Travaillons avec équations quadratiques. Ce sont des équations très populaires ! Dans le très vue générale l'équation quadratique ressemble à ceci :

Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Comment résoudre des équations quadratiques ? Si vous avez devant vous une équation quadratique sous cette forme, alors tout est simple. Souvenons-nous mot magique discriminant . Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! Son utilisation est simple et sans problème. Ainsi, la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe de la racine est celle discriminant. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c C'est la formule que nous calculons. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, pour la première équation UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est ça.

Quels cas sont possibles en utilisant cette formule ? Il n'y a que trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Alors vous avez une solution. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais cela joue un rôle dans les inégalités, où nous étudierons la question plus en détail.

3. Le discriminant est négatif. Depuis nombre négatif racine carrée non extrait. Tant pis. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

C'est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici une = -6 ; b = -5 ; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire et le nombre d'erreurs. diminuera fortement. Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essayez-le. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez techniques pratiques, qui sont décrits ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont nous nous souvenions. Ou alors ils ont appris, ce qui est aussi une bonne chose. Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment ? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Vous comprenez que le mot clé ici est attentivement ?

Cependant, les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Ce équations quadratiques incomplètes . Ils peuvent également être résolus par un discriminant. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'avez-vous compris ? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est ça. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune discrimination. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et alors ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ça ne marche pas ? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x = 0, ou x = 4

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser un discriminant.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On obtient :

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x = +3 et x = -3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X hors parenthèses, soit transfert simple les nombres à droite, puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous. Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On obtient :

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décidez par vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernieréquation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur. Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Tous moins d'erreurs volonté.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par dénominateur commun, comme décrit dans la section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Le voici.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On obtient :

C'est ça! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Équations fractionnaires. ODZ.

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. La dernière vue restante - équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés de manière beaucoup plus respectable - fractionnaire équations rationnelles . C'est la même chose.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comme enseigné dans classes juniors? On met tout de côté, on le ramène à un dénominateur commun, etc. Oublie comment mauvais rêve! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en fait, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par. 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaireéquation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche et tous côté droit :

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous réduisons (x-2) et on obtient une équation sans aucune fraction, avec une règle !

Ouvrons maintenant les parenthèses :

Nous en apportons des similaires, déplaçons tout vers la gauche et obtenons :

Équation quadratique classique. Mais le moins à venir n'est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser en multipliant ou en divisant par -1. Mais si vous regardez bien l’exemple, vous remarquerez qu’il est préférable de diviser cette équation par -2 ! D'un seul coup, le moins disparaîtra et les cotes deviendront plus attractives ! Divisez par -2. Sur le côté gauche - terme par terme, et à droite - divisez simplement zéro par -2, zéro et nous obtenons :

Nous résolvons par le discriminant et vérifions en utilisant le théorème de Vieta. Nous obtenons x = 1 et x = 3. Deux racines.

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire, mais ici elle devient quadratique. Il arrive qu'après s'être débarrassé des fractions, tous les X soient réduits. Il reste quelque chose, comme 5=5. Cela signifie que x peut être n'importe quoi. Quoi qu’il en soit, il sera quand même réduit. Et cela s’avère être la pure vérité, 5=5. Mais après s’être débarrassé des fractions, cela peut s’avérer complètement faux, comme 2=7. Et cela signifie que aucune solution! Tout X s’avère faux.

Réalisé la solution principale équations fractionnaires ? C'est simple et logique. On change l’expression originale pour que tout ce qu’on n’aime pas disparaisse. Ou alors ça interfère. DANS dans ce cas ce sont des fractions. Nous ferons de même avec toutes sortes d'exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et autres horreurs. Nous Toujours Débarrassons-nous de tout cela.

Cependant, nous devons modifier l'expression originale dans le sens souhaité. selon les règles, oui... Dont la maîtrise est la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques. Nous le maîtrisons donc.

Nous allons maintenant apprendre à contourner l'un des principales embuscades à l'examen d'État unifié! Mais d’abord, voyons si vous tombez dans le piège ou non ?

Regardons un exemple simple :

L'affaire est déjà familière, on multiplie les deux côtés par (x-2), on obtient :

Je te le rappelle, entre parenthèses (x-2) Nous travaillons comme avec une seule expression intégrale !

Ici je n'en ai plus écrit un dans les dénominateurs, c'est indigne... Et je n'ai pas mis de parenthèses dans les dénominateurs, sauf pour x-2 il n’y a rien, il n’est pas nécessaire de dessiner. Raccourcissons :

Ouvrez les parenthèses, déplacez le tout vers la gauche et donnez-en des similaires :

On résout, vérifie, on obtient deux racines. x = 2 Et x = 3. Super.

Supposons que le devoir demande d'écrire la racine, ou leur somme s'il y en a plusieurs. Qu'allons-nous écrire ?

Si vous décidez que la réponse est 5, vous ont été pris en embuscade. Et la tâche ne vous sera pas créditée. Ils ont travaillé en vain... La bonne réponse est 3.

Quel est le problème?! Et vous essayez de faire une vérification. Remplacez les valeurs de l'inconnu par original exemple. Et si à x = 3 tout va grandir à merveille, on obtient 9 = 9, puis quand x = 2 Ce sera une division par zéro ! Ce que vous ne pouvez absolument pas faire. Moyens x = 2 n'est pas une solution et n'est pas pris en compte dans la réponse. C'est ce qu'on appelle la racine étrangère ou supplémentaire. Nous le rejetons simplement. La racine finale est une. x = 3.

Comment ça?! – J'entends des exclamations indignées. On nous a appris qu'une équation peut être multipliée par une expression ! C'est une transformation identique !

Oui, identique. Sous une petite condition - l'expression par laquelle on multiplie (divise) - différent de zéro. UN x-2à x = 2 est égal à zéro ! Donc tout est juste.

Alors que devons-nous faire maintenant ?! Ne pas multiplier par expression ? Dois-je vérifier à chaque fois ? Encore une fois, ce n'est pas clair !

Calmement! Ne pas paniquer!

Dans cette situation difficile, trois lettres magiques nous sauveront. Je sais à quoi tu penses. Droite! Ce ODZ . Zone de valeurs acceptables.

On sait qu'il s'agit d'une version particulière de l'égalité ax 2 + bx + c = o, où a, b et c sont des coefficients réels pour x inconnu, et où a ≠ o, et b et c seront des zéros - simultanément ou séparément. Par exemple, c = o, b ≠ o ou vice versa. On se souvient presque de la définition d'une équation quadratique.

Le trinôme du deuxième degré est nul. Son premier coefficient a ≠ o, b et c peut prendre n'importe quelle valeur. La valeur de la variable x sera alors lorsque la substitution la transformera en une égalité numérique correcte. Concentrons-nous sur les racines réelles, bien que les solutions de l'équation puissent également l'être. Il est d'usage d'appeler une équation complète dans laquelle aucun des coefficients n'est égal à o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Résolvons un exemple. 2x 2 -9x-5 = oh, nous trouvons
D = 81+40 = 121,
D est positif, ce qui signifie qu'il y a des racines, x 1 = (9+√121):4 = 5, et la seconde x 2 = (9-√121):4 = -o.5. La vérification permettra de s’assurer qu’ils sont corrects.

Voici une solution étape par étape à l'équation quadratique

En utilisant le discriminant, vous pouvez résoudre n'importe quelle équation à gauche de laquelle se trouve un trinôme quadratique connu pour a ≠ o. Dans notre exemple. 2x 2 -9x-5 = 0 (hache 2 +in+s = o)

Considérons ce que sont les équations incomplètes du deuxième degré

1. hache 2 +in = o. Le terme libre, le coefficient c en x 0, est ici égal à zéro, en ≠ o.
   Comment résoudre une équation quadratique incomplète de ce type ? Retirons x des parenthèses. Rappelons-nous quand le produit de deux facteurs est égal à zéro.
   x(ax+b) = o, cela peut être quand x = o ou quand ax+b = o.
   Après avoir résolu le 2ème, nous avons x = -в/а.
   En conséquence, nous avons des racines x 1 = 0, d'après les calculs x 2 = -b/a.
2. Maintenant, le coefficient de x est égal à o, et c n'est pas égal à (≠) o.
   x 2 + c = o. Déplaçons c du côté droit de l'égalité, nous obtenons x 2 = -с. Cette équation n'a de vraies racines que lorsque -c nombre positif(avec ‹o),
   x 1 est alors égal à √(-c), respectivement, x 2 vaut -√(-c). Sinon, l’équation n’a aucune racine.
3. La dernière option : b = c = o, c'est-à-dire ax 2 = o. Naturellement, une équation aussi simple a une racine, x = o.

Cas particuliers

Nous avons vu comment résoudre une équation quadratique incomplète, et prenons maintenant n’importe quel type.

• Dans une équation quadratique complète, le deuxième coefficient de x est un nombre pair.
  Soit k = o.5b. Nous avons des formules pour calculer le discriminant et les racines.
  D/4 = k 2 - ac, les racines sont calculées comme x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pour D › o.
  x = -k/a à D = o.
  Il n’y a pas de racines pour D ‹ o.
• Il existe des équations quadratiques, lorsque le coefficient de x au carré est 1, elles s'écrivent généralement x 2 + рх + q = o. Toutes les formules ci-dessus s'appliquent à eux, mais les calculs sont un peu plus simples.
  Exemple, x 2 -4x-9 = 0. Calculez D : 2 2 +9, D = 13.
  x1 = 2+√13, x2 = 2-√13.
• De plus, il est facile de s'appliquer à ceux donnés. Il dit que la somme des racines de l'équation est égale à -p, le deuxième coefficient avec un moins (c'est-à-dire signe opposé), et le produit de ces mêmes racines sera égal à q, le terme libre. Voyez à quel point il serait facile de déterminer verbalement les racines de cette équation. Pour les coefficients non réduits (pour tous les coefficients non nuls), ce théorème s'applique comme suit : la somme x 1 + x 2 est égale à -b/a, le produit x 1 · x 2 est égal à c/a.

La somme du terme libre c et du premier coefficient a est égale au coefficient b. Dans cette situation, l'équation a au moins une racine (facile à prouver), la première est nécessairement égale à -1, et la seconde -c/a, si elle existe. Vous pouvez vérifier vous-même comment résoudre une équation quadratique incomplète. Cela ne pourrait pas être plus simple. Les coefficients peuvent être dans certaines relations les uns avec les autres

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• La somme de tous les coefficients est égale à o.
  Les racines d’une telle équation sont 1 et c/a. Exemple, 2x 2 -15x+13 = o.
  x1 = 1, x2 = 13/2.

Il existe plusieurs autres façons de résoudre diverses équations du deuxième degré. Voici par exemple une méthode pour extraire un carré complet d’un polynôme donné. Il existe plusieurs méthodes graphiques. Lorsque vous aurez souvent affaire à de tels exemples, vous apprendrez à les « cliquer » comme sur des graines, car toutes les méthodes vous viennent automatiquement à l'esprit.

DANS société moderne la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable carrée peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des fusées. Grâce à de tels calculs, les trajectoires de mouvement des plus différents corps, y compris les objets spatiaux. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré de l'équation est déterminé valeur maximale degré de la variable que contient cette expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque côté gauche l'expression se compose de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l'expression semble telle que l'expression du côté droit comporte deux termes, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de placer la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes de manière plus cas difficiles. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1 ; 3.

Racine carrée

Un autre cas équation incomplète le deuxième ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré vers la droite, puis la racine carrée est extraite des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, effectuons les transformations nécessaires, puis apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous une forme correspondant au standard spécifié précédemment, où a=1, b=16, c=-612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici calculs nécessaires sont réalisés selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de retrouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine la grandeur options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18. +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Équations quadratiques Il est pratique de résoudre le discriminant à l'aide des formules ci-dessus lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom d'une personne qui a vécu dans la France du XVIe siècle et qui a fait une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L’inverse est également vrai. Autrement dit, si vous obtenez une image visuelle fonction quadratique Ce n'est pas facile, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Ci-après dénommé « KU ». Mes amis, il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple en mathématiques que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions à la demande Yandex donne par mois. Voici ce qui s'est passé, regardez :

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent ces informations, et c'est l'été, et ce qui se passera pendant l'année scolaire - il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car les gars et les filles qui ont obtenu leur diplôme il y a longtemps et se préparent à l'examen d'État unifié recherchent ces informations, et les écoliers s'efforcent également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui vous expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Premièrement, je souhaite que les visiteurs viennent sur mon site en fonction de cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le sujet de « KU » sera abordé, je fournirai un lien vers cet article ; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est habituellement indiqué sur d'autres sites. Commençons ! Contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients une,bet c sont des nombres arbitraires, avec a≠0.

DANS cours scolaire le matériel est donné sous la forme suivante - les équations sont conditionnellement divisées en trois classes :

1. Ils ont deux racines.

2. *N'ayez qu'une seule racine.

3. Ils n’ont pas de racines. Il convient particulièrement de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment sont calculées les racines ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot « terrible » se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Il faut connaître ces formules par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre :

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

Par à cette occasion, lorsque le discriminant est égal à zéro, le cours scolaire dit que le résultat est une racine, ici il est égal à neuf. Tout est correct, c'est vrai, mais...

Cette idée est quelque peu incorrecte. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, vous obtenez deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors la réponse devrait écrire deux racines :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l’école, vous pouvez l’écrire et dire qu’il n’y a qu’une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d’un nombre négatif ne peut pas être prise, il n’y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Cela montre à quoi ressemble géométriquement la solution. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution à l'inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c – nombres donnés, avec a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec « y » égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est zéro) et aucun (le discriminant est négatif). Détails sur la fonction quadratique tu peux regarder article d'Inna Feldman.

Regardons des exemples :

Exemple 1 : Résoudre 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = –12

*Il était possible de diviser immédiatement les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire de la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons trouvé que x 1 = 11 et x 2 = 11

Il est permis d'écrire x = 11 dans la réponse.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Nous parlerons ici de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Connaissez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas ici dans les détails sur pourquoi et où ils sont apparus et quel est leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques ; il s'agit d'un sujet pour un grand article séparé ;

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est ce qu'on appelle l'unité imaginaire.

a+bi – il s’agit d’un NUMÉRO UNIQUE, pas d’un ajout.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

On obtient deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient « b » ou « c » est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils peuvent être résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation devient :

Convertissons :

Exemple:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation devient :

Transformons et factorisons :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x1 = 0x2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l’équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

UNx 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un + b+ c = 0, Que

- si pour les coefficients de l'équation UNx 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un+ s =b, Que

Ces propriétés aident à décider un certain typeéquations

Exemple 1 : 5001 x 2 –4995 x – 6=0

La somme des cotes est de 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ce qui signifie

Exemple 2 : 2501 x 2 +2507 x+6=0

L’égalité tient un+ s =b, Moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > x 1 = –une x 2 = –1/une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 – bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > X 1 = une X 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation. ax 2 + bx – c = 0 coefficient « b » est égal à (a 2 – 1), et coefficient « c » numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = – une x 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 – bx – c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 – 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = une x 2 = – 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta doit son nom au célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, nous pouvons exprimer la somme et le produit des racines d'une KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Au total, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques immédiatement.

Le théorème de Vieta, en plus. C'est pratique car après avoir résolu une équation quadratique de la manière habituelle (par l'intermédiaire d'un discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de toujours faire cela.

MODE DE TRANSPORT

Avec cette méthode, le coefficient « a » est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de « transfert ». Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

En utilisant le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 = 10 x 2 = 1

Les racines résultantes de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été « jetées » depuis x 2), on obtient

x1 = 5x2 = 0,5.

Quelle est la justification ? Regardez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont égaux :

Si vous regardez les racines des équations, vous n'obtenez que des dénominateurs différents, et le résultat dépend précisément du coefficient de x 2 :

Le second (modifié) a des racines 2 fois plus grosses.

On divise donc le résultat par 2.

*Si on relance les trois, on divisera le résultat par 3, etc.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

Carré. ur-ie et examen d'État unifié.

Je vais vous parler brièvement de son importance - VOUS DEVEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et des discriminants. De nombreux problèmes inclus dans les tâches de l'examen d'État unifié se résument à la résolution d'une équation quadratique (y compris les équations géométriques).

Quelque chose à noter !

1. La forme d'écriture d'une équation peut être « implicite ». Par exemple, la saisie suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez le mettre sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. N'oubliez pas que x est une quantité inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

Dans cet article, nous examinerons la résolution d’équations quadratiques incomplètes.

Mais d’abord, répétons quelles équations sont appelées quadratiques. Une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où x est une variable et les coefficients a, b et c sont des nombres, et a ≠ 0, est appelée carré. Comme on le voit, le coefficient de x 2 n'est pas égal à zéro, et donc les coefficients de x ou le terme libre peuvent être égaux à zéro, auquel cas nous obtenons une équation quadratique incomplète.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

1) Si b = 0, c ≠ 0, alors ax 2 + c = 0 ;

2) Si b ≠ 0, c = 0, alors ax 2 + bx = 0 ;

3) Si b = 0, c = 0, alors ax 2 = 0.

• Voyons comment résoudre équations de la forme ax 2 + c = 0.

Pour résoudre l’équation, on déplace le terme libre c vers la droite de l’équation, on obtient

hache 2 = ‒s. Puisque a ≠ 0, nous divisons les deux côtés de l’équation par a, alors x 2 = ‒c/a.

Si ‒с/а > 0, alors l'équation a deux racines

x = ±√(–c/une) .

Si ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Essayons de comprendre avec des exemples comment résoudre de telles équations.

Exemple 1. Résolvez l'équation 2x 2 ‒ 32 = 0.

Réponse : x 1 = - 4, x 2 = 4.

Exemple 2. Résolvez l'équation 2x 2 + 8 = 0.

Réponse : l'équation n'a pas de solutions.

• Voyons comment le résoudre équations de la forme ax 2 + bx = 0.

Pour résoudre l'équation ax 2 + bx = 0, factorisons-la, c'est-à-dire retirons x entre parenthèses, nous obtenons x(ax + b) = 0. Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Alors soit x = 0, soit ax + b = 0. En résolvant l'équation ax + b = 0, nous obtenons ax = - b, d'où x = - b/a. Une équation de la forme ax 2 + bx = 0 a toujours deux racines x 1 = 0 et x 2 = ‒ b/a. Voyez à quoi ressemble la solution des équations de ce type dans le diagramme.

Consolidons nos connaissances avec un exemple précis.

Exemple 3. Résolvez l'équation 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ou 3x – 12 = 0

Réponse : x 1 = 0, x 2 = 4.

• Équations du troisième type axe 2 = 0 sont résolus très simplement.

Si ax 2 = 0, alors x 2 = 0. L'équation a deux racines égales x 1 = 0, x 2 = 0.

Pour plus de clarté, regardons le schéma.

Assurons-nous lors de la résolution de l'exemple 4 que les équations de ce type peuvent être résolues très simplement.

Exemple 4. Résolvez l'équation 7x 2 = 0.

Réponse : x 1, 2 = 0.

Il n’est pas toujours clair quel type d’équation quadratique incomplète nous devons résoudre. Considérez l'exemple suivant.

Exemple 5. Résoudre l'équation

Multiplions les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun, c'est-à-dire par 30

Réduisons-le

5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.

Ouvrons les parenthèses

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Donnons pareil

Déplaçons 99 du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe à l'opposé

Réponse : pas de racines.

Nous avons examiné comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. J'espère que vous n'aurez désormais aucune difficulté avec de telles tâches. Soyez prudent lorsque vous déterminez le type d'équation quadratique incomplète, vous réussirez.

Si vous avez des questions sur ce sujet, inscrivez-vous à mes cours, nous résoudrons ensemble les problèmes qui se posent.

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