste significative.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prenons a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives - strictement inférieur (puisque pour m ≤ 0 nous obtenons 0 m, mais un tel degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

Une puissance avec un exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Cela peut être exprimé sous la forme d'une formule :

Pour une puissance de base nulle, cette disposition convient également, mais seulement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance avec une base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 à condition que m soit un entier positif et n soit un nombre naturel.

Pour un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Depuis que nous avons introduit la condition selon laquelle a est supérieur ou égal à zéro, nous avons fini par écarter certains cas.

L'expression a m n a parfois encore un sens pour certaines valeurs négatives de a et certains m. Ainsi, les entrées correctes sont (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devrons introduire une condition supplémentaire : le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Nous expliquerons plus tard pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons la notation a m · k n · k , alors nous pouvons la réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et que la valeur de m est positive et que a est un nombre non négatif, alors a m n a du sens. La condition pour que a soit non négatif est nécessaire car une racine de degré pair ne peut pas être extraite d’un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car La racine impaire peut être extraite de n’importe quel nombre réel.

Combinons toutes les définitions ci-dessus en une seule entrée :

Ici, m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction réductible ordinaire m · k n · k le degré peut être remplacé par a m n .

La puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire irréductible m/n – peut s'exprimer sous la forme a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a, entiers valeurs positives m et valeurs naturelles impaires n. Exemple : 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pour tout a réel non nul, valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, entier positif m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pour tout a positif, entier négatif m et même n, par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas déterminé. Exemples de tels diplômes : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Expliquons maintenant l'importance de la condition évoquée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction à exposant réductible par une fraction à exposant irréductible. Si nous ne l'avions pas fait, nous aurions eu les situations suivantes, disons 6/10 = 3/5. Alors cela devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons présentée en premier, est plus pratique à utiliser en pratique que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m/n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0. En cas de négatif un l'entrée a m n n'a pas de sens. Puissance de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

En conclusion, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous forme de fraction décimale : 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant fraction ordinaire et continuez à utiliser la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous obtenons :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les puissances à exposants irrationnels et réels ?

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. Nous avons déjà mentionné les rationnels ci-dessus. Traitons étape par étape les indicateurs irrationnels.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une séquence de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1,67175331. . . , Alors

une 0 = 1, 6, une 1 = 1, 67, une 2 = 1, 671, . . . , un 0 = 1,67, un 1 = 1,6717, un 2 = 1,671753, . . .

On peut associer la séquence d'approximations à la séquence de degrés a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce que nous avons dit plus tôt sur l'élévation des nombres à des puissances rationnelles, nous pouvons alors calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prenons par exemple une = 3, alors a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

La séquence de puissances peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur de la puissance de base a et d'exposant irrationnel a. Résultat : un diplôme avec un exposant irrationnel de la forme 3 1, 67175331. . peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la séquence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où une 0 , une 1 , une 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel une. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, avec 0 a = 0 Donc, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Mais cela ne peut pas être fait pour les valeurs négatives, puisque, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité érigée à n'importe quel degré irrationnel, reste un, par exemple, et 1 2, 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Tutoriel vidéo 2 : Diplôme avec un indicateur naturel et ses propriétés

Conférence:

Diplôme avec indicateur naturel

Sous degré un certain nombre "UN" avec un indicateur "n" comprendre le produit d'un nombre "UN" tout seul "n" une fois.

Quand on parle d'un degré avec un exposant naturel, cela signifie que le nombre "n" doit être entier et non négatif.

UN- la base du degré, qui indique quel nombre doit être multiplié par lui-même,

n- exposant - il indique combien de fois la base doit être multipliée par elle-même.

Par exemple:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

DANS dans ce cas La base du degré est le nombre « 8 », l'exposant du degré est le nombre « 4 » et la valeur du degré est le nombre « 4096 ».

L'erreur la plus importante et la plus courante lors du calcul d'un degré est de multiplier l'exposant par la base - CE N'EST PAS CORRECT !

Quand nous parlons de environ un degré avec un exposant naturel, ce qui signifie que seul l'exposant (n) doit être un nombre naturel.

Vous pouvez prendre n’importe quel nombre sur la droite numérique comme base.

Par exemple,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

L'opération mathématique effectuée sur la base et l'exposant est appelée exponentiation.

L'addition/soustraction est une opération mathématique de la première étape, la multiplication/division est une action de la deuxième étape, l'élévation d'une puissance est une action mathématique de la troisième étape, c'est-à-dire l'une des plus élevées.

Cette hiérarchie opérations mathématiques détermine l'ordre dans le calcul. Si cette action se produit dans des tâches parmi les deux précédentes, elle est effectuée en premier.

Par exemple:

15 + 6 *2 2 = 39

Dans cet exemple, vous devez d'abord élever 2 à la puissance, c'est-à-dire

puis multipliez le résultat par 6, soit

La puissance avec un exposant naturel est utilisée non seulement pour des calculs spécifiques, mais également pour faciliter l'écriture de grands nombres. Dans ce cas, le concept est également utilisé "forme standard de nombre". Cette entrée consiste à multiplier un nombre de 1 à 9 par une puissance égale à 10 avec un exposant.

Par exemple, pour enregistrer le rayon de la Terre sous forme standard, utilisez la notation suivante :

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

et la masse de la Terre, par exemple, s'écrit ainsi :

Propriétés du diplôme

Pour faciliter la résolution d'exemples avec des diplômes, vous devez connaître leurs propriétés de base :

1. Si vous devez multiplier deux puissances qui ont la même base, alors dans ce cas, la base doit rester inchangée et les exposants doivent être ajoutés.

une n * une m = une n+m

Par exemple:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. S'il est nécessaire de diviser deux degrés ayant les mêmes bases, alors dans ce cas, la base doit rester inchangée et les exposants soustraits. Attention, pour les opérations avec puissances à exposant naturel, l'exposant du dividende doit être supérieur à l'exposant du diviseur. Sinon, le quotient de cette action sera un nombre avec un exposant négatif.

un n / un m = un n-m

Par exemple,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. S'il faut élever une puissance à une autre, la base du résultat reste le même nombre, et les exposants sont multipliés.

(une n) m = une n*m

Par exemple,

4. S'il est nécessaire de rehausser un produit dans une certaine mesure nombres arbitraires, alors nous pouvons utiliser une certaine loi distributive, sous laquelle nous obtenons le produit de différentes bases au même degré.

(une * b) m = une m * b m

Par exemple,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Une propriété similaire peut être utilisée pour diviser des puissances, autrement dit pour élever un double ordinaire à une puissance.

(une / b) m = une m / b m

6. Tout nombre élevé à un exposant égal à un est égal au nombre d'origine.

un 1 = un

Par exemple,

7. Lorsque vous élevez un nombre à une puissance d’exposant zéro, le résultat de ce calcul sera toujours un.

et 0 = 1

Par exemple,

Niveau d'entrée

Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances la vie quotidienne lisez cet article.

Et bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera du succès. passer l'OGE ou l'examen d'État unifié et l'admission à l'université de vos rêves.

Allons-y... (Allons-y !)

Remarque importante ! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

NIVEAU D'ENTRÉE

Élever à une puissance, c'est pareil opération mathématique comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain de manière très exemples simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quels autres ? astuces astucieuses les comptes ont-ils été inventés par des mathématiciens paresseux ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.

Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau mesurera très probablement cm par cm. Et puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez quand même les multiplier ou les élever à la puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à la puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs de calcul. . Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.

Exemple réel n°2

Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez en former un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple réel n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (En passant, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, non ?) Dessinez une piscine : un fond mesurant un mètre et une profondeur d'un mètre et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre sur un mètre rentreront dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu ? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? C'est ça! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .

Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des personnes qui ont abandonné et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple réel n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?

Exemple concret n°5

Vous en avez un million. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous en gagnez deux de plus. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.

Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Alors, commençons par définir les concepts. Pensez-vous qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, dans vue générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit « au degré près » et s'écrit ainsi :

Puissance d'un nombre avec exposant naturel

Vous l’avez probablement déjà deviné : parce que l’exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est nombre naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d’années, nos ancêtres ont découvert qu’il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

CV:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Par définition :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons !
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel numéro. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On obtient :

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. S'ils étaient inversés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire cela ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.

Passons à autre chose. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si, alors.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre non égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il s'avère que cela. Évidemment ceci cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

Rappelons la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a aucun sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, vous pouvez alors l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Alors si :

• — nombre naturel ;
• - entier ;

Exemples :

Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;

...degré entier négatif- c'est comme si quelque chose s'était passé " processus inverse", c'est-à-dire que le nombre n'a pas été multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école, nous ne pensons pas à de telles difficultés ; vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décidez vous-même :

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il s'avère que :

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

• — base de diplôme ;
• - exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si, alors.

Exemples :

Puissance avec exposant rationnel

• — nombre naturel ;
• - entier ;

Exemples :

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que c'est et ?

Par définition :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indicateur degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel numéro .

En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par (), on obtient - .

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Nous pouvons formuler ce qui suit règles simples:

1. même diplôme, - nombre positif.
2. Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
3. Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
4. Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, il devient clair que, et donc la base inférieur à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés !

On obtient :

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. Si elles étaient inversées, la règle 3 pourrait s’appliquer. Mais comment ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : Tous les signes changent en même temps ! Vous ne pouvez pas le remplacer en modifiant un seul inconvénient que nous n’aimons pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école, nous ne pensons pas à de telles difficultés ; vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

Alors que faisons-nous si nous voyons indicateur irrationnel diplômes ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser :)

Par exemple:

Décidez vous-même :

Réponses :

1. Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
2. Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
• Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
• Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

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