Dans cet article, nous explorerons nombres opposés. Ici, nous répondrons à la question de savoir quels nombres sont appelés opposés, montrerons comment est désigné l'opposé d'un nombre donné et donnerons des exemples. Nous énumérerons également les principaux résultats caractéristiques des nombres opposés.

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Déterminer les nombres opposés

Cela nous aidera à nous faire une idée des nombres opposés.

Marquons un point M sur la ligne de coordonnées, différent de l'origine. On peut arriver au point M en déposant séquentiellement un segment unitaire, ainsi que ses dixième, centième, et ainsi de suite, depuis l'origine en direction du point M. Si nous traçons le même nombre de segments unitaires et ses parts dans la direction opposée, nous arriverons alors à un autre point, désigné par la lettre N. Donnons un exemple pour illustrer nos actions (voir figure ci-dessous). Pour arriver au point M sur la droite de coordonnées, nous avons disposé deux segments unitaires et 4 segments, constituant un dixième d'unité, dans le sens négatif. Mettons maintenant deux segments unitaires et 4 segments, constituant un dixième d'unité, dans le sens positif. Cela nous donnera le point N.

Nous sommes presque prêts à comprendre la définition des nombres opposés ; il ne reste plus qu'à discuter de quelques nuances.

Nous savons que chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel, donc le point M et le point N correspondent à des nombres réels. Ainsi les nombres correspondant aux points M et N sont appelés ci-contre.

Séparément, il faut dire du point O - l'origine. Le point O correspond au chiffre 0. Le nombre zéro est considéré comme l’opposé de lui-même.

Maintenant nous pouvons exprimer déterminer les nombres opposés.

Définition.

Deux nombres sont dits opposés si les points sur la droite de coordonnées correspondant à ces nombres peuvent être atteints en disposant le même nombre de segments unitaires depuis l'origine dans des directions opposées, ainsi que des fractions d'un segment unitaire, le nombre 0 est opposé à lui-même.

Notation des nombres opposés et exemples

Il est temps d'entrer symboles de nombres opposés.

Pour indiquer l'opposé d'un nombre donné, utilisez le signe moins, qui est écrit devant le nombre donné. Autrement dit, le nombre opposé au nombre a s’écrit −a. Par exemple, le nombre opposé 0,24 est −0,24 et le nombre opposé −25 est −(−25).

Donnons exemples de nombres opposés. La paire de nombres 17 et −17 (ou −17 et 17) est un exemple d'entiers opposés. Les nombres et sont des nombres rationnels opposés. D'autres exemples de nombres rationnels opposés sont les paires de nombres 5,126 et −5,126. ainsi que 0,(1201) et −0,(1201) . Reste à donner quelques exemples du contraire

Sujet

Type de cours

• étude et assimilation primaire de nouveaux matériaux

Objectifs de la leçon

Apprenez les définitions des nombres positifs, négatifs et opposés.

Trouver des nombres opposés lors de la résolution d'exercices, lors de la résolution d'équations

Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance, la pensée logique et le discours mathématique des élèves.

Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.

Objectifs de la leçon

Découvrez quels sont les nombres opposés

Apprenez à utiliser ce concept pour résoudre des problèmes

Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours

1. Introduction.

2. Partie théorique

3. Partie pratique.

4. Devoirs.

5. Faits intéressants

Introduction

Regardez les images et décrivez en un mot ce qui les différencie.

Les images montrent des contraires.

- ce sont deux nombres égaux en valeur absolue, mais ayant différents signes, par ex. 5 et -5.

Partie théorique

Tout d'abord, rappelons-nous ce que c'est nombres négatifs. Regarder vidéo:

Les points de coordonnées 5 et -5 sont à égale distance du point O et sont situés sur les côtés opposés de celui-ci. Pour aller du point O à ces points, vous devez parcourir les mêmes distances, mais dans des directions opposées. Les nombres 5 et -5 sont appelés nombres opposés: 5 est l'opposé de -5 et -5 est l'opposé de 5.

Deux nombres qui ne diffèrent l'un de l'autre que par des signes sont appelés nombres opposés.

Par exemple, les nombres opposés seraient 35 et -35, puisque le nombre 35 = +35, ce qui signifie que les nombres 35 et -35 ne diffèrent que par les signes. Les nombres opposés seront également 0,8 et -0,8, ¾ et -¾.

Propriétés des nombres opposés

1). Pour chaque nombre il n’y a qu’un seul nombre opposé.

2). Le chiffre 0 est le contraire de lui-même.

3). Le nombre opposé de a est noté -a. Si a = -7,8, alors -a = 7,8 ; si a = 8,3, alors -a = -8,3 ; si a = 0, alors -a = 0.

4). La notation « -(-15) » signifie le nombre opposé de -15. Puisque l’opposé de -15 est 15, alors -(-15) = 15. En général -(-une) = une.

Les nombres naturels, leurs opposés et zéro sont appelés entiers.

Numéro ci-contre n" par rapport au nombre n est un nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

n + n" = 0

Cette égalité peut être réécrite comme suit :

n + n" − n = 0 − n ou n" = −n

Ainsi, nombres opposés ont les mêmes modules, mais des signes opposés.

En conséquence, le nombre opposé de n est noté − n. Lorsqu’un nombre est positif, son opposé sera négatif et vice versa.

1. Donnez des exemples de nombres opposés.

2. Dessinez-les sur une ligne de coordonnées.

3. Nommez le nombre en face de -3,6 ; 7 ; 0 ; 8/9 ; -1/2

Partie pratique

Exemple

1) Marquez sur la ligne de coordonnées les points A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Parmi ces points, trouvez et indiquez ceux qui sont symétriques par rapport au point O(0). Que pouvez-vous dire sur les coordonnées ? points symétriques?

Points symétriques par rapport au point O(0) : A(2) et B(-2), E(- 5.2) et F(5.2)

Coordonnées des points symétriques sont des nombres qui diffèrent uniquement par leur signe. Ces numéros sont appelés opposé.

Marquez les points A(-3), B(+6), C(+4,2), D(+3), E(-4,2), F(-6) sur la ligne de coordonnées. Que pouvez-vous dire de ces nombres. ?

Des nombres 15 ; 2,5 ; – 2,5 ; – 18 ; 0 ; 45 ; – 45 choisir : a) nombres naturels ; b) des nombres entiers ; c) nombres négatifs ; d) nombres positifs ; e) nombres opposés.

1) Écrivez le nombre opposé de a.

2) Indiquez le chiffre opposé au chiffre a si :

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5 ;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Rappelez-vous ce que signifie l'entrée : - (- a).

2) Placez un nombre à la place de * pour obtenir la bonne égalité : a) - (- 5) = * ; b) 3 = – *.

Devoirs

1). Remplissez le tableau :

2). Trouver : a) -m,

si m = -8,

si m = -16

si -k = 27

si -k = -35

si c = 41

si c = -3,6

3). Combien de paires de nombres opposés se trouvent entre les nombres -7,2 et 3,6. Marquez sur la ligne de coordonnées.

4). Découvrez le nom du remarquable scientifique français :

Savez-vous où dans la vie quotidienne rencontrons-nous des nombres positifs et négatifs ?

Liste des sources utilisées

1. Encyclopédie mathématique (en 5 volumes). - M. : Encyclopédie soviétique, 2002. - T. 1.
2. « Le dernier ouvrage de référence pour les écoliers » « MAISON XXIe siècle » 2008
3. Résumé de la leçon sur le thème " Numéros opposés" Auteur : Petrova V.P., professeur de mathématiques (5e à 9e années), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Mathématiques pour la 6e année, Manuel pour le lycée

§ 1 La notion de nombre positif

Dans cette leçon, vous apprendrez quels nombres sont appelés opposés, comment trouver le nombre opposé, ainsi que quels nombres entiers et nombres rationnels.

Commençons par travaux pratiques. Sur la ligne de coordonnées, marquez les points A(2) et B(-2). Ils sont symétriques et le centre de symétrie de ces points est l'origine des coordonnées O(0), puisque la distance OA=OB.

On voit que les coordonnées des points symétriques par rapport à l'origine sont des nombres qui ne diffèrent que par le signe. De tels nombres sont appelés opposés.

Il existe une autre définition des nombres opposés. Quelles sont les grandeurs des nombres 2 et -2 ? Égal à 2. Par conséquent, les nombres opposés sont des nombres qui ont les mêmes modules, mais diffèrent par leur signe.

Pour indiquer l'opposé d'un nombre donné, utilisez le signe moins, qui est écrit devant le nombre donné. Autrement dit, le nombre opposé de a s’écrit −a. Par exemple, le nombre 0,24 est opposé au nombre −0,24, le nombre -25 est le nombre opposé −(−25), mais le nombre -25 sur la ligne de coordonnées est opposé à 25, ce qui signifie -(-25) = 25. Il en résulte que -( -a) = a et a = -(-a).

§ 2 Propriétés des nombres opposés

Soulignons quelques propriétés des nombres opposés.

L’opposé d’un nombre positif est négatif et l’opposé d’un nombre négatif est positif. Ceci est compréhensible, puisque les points de la ligne de coordonnées correspondant aux nombres opposés sont situés sur les côtés opposés de l'origine.

Si le nombre a est opposé au nombre b, alors b est opposé à a - cela découle de la propriété de symétrie des points sur la ligne de coordonnées.

Passons à la ligne de coordonnées. Combien de points peuvent être marqués sur une ligne de coordonnées symétriques à celle donnée par rapport à l'origine ? Seulement un. Cela signifie que pour chaque nombre il n’y a qu’un seul nombre opposé.

Un seul nombre est opposé à lui-même - c'est le nombre 0, puisque 0 = -0 (il n'est donc pas habituel d'écrire -0).

Chiffres avec trait commun forment un ensemble (ou un groupe), chaque ensemble a son propre nom.

Rappelons-nous que les nombres que nous utilisons pour compter sont appelés nombres naturels ; ils forment l’ensemble des nombres naturels ;

Pour chaque nombre naturel, vous pouvez trouver son opposé. Les nombres naturels, leurs opposés et le nombre 0 sont appelés nombres entiers.

Peut être positif ou négatif nombres fractionnaires. Tous les nombres entiers et toutes les fractions sont appelés nombres rationnels. Ils disent aussi qu’ensemble, ils forment l’ensemble des nombres rationnels.

Soulignons deux autres groupes de nombres. Prenons une ligne de coordonnées. Si l'on supprime la partie de la ligne sur laquelle se trouvent les nombres négatifs, il reste un rayon avec des nombres positifs et un point de référence de 0. Les nombres restants sont appelés non négatifs, c'est-à-dire les nombres supérieurs ou égaux à 0. Par conséquent, les nombres non positifs sont tous les nombres négatifs et le nombre 0, c'est-à-dire les nombres inférieurs ou égaux à 0.

Aujourd'hui, nous avons appris ce que sont les nombres opposés, entiers, rationnels, non négatifs et non positifs, et avons appris à trouver le nombre opposé d'un nombre donné.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques. 6e année : plans de cours pour le manuel de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //auteur-compilateur L.A. Topiline. Mnémosyne 2009
2. Mathématiques. 6e année : manuel pour les élèves établissements d'enseignement. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovitch - M. : Mnémosyne, 2013.
3. Mathématiques. 6e année : manuel destiné aux élèves des établissements d'enseignement général. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Jokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M. : Mnémosyne, 2013.
4. Manuel de mathématiques - http://lyudmilanik.com.ua
5. Guide de l'étudiant pour lycée http://shkolo.ru

Définition des nombres opposés

Définition des nombres opposés :

Deux nombres sont dits opposés s'ils ne diffèrent que par leurs signes.

Exemples de nombres opposés

Exemples de nombres opposés.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

À partir de là, il est clair comment trouver l’opposé d’un nombre donné : il suffit de changer le signe du nombre.

Le nombre opposé à 3 est le nombre moins trois.

Exemple. Les chiffres sont opposés aux données.

Étant donné : les numéros 1 ; 5 ; 8 ; 9.

Trouvez les nombres opposés des données.

Pour résoudre ce problème, changez simplement les signes des nombres donnés :

Faisons un tableau de nombres opposés :

Le contraire de zéro

L’opposé de zéro est le nombre zéro lui-même.

Donc le nombre opposé à 0 est 0.

Entiers opposés

Les entiers opposés ne diffèrent que par leur signe.

Exemples d'entiers opposés.

10 -10
20 -20
125 -125

Paire de nombres opposés

Lorsqu’ils parlent de nombres opposés, ils font toujours référence à une paire de nombres opposés.

Un nombre est l'opposé d'un autre nombre. Et chaque nombre n’a qu’un seul opposé.

Nombres opposés aux nombres naturels

Le contraire des nombres naturels sont les entiers négatifs.

Faisons un tableau de nombres opposés pour les cinq premiers nombres naturels :

Somme des nombres opposés

La somme des nombres opposés est nulle. Après tout, les nombres opposés ne diffèrent que par leur signe.

Dans cet article, nous allons essayer de comprendre ce que sont les nombres opposés. Nous expliquerons ce qu'ils sont en général, montrerons quelles désignations spécifiques sont utilisées pour eux et examinerons quelques exemples. Dans la dernière partie du matériel, nous énumérerons les principales propriétés des nombres opposés.

Pour expliquer le concept même d’opposés, nous devons d’abord représenter une ligne de coordonnées. Prenons le point M dessus (mais pas au tout début du compte à rebours). Sa distance à zéro sera égale à un certain nombre de segments unitaires, qui pourront, à leur tour, être divisés en dixièmes et centièmes. Si nous mesurons la même distance depuis l’origine dans la direction opposée à celle dans laquelle se trouve M, alors nous pouvons arriver à un autre point similaire. Appelons-le N. Par exemple, de M à zéro est une distance de 2,4 segments unitaires, et de N à zéro est la même. Jetez un oeil à la photo :

Rappelons que chaque point d'une droite de coordonnées ne peut être associé qu'à un seul nombre réel. Dans ce cas, nos points M et N correspondent à certains nombres, appelés ci-contre. Chaque nombre a un nombre opposé, sauf zéro. Puisque c’est le début du compte à rebours, il est considéré comme le contraire de lui-même.

Écrivons la définition de ce que sont les nombres opposés :

Définition 1

Opposé sont appelés des nombres qui correspondent à de tels points sur la ligne de coordonnées auxquels nous arriverons si nous marquons la même distance de l'origine dans différentes directions (positives et négatives). Zéro est à l’origine et est opposé à lui-même.

Comment les nombres opposés sont-ils indiqués ?

Dans cette section, nous présenterons la notation de base pour ces nombres. Si nous avons un certain nombre et que nous devons écrire le contraire, nous utilisons alors un moins pour cela.

Exemple 1

Disons que notre nombre est a, donc son opposé est a (moins a). Exactement de la même manière, pour 0,26 l'inverse est - 0,26, et pour 145 ce sera - 145. Si le nombre d'origine lui-même est négatif, par exemple - 9, alors nous écrivons le contraire sous la forme – (- 9).

Quels autres exemples de nombres opposés pouvez-vous donner ? Prenons les entiers : 12 et - 12. Les nombres rationnels opposés sont 3 2 11 et - 3 2 11, ainsi que 8, 128 et − 8, 128, 0, (18901) et − 0, (18901), etc. Les nombres irrationnels peuvent également être opposés, par exemple : les valeurs expressions numériques 2 + 1 et - 2 + 1.

Les nombres irrationnels opposés seront également e et - e.

Propriétés de base des nombres opposés

Ces nombres ont certaines propriétés. Ci-dessous, nous en donnerons une liste avec des explications.

Définition 2

1. Si le nombre initial est positif, alors son opposé sera négatif.

Cette affirmation est évidente et découle du graphique ci-dessus : ces nombres sont situés des côtés opposés de la ligne de référence. Si vous avez oublié les concepts de nombres positifs et négatifs, consultez le matériel que nous avons publié précédemment.

Une autre affirmation très importante peut être déduite de cette règle. DANS sous forme de lettre sa notation ressemble à ceci : pour tout a positif, ce sera vrai − (− a) = a . Montrons avec un exemple pourquoi c'est important.

Prenons le chiffre 5. En utilisant la ligne de coordonnées, vous pouvez voir que le nombre opposé est 5, et vice versa. En utilisant la notation que nous avons indiquée ci-dessus, nous écrivons le nombre ci-contre - 5 sous la forme – (- 5) . Il s'avère que – (- 5) = 5. D'où la conclusion : les nombres opposés ne diffèrent les uns des autres que par la présence d'un signe moins.

2. La propriété suivante est généralement appelée propriété de symétrie. Cela peut également être dérivé de la définition même des nombres opposés. Cela ressemble à ceci :

Définition 3

Si un nombre a est l’opposé de b, alors b est l’opposé de a.

Évidemment, cette affirmation ne nécessite aucune preuve supplémentaire.

3. La troisième propriété des nombres opposés dit :

Définition 4

Tout nombre réel n’a qu’un seul opposé.

Cette affirmation découle du fait que les points sur une ligne de coordonnées ne peuvent pas correspondre à plusieurs nombres à la fois.

Définition 5

4. Les modules de nombres opposés sont égaux.

Cela découle de la définition du module. Il est logique que les points sur une ligne correspondant à des nombres opposés soient à la même distance du point de référence.

Définition 6

5. Si nous additionnons les nombres opposés, nous obtenons 0.

Littéralement, cette affirmation ressemble à a + (− a) = 0.

Exemple 2

Voici des exemples de tels calculs :

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Comme vous pouvez le constater, cette règle fonctionne pour tous les nombres : entiers, rationnels, irrationnels, etc.

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